智能系统：具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编队控制

第7卷第2期 智能系统学报 Vol.7 No.2 2012年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2012 D0I:10.3969/i.issn.16734785.201111015 网络出版t地址：htp://www.cnki.net/kcma/detail/23.1538.TP.20120309.1448.001.html 具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编队控制 来金钢，陈士华2，路晓庆2 (1.武汉理工大学自动化学院，湖北武汉430070：2.武汉大学数学与统计学院，湖北武汉430072) 摘要：多主体系统的编队控制是一类重要的网络协同控制问题.研究了在有向连接拓扑结构下，具有时变时滞耦 合的二阶多主体系统的编队控制问题.通过一种多层领导机制的框架建模，得到了时不变编队、时变编队和时变轨 迹追踪3种编队问题的充分性条件，并证明了各种预期队列是以指数的收敛速度形成的.数值仿真进一步验证了理 论结果的正确性，为该理论在实际中应用起到指导作用， 关键词：多主体系统；时变时滞；有向拓扑；编队控制 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：16734785(2012)02-013507 Formation control for second-order multi-agent systems with time-varying delays LAI Jin'gang,CHEN Shihua2,LU Xiaoqing? (1.School of Automization,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China;2.School of Mathematics and Statistics,Wu- han University,Wuhan 430072,China Abstract:The formation control problem for multi-agent systems is one of the most serious network cooperation con- trol problems.The formation control problem of second-order multi-agent systems with time-varying coupling delays in directed interaction topologies was investigated.Sufficient conditions were obtained for the attainment of both time-invariant and time-varying formations as well as for time-varying formations for trajectory tracking by using a special multi-leader framework that attained the formations at exponentially converging speeds.Some numerical sim- ulations were also conducted to validate the theoretical results in order to develop practical applications. Keywords:multi-agent system;time-varying delay;directed topology;formation control 作为一致性相关问题18】，多主体系统的编队息则可以被所有主体感知.然而，文献[9]的控制策 控制已经被众多领域的学者所研究，并广泛应用于 略是一阶协议，即通过控制主体的速度而不是加速 多种协同控制领域，包括无人驾驶飞行器、自制水下 度来改变主体的位移状态.在实际控制问题中，往往 潜艇和移动智能系统等.这种协同控制的关键技术 是通过控制加速度来实现的，这就需要设计一种二 是在各种环境制约下，均能保证各个主体的状态和 阶协议来实现编队控制.此外，在物理、生物以及电 队形都达到一致.从图理论、动力系统理论以及控制 力系统中，耦合时滞现象是无法避免的，忽略这一点 论等不同领域出发，各种编队控制方法931应运而 将会导致不可预测的严重后果.但现有的文献中很 生.其中大致可分为确定性系统和随机系统2种.例 少考虑带时变时滞耦合的编队控制问题 如，文献[9]提出了一种新的编队控制的框架，将编 本文将研究在有向连接拓扑结构中，一类带有 队信息分为全局和局部信息两大类，并假设只有一 时变时滯耦合的二阶多主体系统的编队控制问题 小部分主体可以获知全局编队信息，而局部编队信 采用文献[9]的多层领导框架建模，将所有主体分 为领导者和跟随者2类.假设每一个领导者可以获 收稿日期：2011-11-20.网络出版日期：2012-03-09 知全局编队信息，且只有一小部分领导者（高层领 基金项目：国家“973"计划资助项目(2009CB723905):国家自然科学 导者)可以根据状态偏离调整自身的位移并牵制其 基金资助项目(70571059). 通信作者：路晓庆.E-mail:lhxq@whu.edu.cn. 他领导者达到预期的编队.类似地，每一个跟随者可

·136 智能系统学报 第7卷 以获知局部编队信息，且只有一小部分跟随者（基 是不可约的，对角矩阵B=diag(b1,b2,…,bw)满足 层领导者)可以根据状态偏离调整自身的位移，并 b:>0,b:≥0，i=1,2,…,N,则矩阵L+B的特征 牵制其他跟随者达到预期的编队.进一步假设，每一 =1 根都具有正实部. 个领导者可以将自己获知的信息，通过整个编队的 演化过程直接或者间接地传递给其跟随者.本文的 记C([-T,0],R)为连续函数中：[-T,0]→ 目的就是在这种多层领导机制框架下，设计适应于 R"的赋范‖中‖e=maXoa[-,o‖中‖Banach空间. 时不变编队(time-varying formation,TVF)、时变编 下面给出著名的Lyapunov-Razumikhin定理is]. 队(time-invariant formation,TF)和时变轨迹追踪 引理2设f:C([-T,0],R”)→R”将 (time varying formations for trajectory tracking,TVFT) C([-T,0],R)中的有界子集映射到R”的有界子 集的函数中，定义如下泛函微分方程： 3类编队问题的二阶协议.其创新之处有2点：1)这 种基于多层领导机制的二阶协议适用于许多拥有多 rx=f(t,x(0),t>0, (2) 层管理系统的协作机构，每一层管理人员有不同的 lx(0)=(0),0∈[-r,0] 职责，因此具有潜在的应用价值；2)在设计二阶编 式中：0∈[-T,0],x(0)=x(t+),f(0)=0.令 队控制协议的时候，考虑了时变时滞耦合因素的影 u(s)、知(s)、w(s)为非降的连续函数，满足当s>0 响，这是以往编队控制问题没有提及的， 时，u(s)>0,(s）>0,w(s)>0,u(0)=v(0)=0, 当s+∞时，u(s)+0.如果存在一个连续函数： 1编队模型描述 R×R”→R,一个连续非降函数，p:R→R*满足s> 首先介绍文中用到的图理论知识[)和几个引 0时，p(s)>s,并且存在一个常数σ≥0，使得 理.设G=(V,e,A)为一个N阶加权有向图，其中顶 「 u(Ix‖)≤V(t,x)≤（‖x‖）， l(t,x(t))≤-0（‖x(t)‖）+σ (3) 点集V={1,2,…,N},边集合εCV×V,邻接矩阵 A=(a)eRw×w满足aa=0,ag>0,当且仅当有一条 如果 从j指向i的边.有向图G的度矩阵D=diag(d1,d2, (t+0,x(t+)）1.对任意 [ffT]TeR)是一个与时间相关的列向量，代表 的i>1,至少存在某个j满足1≤j≤i-1,使得 全局编队信息，W=[W+1W+2…W]∈Rw-m(其 Lg≠0. 中，W=[WW…W]∈R)是一个与时间无关的 引理14)如果有向图G的Laplacian矩阵L 行和为1的非负矩阵，代表局部编队信息.如果存在

第2期 来金钢，等：具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编队控制 ·137· 一个R值函数∫。=[f(t)T(t)](其中f”∈R", 个与Y相关的正常数).则应用协议(5)系统(4)的 feR),使得当t→o时，对ieN有x:→f+f 所有主体状态一致性可达. 和v:→f+f,对ieW有x:→(W☒Ln)x和：→ 证明记x=x:-f片，y=y:-f,则误差系统为 (W⑧1)则称系统(4)解决了编队问题特别地， 无=， 如果条件==招=加=0=”≠0且=加= 0=f≠0且=加≠0分别成立，那么对应地， =k∑a[y((t-r)-(t-T)+ 称该编队问题为时不变编队、时变编队和时变轨迹 (g-)]-b:[yx(t-)+],i=1,2,…,N 追踪问题 注意到向量F定义了由领导者确定的基本编 整理得到 队框架，非负矩阵W则给出了跟随者和其邻居间的 局部位移约束.由于W的行和为1，跟随者的最终 x=, 状态一定位于领导者状态的凸组合区域，因此W决 =-y(L+B)⑧1(t-T)- 定了跟随者的空间分布状况.而列向量F()则决定 k(L+B)☒In(t). 了整个编队的队形，与各个主体的初始状态和外界 控制输入相关 式中：x=[x…xW],v=[…W]I,B= diag(b1,b2,…,bw).令e(t)=[xT]T,L+B=H, 2编队模型分析 则得 本文的主要结论分为3部分：时变一致、时变编 (t)=Ye(t)+Ze(t-T), 队和时变轨迹追踪， 2.1时变一致 式中r-日女nsz-(m8a 首先考虑简化的编队问题：时变一致性问题， 以下证明H是正稳定的，因为G含有根节点为 假设f=f方=…=f=f,1=N,令粉=f6,”= r的有向生成树，不妨假设r=1.将L写为式(6)的 形式： 程=…==6如果对于每一个节点， lim‖x:-f‖=0和im‖y:-f6‖=0成立，则称多 01 (6) 主体系统时变一致性可达，此时，每一个主体都是领 式中：L,对应于根节点r=1,非奇异矩阵L2的特征 导者，都可以获知速度6和加速度信息，但是只 根都具有正实部.类似地，将对角矩阵B写成对角 有一小部分高层领导者可以获知彼此间的状态差异 块形式B=diag(B1,B2),其中B1=b1>0,B2= 以及编队信息.基于此，设计如下二阶协议： diag(b2,b3,…,bw).由b1>0得L1+B1正定，故H 4:=6+k∑ag[y(,(t-)-x,(t-)+ 正稳定.由Lyapunov定理知存在正定矩阵M满足 (y-)]-kb[y(x(t-r)-f6(t-r))+ MH+H'M=Iw,取Lyapunov函数： (:-f6)]. (5) V(E(t))=ve"(t)P E(t). 式中：i=1,2,…,N,k>0,00,1≤r≤1，时变时滞r(t) 2= kI-M 满足： 0k*(k*是一 (L-2M0）-(,-'()-'(Lw-M）=

·138· 智能系统学报 第7卷 (号-2.-w>0 = 城.+2,4-）- 故是正定的.根据入m(P)Ie‖2≤V(e(t))≤ 入m=(P)‖e‖2及引理2知，当r∈[-To,0]时， t-)门-[xe-)- V(e(t+r))1),则有 含-1 -2e"PZYe(t+s)ds 2(-rzPe)'e(t+)山≤ kh:[y(x(t-r)-】 i,-)）+ (-YZ'Pe)"p-(-YZPe)ds+ (y:-∑oy)],ieW, (7) e(e+s(p)ed:+d 式中：k>0,00是一个连续函数， re'PZYp-'YZ're+∫，V(e(t+s)d≤ 满足00,1≤r≤1，时变时滞r(t) We)=-6'(E'P +PE)E-2e'PZY(t+s)ds 满足 入m(Q） -E'Qe+TE"(PZYP-YZ'P +BP)8-Ain(Q)E'E+ 0k*(k*是一 个与Y相关的正常数).则假设条件1)~3)满足时， To 系统(7)解决了时变编队(TVF)问题. 故 证明对i∈N时作变量变换x:=x:一f和 V(e)≤V(e(0))e"Ie‖≤， W(e(0)e-( 入min(P) 可=，-，对ieN作变量变换=-名，和 所以，应用协议(5)系统(4)的所有主体将以指数的 收敛速度达成一致. :=:一名0”，则系统(7)可以改写为： 2.2时变编队 x=,i=1,2,…,N; 此时编队的最终目的是：当i∈N时x:→f和 :→f,当ieW时x:(t)→(W☒In)x,y:(t)→ =宫-）--》+⑧ (W⑧1).为此，作如下假设： )]-b(yx,(t-T)+),i=1,2,…,N. 1)领导者集团的拓扑结构中有一棵根节点为r 定理1保证了x和”均以指数速度收敛到0， (1≤r≤)的有向生成树，并且领导者的动力行为不 由此可得，当t+o时，对ieN有x:(t)→f(t)+ 受跟随者的影响； f,且：()→f(t)+f",对i∈W有x:(t)→(W⊙ 2)每一个领导者可以感知全局编队信息F,并 在编队演化过程中将其传递给跟随者； In)x且：(t)=(W:⑧l).从而定理2证毕.特别 3)每一个跟随者可以直接或者间接地从领导 地，当i∈N时，令其一致状态为f,则有如下推论 者那里获知局部编队信息W. 推论如果全局编队信息F为时不变的，即 实际上，假设3)等价于在整个主体的拓扑结构 =f”=0,则在定理2的条件下，系统(7)解决了 中有一棵生成树，且根节点位于领导者集团中. IF问题. 采用如下控制协议： 2.3时变轨迹追踪 c=,i=1,2,…,N; 考虑∫。=[ff]T,相应的预期追踪轨迹由下 列方程确定： :=+k∑g{y[((t-)-(t-)- fo=f=g(tfe). (x,(t-r)-f(t-)]+[(-f)- 进一步假设条件4)：连接拓扑结构中根节点可以感 (:-f)]}-h:[y(x(t-r)-f后(t-r))+ 知追踪的参考轨迹，则应用以下控制协议： (:-f)],ieN; =y,i=1,2,…,N;

第2期 来金钢，等：具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编队控制 ·139· 或=文，[4-）-f4-》- 05=0话=o7=0=og=w0=2/3; 05=w6=07=08=0g=wi0=1/3; (x:(t-r)-f管(t-)]+ d=0,其他. (”-)-(v:-f)}- h:[y(x(t-r)-f(t-)-(t-)+ (vi-fi-8(tf:))+8(tf:)+iN; =,M-）--》- -)-宫4-刀+ g-)-(g-店- he-）-宫-》+ 图110个主体的连接拓扑结构 Fig.1 The interaction topology of 10 agents (-月，]+叫成ie (8) 图2~3分别给出了时不变编队、时变编队和时 变轨迹追踪3类编队问题在二维空间和三维空间中 其中参数与协议(7)中相同，则有下面结论. 的演化过程.3类编队问题的最终编队稳态和误差 定理4如果有向图G含有一个根节点位于ī 曲线分别在图4~5中给出. 的有向生成树且满足b,>0,1≤r≤1，时变时滞r(t) 入mn（Q) 满足0k·(k·是一个 0.5 与y相关的正常数)，则假设条件1)~4)满足时，系 20 4060 20 40 t/a 统(8)解决了TVT问题. (a)TIF-P (b)TIF-V 证明对ieN作变量变换x:=x:-f-f和 =:-f-g(t,f0),应用定理1~2中的结论可 -2 知，系统(8)的所有主体都将形成编队F,并追踪轨 2040 60 0100200300 迹f。,证毕. (e)TVF-P (d)TVF-V 3数值仿真 给出一个数值例子来验证本文结论的正确性. 考虑一个由4个领导者和6个跟随者组成的二阶多 50 50 150 20 0 20 40 t/s 主体系统.图1给出了这10个主体之间的拓扑结 (e)TVFT-P (0TVFT-V 构，预期的编队队形是一个正三角形.取系统参数 图23类编队问题的二维平面演化过程 k=10,y=0.8,r=0.01sint,b4=1,且邻接矩阵中 Fig.2 The formation evolutions of the agents in three 边的加权因子均为1，则有如下编队信息： different cases(2-D phases) m(+2 f*=R(t) sim(受+2,1) =1,2,3; 3 0-2020 40 X 0.2002029 40 R:(t)=2sig(sin t)sin t,i=1,2,3; (a)TIF-P (b)TIF-V ff=[00],i=4; f=f,i=1,2,3,4; 0 r-m: x020车10 · -24 020,10 (e)TVF-P (d)TVF-V fe=g()=;

·140 智能系统学报 第7卷 小；在时变轨迹追踪中，所有主体形成的正三角队形 1 x0100 10 在追踪一个正弦函数曲线。 20 -200 (e)TVFT-P ()TVFT-V 4结束语 图33类编队问题的三维空间演化过程 研究了二阶多主体系统的编队控制问题.应用 Fig.3 The formation evolutions in 3-D spaces 多层领导机制的框架建模，设计了具有时变耦合时 滞和有向拓扑结构下的二阶编队控制协议，基于图 理论、控制理论和Lyapunov稳定性理论，解决了时 不变编队、时变编队和时变轨迹追踪3类编队控制 问题.数值例子很好地验证了本文的结论.因此，本 7810 1214,1618202224 文给出的具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编 (a)TIF-P 队协议是可行且有效的，为编队问题在实际工程中 的应用提供了很好的理论依据， 参考文献： -1 6 8101214 16 [1]LIU Xiwei,CHEN Tianping,LU Wenlian.Consensus prob- lis (b)TVF-P lem in directed networks of multi-Agents via nonlinear proto- cols[J].Physica Letters A,2009,373(35):3122-3127. [2]YU Wenwu,CHEN Guanrong,LU Jinhu.On pinning syn- chronization of complex dynamical networks[J].Automati ca,2009,45(2):429435. [3]ZHOU Jin,LU Jun'an,LU Jinhu.Pinning adaptive syn- 20 30 40 50 tla chronization of a general complex dynamical network J]. (c)TVFT-P Automatica,2008,44(4):996-1003. [4]HONG Yiguang,HU Jiangping,GAO Linxin.Tracking 图43类编队问题的最终编队稳态（二维显示） control for multi-Agent consensus with an active leader and Fig.4 The final formation states of the agents in variable topology[J].Automatica,2006,42(7):1177- three different cases(2-D phases) 1182. [5]OLFATI-SABOR R,MURRAY R M.Consensus problems in networks of Agents with switching topology and time-de- 404A lays[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004, 50 49(9):1520-1533. 101520 0 5 101520 [6]SU Housheng,WANG Xiaofan,LIN Zongli.Flocking of b)TIE V multi-agents with a virtual leader[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(2):293-307 40 100 [7]MOREAU L.Stability of multi-agent systems with time-de- 2 50l pendent communication links[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(2):169-182 10 15 20 5 101520 仙作v [8 ]HU Jiangping,HONG Yiguang.Leader-following coordina- (e)TVF-P tion of multi-agent systems with coupling time delays[J]. I50r Phy8icaA,2007,374(2):853863. 100 [9]XIAO Feng,WANG Long,CHEN Jie,et al.Finite-time 50H formation control or multi-agent systems[J].Automatica, 101520 101520 2009,45(11):26062611. (e)TVFT-P (0 TVET-V [10]JIANG Fangcui,WANG Long.Finite-time information con- sensus for multi-Agent systems with fixed and switching topol- 图53类编队问题的误差演化过程 ogies[J].Physica D,2009,238(16):1550-1560. Fig.5 The formation errors of the agents in three dif- [11 DIMAROGONASA D V,JOHANSSON K H.Stability a- ferent cases nalysis for multi-agent systems using the incidence matrix: 从数值仿真图2~5中可以看出：在时不变编队 quantized communication and formation control[J].Auto- 中，随着时间的演化，所有主体形成的正三角队形保 matica,2010,46(4):695-700. [12]KRISTIAN H M,STJEPAN B,IVICA D.Multi-Agent for- 持不变；在时变编队中，随着时间的演化，所有主体 mation control based on bell-shaped potential functions 形成的正三角队形的中心半径在有规律地放大和缩 [J].Joural of Intelligent Robotic Systems,2010,58

第2期 来金钢，等：具有时变时滞耦合的二阶多主体系统的编队控制 ·141· (2):165-189. 陈士华，男，教授，博士生导师，主 [13]WU C W.Synchronization in complex networks of nonlin- 要研究方向为微分方程定性理论及混 ear dynamical systems[M].Singapore:World Scientific, 沌动力系统的控制与同步.主持和参与 2007:5-19. 省部级科研项目6项.发表学术论文60 [14]LU Xiaoqing,AUSTIN F,CHEN Shihua.Cluster consen- 余篇，其中被SCI、EI检索50篇 sus of second-order multi-agent systems via pinning control [J].Chinese Physics B,2010,19(12):120506. [15]HALE J,LUNEL S.Introduction to the theory of function- al differential equations,applied mathematical sciences M].New York:Springer,1991:25-28. 路晓庆，女，1985年生，博士研究 作者简介： 生，主要研究方向为动力系统及其应 来金钢，男，1985年生，助理工程 用、非线性系统、复杂网络、随机分析、 师，主要研究方向为智能控制理论及其 多智能体协同控制等，发表学术论文10 应用，发表学术论文5篇，其中被EI、 余篇，均被SCI、EI检索. ISTP检索2篇. 第10届全国信息获取与处理学术会议 由中国仪器仪表学会主办，沈阳市仪器仪表和自动化学会与高等学校联合承办的全国信息获取与处理学术 年会，从2003一2011年分别在沈阳（沈阳工业大学）、大连（大连交通大学）、金华（浙江师范大学）、贵阳（贵州大 学)、秦皇岛（燕山大学）、焦作（河南理工大学）、桂林（桂林理工大学）、威海（哈尔滨工业大学）、丹东（丹东市科 协)连续举办了9届.全国信息获取与处理学术会议由于投稿地域分布广泛，会议学术气氛浓厚，组织规范，在相 关学校、各位作者和热心朋友的共同努力下，已经成为国内仪器仪表领域具有重要影响的学术会议. 第10届全国信息获取与处理学术会议将由中国仪器仪表学会主办，沈阳工业大学、沈阳市科协、沈阳市仪器 仪表与自动化学会、辽宁省仪器仪表学会和《仪器仪表学报》编辑部联合承办，并于2012年8月6日在辽宁沈阳 召开 征文范围： 1)视觉检测系统硬件技术：包括光源、滤光片、镜头、图像传感器或成像机构、图像采集与处理电路、图像传输 电路、视觉检测系统等， 2)视觉检测系统软件技术：包括成像机构标定，图像预处理（增强、滤波、恢复、重建、裁剪、定位、分割等），目 标图像检测，目标图像识别及其应用 3)目标成像技术：包括微波成像，可见光成像，红外成像，X射线成像，CT成像，γy射线成像，声波成像，超声波 成像，磁共振成像，电容成像等 4)生物特征识别技术：包括虹膜、人脸、人耳、指纹、掌纹、指节纹、手形、手势、手掌静脉、手指静脉、手背静脉、 足迹、步态、语音、笔迹等识别技术. 5)其他测量技术：包括各种电量、非电量测量方法，测量装置，传感器等. 6)生物阻抗测量及成像技术：包括生物阻抗测量方法及其应用，生物阻抗正问题，生物阻抗计算方法、成像方 法、图像处理以及生物电信号测量、处理方法等。 7)管道、容器与构件安全检测技术。 8)教学实验仪器、装置的开发，各种实验仪器在教学中的应用 联系方式： 会议网址：http:/www.meeting.org.cn. 联系电话：024-25496417（传真）. 联系人：魏秋敏. 通信地址：110870沈阳经济技术开发区沈辽西路111号662信箱沈阳市仪器仪表与自动化学会 电子信箱：syias@126.com(有关会议论文投稿等信息的咨询)