第五讲 曲线的凹凸性与拐点
第五讲 曲线的凹凸性与拐点
中值定理与导数应用 1.曲线的凹凸性 y=f(x)x∈(a,b) y B2 0 0 凹孤 图1 凸孤 图2
𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 0 0 α1 α2 β1 β2 凹弧 图1 凸弧 图2 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 1.曲线的凹凸性
中值定理与导敛应用 2.曲线的凹凸性的概念 定义1：在区间（α，b)内，若曲线弧位于其任意一点切 线的上方，则称曲线弧在（α，b)内是凹的（或凹弧）， 此区间(a,b)称为凹区间； 若曲线弧位于其任意一点切线的下方，则称曲线弧在 (α，b)内是凸的（或凸弧），此区间(a,b)称为凸区间
定义1：在区间(𝒂, 𝒃)内，若曲线弧位于其任意一点切 线的上方，则称曲线弧在(𝒂, 𝒃)内是凹的（或凹弧）, 此区间(𝒂, 𝒃)称为凹区间； 若曲线弧位于其任意一点切线的下方，则称曲线弧在 (𝒂, 𝒃)内是凸的（或凸弧）,此区间(𝒂, 𝒃)称为凸区间。 2.曲线的凹凸性的概念
中值定理与导数应用 定义1设f(x)在区间I上连续，如果对上任意两 点x1vx2,恒有 f)+f(x2】 f)xf0 03 2 则称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）. 如果对I上任意两点x1,x2,恒有 f+f则 2 十边 2 则称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
定义1 设𝒇(𝒙)在区间I 上连续，如果对I上任意两 点𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ,恒有 则称𝒇(𝒙)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧). 如果对I上任意两点𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ,恒有 则称𝒇(𝒙)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 𝒇( 𝒙𝟏+𝒙𝟐 𝟐 ) 𝒇 𝒙𝟏 +𝒇(𝒙𝟐) 𝟐
中值定理与导敛应用 257 f(x)=x2 2 1.5 f"(x)=2 1 0.5 -2 -1 0 -1.5 -1 -05 05 1.5 凹孤 f"(x)>0
凹弧 𝑓 ′′ 𝑥 > 0
中值定理与导数应用 定理1：设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，那么： (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则曲线y=f(x)在[a,b]内是凹的；
定理1： 设函数𝒇(𝒙)在(𝒂, 𝒃)内具有二阶导数，那么： (1)若在(𝒂, 𝒃)内𝒇"(𝒙) > 0,则曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)在[𝒂, 𝒃]内是凹的；
中值定理与导数应用 个 25 0.5 15 f(x)In(x) -05 0 05 11.5 225 -0.5 05 -1 e>0 0.50 0.5 15 2 2.5 335 4 05 -1.5 -1 凸孤 f"(x)<0
凸弧 𝑓 ′′ 𝑥 < 0
中值定理与导数应用 2 f(x)=V风 T 15 05 1 0 0.5 15 05 0.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f"(x)=- 4√Xx 0.5 -1 凸孤 f"(x)<0
凸弧 𝑓 ′′ 𝑥 < 0
中值定理与导敛应用 1.曲线的凹凸性的判定定理 定理1：设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，那么： (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则曲线y=f(x)在[a,b]内是凹的： (2)若在(a,b)内f"(x)<0,则曲线y=f(x)在[a,b]内是凸的
定理1：设函数𝒇(𝒙)在(𝒂, 𝒃)内具有二阶导数，那么： (1)若在(𝒂, 𝒃)内𝒇"(𝒙) > 0,则曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)在[𝒂, 𝒃]内是凹的； (2)若在(𝒂, 𝒃)内𝒇"(𝒙) < 0,则曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)在[𝒂, 𝒃]内是凸的。 1.曲线的凹凸性的判定定理
中值定理与导数应用 例1：判断下列函数的凹凸性： (1)y=1 解：x/x≠0，y=-是， y"= 2 X (-∞，0) (0,+∞) + y y=1在(-∞，0)上是凸的：(0，+0)上是凹的
(1) 𝒚 = 𝟏 𝒙 解： {𝒙/𝒙 ≠ 𝟎}， 𝒚" = 𝟐 𝒙 𝟑 ， 𝑥 𝑦′′ 𝑦 (−∞, 𝟎) (𝟎, +∞) − + 𝒚 ´ = − 𝟏 𝒙 𝟐 ， 𝒚 = 𝟏 𝒙 在(−∞, 𝟎)上是凸的; (𝟎, +∞)上是凹的 。 例1：判断下列函数的凹凸性：