第7卷第4期 智能系统学报 Vol.7 No.4 2012年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2012 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201111004 网络出版地址：htp:/nw.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20120712.1009.001.html 混合改进蚁群算法的函数优化 陈明杰，黄佰川，张旻 (哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江哈尔滨150001) 摘要：针对蚁群算法进化速度慢、容易出现停滞现象的不足，探讨了一种基于自适应信息素挥发因子的改进蚁群 算法.针对蚁群算法容易陷入局部最优的缺点，提出了一种基于决策变量高斯变异的改进蚁群算法.针对蚁群算法 速度慢的不足，探讨了一种基于决策变量边界自调整的改进蚁群算法.将上述3种改进相融合，提出了一种基于自 适应信息素挥发因子、决策变量高斯变异和决策变量边界自调整3种改进策略的混合改进蚁群算法.将其应用于函 数优化中，仿真结果表明，混合改进蚁群算法在收敛速度和收敛率方面都有很大改进，具有更好的寻优性能。 关键词：混合改进蚁群算法；函数优化；自适应；高斯变异；蚁群算法 中图分类号：1P181文献标志码：A文章编号：16734785(2012)04037007 Function optimization based on an improved hybrid ACO CHEN Mingjie,HUANG Baichuan,ZHANG Min (College of Automation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China) Abstract:Considering the low evolution speed and the tendency towards stagnation of ant colony optimization (ACO),an improved ACO was discussed based on an adaptive pheromone evaporation factor.To avoid the defect of ACO easily falling into the local optimum,another improved ACO was proposed based on Gaussian variation of decision variables.To overcome the shortcoming of the slow speed of ACO,a new and improved ACO was given based on boundary self-tuning of the decision variables.Finally,an improved hybrid ant colony algorithm was pro- posed,which combined the adaptive pheromone evaporation factor,Gaussian variation of decision variables,and boundary self-tuning of the decision variables.When applied to function optimization,the simulation results show that the improved hybrid ACO has a higher degree of accuracy,a higher convergence ratio,and improved optimiza- tion performance. Keywords:improved hybrid ant colony optimization;function optimization;self-adaptive;Gaussian mutation;ant colony op- timization 自2000年国际顶级学术刊物《Nature》发表了 路径规划问题等领域均取得了良好的效果.对一般 M.Dorigo的蚁群算法综述以来，模拟自然界蚂蚁进 函数的优化问题也表现出优异的性能，它可以克服 行最优路径搜索的蚁群算法(ant colony optimiza- 传统优化方法的许多不足和缺陷，实现简单，在函数 tiom,ACO)B作为求解组合优化问题的有效手 不连续、不可微、局部极值点密集等苛刻的情况，仍 段，逐渐成为智能优化算法领域的热点.由于其 然具有很好的寻优能力B1.W.J.Gu则ahr发表的证明 算法上具有正反馈机制、分布式计算、贪婪式搜索特 蚁群算法收敛性的文章在蚁群算法的发展过程中具 征以及鲁棒性强、并行处理等特点[2]，目前已被广 有重要的意义.但是，到目前为止，蚁群算法仍然 泛应用于组合优化问题中，在车辆调度问题、机器人 存在很多不足，如易出现停滞现象、搜索时间长和解 空间搜索不够等缺点[4.针对蚁群算法存在的上述 收稿日期：2011-11-11.网络出版日期：201207-12. 问题，本文在文献[5]的基础上加以改进，提出了一 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51079033)；中央高校基本科 研业务费专项资金资助项目(HEUCF100430). 种混合改进蚁群算法，并将其应用于函数优化问 通信作者：陈明杰.E-mail:chenmingjie@hrbeu.ed.cm. 题中
第4期 陈明杰，等：混合改进蚁群算法的函数优化 ·371· 1基于蚁群算法的函数优化原理 在图1所示的蚂蚁路径选择中，可知在蚂蚁路径 的终点和起点之间有很多层数字，蚂蚁要想从起点走 文献[5]所提出的基于蚁群算法的函数优化原 到终点就必须经过每层数字，这样蚂蚁在每经过一层 理如下. 数字时，将会从10个数字中做出选择，蚂蚁在经过下 不失一般性，在函数的优化问题中，所有的优化 层数字时从哪个节点经过根据式(3)选择： 问题都可以表示为一个函数的最小化问题，即： Si= 「argmax(T:U)),9≤qo; (3) min f(x)=c,c∈[0,1]. (1) LSi(mnd) 9>90: 式中：c为常数.如果在函数优化中存在端点值，那 式中：S:为蚂蚁在第i层数字会选择的节点号码； 么可以先将端点值剔除，最后计算比较.在下面的算 argmax为第i数字层上使得r:(U)最大的节点j的 法中将不再考虑端点值 值；：()是第i层数字上第j个节点上的信息素残 在多元函数优化问题中，设决策变量由n个分 留量，q是一个随机数，且q∈[0,1]，9o是信息素阈 量组成，并要求决策变量的每一个分量都精确到小 值，9o∈[0,1]，根据经验一般设为0.8；Smd为第i 数点后d位，则可构造一副由n×d+n+1层数字组 层数字中j号节点被蚂蚁选中的概率，由式(4)计算 成，且第1、d+2、2d+3,…层由一个标号为0的数 得出： 字组成，其余层都由标号为0~9的10个数字组成， T:0) Pi(j)= (4) 第(b-1)×(d+1)+2到b×(d+1)层(b=1,2, …,n)表示决策变量的第b个分量，其余层都是辅 言( 助层.解码时，对各分量对应的层分别解码.采用这 式中：：G)为第i层数字中节点j被蚂蚁选择的概率 种方法，每个决策变量分量的最后一位与下一个分 蚂蚁每经过一层数字中的某个节点时，都会根 量的第一位之间都有辅助层隔开，因此前一个分量 据局部信息素残留更新式(5)，修改该节点上的信 的末位不会影响后面一个分量的首位 息素残留量 将待优化函数的决策变量表示为一串十进制的 T:(j)=(1-p)x:()+pr0 (5) 数字串{d(0),d(1),…,d(1-1)},而决策变量可 式中：To是常数，表示初始时刻信息素的含量；P是 以通过解码公式(2)解码得到[]： 数字节点上的信息素挥发速度，p∈[0,1]. Vn- 当蚂蚁如图1所示在每层数字中选择好一个节 -+)×10. (2) =0 点后，这时蚂蚁就找到了一条路径.将这条路径按式 式中：1为决策变量字符串的长度，n为决策变量的 (2)解码可以获得决策变量的值，这样就可以求得 维数.式(2)所代表的解码过程可以用图1来描述. 函数值.当蚁群中每只蚂蚁都按照图1找到一条路 O0000@0@ 径后，就可以在蚁群中找到一只蚂蚁，它走过的路径 回/四四四四四四 ◇ 解码后得到的决策变量使函数值最小，称这只蚂蚁 为迭代最优蚂蚁.让迭代最优蚂蚁的函数值和全局 2 2 2 ② 2 ② 2 ② 蚂蚁的函数值相比较，如果迭代最优蚂蚁路径解码 ③ 3 ☒ ☒ ☒ 后求出的函数值要小于全局最优蚂蚁解码后求出的 4 4 4 4④ 4 ④ 函数值，那么迭代最优蚂蚁成为全局最优蚂蚁.当蚁 固 ⑤ 囹 固 囹 ☒ 群中每只蚂蚁都选择好路径后，这时全局最优蚂蚁 6 6 6 ⑥ 6 ⑥ 6 ⑥ 要根据信息素残留量的全局更新式(6)对所经过的 第i层数字的第j个节点上的信息素残留量τ：()进 ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ 行更新： ⑧ 8 8 8 8 8 8 8 T:)=(1-)x:》+ (6) 99 91 99 四 式中：T:()为最优蚂蚁在第i层数字中所选择的节 图1蚂蚊路径选择 点j上的信息素残留量；4是一个常数，且μ∈[0， Fig.1 Chosen path of ants 1]:f表示全局最优蚂蚁解码后求出的函数值. 假设l=8,n=2,那么图1所示的路径由式(2) 该蚁群算法就是一直重复进行上述蚂蚁选择的 解码后得到的决策变量为X=（X1,X2)=(0.2064, 0.9713). 路径和信息素更新的过程，至满足结束条件， 文献[5]所提到的蚁群优化算法采用十进制编
·372 智能系统学报 第7卷 码，缩短了蚂蚁需要搜索的路径长度；信息素直接存 非全局极值点比较集中时，会影响算法的收敛速度， 储在数字层的数字上面，诚少了信息素的存储量；采 并可能陷人局部最优，得不到高精度的解.为了使搜 用了信息素局部更新和全局更新相结合的信息素更 索到的解有更好的遍历性，收敛速度更快，摆脱局部 新规则.但上文所提到的蚁群优化算法仍然有不足： 最优，本文加入决策变量高斯变异策略，将待优化函 1)容易陷入局部最优，算法的全局搜索能力有待提 数的决策变量进行高斯变异，提出了一种基于决策 高；2)在处理维数较多的函数问题时，搜索速度有 变量高斯变异的蚁群改进算法.以加强解的多样性， 待提高 扩大搜索范围，使算法在搜索过程中加快搜索速度， 摆脱局部最优。 2混合改进蚁群算法的原理 基于决策变量高斯变异的蚊群算法改进原理如下8， 本文在文献[5]的基础上研究了一种基于自适 高斯分布式概率论是数理统计中一类重要的分 应信息素挥发因子、决策变量高斯变异和决策变量 布.将高斯变异应用到蚁群算法，其思想主要来自于 边界自调整3种改进策略的混合改进蚁群算法，提 遗传算法中的变异因子.在蚁群算法中应用高斯变 高基本蚁群算法的收敛速度和全局搜索能力， 异来改善蚁群算法的全局搜索能力，避免早熟，并加 2.1基于自适应信息素挥发因子的蚊群算法改进 快收敛速度.式(9)是以原点为中心的高斯函数 研究发现，蚁群算法是启发式算法和信息素正反 （Gaussian),其概率分布如图2所示. 馈机制相结合产生的算法.在蚁群算法搜索最优解过 v 程中，应用的是随机选择策略，而随机策略会使蚁群 exp(-2 ,-0<v<.(9)》 算法的进化速度较慢；蚁群算法中的信息素正反馈机 制的目的在于强化蚂蚁搜索到的较优的解，但很容易 1.0 出现停滞现象)，这正是蚁群算法的不足之处， 0.8 为了克服上述不足，在蚁群算法的寻优过程中， 当迭代一定次数、进化方向基本确定时，利用自适应 0.6 改变信息素挥发因子大小的方法，对寻优路径上的 0.4 信息素作动态调节，逐渐缩小最优路径和最差路径 上的信息量，以实现对决策变量空间的充分寻优. 0.2 本文引入一种自适应信息素挥发因子，探讨了 种基于自适应信息素挥发因子的蚁群算法的改 0.5 1.01.5 2.0 2510 进.该方法旨在使产生的新的蚁群算法通过信息素 挥发因子μ的自适应来提高算法的全局性.即将式 图2高斯分布概率分布 (6)中的全局信息素挥发因子心用随迭代自适应的 Fig.2 Gaussian distribution (t)代替，此时式(6)变为 在式(1)所示的函数优化问题中，函数的决策 :G)=(1-u()r:0)+( 变量用X表示，决策变量的维数为n;l。表示决策变 (7) 量的下界，每一维决策变量的下界用，()表示；山 式中：(t)是随迭代变化的信息素挥发因子，(t) 表示决策变量的上界，每一维决策变量的上界用 按式(8)进行自适应变化： u,()表示；设Mx表示经高斯变异后的决策变量， u(t)= r0.95μ(t-1),若0.95(t)≥uma; Mx()表示变换后的第i维决策变量；为了使高斯分 Lumin 其他， 布覆盖整个决策变量空间，设Gaussian分布函数中 (8) 的参数g=0.16. 式中：m表示u的最小值，其目的是可以防止由于 决策变量高斯变异基本步骤如下： 过小使算法的收敛速度变慢.为了提高算法的全 1)给经高斯变异后的决策变量赋初值； 局搜索能力，提高算法的搜索速度，在每次循环搜索 2)求出决策变量上下界的均值和均方差； 结束时，都求出最优解，并将最优解保留，作为判断 3)根据Gaussian分布函数产生一个均值为2)》 心自适应的条件 求出的决策变量上下界的均值，均方差为2)求出的 2.2基于决策变量高斯变异的蚊群算法改进 决策变量上下界的均方差的随机数； 在蚁群算法的搜索寻优过程中，当优化函数的 4)将3)产生的随机数限定在决策变量的上下 界之间；
第4期 陈明杰，等：混合改进蚁群算法的函数优化 ·373· 5)将4)产生的随机数作为高斯变异后的决策 新4，然后按照式(7)进行全局信息素更新. 变量. 8)根据式(10)和(11)进行决策变量边界自调 2.3基于决策变量边界自调整的蚊群算法改进 整，调整蚁群搜索范围， 在蚁群算法的寻优过程中，特别是在高维的函数 9)根据式(9)对决策变量进行高斯变异。 寻优中，由于蚁群的寻优范围较大，搜索的随机性也 10)如果循环次数N。≥N。mm,即满足结束条件， 很大，为了加快蚁群的搜索速度，克服算法陷入局部 则循环结束并输出程序计算结果；否则继续。 最优，本文引入决策变量的边界自调整策略，研究了 种基于决策变量边界自调整的蚁群算法改进方法. 开始 决策变量的边界自调整策略的原理主要是在算 法的迭代寻优过程中，通过对决策变量边界进行自 设置码蚁个数m、最大循环次数 初始化循环次数和信息索含量 调整，使算法的寻优范围不断向最小适应值附近收 敛，以加快收敛速度，克服局部最优 将蚁群放置在路径选择的初始点 加入决策变量边界自调整的改进蚁群算法步骤 如下： 迭代次数N=N+I 1)设定决策变量的上下界、决策变量维数、蚂 蚂蚁个数=丁 蚁个数. 2)初始化决策变量矩阵，即在决策变量的上下 妈蚁个数k=k+1 界之间随机产生一个初始化矩阵。 按式(3)和(4)选择节点■ 3)开始进行循环，当未达到要求的迭代步数 按式(5)进行局部信息茶更新 时，决策变量的边界按式(10)、(11)进行自调整： 6=max((X-R),l6), (10) k大于等于蚂蚁总数m一一 min(R),u). (11) Y 按式8)更新4☐ 式中：R为一个在(0,1)上随迭代变化的常数，用来 控制决策变量的边界。 按式门进行全局信息素更新 在迭代寻优过程中，决策变量的边界不断按上 按式(10)和(11)进行决策变量边界自调整 述原理进行自调整，这样在寻优的初期，蚁群会在整 个决策变量定义域内寻优，搜索范围较大，全局性较 按式(9)对决策变量进行高斯少异 好；随着寻优的进行，决策变量的范围逐渐变小，向 满足结束条件 N 最优解附近收缩，这样有助于提高算法的寻优速度， TY 2.4混合改进蚊群算法 输出结果 融合上述基于自适应信息素挥发因子、决策变 结束 量高斯变异以及决策变量边界自调整3种策略，本 文提出了一种混合改进蚁群算法.其程序流程图如 图3混合改进蚊群算法程序流程 Fig.3 Flow chart of hybrid improved ACO 图3所示 混合改进蚁群算法的具体实现步骤如下： 3 混合改进蚁群算法的仿真与分析 1)初始化.设置蚂蚁个数m,最大循环次数 N。r,初始化循环次数N。和信息素含量. 本文分别采用Sphere、DeJongF4、Rosenbrock、 2)将初始化蚁群放置在路径选择图的初始点。 Griewank和Rastrigin5个基准测试函数作为适应度 3)设置循环次数N。=N。+1. 函数，分别应用文献[5]中的基本蚁群算法以及基 4)对所有蚂蚁进行4)~5). 于信息素挥发因子自适应的蚁群算法、基于决策变 5)选择蚂蚁在下一层到达的节点，此选择按照 量高斯变异和信息素挥发因子自适应的蚁群算法， 式(3)、(4)进行 和基于信息素挥发因子自适应、决策变量高斯变异、 6)在每只蚂蚁选择好下一层到达的节点后，按 决策变量边界自调整三者相融合的混合改进蚁群算 照式(5)进行局部信息素的更新. 法进行仿真实验.其中，参数设置为：蚂蚁个数为 7)当所有的蚂蚁完成一次循环后，按式(8)更 30,迭代次数为30，基准函数决策变量为五维，以最 大迭代次数作为算法的终止条件，对5个基准函数
·374. 智能系统学报 第7卷 各进行50次试验.选取字节点上的信息素挥发速度 指基于自适应信息素挥发因子的改进蚁群算法；改进 p=0.3,Gaussian分布函数中的参数o=0.16.则 蚁群算法2指基于自适应信息素挥发因子和决策变 其仿真结果具体数据见表1和图4~8所示. 量高斯变异策略的改进蚁群算法；改进蚁群算法3指 表1中，f~f分别代表Sphere、DeJongF4、 基于自适应信息素挥发因子、决策变量高斯变异策略 Rosenbrock、Griewank和Rastrigin5个基准测试函数； 和决策变量边界自调整策略的混合改进蚁群算法， 基本蚁群是指文献[5]的蚁群算法；改进蚁群算法1 表1基于5种基准测试函数的蚁群优化仿真结果对比 Table 1 Comparison of simulation results using different ACOs based on 5 basic test functions 函数 算法 最优适应值 平均适应值 平均收敛代数 平均运行时间/s 收敛率/% 基本蚁群 1.0612e-22 1.4512e-22 28 5.677 100 改进蚁群1 1.0135e-22 1.3206e-22 26 5.261 100 改进蚁群2 3.23236-23 5.2614e-23 20 5.012 100 改进蚁群3 2.0216e-23 4.9625e-23 15 4.656 100 基本蚁群 3.7951e-08 7.1251e-08 23 7.625 87 改进蚁群1 2.8289e-08 5.6132e-08 20 7.524 95 改进蚁群2 1.4741e-08 3.2611e-08 18 7.383 95 改进蚁群3 1.0118e-08 3.0152e-08 17 7.018 100 基本蚁群 1.5895 4.3261 28 7.213 75 改进蚁群1 1.1260 3.9215 25 7.124 78 改进蚁群2 0.4169 2.0215 22 6.854 85 改进蚁群3 0.3608 1.6203 20 6.578 92 基本蚁群 0.0537 0.0913 28 5.628 75 改进蚁群1 0.0419 0.0824 28 5.417 75 改进蚁群2 0.0385 0.0615 26 5.216 80 改进蚁群3 0.0295 0.0517 24 4.634 87 基本蚁群 5.6579 7.0218 28 6.797 75 改进蚁群1 4.6071 6.9125 27 6.750 78 改进蚁群2 3.9798 6.1048 27 6.549 82 改进蚁群3 2.9849 5.0126 20 5.718 90 1.8*10 1410 1.6 基本蚊群 基本蚁群 … 改进蚁罪1 改进蚁群1 1.4 改进蚁避2 改进蚁群2 1.2 改进蚊群3 改进蚁群3 1.0 8 0.8 6 0.6h 0.4 0.2 04 5 1015202530 10 15 20 2530 迭代次数 迭代次数 图4基于Sphere函数的蚊群优化仿真结果 图5基于DeJongF4函数的蚊群优化仿真结果 Fig.4 Simulation results of ACO based on Sphere Fig.5 Simulation results of ACO based on DeJongF4 function function
第4期 陈明杰，等：混合改进蚁群算法的函数优化 ·375· 43*10 群算法寻优的精度最高，并且能在最短的运行时间 4.0 基本蚁群 和最少的迭代次数内达到收敛，这是因为加入信息 改进蚁群1 3.5 改进蚁拼2 素挥发因子自适应策略和决策变量边界自调整策 3.0 改进蚁群3 略，逐渐缩小最优路径和最差路径上的信息量，实现 9 了对决策变量空间的充分寻优， 2)在收敛率方面，在对比较难寻优的DeJongF4 函数进行寻优时，混合改进蚁群算法仍然能达到 o l00%的收敛率，对于Griewank和Rastrigin2个多 0.5 0 峰函数，以及比较难寻优的Rastrigin函数进行寻优 10 1520 2530 迭代次数 时，考虑到函数本身性能的影响，混合改进蚁群算法 没有达到100%的收敛率，但是在3种改进蚁群算 图6 基于Rosenbrock函数的蚊群优化仿真结果 法中，收敛率也是最高的，这是因为加入决策变量高 Fig.6 Simulation results of ACO based on Rosenbrock function 斯变异策略，改善了蚁群算法的全局搜索能力，避免 了局部的早熟现象， 0.45 综上所述，本文提出的基于信息素挥发因子自 0.40 。基水蚁群 改进蚁群1 适应、决策变量高斯变异和自变量边界自调整的混 0.35 改进蚁群2 合改进蚁群算法在收敛速度和收敛率方面都有很大 0.30 改进蚁群3 03 改进，具有更好的寻优性能 0.20 4 结束语 0.15 0.10 本文在文献[5]蚁群算法理论的基础上，针对 0.05 蚁群算法易出现停滞现象、搜索时间长、对寻优解空 5 间搜索不够等不足，提出了一种基于自适应信息素 10 15 20 25 30 送代次数 挥发因子、决策变量高斯变异和决策变量边界自调 图7基于Griewank函数的敏群优化仿真结果 整3种改进策略的混合改进蚁群算法.将该算法应 Fig.7 Simulation results of ACO based on Griewank 用于函数优化中，通过5个基准测试函数的仿真结 function 果表明，本文提出的混合改进蚁群算法提高了寻优 精度，加快了寻优速度，提高了收敛率，具有更好的 30 基本蚁群 寻优性能. 25 改进蚁罪1 改进蚁r2 参考文献： 20 改进蚁群3 [1]DERIGO M,CARO G D.Ant algorithms for diserete opti- 15 mization[J].Artificial Life,1999,5(3):137-172. [2]张纪会，高齐圣，徐心和.自适应蚁群算法[J].控制理 10 论与应用，2000,17(1)：1-8. ZHANG Jihui,GAO Qisheng,XU Xinhe.Adaptive ant col- ony optimization[J].Control Theory and Applications, 1015202530 迭代次数 2000,17(1):18. [3]詹士昌，吴俊.基于蚁群算法的PD参数优化设计[J]. 图8基于Rastrigin函数的蚁群优化仿真结果 测控技术，2004,23(2)：69-71. Fig.8 Simulation results of ACO based on Rastrigin ZHAN Shichang,WU Jun.Design of PID optimization function based on ACO[J].Measurement Control Technology, 2004,23(2):69-71. 根据表1及图4~8的仿真结果可以看出，对比 [4]李玉英.混沌妈蚁群优化算法及其应用研究[D].北 于文献[5]的基本蚁群算法以及本文涉及的单个改 京：北京邮电大学，2009：1521 进算法，可以得出如下结论： LI Yuying.On chaos ant colony optimization and its appli- 1)在最优适应值和收敛时间方面，混合改进蚁 cation[D].Beijing:Beijing University of Posts and Tele-
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