第6卷第4期 智能系统学报 Vol.6 No.4 2011年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2011 doi:10.3969/i.issn1673-4785.2011.04.014 多目标轮廓Mumford-Shah水平集提取 张荣国2，刘小君2，党伟超，刘焜2 (1.太原科技大学计算机科学与技术学院，山西太原030024；2.合肥工业大学机械与汽车工程学院，安微合肥230009) 摘要：目标轮廓的快速检测进而提取其几何形状，在图形图像处理中有着重要的作用.提出了一种多目标轮廓的 水平集提取方法，对基于Mumford-Shah模型的C-V方法从两方面进行了改进：增加梯度矢量场和曲线法方向的融合 作为边界吸引场，生成可以驱动主动轮廓向边缘进化的双向几何变形流，保留原图像分布信息作为区域进化能，解 决未考虑局部几何信息造成的区域能量捕捉信息不全，或边缘梯度场和演化曲线法线方向正交时无法实现拓扑结 构变化的缺陷；对水平集函数进行修正，使得它在收敛过程中能自动进行调整，确保其满足符号距离函数的要求，扩 大初始化前迭代搜索区域，减少初始化次数，提高收敛效率：最后给出所提方法的数字化求解方案.实验表明该方法 可行且具有较好的鲁棒性. 关键词：Mumford-Shah模型；水平集方法；多目标轮廊：能量方程 中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：16734785(2011)040360-07 Mumford-Shah level set method for multi-objective contour extraction ZHANG Rongguo'2,LIU Xiaojun2,DANG Weichao',LIU Kun2 (1.School of Computer Science and Technology,Taiyuan University of Science Technology,Taiyuan 030024,China;2.School of Mechanical and Automotive Engineering,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China) Abstract:Fast detection of objective contours and extraction of its geometric shape have important roles in graphics and image processing.Based on the Mumford-Shah model,a novel level set method for multi-objective contour ex- traction was presented.First,the gradient vector field was combined with normal direction of the curves as bounda- ry abstracted fields,so as to generate a bi-directional geometric deformable flow field which can drive active con- tours evolving towards the boundary from inside or outside edges.Furthermore,the distributed information of the image would be left as area evolution energy.This method can solve problems that arise when area energy informa- tion is lost because local geometric information isnt considered,or when topological structure should not be changed because the gradient vector field is orthogonal with normal direction.Then the level set function was modified so that it could change adaptively in curve convergence.Other reasons for this modification were to make sure that the level set changes could maintain signal distance function,the search area could be covered sufficiently before re- initialization,and the iterative number could be decreased.The convergence efficiency was also raised.Finally,a numerical solving scheme was given.Experimental results illustrate that the method proposed in this paper is feasi- ble and robust. Keywords:Mumford-Shah model;level set method;multi-objective contours;energy equation 主动轮廓模型使用能量最小化方法对数字图像中据分析或3-D图像数据的重建，还适用于3-D图形建模 的目标对象进行处理，为图像分析和计算机视觉中各 以及任意形状变形轮廓的提取，因而在计算机视觉和 种问题的解决提供了一种高效便捷的方案.该模型 图形图像处理中得到广泛的应用.目前，对主动轮廓模 既可以用于图像分割和理解，也可以用于动态图像数 型的研究主要从2个方面进行23)：参数主动轮廓模型 和几何主动轮廓模型.参数主动轮廓模型适用于图像 收稿日期：2010-07-15， 中单目标对象轮廓的提取45，它计算简单、速度快，轮 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51075113). 通信作者：张荣国.E-mail:gzh@163.com, 廓曲线动态演化过程中拓扑结构不能发生变化，无法
第4期 张荣国，等：多目标轮廓Mumford-Shah水平集提取 ·361· 直接对多目标轮廓边缘进行提取6] 中的边缘检测函数引入到水平集中完成对图像的分 几何主动轮廓模型，利用曲线进化理论和水平 割21，但梯度信息只存在于边缘附近，无法利用图 集方法，将低维平面上的曲线演化问题转化为高维 像的局部信息对演化过程进行调控.为克服这些缺 空间的曲面演化问题，由对参数方程的直接求解转 点，本文提出了一种新的能量模型，它在Mumford-. 化为水平集函数的一个零水平集隐含方式求解，通 Shah模型的基础上，增加了梯度矢量场和曲线法方 过控制曲面演化的偏微分方程进行数值计算，最终 向融合的双向几何变形流，既考虑了目标对象局部 得到所希望轮廓1.几何主动轮廓在曲线演化过程 几何信息，也使用了目标所围区域内外灰度图像的 中，能自适应所搜索对象的几何拓扑结构变化，对多 整体分布信息，充分利用数字图像所提供的完整信 目标图形对象的轮廓提取有着较好的效果.传统的 息；同时，通过调节项在迭代过程中的自适应变化， 几何主动轮廓模型，采用图像中像素分布的均值曲 减少了求解过程中为满足符号距离函数要求对水平 率作为演化曲线运动的几何变形流，通过水平集的 集函数重新初始化的次数，提高了收敛效率. 数值计算，在对比度好的图像中，能获得较为满意的 1 目标轮廓提取效果.随后Caselles等人对传统方法 Mumford-Shah模型的Level Set方法 进行了改进，提出了测地线主动轮廓模型8]，他们 1.1 Level Set方法 通过使用较大尺度的滤波器，对原图像进行滤波，并 给定一个区域2，设它为R上的一个有界开区 使用较大的膨胀力，使得演化曲线在沿测地线的运 间，C为所考虑的封闭演化曲线，它由2内光滑曲线 动过程中，能越过这些局部干扰，对具有部分不连续 的有限集构成，C将2分成个子区域若二维图像 的边缘检测具有一定效果.其后，Kuhne和Paragio 定义为o:2+k,那么区域2就是平面图像上像素 等人对测地线模型进行了一些改进和融合9]，扩 点信息所构成的二维长方形网格，C可看作为所检测 大了模型的适用范围，改善了模型的检测效果.这些 目标在其上演化的运动曲线，Level Set方法把随时间 模型都是基于梯度信息的图像边缘检测，对有裂口、 运动的曲线C看作是某个函数中(x,y,t)的零等值 缝隙等的图像具有较好的分割结果.若图像中含有 面，要得到某个时刻t处的运动曲线，只需要通过函 大量噪声，或者所提取目标对象边缘模糊，这些方法 数中求出该时刻的零等值面位置即可，也就是： 就很难奏效，甚至达不到所要提取的目标要求.为 C(x,y,)={x,y∈2：φ(x,y,)=0}, 此，Chan和Vese等人提出了基于Mumford-Shah模 (x,y,0)=signdist. 型的图像分割方法21，利用匀质区域的图像分布信 式中：signdist表示(x,y)到C(x,y,0)的符号距离， 息，通过求解能量函数的极小值来得到感兴趣目标 在运动曲线C封闭区域内取正值，在区域外取负 的检测，该方法将图像去噪、图像目标检测与目标对 值，在曲线上取零值.在任意时刻t,要使水平集函数 象图形形状重建这些问题用一个广义能量泛函的最 中的零等值面就是主动轮廓演化曲线C,中的控制 小值问题描述出来，曲线的演化和目标的搜索不依 方程要满足以下的偏微分方程： 赖于图像的边缘信息，适用于非常弱的边缘图像和 dΦ 有噪图像的边缘形状提取.Go和龚等人通过对图 +FI7Φ1=0 at 像中的目标对象像素分布情况进行分析，反复多次 (x,y,0)=中(x,y). 地利用单一的水平集函数，对感兴趣目标对象进行 式中：函数中(x,y,t)∈2是水平集函数，F表示零 分级别、分层次的图像划分344.为了加快水平集 等值面曲线上点沿法线方向的演化速度，它通常和 的收敛速度，李等人采用源点扫描方法来快速计算 运动曲线的位置、轮廓曲线的几何形状、当前运动时 符号距离函数[5]，而等人则提出了无需重新初 刻、以及其他一些外部物理特性相关；紧跟F的 始化的变分方法16，随后杨等人利用小波变换对图 〡7中1项表示水平集函数的梯度范数. 像进行多分辨率分解，在对各子区域划分的基础上 水平集函数中的单位外法向以及演化曲线在 进行水平集演化，实现多目标轮廓的提取71.Lie和 法向上的速度满足： Ti等人把图像处理为不连续的二值分布状态，用分 7中 段常数的Mumford--Shah模型对图像进行分割u819] 17Φ「 叶等人则是通过最小生成树的方式，先对区域进行 d(x,y）7中 划分，然后再对图像进行分割20].这些改进主要针 d让I7中 对图像全局特征的不足，没有考虑原能量函数中不 1.2 Mumford-Shah模型 含有局部特征信息，何等人把测地线主动轮廓模型 设图像(x,y)为有界开区间2上含有多个目
·362· 智能系统学报 第6卷 标的含噪图像，图像中目标轮廓C可以用2上不连 因此需要将和零水平集相关的几何流扩散到整个函 续闭集，寻找图像中感兴趣的目标对象，就必须对区 数曲面.传统的水平集几何主动轮廓是使得演化曲 域2用子区域2进行有效地分割，使2：成为2的 线沿法线方向以曲率K为演化速度向目标轮廓收 分片光滑区，并最终成为图像中的目标图像u, 敛，但演化曲线的法线方向不一定就是轮廓曲线的 也就是要寻找原始图像的分片光滑区域图像w, 最速下降方向，梯度矢量场可把边缘信息在整个零 目标轮廓的边缘为C.求解这样的问题，可以采用以 水平集平面内进行扩散]，以获取轮廓曲线进行演 下的Mumford-Shah能量最小化模型的式子来表示： 化时所需要的几何矢量场，该矢量场中的矢量在封 闭轮廓内部时由里向外指向边缘，当在封闭轮廓外 F(u,C)=(u-uo)'dady 部时由外向内指向边缘，即无论当前进化点处于什 ul'dxdy+Cl. 么位置，它始终指向目标轮廓边缘，并且该矢量场是 轮廓曲线的最速下降方向，演化曲线沿此方向进化， 如果在每一个分片区域2中所得到的逼近图 可以到达所期望的轮廓边缘.为了充分利用这一信 像w的分布是一个常量c1,该常量c:一般取区域2 息，把扩散后的梯度矢量场和法线方向通过一个内 内图像分布的均值，那么上面的式子就可以进行简 积来进行融合，得到式(2). 化.特别地，当所研究的图像被封闭轮廓曲线C C(x,y)=（((f,f2)(x,y))N(x,y))N(x,y). 分割成2个匀质区域2和22,2为感兴趣图形目 (2) 标对象，位于封闭轮廓内部，其像素分布的均值为 式中：(f2)(x,y)为图像轮廓边缘的梯度扩散场， ℃1；22为图形对象所处的背景区域，位于封闭轮廓 N(x,y)为其法线方向，可以通过极小化以下的能量 外部，其像素分布的均值为c2;轮廓C所围曲线的 函数获得： 长度和面积用Heaviside函数和Dirac函数来表示， 能量公式可以重新写为如下： Eua =n(f+)+ E(cc)=)dady+ IVuo121 (fi f2-Vuo)I'dxdy. 从式(2)看到，当梯度矢量场和外法线方向一 dxdy+ 致时，对曲线进行膨胀，当梯度矢量场和外法线方向 相反时，使演化曲线收缩，当梯度矢量场和外法线方 (oc))dxdy 向正交时，对演化曲线的运动不产生影响，此时可以 通过区域力使得演化曲线向目标边缘轮廓靠近.该 db(-6s)(1-HlΦ)dd. (1) 扩散场可以从主动轮廓的任一边驱使轮廓向目标边 要使得式(1)得到最小值，它需要满足Euler- 缘靠近，当主动轮廓曲线接近目标轮廓边缘时，该梯 Lagrange方程： 度矢量场不再对主动轮廓施加任何影响，从而使得 驰1a=,()[dir(电)-o- 主动轮廊停留在边缘轮廓上.可以将此影响称为边 o I7φI 缘吸引项，其演化方程可以定义如式(3) 入1(40-c1(φ))2+入2(-c2(Φ))2]. Mumford-Shah方法是一种变差图像分割方法， and三 ot 它将图像按像素分布的灰度相似性来划分，划分中 (1-e81听awvw)(f2)(x,y)]7中.(3) 的粗细通过演化曲线中长度项权值来进行控制.当 2.2调节项的建立 所检测对象目标灰度与背景灰度呈阶跃特性，灰度 为了运算方便，在主动轮廓曲线的演化过程中， 差异明显，此时按灰度相似性进行目标区分，效果较 保持水平集函数在任意时刻t满足符号距离函数是 好.若灰度差异不大，且各自内部灰度分布不均匀， 非常重要的，对中初始值的设定是满足这一要求 用此方法就不能很好地对目标轮廓加以检测，为此， 的，但在微分方程数值求解过程中，经过几个时间步 提出以下的改进方法。 长的迭代以后，中(x,y,t)将不再满足所定义的符号 距离式子，为了保证中尽量保持这一良好特性，需 2 梯度场的扩散及几何流的生成 要对中重新初始化，也就是要重新构造中函数，使 2.1梯度场的扩散 得它既要满足符号距离函数，又要与中。具有相同的 要使主动轮廓曲线的运动随着水平集函数中 零等值面.通过求解初值问题 的变化而演化，就需要加一个和中相关的扩散速度 rφ，=sign(中o)(1-l7中1) (4) 场，由于原始方程中F只在零水平集附近有意义， l(x,y,0)=中(x,y)
第4期 张荣国，等：多目标轮廓Mumford-Shah水平集提取 ·363· 的稳定解，就可以得到满足要求的函数，但这一过程 程如下： 计算量大，计算相当耗时，因此希望能寻找一种办法 中时=φg-△tsign(中v0)G(φ). 能减少初始化函数的调用次数.由于在0水平集处 式中： 17中1=1，可以类似于文献[17]，在能量函数中引入 8ign(中w.o）=中w.o/√Φi0+B. 一调节项： G()= E(o)=6217o1-1)u √max(a)2,(a)2+max(a)2,(a4)2-1, 来衡量水平集函数偏离符号距离函数的程度.当 中wa>0; 17中|接近于1时，该式的值很小，不会对能量函数 √max(a)2,(a)2+max(a)2,(a4)2-1, 的极值产生较大影响；当17中|偏离距离函数时，该 t<0; 项的值会变得越来越大，对能量函数极小化过程会 0, 产生较大影响，通过对主动轮廓曲线的演化，使得它 中a=0. 接近于0水平集，从而使该项的值变小.由此可以看 式中：a1、a2、4、a4的值可以通过式(6)进行计算. 到，通过加入此调节项，可以增加微分方程PDF数 a1=（φ-中：-l）/h,a2=（中+lu-φw)/h, 值求解过程中的迭代次数，保持水平集函数和符号 a3=（中-中-)/h,a4=（中w+1-中w）/h, 距离函数尽量接近，以使演化曲线尽量靠近目标轮 a max(a:,0),ai =min(a:,0). 廓，这样可大大减少重新初始化的次数，提高能量方 (6) 程的求解效率.要使得上式得到最小值，它仍要满足 通常的Dirac函数6(x)定义的范围过于狭窄， Euler--Lagrange方程： 使得用它对图像轮廓边缘进行检测时受到一些限 =a-r$） 制.为了使得在图像定义域范围内，Diac函数能保 证在每一个演化曲线点值都是趋于零的正值，需要 div[() (5) 对该函数进行正则化，参考C-V方法21，采用了以 下的正则化式子，对Heaviside函数和Dirac函数进 从式(5)可以看到，当17中|大于1时，扩散系 行正则化 数大于0，产生正向扩散，降低17中|的取值可以达 到对图像进行平滑的作用；当17中|小于1时，扩散 H.(x)= 1+2am(】, T 系数小于0，产生逆向扩散，降低|7中1的取值可以 对图像进行锐化，因此，选用该项作为调节项，能保 6,(x)=1e ΓT62+x2 证其满足Hamilton-Jacobi偏微分方程对函数进行演 此正则式保证了用前述的能量方程检测出带内 化的要求. 部空洞的图像边缘，但若内部空洞相对于检测区域 至此，曲线演化的几何流就可以看作为图像分 尺寸太小，则此函数对原主动轮廓的边缘检测产生 布的均值情况、图像边缘梯度场的扩散情况和调节 抑制作用，导致不能稳定地检测出内部区域边缘，需 项共同作用下的变形流，可以定义和能量函数对应 要对此函数进行适当的调整。 的新的演化函数如下： 区域相似项也需要满足Euler-Lagrange方程，如 =n++驶1 果设离散间隔步长为h=△x=△y,时间步长为△t, otot at' 离散点(x:,y:)的值为(h,jh),使用半隐含的有限差 其中的3个数据项分别是区域项、扩散项和调 分方法，由此可以得到如下的离散化演化方程： 节项对应的演化方程， 中时=C[p,+m(b1中+w+b2lw+b1w+1+ 3数值计算和实现 b4φw-1)+△t6（φ)(-入(4o,-c1(中))2+ 为了便于计算，需要对前面所用到的公式进行 A2(w-c2(中")2-))]. 离散化.首先来看重新初始化方程的离散化求解.前 式中：系数b1、b2、b3、b4可以用以下式子计算： 面已经提到，对轮廓曲线进行演化迭代后，需要对中 b1=h/√（φw-中）2+（φw-)/4； 函数重新进行初始化，以使其满足符号距离函数的 b2=h/√(-)2+（φ--w-1)/4, 要求.初始化过程可以通过求解初值问题的式(4) 来进行，从式子中可以看到，符号距离函数的初始值 b=h/√（φ+1w-中-1）+（中i1-中）/4， 是通过t时刻对演化曲线的求解结果，其离散化过 b=h/V√（中1w-1-φ-w-1)+(-中w-1)/4
·364· 智能系统学报 第6卷 系数m和C可以用以式(7)计算 m=△6n(中g)/h2, C=1/[1+m(b1+b2+b3+b4)]. (7) 分片常数c1、c2可以用式(8)计算。 c(中)= bo(x,)H（((x,y）)dxdy ,H(x,y）dxd (a)原始图像 ()轮廓收敛过程 c2(中)= ()(1-H(()))dady h1-H.((,))drd (8) 梯度扩散场的离散化方法，在先前所做的工作 (c轮廓收敛结果图像 d多日标边缘提取结果 中已有介绍，详细过程可查阅参考文献[22]，此处 图1磨粒图轮廓提取过程 不再赘述， Fig.1 Wearing particulate boundaries extraction 4实验结果和分析 为了进一步验证本文所叙述方法，在 P42.99GHz、内存为512MB的个人计算机上进行 了实验，所用的开发工具为Matlab7.0.首先对扫描 电镜下所获得的磨粒图片进行几何轮廓提取，实验 结果如图1所示.从图1(a)的原始图片中可以看 (aC-V法演化中问过程 )C-V法边缘提取结果 到，图中有一大两小3个磨粒组成，且轮廓边缘呈现 不规则的复杂形状，磨粒的影像特征和背景对比度 并不十分强.取时间步长△t=0.1,离散间隔步长 h=1,控制长度项的系数μ实际上是一个尺度参 数，在进化过程中检测物体的大小，μ值大，可以检 (@)本文方法演化中间过程（仙本文方法轮廓边缘提取结果 测到较大物体，值小，则可以检测任意小的物体， 图2人工合成图轮廓提取过程 此处取u=0.0015×255×255.面积控制项v用来 Fig.2 Artificial synthetic image edges detection 控制演化曲线所围区域面积对能量方程的影响，此 图3是对医学CT图片中人体胸腔的轮廓边缘 处取v=1.入1用来控制演化曲线所围区域内部图像 提取，图3(a)和图3(b)为用Li的方法[16]的中间演 分布信息对能量控制方程的影响，入2用来控制演化 化过程和轮廓提取结果，从中可以看到这种方法只 曲线所围区域外部图像分布信息对能量控制方程的 能提取其外部轮廓，而内部轮廓则无法提取；图3 影响，此处取入1=入2=1，所得结果如图1所示.图1 (c)和图3(d)为本文方法的中间演化过程和轮廓 (b)为中间演化过程，图1(c)为演化结果图，图1 提取结果，除了对2个内部目标的外边缘轮廓成功 (d)为所提取的边缘轮廓图. 提取外，还对胸腔的内部边缘轮廓也得以成功提取， 图2是一个人工合成图像的轮廓边缘提取，它由 显示了本文方法不仅和先验的初始轮廓相关性很 4个不同形状的目标对象组成，图2(b)和图2(d)分 小，而且在演化过程中能自适应地进行几何结构的 别为C-V方法2]和本文方法所提取的边缘轮廓图， 拓扑变化，既可以进行边缘轮廓的自动分裂，也可以 从结果图中可以看到，由于图2中四边形的图像像素 有效地进行多边缘轮廓的自动合并.从图中可以看 统计分布和背景图的区别不大，且多个目标之间的梯 到，尽管3个图像目标图形的边缘都是有凹有凸的 度矢量场和进化曲线的法线方向有正交的情况出现， 不规则形状，但用本文方法却能很好地提取它们的 因此用C-V方法未能检测出其边缘轮廓，而本文方法 形状轮廓. 则成功地将4个目标边缘合理地提取出来
第4期 张荣国，等：多目标轮廓Mumford-Shah水平集提取 365 用C-V方法21、Li方法[61和本文所提的改进 方法对图1、图2和图3内容作了对比实验，详细参 数及运行结果如表1所示.表1中最小误差D。、最 大误差Dm、均方误差Em指的是在多目标轮廓提取 过程中，演化曲线相邻2次迭代轮廓线之间的最小 (a)L方法中间演化过程 )L方法轮廓提取结果图 误差、最大误差和均方误差.从表中可以看出，在得 到相近收敛效果的情况下，本文方法较其他2种方 法迭代次数更少、收敛速度更快.实验表明，图像的 区域分布统计信息和图像边缘的几何特征信息，对 多目标轮廓的提取有着不同程度的影响，合理选择 相关的控制项，能加快收敛速度；同时，有效地减少 (c)本文方法中间演化过程本文方法轮廓提取结果图 对水平集的重新初始化次数，仍是加快轮廓演化过 图3CT胸腔图轮廓提取过程 程的一个有效途径 Fig.3 Thorax CT image contours extraction 表1不同方法性能比较 Table 1 Performance comparison of various methods 实验图例 选用方法 迭代次数 CPU用时/s 最小误差Dn最大误差Dmm 均方误差Emr 收敛情况 C-V 380 83.62 0.1026 0.1746 2.2909 完全收敛 图1 Li方法 580 82.30 0.0007 0.3321 1.4509 完全收敛 本文方法 310 79.53 0.1058 0.1857 2.1435 完全收敛 C-V 450 65.34 0.1854 0.1897 2.1536 部分收敛 图2 Li方法 740 176.13 0.0002 0.2029 0.9755 完全收敛 本文方法 290 44.45 0.1747 0.1914 2.1779 完全收敛 C-V 520 115.47 0.1358 0.1688 2.1022 完全收敛 图3 i方法 480 59.25 0.0070 0.6075 2.2021 部分收敛 本文方法 360 82.48 0.1171 0.1751 2.0110 完全收敛 5 结束语 参考文献： 基于Mumford-Shah的水平集方法在轮廓边缘 [1]KASS M,WITKIN A,TERZOPOULS D.Snake:active 提取中有着广泛的应用，本文提出的快速提取方法， contour models[J].Intemational Journal of Computer Vi- 不仅利用了原图像在整个区域的像素分布信息，还 siom,1987,1(4):321-331. 将图像的边缘梯度场扩散后结合曲线法线方向信息 [2]XU C,PRINCE J L.Snake,shapes,and gradient vector 来作为曲线演化的几何变形流，克服了片面强调区 flow[J].IEEE Trans on Image Processing,1998,7:359- 域分布信息或边缘梯度信息的缺陷.同时，由于引入 369 对水平集函数的修正，使得其尽量满足符号距离函 [3]NING Jifang,WU Chengke,LIU Shigang,et al.NGVF:an improved external force field for active contour model[J]. 数要求，曲线在演化过程中基本保持在0水平集附 Patter Recognition Letters,2007,28(1):58-63. 近，减少了对水平集函数重新初始化的次数，从而提 [4]SAKALLI M,LAM K M,YAN H.A faster converging 高了收敛效率.实验结果也表明，本文所述方法能有 snake algorithm to locate object boundaries [J].IEEE 效地对多目标轮廓边缘的几何形状进行提取，但由 Transactions on Image Processing,2006,15(5):1182- 于要对原始图像的梯度矢量场进行扩散，需要耗费 1191. 一定的时间，特别是灰度分布信息丰富的图像，预处 [5]SUM K W,CHEUNG P Y S.Boundary vector for paramet- 理需要花费较多的时间，这是后期将要研究解决的 ric active contours[J].Pattern Recognition,2007,40(6): 一个问题 1635-1645
·366. 智能系统学报 第6卷 [6]XIE X H,MIRMEHDI M.MAC:magnetostatic active con- [18 ]LIE J,LYSAKER M,TAI X C.A binary level set model tour model[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and and some applications for Mumford-Shah image segmenta- Machine Intelligence,2008,30(4):632-646. tion[J].IEEE Transactions on Image Processing,2006 [7]OSHER S,SETHIAN J A.Fronts propagating with curva- 15(5):1171-1181. ture-dependent speed:algorithms based on Hamilton-Jacobi [19]TAI Xuecheng,LI Hongwei.A piecewise constant level set formulation[J].Journal of Computational Physics,1988, methods for elliptic inverse problems[J].Applied Numeri- 79(1):1249. cal Mthematics,2007,57(5/6/7):686696. [8]CASSELLES V,KIMMEL R,SAPIRO G.Geodesic active [20]叶伟，王远军.基于Mumford-Shah理论的最小生成树 contours[J].Interational Journal of Computer Vision, 图像分割方法[J].计算机辅助设计与图形学学报， 1997,22:61-79. 2009,21(8):1127-1133 [9]OSHER S,PARAGIOS N.Geometric level set methods in YE Wei,WANG Yuanjun.MST image segmentation based imaging,vision,and graphics[M].Berlin:Springer Ver- on Mumford-shah theory method based on boundary and re- lag,2003:43-57. gion information[J].Journal of Computer-Aided Design [10]PARAGIOS N,DERICH R.Geodesic active regions for &Computer Graphics,2009,21(8):1127-1133. supervised texture segmentation[C]//IEEE International [21]何宁，张朋.基于边缘和区域信息相结合的变分水平集 Conference on Computer Vision.Kerkyra,Greece,1999, 图像分割方法[J].电子学报，2009,37(10)：2215- 2:926-932. 2219. [11]PARAGIOS N,MELLINA G O,RAMESH V.Gradient HE Ning,ZHANG Peng.Variational level set image seg- vector flow fast geometric active contours[].IEEE Trans- mentation method based on boundary and region informa- actions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, tion[J].Acta Electronic Sinica,2009,37(10):2215- 2004,26(3)：402407. 2219. [12]CHAN T F,VESE L A.Active contours without edges [22]张荣国，刘小君，王蓉，刘焜.自适应梯度矢量流轮廓 [J].IEEE Transactions on Image Processing,2001,10 提取方法研究[J].模式识别与人工智能，2008,21 (2):266-277. (6):799-805. [13]龚永义，罗笑南，黄辉，等.基于单水平集的多目标轮廓 ZHANG Rongguo,LIU Xiaojun,WANG Rong,LIU Kun. 提取[J].计算机学报，2007,30(1)：120-128， Adaptive gradient vector flow algorithm for boundary extrac GONG Yongyi,LUO Xiaonan,HUANG Hui,et al.Multi- tion[J].Patter Recognition and Artificial Intelligence, objects extracted based on single level set[J].Chinese 2008,21(6):799-805. Journal of Computers,2007,30(1):120-128. 作者简介： [14]GAOS,TIEN D.Image segmentation and selective smoot- 张荣国，男，1964年生，教授，博 hing by using Mumford-Shah mode[J].IEEE Transact-i 士，主要研究方向为图形图像处理、 ons on Image Processing,2005,14(10):1537-1549. CAD/CG和计算机支持的协同设计等. [l5]李俊，杨新，施鹏飞.基于Mumford-Shah模型的快速 水平集图像分割方法[J].计算机学报，2002,25 (11):1175-1183. LI Jun,YANG Xin,SHI Pengfei.A fast level set ap- proach to image segmentation based on Mumford-Shah 刘小君，女，1965年生，教授，博 model [J].Chinese Joumal of Computers,2002,25 士，主要研究方向为数字化设计和图像 (11):1175-1183. 处理. [16]LI Chunming,XU Chenyang,GUI Changfeng,et al.Level set evolution without re-initialization:a new variational for- mulation[C]//IEEE Interational Conference on Computer Vision and Pattem Recognition.San Diego,USA,2005, 1:430436. 党伟超，男，1974年生，副教授，主 [17]杨莉，杨新.基于区域划分的曲线演化多目标分割[J]. 要研究方向为图像处理与信息系统 计算机学报，2004,27(3)：420425. YANG Li,YANG Xin.Multi-object segmentation based on curve evolving and region division [J].Chinese Journal of Computers,2004,27(3):420-425