第六讲 分部积分法
第六讲 分 部 积 分 法
不定积分 1.基本积分公式 (8) sinxdx =-cosx +c (1) kdx =kx+c (9) cosxdx sinx +c xu+1 (2) xudx u+1 +c(u≠-1) (10) sec2xdx tanx+c (3) dx =Inc (11) csc2xdx =-cotx +c (4) exdx =ex+c (12) secxtanxdx secx +c Q (5) axdx= +c(a>0,a≠1) cscxcotxdx =-cscx +c Ina (13) 1 1 (6) dx=-+c (14) dx arcsinx +c V1-x2 )]1 dx=2√x+c (15) 12 dx arctanx+c
(2) න 𝑥 𝑢𝑑𝑥 = 𝑥 𝑢+1 𝑢 + 1 + 𝑐 (𝑢 ≠ −1) (1) න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 (3) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝑐 (4) න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 (5) න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) (6) න 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑐 (9) න 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (8) න 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 (10) න 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (11) න 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐 (12) න 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 = sec𝑥 + 𝑐 (13) න 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 (14) න 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (15) න 1 1 + 𝑥 2 (7) න 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝑐 1.基本积分公式
不定积分 2.分部积分公式 微分法则： duv vdu udv 两边同时积分 fdw-∫va+∫uaw 分部积分公式 ∫aw=w-dn
𝒅𝒖𝒗 = 𝒗𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒗 න 𝒅𝒖𝒗 = න 𝒗𝒅𝒖 + න 𝒖𝒅𝒗 න 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗𝒅𝒖 两边同时积分 微分法则： 分部积分公式 2.分部积分公式
不定积分 例1.求下列积分. (1)∫xe*dx 分析：xdr=d号，e*dr=der 方法1：原式=∫e*号=兰e*-de =e*-∫erdx 更复杂 方法2：原式=∫xdex=xex-∫exdx 更简单 xex-ex+C u=x,v=ex 通过公式化为更简单的积分
例1.求下列积分. �𝒙� (1( 𝒙𝒅𝒙 分析：𝒙𝒅𝒙 = 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 ,𝒆 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒆 𝒙 方法1：原式= �� 𝒙𝒅 𝒙 2 2 = 𝒙 2 2 𝒆 − �� 𝒙 𝟐 2 𝒅𝒆 𝒙 = 𝒙 2 2 𝒆 − �� 𝒙 𝟐 2 𝒆 𝒙𝒅𝒙 更复杂 方法2：原式=�𝒅𝒙� 𝒙 = 𝒙𝒆 �� − �� 𝒙 𝒅𝒙 更简单 = 𝒙𝒆 𝒙 − 𝒆 𝒙 + 𝑪 𝑢 𝑣 𝑢 = 𝑥, 𝑣 = 𝒆 𝒙 通过公式化为更简单的积分
不定积分 类型1 ∫xedx,erdx=des∫x"aer sinadx.stxds -d-cos),d-co ∫x"rcosxdx,.cosxdx=d(sins9）xdst) (n≠-1). u=xn,v=ex,sinx,-cosx
类型1 න 𝒙 𝒏𝒆 𝒙𝒅𝒙， න 𝒙 𝒏𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙， න 𝒙 𝒏𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙, 𝒆 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒆 𝒙 , 𝒏 ≠ −𝟏 . 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒅 −𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = 𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙) න 𝒙 𝒏𝒅𝒆 𝒙 න 𝒙 𝒏𝒅(−𝒄𝒐𝒔𝒙) න 𝒙 𝒏𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒖 = 𝒙 𝒏 , 𝒗 = 𝒆 𝒙 ，𝒔𝒊𝒏𝒙， − 𝒄𝒐𝒔𝒙
不定积分 例2：求下列积分 (1)fxcosxdx (2)f xsinxdx 解原式=∫dsinx 解 原式=∫xd(-cosx) =xsinx-∫sinxdx =-xc0Sx+∫c0sxdx =xsinx +cosx+C =-xcosx+sinx+C
例2：求下列积分 �𝒅𝒙𝒔𝒐𝒄𝒙� (1( 解 原式=�𝒏𝒊𝒔𝒅� �� �𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔� − �𝒏𝒊𝒔𝒙� = = 𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪 𝒖 𝒗 �𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔𝒙� (2( 解 原式=(�𝒔𝒐𝒄�−)�� �� �𝒅𝒙𝒔𝒐𝒄� + �𝒔𝒐𝒄𝒙�− = = −𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝑪 𝒖 𝒗
不定积分 (3)f xe2xdx (4)∫xcos3xdx e2xdx=ide2x cos3xdx=号dsin3x 解：原式=∫xde2x 解：原式=∫x dsin3x =i(xe2x-∫e2xdy) =3(xsin3x-∫sin3xd)） =2xe2x-2e2)+C =(xsin3x+cos3x)+C
�𝒙� (3( 𝟐𝒙𝒅𝒙 解：原式= 𝟏 𝟐 �𝒅𝒙� 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 (𝒙𝒆 �� − �𝟐� 𝟐𝒙𝒅𝒙) = 𝟏 𝟐 (𝒙𝒆 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒆 𝟐𝒙) + 𝑪 �𝒅𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝒙� (4( 解：原式= 𝟏 𝟑 �𝟑𝒏𝒊𝒔𝒅� �� = 𝟏 𝟑 (�𝒅𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔� − �𝟑𝒏𝒊𝒔𝒙�) = 𝟏 𝟑 (𝒙𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 + 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) + 𝑪 𝒆 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 1 2 𝑑𝒆 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙 = 1 𝟑 𝒅𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
不定积分 (5)x2e*dx (6) cos/xdx 解：Vx=t,x=t2 解：原式= (<der 原式= 2tcostdt =xe-∫erax2 =2 tdsint =xre*-「2xedx =2sint-2∫sintdx =xer-2 xdex 2tsint +2cost C x2ex-2xex +2ex +C 2vxsinx 2cosvx+C
(𝟓) න 𝒙 𝟐𝒆 𝒙𝒅𝒙 解：原式= න 𝒙 𝟐𝒅𝒆𝒙 = 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 − න 𝒆 𝒙𝒅𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 − න 𝟐𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 − න 𝟐𝒙𝒅𝒆𝒙 = 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 − 𝟐𝒙𝒆 𝒙 +2𝒆 𝒙 + 𝑪 (𝟔) න 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙 解： 原式= න 𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 = 𝟐 න 𝒕𝒅𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝟐𝒕𝒔𝒊𝒏𝒕 − 𝟐 න 𝒔𝒊𝒏𝒕𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒔𝒊𝒏𝒕 +2𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝑪 = 𝟐 𝒙𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝒙 = 𝒕,𝒙 = 𝒕 𝟐
不定积分 类型2 ∫x"Inxdx ∫lnxd ∫arcsinxdx,dx=d(）.∫aresinxd(） ∫x"arctanxdx ∫arctanxd (n≠-1) u=Inx,arcsinx,arctanx,v= xn+1 n+1
类型2 �� 𝒏 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 �� 𝒏𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, �� 𝒏𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 (𝒏 ≠ −𝟏) 𝒙 𝒏𝒅𝒙 = 𝒅 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 , �� �𝒙𝒏𝒍� 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 , �� �𝒙𝒏𝒊𝒔𝒄𝒓𝒂� 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 , �� �𝒙𝒏𝒂𝒕𝒄𝒓𝒂� 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 , 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙，𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙，𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 , 𝒗 = 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏
不定积分 例2：求下列积分 (1)∫x2 Inxdx (2)∫G专Inxdx 解：原式=∫nxd号 解：原式=∫lnxd(2vx) -号hr-j号anx =2(xlnx-∫dlnx) =x-号d =2(xlnx-∫Vr.dx) -苦mx-j号d =2(Inx-∫ad) 3 3+c =2(Vx Inx-2vx)+C
例2：求下列积分 �� (��) 𝟐 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 解：原式=�𝒙𝒏𝒍� 𝒙 𝟑 𝟑 = 𝒙 𝟑 𝟑 − �𝒏𝒍� 𝒙 𝟑 𝟑 𝒅𝒍𝒏𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 − �𝒏𝒍� 𝒙 𝟑 𝟑 ∙ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 − �𝒏𝒍� 𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙 𝟑 𝟗 + 𝑪 (��) 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 解：原式= ( �� ��)�𝒙𝒏𝒍� (�𝒏𝒍𝒅� �� − �𝒏𝒍𝒙� )�� = ∙ �� − �𝒏𝒍� �� )�� = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙) − �𝒏𝒍� �� )�� = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙) = 𝟐( 𝒙 𝒍𝒏𝒙 − 𝟐 𝒙) + 𝑪