第6卷第6期 智能系统学报 Vol.6 No.6 2011年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2011 doi:10.3969/j.issn.16734785.2011.06.006 考虑个体移动和局域控制的SR传染模型 赵敬，2，方义12，夏承遗2 (1.天津理工大学天津市智能计算与软件新技术重点实验室，天津300384；2.天津理工大学救育部计算机视觉与 系统重点实验室，天津300384) 摘要：为了能够有效地对疾病传播进行建模和分析，提出了带有个体移动性的考虑局部感染程度和局部控制程度 的SR模型，引入了感染半径和控制半径的概念.在二维平面空间的基础上，首先介绍了带有个体运动的模型，然后 将此模型与改进的SR模型结合，通过大量的数值仿真分析感染半径和控制半径对疾病传播的影响：同时，还利用数 值仿真研究了移动个体密度和个体运动方向对疾病传播的影响；此外，基于改进的SR模型提出了一些能够抑制疾 病传播的直观控制策略，如对感染个体进行隔离、控制以及对人群进行疏散等。 关键词：个体移动：SR模型：感染半径：控制半径 中图分类号：TP18:0231.5文献标志码：A文章编号：16734785(2011)06051505 A susceptible-infected-removed model considering individual mobility and local control ZHAO Jing'2,FANG Yi2,XIA Chengyi.2 (1.Tianjin Key Laboratory of Intelligent Computing and Novel Software Technology,Tianjin University of Technology,Tianjin 300384, China;2.Key Laboratory of Computer Vision and Systems Ministry of Education),Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China) Abstract:In order to effectively analyze and model the spread of infectious diseases,this paper proposed a novel Susceptible-Infected-Removed (SIR)model considering mobile individuals and local control in which the concept of the infection radius and control radius were introduced.Based on the two-dimensional space,the individual mo- tion model and improved SIR model were considered first,and then large-scale numerical simulation was used to explore the influence of the infection radius and control radius on the behavior of disease propagation.At the same time,the paper also investigated the impact of population density and the direction of mobile agents in relation to the spread of disease.Furthermore,some intuitive control strategies were presented to inhibit the diffusion of epi- demics on the basis of the proposed novel SIR model;for instance,separating and controlling the infective individu- al and evacuating high-density populations. Keywords:individual motion;SIR model;infection radius;control radius 纵观人类社会的发展，传染病一直持续不断地增大了传染病的传播风险.在经历了一次次的考验 阻碍着社会发展的进程，从早期的天花、麻疹，到近 之后，人们也不得不考虑：为什么在医疗水平如此发 年来的艾滋病、非典型性肺炎(SARS)以及禽流感， 达的今天，传染病还会迅速传播？为什么在采取了 每一次大爆发都给人们的生命财产带来巨大的损 病毒预防和控制措施后，计算机病毒还能在因特网 失3].一方面，人类社会的不断发展和完善促进了 上肆意地蔓延？经典的流行病学的研究将系统中所 公共卫生体系的不断完善，从而降低了传染病的威 有个体划分成有限数目的仓室（如易感个体Suscep- 胁；另一方面，社会快速发展的需求使得人力、物力 tible、感染个体Infective、.免疫个体Removed等)，提 资源流动日益频繁，从而加快了传染病的传播速度， 出所谓的仓室模型（如SI、SIS和SIR模型等），然后 利用常微分方程组来建模和分析，虽然取得了骄人 收稿日期：2011-09-01 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60904063)；天津市应用基础 的成就，但仍然无法解决上述问题和困惑4.近年 及前沿技术研究计划资助项目(11 JCYBJC06600):天津市 来，复杂网络理论的进展为传染病动力学的分析和 高等学校科技发展基金资助项目(20090813)：国家大学生 创新实验计划资助项目(101006019). 研究提供了新的理论、工具和手段，使得复杂网络上 通信作者：夏承遗.E-mail:xialooking(@163.com 的流行病传播成为生命科学、系统生物学、数理科
516. 智能系统学报 第6卷 学、信息科学与技术等领域的一个热点研究问 影响， 题5列 1个体运动模型 基于复杂网络的传播动力学研究，假定每个节 点代表一个独立的个体，节点之间的连线既代表两 假定个体运动模型如图1所示，黑色的圆圈代 者之间有联系（熟人），也代表了疾病传播的途径， 表已感染的个体，白色的代表其他状态的个体，初始 即两者之间如果有一个感染者，那么和它有连线的 时，将N个智能体随机分配到L×L的满足周期边 另一个很可能会被感染.Pastor-Satorras等人[81利用 界条件的二维平面空间中，此时平面空间中的个体 平均场理论研究了均匀网络和非均匀网络上的疾病 密度是p=N/L2.令：和0：(-π≤0≤π)为第i个 传播行为，基于SS模型他们发现均匀网络上疾病 （i=1,2,…,N)个体的运动速度和方向，其中：≈ 传播行为与经典传染模型类似，存在固定的与网络 (vcos0:,vsin0:)即个体可以在二维平面空间上随机 规模无关的正临界值（入。>0）；但是对于非均匀网 游走，方向和速度都是随机分配的.此外，个体还可 络，在网络规模趋于无穷时(N→∞)感染临界值趋 以以一定的概率P作(0≤P≤1)长程运动. 于0（入。0），这一突破性的进展改变了经典传染病 动力学研究中许多固有的结论，激发了大量相关的 0 研究[6-7,914 ●0 但是，目前的大多数研究仍是基于熟人之间的 0 联系才可以传播，即假定网络结构固定不变.而实际 生活之中个体之间不管是有连接（熟人），还是无连 接（陌生人）都是不确定的，熟人在疾病传播期间可 能不相遇，陌生人在疾病传播期间可能有接触，例如 商场、火车站等公共场所的服务人员每天可能接触 成千上百的陌生人，他们原本都是陌生人，互相没有 联系，但是在公共场所的某段时间内他们之间就会 建立起新的连接.熟人之间的固定联系只能说明二 图1个体运动模型 者之间有疾病传染的可能性，疾病在人群中的传播 Fig.1 Individual motion's model 不能仅仅考虑个体之间原有固定的联系，还应该考 不同状态的个体运动形式也会有差别：1)感染 虑个体在物理空间的运动范围.因此，在真实网络 者因为有传染性而被限制只能做局部运动，不能做 中，个体之间的连接模式不断变化，研究复杂变化环 长程运动，即卫，=0；而其他状态的个体既可以做局 境下的疾病传播行为具有重要的现实意义.文献 部运动也可以做长程运动.2)未感染者对感染者有 [15]基于二维规则晶格，引入长程运动，允许个体 “趋利避害”的自适应性，若感染者在健康者的感染 以特定的概率P:在晶格上随机移动，建模个体在社 范围内，那么健康个体的运动方向0不再是360°， 会空间上的运动以及移动终端设备在通信网络中的 本文假设未感染个体背离染病个体的方向在180 移动，使得疾病在系统中的传播行为更加符合真实 范围内随机运动，如图2所示 情况.文献[16]考虑了更一般的二维平面空间，假 定个体在一个圆形的邻域范围内随机运动，并允许 以特定的概率作长程跳跃，已感染疾病的个体可以 -、a=1801 感染给定半径内的易感个体，在此基础上，文献 [17]考虑了个体运动的长程关联性.但是，上述研 究也忽略了一些影响因素，例如在面临传染病爆发 时，公共卫生部门会进行一定的干预和控制，会对感 染个体周围进行适当的隔离措施，从而抑制疾病的 进一步传播.本文拟提出一个同时考虑个体运动和 图2个体移动方向示意 局域控制策略的SIR模型，通过大量的数值仿真分 Fig.2 Direction of individual motion 析感染范围和接种疫苗范围对感染个体密度的影 此外，考虑个体的“趋利避害”效应，进而会远 响，以建模分析公共卫生部门的控制策略的作用和 离感染者，例如在图2中给出了个体移动方向的示
第6期 赵敬，等：考虑个体移动和局域控制的SR传染模型 .517 意.当在一个未感染者(S,R)的一定范围内（例如 r1=2)有感染者1，那么这个未感染者会按照背离感 3数值仿真结果 染者的方向(a=180)移动， 本节利用Matlab对改进的SIR模型进行数值 分析，给出了一些典型参数条件下的仿真结果，以定 2考虑局域控制的改进SR模型 量分析模型参数对传播行为的影响.在仿真实验中， 在本文介绍的SR模型中，假定个体可以处于 模型参数设置如下：移动个体总数为N=10000,感 5种状态，那么就可以把人群分为5类，如图3所 染率B=0.1,治愈率y=0.1,接种率4=0.1，移动 示，它们分别是：易感染人群(S)、潜伏个体(E)、染 个体密度p=0.1,移动个体的速度模v=0.1,个体 病人群(I)、康复人群(R)和接种人群(V).另外，假 长程运动的概率P=0.1. 定疾病传播过程中存在2个作用网络：传播网络和 图5给出了感染半径对系统中感染密度的影 控制网络，控制网络是感染网络的子集，分别用感染 响，其中纵轴代表了感染个体的密度，横轴代表了迭 半径()和控制半径(r2)来定量刻画这2个网络， 代时间步（可代表任意时间单位）.从图5中可以清 然后从微观上分析局部疾病传播程度和疾病控制程 楚地看出，感染的个体数最终趋于0，所有的个体都 度对整体疾病传播的影响。 会进人到无病的状态(R,V),但是在图5(a)中可以 看出，在控制半径相同的情况下，当感染半径较小时 入N (如1=1或，1=2)，感染个体的密度从初始密度直 接下降，而当感染半径ī1=3时，随着时间的推移， 感染密度会先增加，然后逐渐缓慢下降，说明疾病在 人群中大规模流行开来.当控制半径2越大即接种 图3改进的SR状态 疫苗的范围越大，则疾病会更快被抑制住，患病的人 Fig.3 The status of the improved SIR model 数也会更少， 在图3所示模型中引入感染半径1和控制半 0.14 径2的概念，如图4所示。 。rF 00880。·*+,墙30 S0o6/ or-2 ·=3 0.02 0 10 20 ● (a)r21 2=1 0.14r e D 周 三0.06 ,r3 e 0.02 ● 0838gg8ga855aaa2范0 0 10 e (b)r=2 图4感染半径71和控制半径12 +片=3 Fig.4 Infection radius r,and control radius r2 其中，黑色圆圈代表染病个体I,阴影圆圈代表 0 85gg50 10 接种个体V,白色圆圈代表其他状态的个体.易感染 (c)r3 人群S不能感染其他人，但是有可能会被感染；潜伏 图5感染半径对感染密度的影响 个体E是已经染病且具有传染其他个体能力的，但 Fig.5 Influence of infection radius on infective density 是没有患病症状的人：染病人群I呈现患病症状且 图6给出了控制半径2对感染密度的影响.在 具有传染性，以概率B把疾病传染给以「1为半径的 感染半径（如1分别为1和2时）较小的情况下，即 圆形范围内的易感染人群S,以概率Y被治愈进入 使控制半径2设为1时，感染密度也会从初始感染 康复状态R;另外，染病的个体I触发相应的控制动 密度直接下降，代表疾病不会大规模流行开来.当感 作，使其周围以2为半径的圆形范围内的所有个体 染半径（如，1分别为3时）较大的情况下，即使控制 (不包括R状态个体)以概率被接种. 半径2设为3时，感染密度也会从初始感染密度先
518 智能系统学报 第6卷 增加，然后再缓慢下降到0，即疾病在人群中大规模 (α=180)移动.在图8中，实线和虚线分别代表了 流行开来.总之，从图6(a)~(c)可以看出，感染半 没有控制个体移动方向（α=360°）和控制个体移动 径越大即疾病的传染范围越大则疾病在人群中的传 方向（α=180）2种情况下的感染个体密度的变化 播时间越长，患病的人数也会越大.此外，图6(c)图 情况.从图8中可以看到，虚线比实线更快地下降到 可以看出，当感染半径较大（即疾病的感染范围比 0,是因为当未感染者背离感染者的时候，相当于减 较大)时，即使大范围的接种疫苗疫情也不会得到 小了个体被感染的风险，缩短了疾病传播的时间，这 控制，这就提示人们在面临较高感染风险时，对高传 与人们的基本认识是一致的. 染性个体进行隔离和控制，限制其运动，减小其感染 0.15 op0.1 范围（半径）是降低其大规模传播的一个有效手段. 口p-0.2 0.14 +p0.3 0.10a 0 +p=0.5 0.10- er,=l 06 0r2 +片23 8 0.02 99g2aaaa54“0 0.05 8 0 10 20 (a)r,=1 0.14 24 石g09168 0.10"。 。r=1 三0.06 2 ·片2=3 图7移动个体密度对感染人群的影响 0.02 8品8aa光和 Fg.7 Influence of the density of mobile individuals on 0 10 20 infective population (b)r=2 0.14 0=1 0.10 0.09e。°o。。.r:3。a33450 a.06 0r2=2 -有控制 *口 0.08 一无控制 0.02 0.06 (c)r=3 0.04 图6控制半径对感染密度的影响 0.02 Fig.6 Influence of control radius on infective density 图7表明了移动个体密度对感染个体变化曲线 0 10 15 2025 的影响.在图7中，模型参数与图5和6中设置基本 相同，只是感染半径和接种半径均都设为2，即1= 图8个体移动方向对感染群体的影响 2=2.‘0’、‘口’、‘+’、‘*’4条曲线分别代表了 Fig.8 Influence of the direction of individual motion 移动个体密度p为0.1、0.2、0.3、0.5的时候感染人 on infective population 群变化曲线，当p=0.1时，感染密度从0.1开始逐 4 结束语 渐下降到0，疾病没有流行开来；当p=0.2,0.3,0.5 时，随着移动个体密度不断加大，感染密度从初值 传染病动力学是对真实传染病进行建模、预测 0.1开始先是增加，到达一个峰值后逐渐减小，最终 和控制的有效理论和方法，在传染性疾病传播规律 趋于0，代表了疾病在人群中大规模的扩散这也提 和预防接种等方面有着成功的应用，本文将个体运 示了在面临传染病爆发时，要对人群进行疏散，降低 动和局部状态与SR模型结合，提出了改进的SR 人群密度，从而到达抑制疾病大规模的传播。 疾病传播模型，研究了局域控制对流行疾病传播的 在图8中，给出了个体移动方向对感染密度的 影响.每种疾病的感染范围不同，在模型中体现为 影响.同样，个体总数N=10000,感染半径和接种半 不同，选择接种疫苗的人群范围不同在模型中体现 径均为2，即r1=r2=2,其他参数设置与前面保持一 在2不同，在一定的条件下讨论了1和r2分别对整 致.只是未感染者（包括S和R状态的个体）按照图 体疾病传播的影响.结果显示当疾病的感染范围较 小时，只要进行小范围的接种疫苗或控制其随机运 2中所示的“趋利避害”性限制其运动方向，即当一 动时，即可实现有效的控制：对于感染范围较大即感 个未感染者(S,R)的一定范围内（例如1=2）有感 染者1，那么这个未感染者会背离感染者的方向 染力强的疾病，必须采取大范围的接种才能有效地
第6期 赵敬，等：考虑个体移动和局域控制的SR传染模型 ·519· 抑制疾病的传播，减少被感染的人数.这就提示人 [10]LIU Z H,HU B.Epidemic spreading in community net- 们，在现实生活中，为了较快地抑制疾病的传播，可 works[J].Euro-physics Letters,2005,72(2):315-321. 以采取隔离具有高传染性的个体，限制其运动范围， [11]XU X J,ZHANG X,MENDES J FF.Impacts of prefer- 减小其感染范围的措施。在接种疫苗的时候可以根 ence and geography on epidemic spreading[J].Physical Review E,2007,76:056109. 据疾病感染范围的大小，权衡接种疫苗范围和数量， [12]HUANG W,LI C G.Epidemic spreading in scale-free net- 减小控制疾病传播的成本 works with community structure[J].Journal of Statistical 此外，还分析了个体在二维平面空间中只限制 Mechanics,2007(1):10-14. 染病个体的运动，使其只做局部运动，而其他个体执 [13]ZHANG H F,SMALL M,FU X C.Different epidemic 行完全随机运动时，和限制染病个体方向的时候疾 models on complex networks[J].Communication of Theo- 病传播程度，实验结果表明了限制个体移动的方向 retical Physics,2009,52:180-184. 可以更快抑制疾病的传播。 [14]ZHANG H F,ZHANG J,ZHOU C S,et al.Hub nodes inhibit the outbreak of epidemic under voluntary vaccina- 参考文献： tion[J].New Joumal of Physics,2010,12:023015. [1]DYE C,GAY N.Modeling the SARS epidemic J].Sci- [15]MIRAMONTES O,LUQUE B.Dynamical small-world be- ence,2003,300(5627):1884-1885. havior in an epidemical model of mobile individuals J]. [2]SMALL M,WALKER D M,TSE C K.Scale-free distribu- Physica D,2002,168(2):379-385. tion of avian influenza outbreaks[J].Physical Review Let- [16]FRASCA M.BUSCARINO A.RIZZO A,et al.Dynamical tes,2007,99(18):188702. network model of infective mobile agents[J].Physical Re- [3]FRASER C,DONNELLY C A,CAUCHEMEZ S,et al. view E,2006,74:036110. Pandemic potential of a strain of influenza A (HINI):ear- [17]LI X,CAO L,CAO G.Epidemic prevalence on random ly findings[J].Science,2009,324(5934):1557-1561. mobile dynamical networks:individual heterogeneity and [4]马知恩，周义仓，王稳地，靳帧.传染病动力学的数学建 correlation[J].European Journal of Physics B,2010,75: 319-326. 模与研究[M].北京：科学出版社，2004：23-28. [5]陈关荣.复杂网络及其新近研究进展简介[J].力学进 作者简介： 展，2008,38(6)：653662. 赵敬，女，1986年生，硕士研究生， CHEN Guanrong.Introduction to complex networks and 主要研究方向为复杂网络病毒传播 their recentadvances[J].Advances in Mechanics,2008, 38(6):653662. [6]李翔.复杂动态网络传播动力学[J].力学进展，2008， 38(6):723-732, LI Xiang.Spreading dynamics on complex dynamical net- works[J].Advances in Mechanics,2008,38(6):723. 方义，男，1988年生，硕士研究生， 732, 主要研究方向为复杂网络病毒传播。 [7]夏承遗，刘忠信，陈增强，袁著祉.复杂网络上的传播动 力学及其新进展[J].智能系统学报，2009,4(5)：392 397. XIA Chengyi,LIU Zhongxin,CHEN Zenggiang,YUAN Zhuzhi.Transmission dynamics in complex networks[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2009,4(5): 夏承遗，男，1976生，副教授，博士， 392-397. 主要研究方向为复杂系统与复杂网络 [8]PASTOR-SATORRAS R,VESPIGNANI A.Epidemic sprea- 建模分析、传播动力学等.目前主持国 ding in scale-free networks[J].Physical Review Letters, 家自然科学基金1项，省部级科研项目 2001,86(14)：3200-3203. 1项，其他科技计划项目1项.获天津市 [9]SHI H J,DUAN Z S,CHEN G R.An SIS model with infec- 科技进步三等奖1项，发表学术论文近 tive medium on complex network J].Physica A,2008, 20篇，其中被SCI检索7篇. 387:2133-2144