第七讲 复合函数 主讲人：卢自娟
第七讲 复合函数 主讲人：卢自娟
函数、极限与连续 复习引入 判断题： (1)y=sin2x是基本初等函数。 X (2)y=/xZ是基本初等函数
复习引入 判断题： （1）𝑦 = sin2𝑥是基本初等函数。 （2）𝑦 = 3 𝑥 2是基本初等函数。 × √
函数、极限与连续 1、复合函数 定义1：如果y=f(u)(u∈X),u=p(x) u∈Y,且X∩Y≠Φ，则y也为x的函数。 称为复合函数记： y f[o(x)] u为中间变量
称为复合函数记： 定义1： 𝒖 ∈ 𝒀,且𝑿 ∩ 𝒀 ≠ Ф,则𝒚也为𝒙的函数。 𝒚 = 𝒇[𝝋(𝒙)] 1、复合函数 如果𝒚 = 𝒇(𝒖)(𝒖 ∈ 𝑿)，𝒖 = 𝝋(𝒙) 𝒖为中间变量
函数、极限与连续 思考 任意的两个函数是否都可以复合？ (1)y=Vu,u=-x2-1 X(D=Φ) (2)y arcsinu,u=x2+6 X
思考 任意的两个函数是否都可以复合？ (1) 𝒚 = 𝒖 , 𝒖 = −𝒙 𝟐 − 𝟏 ⅹ(𝑫 = Ф) (2) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒖 , 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟔 ⅹ
函数、极限与连续 例1.下列哪些函数组合可构成复合函数。 (1)y=sinu,u=5x+8 y=sin(5x+8) (2)y=Vu,u=x2+2 y=vx2+2 (3)y arcsinu,u=1-x2 y=arcsin(1-x2) (4)y=arcsinu,u=1+2x X
例1. 下列哪些函数组合可构成复合函数。 (1) 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒖 , 𝒖 = 𝟓𝒙 + 𝟖 (2) 𝒚 = 𝒖 , 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐 (3) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒖 , 𝒖 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒚 = sin(𝟓𝒙 + 𝟖) 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟐 𝒚 = arcsin(𝟏 − 𝒙 𝟐) (4) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒖 , 𝒖 = 𝟏 + 𝟐 𝒙 ⅹ
函数、极限与连续 例2.求下列复合函数。 (1)y=u2,u cosx y (cosx)2=cos2x (2)y=vu,u=sinx y Vsinx 3)y=Vu,u=1-x2 y=v1-x2 (4)y arcsinu ,u 2x y arcsin2x (5)y=u3,u=1-x2 y=(1-x2)3
例2. 求下列复合函数。 (1) 𝒚 = u 𝟐 , 𝒖 = cosx (2) 𝒚 = 𝒖 , 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 (3) 𝒚 = 𝒖 , 𝒖 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 (4) 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒖 , 𝒖 = 𝟐𝒙 (5) 𝒚 = 𝒖 𝟑 , 𝒖 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒚 = (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐= cos𝟐𝒙 𝒚 = (𝟏 − 𝒙 𝟐 ) 𝟑
函数、极限与连续 例3.求下列函数的复合结构。 (1)y sin2x (2)y sin5x =(Sinx)·(sinx) =(sinx)2 解： 「y=u2 [y sinu 解： u=sinx u=5x 由外向内，逐层复合，允许多项式
例3. 求下列函数的复合结构。 (1)𝒚 = sin𝟐𝒙 (2)𝒚 = sin𝟓𝒙 解： 𝒚 = 𝒖𝟐 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 解： 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒖 𝒖 = 𝟓𝒙 =(𝒔𝒊𝒏𝒙) ∙ (sinx) 由外向内，逐层复合，允许多项式。 =(𝒔𝒊𝒏𝒙）𝟐
函数、极限与连续 (3)y=V1-x2 (4)y (arcsinx)6 「y=vu 解： 解： 「 y=u6 u=1-x2 u arcsinx
(3)𝑦 = 1 − 𝑥 2 (4)𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) 6 解： 𝑦 = 𝑢 𝑢 = 1 − 𝑥 2 解： 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑦 = 𝑢 6
函数、极限与连续 练习找出下列函数的基本初等函数类型。 (1)y=(1+x3)5 (2)y-tan(2x+ (3)y sinvx (4)y=ex2 (5)y=(2x+5)4 (6)y=c0s(4-3x) (7)y=ln(1+x2) (8)y=e-3r2 (9)y arctanex (10)y =(arctanx)2
练习:找出下列函数的基本初等函数类型。 𝟏 𝒚 = （𝟏 + 𝒙 𝟑）𝟓 (𝟐)𝒚 = 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙 + 𝝅 𝟔 ) (3)𝑦 = 𝒔𝒊𝒏 𝑥 (𝟒)𝒚 = 𝒆 𝒙 𝟐 𝟓 𝒚 = （𝟐𝒙 + 𝟓）𝟒 (𝟔)𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝟒 − 𝟑𝒙) (7)𝑦 = 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒙 𝟐 ) (𝟖)𝒚 = 𝒆 −𝟑𝒙𝟐 (9)𝑦 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒆 𝒙 (𝟏𝟎)𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝟐
函数、极限与连续 练习：求下列函数的复合过程 (1)y=(1+x3)5 (2)y=tan(x+ 「y=u5 解：「 y tanu 解： u=1+x3 π u=2x+6 (4)y=ex2 (9)y arctanex y=eu fy arctanu 解： 解： u=x2 u ex
练习:求下列函数的复合过程 𝟏 𝒚 = （𝟏 + 𝒙 𝟑）𝟓 (𝟐)𝒚 = 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙 + 𝝅 𝟔 ) 解： 𝑦 = 𝑢 5 𝑢 = 1 + 𝑥 3 解： 𝑢 = 2𝑥 + 𝜋 6 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 (𝟒)𝒚 = 𝒆 𝒙 𝟐 解： 𝑦 = e u 𝑢 = 𝑥 2 (9)𝑦 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒆 𝒙 解： 𝑦 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏u 𝑢 = e x