第四讲 无穷小
函数极限与连续 第四讲 无穷小
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限，并观察极限值。 (1)lim x X→0 0 3 (2) mx-1)-0 25 fx)=2 3)m0 0 X→00X (4)lim 2x= 35-3-25-2-15-10.50 0511522531 X→一00 0 -05 -15
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限，并观察极限值。 (1) (2) (3) 0 0 0 (4) 0
函叙极限与连续 1.无穷小量 定义1： 极限为0的变量，称为无穷小量，简称无穷小。 记：lima(x)=0,limB(x)=0 X→X0 limx=2 lim= X→2 X→3X 3 说 (1)说函数是无穷小，须指明自变量的变化趋势； 明 (2)0是唯一可作为无穷小的常数，绝对值很小 的非零常数不是无穷小；
函数极限与连续 定义1： 记： 极限为0的变量,称为无穷小量，简称无穷小。 说 明： (1) 说函数是无穷小，须指明自变量的 变化趋势； (2) 0是唯一可作为无穷小的常数，绝对值很小 的非零常数不是无穷小； 1 3 1.无穷小量 2
函数极限与连续 1.无穷小量的性质 (1)有限个无穷小的代数和为无穷小； 说明：离开了有限，结论不一定成立。 反例：lim n-→+0 +后+是 ( +.+是) lim 1+2+3+.+m n→+o∞ n2 lim n+=lim n2+n 2n2 n-→+o2n2 =m+分）=月
函数极限与连续 (1)有限个无穷小的代数和为无穷小； 说明： 离开了有限，结论不一定成立。 反例： 1.无穷小量的性质
函微极限与连续 (2)有限个无穷小的乘积为无穷小； 如 lim(x·simx)=0 x→0 但 无限个无穷小的乘积为无穷小；X (3)常数与无穷小的乘积为无穷小
函数极限与连续 (2)有限个无穷小的乘积为无穷小； (3)常数与无穷小的乘积为无穷小。 如 但 无限个无穷小的乘积为无穷小； ×
函数极限与连续 2.无穷小量的性质 (4)有界函数与无穷小的乘积为无穷小； 例2求下列函数的极限。 (1) sinx lim 1 X→00 (2) limxsin X-ò0 (3)*lim arctanx x+1 X→00 ④*m2cosx
函数极限与连续 (4)有界函数与无穷小的乘积为无穷小； (1) (2) 例2 ： 求下列函数的极限。 (3)* (4)* 2.无穷小量的性质
函微极限与连续 sinx (1) lim X→00X 分析：x→oo时，sinx的极限不存在。 解：sinxls1,lim=0 X→00X lim sinx =0 X→00X 但 lim sinx lim 1.lim sinx =0 X-→00X X→00XX→00 X
函数极限与连续 (1) 解： ∵ 但 ×
函数极限与连续 (2) 1 limxsin X→0 分析：x→0时，一∞ sin的极限不存在。 解：sinl≤1，x=0. .limxsin=0 X→0
函数极限与连续 (2) 解： ∵
函叙极限与连续 (3 lim arctanx X→00 名 分析：x→∞时， arctanx的极限不存在。 解：arctanx<2 或.'arctanx是有界函数 lim=0 X)00X lim arctanx =0. ”X→00
函数极限与连续 (3 ) 解： ∴
丞数极限与连续 m装cosx x+1 (4) 分析：X→oo时，coSx的极限不存在。 解：.cosx|≤1 m岩=m+动》-0 lim1 x0x2COSx =0
函数极限与连续 (4) 解： ∵ =0