华中科技大学：物理实验教学资源（讲义）近代物理实验指导书（共十一个，2025）

近代物理实验实验讲义2025

近代物理实验 实 验 讲 义 2025

目录目录近物1：电路综合实验近物2：双频外差激光干涉仪1622近物3：晶体的电光、声光调制近物4：微波段电子顺磁共振与铁磁共振39近物5：塞曼效应与法拉第效应实验.67近物6：光泵磁共振85近物7：真空镀膜及材料特性表征.97近物8：微弱信号检测与分析..107近物9：激光调腔与纵横模分析120近物10：核与粒子物理实验...142近物11：激光光原理与技术.168

I 目录 目录 . I 近物 1：电路综合实验 . 1 近物 2：双频外差激光干涉仪 . 16 近物 3：晶体的电光、声光调制 . 22 近物 4：微波段电子顺磁共振与铁磁共振 . 39 近物 5：塞曼效应与法拉第效应实验 . 67 近物 6：光泵磁共振 . 85 近物 7：真空镀膜及材料特性表征 . 97 近物 8：微弱信号检测与分析 . 107 近物 9：激光调腔与纵横模分析 . 120 近物 10：核与粒子物理实验 . 142 近物 11：激光光镊原理与技术 . 168

近物1：电路综合实验【实验目的】1.掌握信号发生电路的工作原理和调试方法：2.利用电阻、电容和电感设计并制作电路滤波器。3.了解集成运算放大器主要参数及测试方法：4.掌握运算放大器组成基本运算电路的原理和调试方法；5.了解Multisim电路仿真软件的应用。【实验内容】1.设计、组装并测试中心频率在100kHz附近的带通滤波器（band-passfilter）；2.测量运算放大器的几个主要特征参数和技术指标：3.设计连接一个加减法混合运算电路：4.设计并连接一个积分和微分运算电路。5.设计一个正弦波发生电路，连线后接入示波器，与设计频率、振幅比较。6.设计一个占空比为1/3的矩形波电路，并将设计频率与实际电路的测量结果比较(选作)。7.设计一个矩形-三角波发生电路，要求其占空比连续可调（选作）。【课前预习】1.电阻、电容和电感的串联和并联理论以及集成运算放大器的相关电路基础知识。2.学习使用Multisim，在实验中，利用Multisim辅助设计电路参数。【实验原理】电阻（Resistance）、电容（Capacitance）和电感（Inductance）是三种最常用也是最基本的电子元件，而RLC（交流）电路是电路理论中最基本的物理模型。以下分析一个简单的例子-RLC串联电路（参考图1）。根据基础电磁学理论，RLC串联电路的状态方程式为：d?QndQ.Q=V=Voeiwt+Rdt2+Rdt+c(1)我们可以直接解这个二阶微分方程式，得到电路的暂态和稳态解析解：这里讨论另一个较为简便的方法：利用复数的电路阻抗来进行RLC电路的稳态特性分析。复数形式的欧姆定律可写为：V=IZ，其中，V为（复数）电压，I为（复数）电流，Z为（复数）阻抗。各种元器件所提供的阻抗是：电阻阻抗ZR=R，电感阻抗Zi=jwL，电容阻抗Zc=1/jwC。(2)当阻抗串连时，总阻抗为：Z=Z=1Z(3)当阻抗并联时，总阻抗为：2=21云-对于最简单的RLC串联电路来说，电流与电压的比值可表示为1

1 近物 1：电路综合实验 【实验目的】 1. 掌握信号发生电路的工作原理和调试方法； 2. 利用电阻、电容和电感设计并制作电路滤波器。 3. 了解集成运算放大器主要参数及测试方法； 4. 掌握运算放大器组成基本运算电路的原理和调试方法； 5. 了解 Multisim 电路仿真软件的应用。 【实验内容】 1. 设计、组装并测试中心频率在 100kHz 附近的带通滤波器（band-pass filter）； 2. 测量运算放大器的几个主要特征参数和技术指标； 3. 设计连接一个加减法混合运算电路； 4. 设计并连接一个积分和微分运算电路。 5. 设计一个正弦波发生电路，连线后接入示波器，与设计频率、振幅比较。 6. 设计一个占空比为 1/3 的矩形波电路，并将设计频率与实际电路的测量结果比较(选作)。 7. 设计一个矩形-三角波发生电路，要求其占空比连续可调(选作)。 【课前预习】 1. 电阻、电容和电感的串联和并联理论以及集成运算放大器的相关电路基础知识。 2. 学习使用 Multisim，在实验中，利用 Multisim 辅助设计电路参数。 【实验原理】 电阻（Resistance）、电容（Capacitance）和电感（Inductance）是三种最常用也是最基本的电子元 件，而RLC（交流）电路是电路理论中最基本的物理模型。以下分析一个简单的例子–RLC串联电路 （参考图1）。根据基础电磁学理论，RLC串联电路的状态方程式为： 𝐿 𝑑 ଶ𝑄 𝑑𝑡ଶ + 𝑅 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 𝑄 𝐶 = 𝑉 = 𝑉଴𝑒 ௜ఠ௧ （1） 我们可以直接解这个二阶微分方程式，得到电路的暂态和稳态解析解；这里讨论另一个较为简 便的方法：利用复数的电路阻抗来进行RLC电路的稳态特性分析。复数形式的欧姆定律可写为：V=IZ， 其中，V为（复数）电压，I为（复数）电流，Z为（复数）阻抗。各种元器件所提供的阻抗是：电阻 阻抗𝑍ோ = 𝑅，电感阻抗𝑍௅ = 𝑗𝜔𝐿，电容阻抗𝑍஼ = 1/𝑗𝜔𝐶。 当阻抗串连时，总阻抗为：𝑍 = ∑ 𝑍௜ ௡ ௜ୀଵ （2） 当阻抗并联时，总阻抗为：ଵ ௓ = ∑ ଵ ௓೔ ௡ ௜ୀଵ （3） 对于最简单的RLC串联电路来说，电流与电压的比值可表示为

1111==R+jL+1/jC=R+j(L-1/wC)(4)上式的大小（绝对值）即表示在电压固定的情况下，电流大小和相位会随着电压频率而变化，其变化曲线如图2（左）所示。电流极大值出现时称为共振，其共振频率为o=(1/LC)1/2：（假设4<<w）震荡品质因子Q=WoL/R=Wo/(24)，4w是电流衰减为极大值（1/V2)时的频宽。图2（右）显示电流和电压间相位差随频率变化的特性曲线。VcVcRL0000VRVI图1：RLC串联电路示意图Q5.2Q=5.22.11.5图2：（左）电流随电压频率的变化曲线（右）电流和电压之间相位差的频率响应曲线1.带通滤波器一个由电阻、电容和电感组成的带通滤波器如图3所示。输出电压从跨LC并联电路的两端拉出，请同学自行算出此带通滤波器的传递函数和3dB带宽。1.0RAf308OVoutVoutVV.0Q：Af3aBfo=1/2m(LC)2图3：（左）带通滤波器的电路示意图（右）带通滤波器的频率响应曲线2.集成运算放大器主要特征参数和技术指标2

2 𝐼 𝑉 = 1 𝑍 = 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 + 1/𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1/𝜔𝐶) （4） 上式的大小（绝对值）即表示在电压固定的情况下，电流大小和相位会随着电压频率而变化， 其变化曲线如图2（左）所示。电流极大值出现时称为共振，其共振频率为𝜔଴ = (1/𝐿𝐶)ଵ/ଶ；（假设𝛥𝜔 < < 𝜔଴）震荡品质因子𝑄 = 𝜔଴𝐿/𝑅 = 𝜔଴/(2𝛥𝜔)，𝛥𝜔是电流衰减为极大值（1/√2）时的频宽。图2（右） 显示电流和电压间相位差随频率变化的特性曲线。 图 1：RLC 串联电路示意图 图 2：（左）电流随电压频率的变化曲线（右）电流和电压之间相位差的频率响应曲线 1．带通滤波器 一个由电阻、电容和电感组成的带通滤波器如图3所示。输出电压从跨LC并联电路的两端拉出， 请同学自行算出此带通滤波器的传递函数和3dB带宽。 图 3：（左）带通滤波器的电路示意图（右）带通滤波器的频率响应曲线 2. 集成运算放大器主要特征参数和技术指标

为表征集成运算放大器的性能，需要引入一些特征参数和技术指标，这是我们衡量和选择运放的参考依据。本实验采用的UA741CP型集成运算放大器，为双列直插式塑料封装，其管脚排列如图4。图4(b)中同时给出了调零端的连接方法。Vcc0121NC+VccOUT调零UoUo7415URIN.-VssIN调零Vss6-12V(a)(b)图4：UA741管脚排列图（1）输入失调电压U10理想情况下，当输入信号为零时，集成运放的输出电压也应该为零，但由于集成运放内部的差动输入级参数不完全对称，导致输出电压不为零。为使输出电压回到零，需在输入端加上反向补偿电压，该补偿电压称为输入失调电压Uio。Uio的绝对值越小，说明集成运放内部的输入级差分对管的对称性越好。输入失调电压可以采用图5电路进行测试，一般取Ri=R3、R4=Rf、R2=R2，在测量输入失调电压时应将k1、k2闭合。测出输出端电压Uo，即可得到Uio：RiUro=UoRi +Rf(5)R,10kkR, 1000R,20kU.R' 20kR,1002R.k.10k图5：输入失调电压、输入失调电流的测试电路为了消除输入失调电压带来的误差，有时需要连接调零电路，不同型号的运放调零方式不尽相同。UA741CP可利用图4(b)所示电路调零，在不接外信号时，调节电位器Rw使输出U。为零即可。在一些应用电路中，并没有画出调零电路部分，但不意味着不需要调零。（与此类似，大部分电路中并不标出运放的Vss、Vcc端，这同样不意味着运放不需要接电源。）（2）输入失调电流I1o当输入信号为零时，集成运算放大器两个输入端的输入电流之间的差值称为输入失调电流：(6)lio = |b1-Ib2l其中Ib1和Ib2分别是运放同相输入端和反相输入端的输入电流。输入失调电流的大小反映了运放3

3 为表征集成运算放大器的性能，需要引入一些特征参数和技术指标，这是我们衡量和选择运放 的参考依据。本实验采用的UA741CP型集成运算放大器，为双列直插式塑料封装，其管脚排列如图 4。图4(b)中同时给出了调零端的连接方法。 (a) (b) 图 4：𝑈𝐴741管脚排列图 （１）输入失调电压𝑼𝑰𝑶 理想情况下，当输入信号为零时，集成运放的输出电压也应该为零，但由于集成运放内部的差 动输入级参数不完全对称，导致输出电压不为零。为使输出电压回到零，需在输入端加上反向补偿 电压，该补偿电压称为输入失调电压𝑈ூை。𝑈ூை的绝对值越小，说明集成运放内部的输入级差分对管 的对称性越好。输入失调电压可以采用图5电路进行测试，一般取𝑅ଵ = 𝑅ଷ、𝑅ସ = 𝑅௙、𝑅ଶ = 𝑅ଶ ᇱ，在测 量输入失调电压时应将𝑘ଵ、𝑘ଶ闭合。测出输出端电压𝑈ை，即可得到𝑈ூை： 𝑈ூை = 𝑅ଵ 𝑅ଵ + 𝑅௙ 𝑈ை （5） 图 5：输入失调电压、输入失调电流的测试电路 为了消除输入失调电压带来的误差，有时需要连接调零电路，不同型号的运放调零方式不尽 相同。UA741CP可利用图4(b)所示电路调零，在不接外信号时，调节电位器𝑅ௐ使输出𝑈ை为零即可。 在一些应用电路中，并没有画出调零电路部分，但不意味着不需要调零。（与此类似，大部分电路中 并不标出运放的𝑉ௌௌ、𝑉஼஼端，这同样不意味着运放不需要接电源。） （２）输入失调电流𝑰𝑰𝑶 当输入信号为零时，集成运算放大器两个输入端的输入电流之间的差值称为输入失调电流： 𝐼ூை = |𝐼௕ଵ − 𝐼௕ଶ| （6） 其中𝐼௕ଵ和𝐼௕ଶ分别是运放同相输入端和反相输入端的输入电流。输入失调电流的大小反映了运放 - + R1 R3 R4 Rf 1 k 2 k UO 100 100 10k 10k R2 20k R2  20k

内部差分输入级中两个三极管基极静态电流的失配程度。当集成运算放大器的输入端外接电阻比较大时，输入失调电流及其温漂是造成运放误差的主要原因。一般Ib1和Ib2非常小，直接测量误差较大，因此输入失调电流通常需用间接方法测量。从前面分析可知，在电路图5中，当开关k，和k，闭合时，输出电压Uo1是由输入失调电压引起的，应有Uo1 =UiR(7)和k2打开时，流经R,和R,上的输入电流的差异将影响输入电压Ad-:而当开关KcMR=Ac.T-R,Uoc的大小，考虑到R2=R，放大器的总输入电压应该为(Ib1-Ib2)R2+Uio，此时输出电压为：Uo2 =(1+ R)[(b1 - Ib2)R2 + Urol =(1 + R)(lb1 - Ib2)R2 + Uo1+RR.(8)可得：R1lo = |Uo2 - Uol R, +R,R2(9)（3）开环差模电压放大倍数Aod集成运放的开环差模电压放大倍数是指没有反馈（开环输出）时，输出电压U。与两个差分输入端之间所加差模输入信号Uid之比：UoAod=Uid(10)虽然实际应用中，运放很少在开环状态下工作，但开环增益代表了放大器的放大功能，因此它是运算放大器的一个重要参数。开环差模电压放大倍数通常也用对数表示，UoAod = 20 lg(11)Ud单位为分贝（dB）。Ao通常采用低频（如100赫兹以下）交流信号进行测量。具体的测量方法很多，但考虑到集成运放的开环电压放大倍数很高，而且在开环情况下U。的漂移量太大，难以直接进行测量，故一般采用闭环测量方法，例如采用如图6所示电路。图6中，被测运放一方面通过Rr、R1、R2完成直流闭环，以抑制输出电压漂移；另一方面通过R和R实现交流闭环，外加信号U,经R，、R，分压，使Uia足够小，以保证运放工作在线性区，同相输入端电阻R，应与反相输入端电阻R,相匹配，以减小输入偏置电流影响，电容C为隔直电容。4

4 内部差分输入级中两个三极管基极静态电流的失配程度。当集成运算放大器的输入端外接电阻比较 大时，输入失调电流及其温漂是造成运放误差的主要原因。 一般𝐼௕ଵ和𝐼௕ଶ非常小，直接测量误差较大，因此输入失调电流通常需用间接方法测量。从前面分 析可知，在电路图5中，当开关𝑘ଵ和𝑘ଶ闭合时，输出电压𝑈ைଵ是由输入失调电压引起的，应有 𝑈ைଵ = ൬1 + 𝑅௙ 𝑅ଵ ൰𝑈ூை （7） 而当开关𝐾CMR = ቚ ஺೏ ஺಴ ቚ = ோಷ ோ1 ௎iC ௎0C 和𝑘2打开时，流经𝑅2和𝑅2 ′ 上的输入电流的差异将影响输入电压 的大小，考虑到𝑅2 = 𝑅2 ′ ，放大器的总输入电压应该为(𝐼௕1 − 𝐼௕2 )𝑅2 + 𝑈ூை，此时输出电压为： 𝑈ைଶ = ൬1 + 𝑅௙ 𝑅ଵ ൰ [(𝐼௕ଵ − 𝐼௕ଶ)𝑅ଶ + 𝑈ூை] = ൬1 + 𝑅௙ 𝑅ଵ ൰ (𝐼௕ଵ − 𝐼௕ଶ)𝑅ଶ + 𝑈ைଵ （8） 可得： 𝐼ூை = |𝑈ைଶ − 𝑈ைଵ| 𝑅ଵ 𝑅ଵ + 𝑅௙ 1 𝑅ଶ （9） （3）开环差模电压放大倍数 Aod 集成运放的开环差模电压放大倍数是指没有反馈（开环输出）时，输出电压𝑈ை与两个差分输入 端之间所加差模输入信号𝑈௜ௗ之比： 𝐴௢ௗ = 𝑈ை 𝑈௜ௗ （10） 虽然实际应用中，运放很少在开环状态下工作，但开环增益代表了放大器的放大功能，因此它 是运算放大器的一个重要参数。开环差模电压放大倍数通常也用对数表示， 20 lg O od id U A U  （11） 单位为分贝（dB）。𝐴௢ௗ通常采用低频（如 100 赫兹以下）交流信号进行测量。具体的测量方法很多， 但考虑到集成运放的开环电压放大倍数很高，而且在开环情况下𝑈ை的漂移量太大，难以直接进行测 量，故一般采用闭环测量方法，例如采用如图 6 所示电路。 图6中，被测运放一方面通过𝑅௙、𝑅1、𝑅2完成直流闭环，以抑制输出电压漂移；另一方面通过𝑅௙ 和𝑅௦实现交流闭环，外加信号𝑈௦经𝑅1、𝑅2分压，使𝑈௜ௗ足够小，以保证运放工作在线性区，同相输入 端电阻𝑅3应与反相输入端电阻𝑅2相匹配，以减小输入偏置电流影响，电容𝐶为隔直电容

R, 100kCR, 100kUoR,10μFU,R.1k1002R,5.1k1R,10022U,-图6：开环差模电压放大倍数测试电路可以得到被测集成运算放大器的开环差模电压增益为：UnR) 1G[(1 +Aod =(12)因此，只需要测出U、Uo，即可由（12）式得到开环差模电压增益。但要注意的是：在测量过程中，要求被测运放始终工作在线性放大区，而且没有自激振荡现象。（4）共模抑制比KcMRR, 100kR, 1kUUR, 1k100μFRT100k图7：共模抑制比测试电路集成运放的共模抑制比是其差模电压放大倍数Aod与共模电压放大倍数Aoc之比，即AodKCMR=Aoc(13)共模抑制比也可以用分贝表示Aod(dB)KcMR=20lgAoc(14)共模抑制比综合反映了运放对差模信号的放大能力和对共模信号的抑制能力，它主要用来衡量运放抑制温漂的能力，KCMR越大，表明抑制温漂的能力越强。共模抑制比的测试电路如图7所示。在实验中，选择信号源U，输出低频（100赫兹以下）交流信号，同时测出共模输入信号Uic以及运放的输出U。c，就可得到共模抑制比：Aod/_Rf Uic(15)KcMR=R,UAa3.理想运算放大器组成的基本运算电路当集成运算放大器的输出端和输入端接入不同的线性或非线性元器件，组成输入和负反馈电路5

5 图 6：开环差模电压放大倍数测试电路 可以得到被测集成运算放大器的开环差模电压增益为： 𝐴௢ௗ = ฬ 𝑈௢ 𝑈௜ௗ ฬ = ൬1 + 𝑅ଵ 𝑅ଶ ൰ ฬ 𝑈௢ 𝑈௜ ฬ （12） 因此，只需要测出𝑈௜、𝑈ை，即可由（12）式得到开环差模电压增益。但要注意的是：在测量过 程中，要求被测运放始终工作在线性放大区，而且没有自激振荡现象。 （4）共模抑制比 KCMR 图 7：共模抑制比测试电路 集成运放的共模抑制比是其差模电压放大倍数𝐴௢ௗ与共模电压放大倍数𝐴௢௖之比，即 𝐾஼ெோ = 𝐴௢ௗ 𝐴௢௖ （13） 共模抑制比也可以用分贝表示 𝐾஼ெோ = 20 𝑙𝑔 𝐴௢ௗ 𝐴௢௖ (𝑑𝐵) （14） 共模抑制比综合反映了运放对差模信号的放大能力和对共模信号的抑制能力，它主要用来衡量 运放抑制温漂的能力，KCMR越大，表明抑制温漂的能力越强。 共模抑制比的测试电路如图7所示。在实验中，选择信号源𝑈௦输出低频（100赫兹以下）交流信 号，同时测出共模输入信号𝑈௜௖以及运放的输出𝑈௢௖，就可得到共模抑制比： 𝐾஼ெோ = ฬ 𝐴௢ௗ 𝐴௢௖ ฬ = 𝑅௙ 𝑅ଵ 𝑈௜௖ 𝑈௢௖ （15） 3.理想运算放大器组成的基本运算电路 当集成运算放大器的输出端和输入端接入不同的线性或非线性元器件，组成输入和负反馈电路 Rf Rs C Us R1 R2   R3 UO 1k 10F 100k 100k 100 100 Uid RL 5.1k Ui Rs Us R1 R2 C Uoc Rf Uic R3 1k 100F 1k 1k 100k 100k

时，可以实现模拟信号的各种运算。同时为了便于分析，常常将集成运放的各项参数指标理想化将其看成一个理想的运算放大器，在理想情况下，运放的开环差模增益Aoα可视为无穷大，共模放大倍数为零，差模输入电阻为无穷大，输出电阻为零，输出可等效为恒压源。（1）反相加法电路CR,RDRCUUoIRRav图8：反相加法电路图9：差动放大器反相加法器电路如图8，其中，R3=R//R2//Rr，根据“虚断，i1+i2=in，可得：(RLUn+)RLUi2Uo =(R)R2(16)（2）差动放大器电路（减法器）图9为减法器电路，由i=if、i2=i3、U+=U_容易推得R3RfRf)Ui2LUiu+U。=(1 +R1R2 + R3R1(17)特别，当Ri=R2、R3=R,时RfU。=(Ui1-Ui2)R1(18)（3）积分运算电路TR图10：积分运算电路6

6 时，可以实现模拟信号的各种运算。同时为了便于分析，常常将集成运放的各项参数指标理想化， 将其看成一个理想的运算放大器，在理想情况下，运放的开环差模增益𝐴ைௗ可视为无穷大，共模放大 倍数为零，差模输入电阻为无穷大，输出电阻为零，输出可等效为恒压源。 （1）反相加法电路 图 8：反相加法电路 图 9：差动放大器 反相加法器电路如图8，其中, 𝑅ଷ = 𝑅ଵ//𝑅ଶ//𝑅௙，根据“虚断”，𝑖ଵ + 𝑖ଶ = 𝑖௙，可得： 𝑈ை = − ൬ 𝑅௙ 𝑅ଵ 𝑈௜ଵ + 𝑅௙ 𝑅ଶ 𝑈௜ଶ൰ （16） （２）差动放大器电路(减法器) 图 9 为减法器电路，由𝑖ଵ = 𝑖௙、𝑖ଶ = 𝑖ଷ、𝑈ା = 𝑈ି容易推得 𝑈௢ = − 𝑅௙ 𝑅ଵ 𝑈௜ଵ + 𝑅ଷ 𝑅ଶ + 𝑅ଷ （1 + 𝑅௙ 𝑅ଵ ）𝑈௜ଶ （17） 特别，当𝑅ଵ = 𝑅ଶ、𝑅ଷ = 𝑅௙时 𝑈௢ = − 𝑅௙ 𝑅ଵ （𝑈௜ଵ − 𝑈௜ଶ） （18） （3）积分运算电路 图 10：积分运算电路 R f R1 U i 2 R3 U i1 R2 U O 1 i 2 i f i R1 R 2 1 i 2 i f i R3 Ui1 Ui2 UO Rf 3 i U U   A R C R  R i C i U i U O   A   U  U  R f

图10为积分运算电路，一般选取R'=R。根据虚短与虚断的概念，UiiR=ic=R(19)电容器两端的电压为：U;dtU, = U_ - Uo =icdt=RCJC(20)注意到U_=0，因此，1U,dt =U;dtU。=-RCJTJ(21)（21）式说明输出电压与输入电压是积分关系，其中T=RC也称积分时间常数，t应选取适当t太大会导致积分输出电压过小，t太小，积分器的输出会超过运放的最大输出电压，导致输出失真。利用积分运算，可以将正弦信号变换为余弦信号，也可以将方波信号变换为三角波信号。另外需要注意的是，积分器电路的电压增益是与输入信号频率の（=2元f)有关的：1Aus =-iwRC(22)当输入低频或直流信号时，IAus|→co，电路会因增益过大而出现截止现象，使输出电压产生失真，通常实际积分电路要在C的两端并联一个电阻Rf，称为漂移泄放电阻。此时，电路的增益为：RfAus=-R+iwRR,C(23)当w→0时,Aus=-，适当选取R将可以避免增益过大导致的截止现象。但另一方面R,对电容的分流作用也会产生新的误差，因此，一般还要要求，のRRrC>>R，即R>>(wC)7

7 图 10 为积分运算电路，一般选取𝑅 ᇱ = 𝑅。根据虚短与虚断的概念， 𝑖ோ = 𝑖஼ = 𝑈௜ 𝑅 （19） 电容器两端的电压为： 𝑈௖ = 𝑈ି − 𝑈ை = 1 𝐶 න 𝑖௖𝑑𝑡 = 1 𝑅𝐶 න 𝑈௜𝑑𝑡 （20） 注意到𝑈ି = 0，因此， 𝑈ை = − 1 𝑅𝐶 න 𝑈௜𝑑𝑡 = − 1 𝜏 න 𝑈௜𝑑𝑡 （21） （21）式说明输出电压与输入电压是积分关系，其中𝜏 = 𝑅𝐶也称积分时间常数，𝜏应选取适当， 𝜏太大会导致积分输出电压过小，𝜏太小，积分器的输出会超过运放的最大输出电压，导致输出失真。 利用积分运算，可以将正弦信号变换为余弦信号，也可以将方波信号变换为三角波信号。 另外需要注意的是，积分器电路的电压增益是与输入信号频率𝜔 (𝜔 = 2𝜋𝑓)有关的： 𝐴௨௦ = − 1 𝑖𝜔𝑅𝐶 （22） 当输入低频或直流信号时，|𝐴௨௦| → ∞，电路会因增益过大而出现截止现象，使输出电压产生失 真，通常实际积分电路要在 C 的两端并联一个电阻𝑅௙，称为漂移泄放电阻。此时，电路的增益为： 𝐴௨௦ = − 𝑅௙ 𝑅 + 𝑖𝜔𝑅𝑅௙𝐶 （23） 当𝜔 → 0时,𝐴௨௦ = − ோ೑ ோ ，适当选取𝑅௙将可以避免增益过大导致的截止现象。但另一方面𝑅௙对电容 的分流作用也会产生新的误差，因此，一般还要要求，𝜔𝑅𝑅௙𝐶 >> 𝑅，即𝑅௙ >> ଵ (ఠ஼)

（4）微分运算电路RCR工图11：微分运算电路图12：实际微分运算电路图11电路中，放大器的两个输入端为虚地点，U+=U_=0，电容器两端的电压等于Ui，有dUiiR=ic=Cdt(24)电路的输出电压dU;Uo=-iRRf=-R,Cdt(25)和输入电压对时间微分的相反数成正比，因此该电路称为反向微分电路。反向微分电路的输出电压与输入电压的变化率成正比，U。对U，的变化非常敏感，抗干扰能力差，另外，RC电路对反馈有滞后作用，它与集成放大器内部的滞后环节叠加很容易出现自激造成电路不稳定，因此，实用微分电路中在输入端接入一个电阻R与微分电容C串联，在高频区，R的存在限制了闭环增益的过度增大，可以起到抑制高频噪声的作用。R的取值不易太大，否则会增大微分运算误差，一般在一百欧到一千欧之间。另外，在反馈回路中接入一个小电容C与微分电阻R并联（图12），可以对相位进行补偿，抑制自激振荡，C同样不能过大，要求Rr<<即C<<(wc)一般C取值在几百皮法到几百微法之间。(wR)3.波形发生器（1）正弦波发生器选用RC串并联电路作为反馈与选频网络（图13a），在应用中，RC串并联网络的输入端连接放大电路的输出端，输出端为放大电路提供反馈电压。输出端与输入端电压比值（反馈系数）为：1Ffo3+i(26)其中，fo图13b为RC串并联网络的幅频、相频特性，对于不同的频率f，F的模和相角都(2元RC)8

8 （4）微分运算电路 图 11：微分运算电路 图 12：实际微分运算电路 图 11 电路中，放大器的两个输入端为虚地点， 𝑈ା = 𝑈ି = 0，电容器两端的电压等于𝑈௜，有 𝑖ோ = 𝑖஼ = 𝐶 𝑑𝑈௜ 𝑑𝑡 （24） 电路的输出电压 𝑈ை = −𝑖ோ𝑅௙ = −𝑅௙𝐶 𝑑𝑈௜ 𝑑𝑡 （25） 和输入电压对时间微分的相反数成正比，因此该电路称为反向微分电路。 反向微分电路的输出电压与输入电压的变化率成正比，𝑈ை对𝑈௜的变化非常敏感，抗干扰能力 差，另外，𝑅𝐶电路对反馈有滞后作用，它与集成放大器内部的滞后环节叠加很容易出现自激造成 电路不稳定，因此，实用微分电路中在输入端接入一个电阻𝑅与微分电容𝐶串联，在高频区，𝑅的存 在限制了闭环增益的过度增大，可以起到抑制高频噪声的作用。𝑅的取值不易太大，否则会增大微 分运算误差，一般在一百欧到一千欧之间。另外，在反馈回路中接入一个小电容𝐶௙与微分电阻𝑅௙并 联（图 12），可以对相位进行补偿，抑制自激振荡，𝐶௙同样不能过大，要求𝑅௙ << ଵ (ఠ஼೑)，即𝐶௙ << ଵ (ఠோ೑)，一般𝐶௙取值在几百皮法到几百微法之间。 ３. 波形发生器 （1）正弦波发生器 选用𝑅𝐶串并联电路作为反馈与选频网络（图 13a），在应用中，𝑅𝐶串并联网络的输入端连接 放大电路的输出端，输出端为放大电路提供反馈电压。输出端与输入端电压比值（反馈系数）为： 𝐹̇ = 1 3 + 𝑖 ൬ 𝑓 𝑓଴ − 𝑓଴ 𝑓 ൰ （26） 其中，𝑓଴ = ଵ (ଶగோ஼)。图 13b 为 RC 串并联网络的幅频、相频特性，对于不同的频率𝑓，𝐹̇的模和相角都 Rf C A   Ui UO R R i C i U U R R f C f C R A  