转动惯量与杨氏模量的测量本实验包括两部分：第一部分为转动惯量的测定，第二部分为拉伸法测金属杨氏模量。第一部分为必做部分，第二部分为选做内容。选做内容可以不写预习报告；如完成了选做实验，需要提交数据处理与分析，写在必作内容后面。预习报告不超过实验报告两小面，篇幅不宜过多。第一部分转动惯量的测定【实验目的】1.理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义。2.掌握利用扭摆测量刚体转动惯量的原理和方法3.验证转动惯量平行轴定理。【预备问题】1.刚体的转动惯量与哪些因素有关？2.实验测量刚体的转动惯量有哪些方法？3.扭摆法是利用了什么关系来测定刚体转动惯量的？4.何为平行轴定理？【实验背景】转动惯量是惠更斯研究摆的重心升降问题时引入，后被欧拉命名的一个物理量。它是刚体转动时惯性的量度，与刚体的质量、转轴的位置及质量分布有关。转动惯量的测量在科研、工业和军事领域都具有重要意义。形状简单、质量分布均匀的刚体绕特定转轴的转动惯量可以通过它的质量以及几何尺寸直接计算出来，形状复杂、质量分布不均匀的刚体的转动惯量通常很难直接计算，需要用实验方法测定。因此，学会用实验方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。【实验原理】一、扭摆法当研究的问题涉及到物体的转动时，必须考虑物体的大小和形状，不能再将物体视为质点
转动惯量与杨氏模量的测量 本实验包括两部分：第一部分为转动惯量的测定，第二部分为拉伸法测金属杨氏模量。第一 部分为必做部分，第二部分为选做内容。 选做内容可以不写预习报告；如完成了选做实验，需要提交数据处理与分析，写在必作内容 后面。 预习报告不超过实验报告两小面，篇幅不宜过多。 第一部分 转动惯量的测定 【实验目的】 1. 理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义。 2. 掌握利用扭摆测量刚体转动惯量的原理和方法。 3. 验证转动惯量平行轴定理。 【预备问题】 1. 刚体的转动惯量与哪些因素有关？ 2. 实验测量刚体的转动惯量有哪些方法？ 3. 扭摆法是利用了什么关系来测定刚体转动惯量的？ 4. 何为平行轴定理？ 【实验背景】 转动惯量是惠更斯研究摆的重心升降问题时引入，后被欧拉命名的一个物理量。它是刚体转 动时惯性的量度，与刚体的质量、转轴的位置及质量分布有关。转动惯量的测量在科研、工业和 军事领域都具有重要意义。形状简单、质量分布均匀的刚体绕特定转轴的转动惯量可以通过它的 质量以及几何尺寸直接计算出来，形状复杂、质量分布不均匀的刚体的转动惯量通常很难直接计 算，需要用实验方法测定。因此，学会用实验方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。 【实验原理】 一、扭摆法 当研究的问题涉及到物体的转动时，必须考虑物体的大小和形状，不能再将物体视为质点
但如果物体的大小和形状的改变可以忽略，实际物体就可以抽象为具有不变的大小和形状的刚体。定轴转动是刚体的一种较简单的运动，描述定轴转动基本规律的动力学方程为：M=Iβ(1)其中，M是对定轴的力矩，β是角加速度，I就是刚体对定轴的转动惯量。公式（1）也称为转动定律。图1扭摆实验测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过测定与转动惯量有关系的某个描述该运动特征的物理量来间接地得到刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，如扭摆法、旋转法、三线摆法等。本实验采用的扭摆法就是利用刚体的转动惯量和扭摆摆动周期的关系来测定刚体的转动惯量。扭摆装置如图1所示。待测刚体可以固定在扭摆的垂轴上，垂轴装有用以产生恢复力矩的薄片状螺旋弹簧，使刚体在水平面内转过一个角度，在弹簧的恢复力矩作用下，刚体就开始绕垂轴作往返扭转摆动。根据胡克定律，在一定的角位移范围（这个范围因弹簧而异，本仪器要求小于90°）内，可以认为弹簧受扭转后产生的恢复力矩M与角位移0成正比：M=-K0(2)式中K为弹簧的扭转常数。由转动定律(1)式有d'eMB=(3)dt?I令2=K/l，由式(3)和式(2)可得到刚体扭摆运动的运动微分方程：d0d?=-00(4)由(4)式可知扭摆运动具有简谐振动的特性，简谐振动的周期为1T=2元=2元(5)VK0测出摆动周期T，若K已知，由式（5）即可计算I弹簧的扭转常数K可以用下述方法测量：设金属载物圆盘绕垂轴的转动惯量为Io，测出其摆动周期为工0。选一个几何形状规则的物体，通过质量和几何尺寸计算出其对质心轴的转动惯量理论值1，并将该物体置于圆盘中，使其质心轴与垂轴重合，测出复合体的摆动周期T，由式(5)知T=4元?(6)1KT2_ 4元2(7)(I。 + I)K由式和(6)式(7)可得到2
2 但如果物体的大小和形状的改变可以忽略，实际物体就可以抽象为具 有不变的大小和形状的刚体。定轴转动是刚体的一种较简单的运动， 描述定轴转动基本规律的动力学方程为： M I = (1) 其中，M 是对定轴的力矩，β 是角加速度，I 就是刚体对定轴的转动惯 量。公式(1)也称为转动定律。 实验测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通 过测定与转动惯量有关系的某个描述该运动特征的物理量来间接地得到刚体的转动惯量。测定转 动惯量的实验方法较多，如扭摆法、旋转法、三线摆法等。本实验采用的扭摆法就是利用刚体的 转动惯量和扭摆摆动周期的关系来测定刚体的转动惯量。 扭摆装置如图 1 所示。待测刚体可以固定在扭摆的垂轴上，垂轴装有用以产生恢复力矩的薄 片状螺旋弹簧，使刚体在水平面内转过一个角度 θ，在弹簧的恢复力矩作用下，刚体就开始绕垂 轴作往返扭转摆动。根据胡克定律，在一定的角位移范围（这个范围因弹簧而异，本仪器要求小 于 90°）内，可以认为弹簧受扭转后产生的恢复力矩 M 与角位移 θ 成正比： M K = − (2) 式中 K 为弹簧的扭转常数。由转动定律(1)式有 2 2 d M dt I = = (3) 令 ω2=K/I，由式(3)和式(2)可得到刚体扭摆运动的运动微分方程： 2 2 2 d dt = − (4) 由(4)式可知扭摆运动具有简谐振动的特性，简谐振动的周期为 2 2 I T K = = (5) 测出摆动周期 T，若 K 已知，由式(5)即可计算 I。 弹簧的扭转常数 K 可以用下述方法测量：设金属载物圆盘绕垂轴的转动惯量为 I0，测出其摆 动周期为 T0。选一个几何形状规则的物体，通过质量和几何尺寸计算出其对质心轴的转动惯量理 论值 I1，并将该物体置于圆盘中，使其质心轴与垂轴重合，测出复合体的摆动周期 T，由式(5)知 2 2 0 0 4 T I K = (6) 2 2 0 1 4 T I I ( ) K = + (7) 由式和(6)式(7)可得到 图 1 扭摆
1.K=4元2,(8)T?- T2实验中几何形状规则的物体可选用质量为mI、外径为Di的圆柱体，其对质心轴的转动惯量理论值为1mD?I,=(9)8二、平行轴定理理论分析证明，若质量为m的刚体对通过质心的转轴的转动惯量为Ic，则刚体对平行于该轴并与其相距为d的平行轴的转动惯量la为Id =1,+md2(10)这就是转动惯量的平行轴定理。这样若刚体对某一轴的转动惯量已知，我们就可以方便地由式(10)求得绕另一轴的转动惯量。本实验通过测量一些规则物体的转动惯量来理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义，了解和掌握扭摆法测量刚体转动惯量的原理和方法。但需要说明的是，本实验装置是可以测量非规则物体的转动惯量的，但是为了便于与理论计算值相比较，我们选用了规则物体。【实验仪器】图2所示为实验仪器装置，包括扭摆、数字式计时器、电子天平、游标卡尺、钢卷尺、待测刚体等，下面是对于口这些组件的一些说明。81.扭摆：实验中扭摆机座应保持水平，扭摆机架上装有检测水平度的水准泡，机座可以用底脚螺栓进行水平调整。图2实验仪器装置图2.数字式计时器：包括主机和光电探头两部分，光电探头COC-JS通用计时计数据成都华芯由红外线发射管和红外线接收管组成，用以检测挡光杆是否挡光并根据挡光次数自动判断是否已达到所设定的周期数。主机面板如图3，若开机时，切换开关红色按钮位于“单次”状态，测量时挡光杆每经过光电门都记录一次，位于“双次”状态，挡光杆经过两次光电门记录一次，相当于图3数字计时器主机面板每次记录一个摆动周期。需要注意的是，只有开机前的状态才起作用，开机后再按红色按钮并会不改变计数状态。测量时，按下开始/暂停键，计数器会自动开始计时。3.MP12001电子天平：最大秤量值1200g，分度值0.1g。使用前应校准，并预热30分钟。将得测物品轻轻放置在秤盘上，显示值即为该物品的质量。3
3 2 1 2 2 1 0 4 I K T T = − (8) 实验中几何形状规则的物体可选用质量为 m1、外径为 D1 的圆柱体，其对质心轴的转动惯量 理论值为 2 1 1 1 1 8 Ι = m D (9) 二、平行轴定理 理论分析证明，若质量为 m 的刚体对通过质心的转轴的转动惯量为 Ic，则刚体对平行于该轴 并与其相距为 d 的平行轴的转动惯量 Id 为 2 d c Ι = + Ι md (10) 这就是转动惯量的平行轴定理。这样若刚体对某一轴的转动惯量已知，我们就可以方便地由 式(10)求得绕另一轴的转动惯量。 本实验通过测量一些规则物体的转动惯量来理解转动惯量概念和平行轴定理的物理意义，了 解和掌握扭摆法测量刚体转动惯量的原理和方法。但需要说明的是，本实验装置是可以测量非规 则物体的转动惯量的，但是为了便于与理论计算值相比较，我们选用了规则物体。 【实验仪器】 图 2 所示为实验仪器装置，包括扭摆、数字式计时器、 电子天平、游标卡尺、钢卷尺、待测刚体等，下面是对于 这些组件的一些说明。 1. 扭摆：实验中扭摆机座应保持水平，扭摆机架上装有检 测水平度的水准泡，机座可以用底脚螺栓进行水平调整。 2. 数字式计时器：包括主机和光电探头两部分，光电探头 由红外线发射管和红外线接收管组成，用以检测挡光杆是 否挡光并根据挡光次数自动判断是否已达到所设定的周期 数。主机面板如图 3，若开机时，切换开关红色按钮位于“单 次”状态，测量时挡光杆每经过光电门都记录一次，位于 “双次”状态，挡光杆经过两次光电门记录一次，相当于 每次记录一个摆动周期。需要注意的是，只有开机前的状 态才起作用，开机后再按红色按钮并会不改变计数状态。测量时，按下开始/暂停键，计数器会自 动开始计时。 3. MP12001 电子天平：最大秤量值 1200g，分度值 0.lg。使用前应校准，并预热 30 分钟。将待 测物品轻轻放置在秤盘上，显示值即为该物品的质量。 图 2 实验仪器装置图 图 3 数字计时器主机面板
4.待测刚体：塑料圆柱体、空心金属圆筒、实心球体、金属细长杆及两个可以在杆上自由移动的金属圆柱形滑块。【实验内容】1.测量各待测物体的有关几何尺寸及质量2.测量扭转常数K值3.测量各个待测物转动惯量实验值4.验证平行轴定理【实验步骤与要求】1.测量各待测物体的有关儿何尺寸及质量各测量三次取平均值。列表记录数据，按照下列公式计算各物体转动惯量的理论值。转轴为圆柱体儿何轴时，圆柱体转动惯量理论计算公式即式（9）。转轴为圆筒几何轴时，圆筒的转动惯量：1lm=gm(Dx+Dg)(11)8其中D外、D内分别为圆筒的外、内径。转轴为球体直径时，球体的转动惯量：1mD(12)I球=10其中，D为球体的直径。转轴通过细杆中心并与杆垂直时，细杆的转动惯量：1ml3(13)I种=12其中，1为细杆长度。转轴（OO'）过质心并垂直几何轴时。金属圆柱形滑块的转动惯量（图4)：图4金属圆柱形滑块11m(D+D)mh?(14)I滑块“16122.扭转常数K值的确定利用机座上的水平仪调整机座水平，在扭摆垂轴上装上金属载物盘并锁紧，金属载物盘装有一挡光杆，通过数字式计时器的光电探头挡光而测量其摆动周期。调整光电探头的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。切换开关红色按钮位于“双次”状态（弹起状态），周期数设定为10次，测量摆动周期To，重复4
4 4. 待测刚体：塑料圆柱体、空心金属圆筒、实心球体、金属细长杆及两个可以在杆上自由移动的 金属圆柱形滑块。 【实验内容】 1．测量各待测物体的有关几何尺寸及质量 2．测量扭转常数 K 值 3．测量各个待测物转动惯量实验值 4. 验证平行轴定理 【实验步骤与要求】 1．测量各待测物体的有关几何尺寸及质量 各测量三次取平均值。列表记录数据，按照下列公式计算各物体转动惯量的理论值。转轴为 圆柱体几何轴时，圆柱体转动惯量理论计算公式即式(9)。 转轴为圆筒几何轴时，圆筒的转动惯量： 1 2 2 ( 8 I m D D 筒 = + 外 内） (11) 其中 D 外、D 内 分别为圆筒的外、内径。 转轴为球体直径时，球体的转动惯量： 1 2 10 Ι球 = mD (12) 其中，D 为球体的直径。 转轴通过细杆中心并与杆垂直时，细杆的转动惯量 ： 1 2 12 Ι杆 = ml (13) 其中，l 为细杆长度。 转轴( OO )过质心并垂直几何轴时。金属圆柱形滑块的转动惯 量（图 4）： 2 2 2 1 2 1 1 16 12 Ι = + m D D mh 滑块 （ ）+ (14) 2．扭转常数 K 值的确定 利用机座上的水平仪调整机座水平，在扭摆垂轴上装上金属载物盘并锁紧，金属载物盘装有 一挡光杆，通过数字式计时器的光电探头挡光而测量其摆动周期。调整光电探头的位置，使其处 于挡光杆的平衡位置处，挡光杆应位于空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触。 切换开关红色按钮位于“双次”状态（弹起状态），周期数设定为 10 次，测量摆动周期 T0，重复 图 4 金属圆柱形滑块
三组取平均值。再将塑料圆柱体放在载物盘上，使其几何轴线与垂轴重合，测量复合体的摆动周期Ti，因为弹簧扭转常数K与摆动角度略有关系，但在40°～90°范围基本相同，所以测量时摆角不宜过大或过小。由式(8)和式(9)确定K.表1各待测物体的有关几何尺寸及质量圆柱圆筒滑块1滑块2细杆球直径外径内径外径内径高外径内径高长度直径几何尺寸(m)质量(g)3.测量各个待测物转动惯量实验值测量球体和细杆时不需要载物盘，分别用支座和夹具将其固定到垂轴上，注意金属细杆的中心必须与垂轴重合。确定其转动惯量时应考虑支座和夹具的转动惯量，不过二者数值都较小。球支座转动惯量实验参考值lol=1.89x10-5kg.mz细杆夹具转动惯量实验参考值1o2=1.88x10-5kg.m24.验证平行轴定理转轴固定在细杆中心，并与细杆垂直，两金属圆柱形滑块对称地固定在细杆两边凹槽内（细杆两相邻凹槽之间的间距为5.0cm）。测量两滑块质心距转轴距离d分别为5.0、10.0、15.0、20.0、25.0（cm）时，两金属圆柱形滑块对中心轴的转动惯量实验值，并与平行轴定理给出的转动惯量的理论值进行比较，从而验证平行轴定理。表2各待测物转动惯量与验证平行轴定理测量值滑块细杆球载物盘圆柱圆筒5cm10cm15cm20cm25cm周期5【数据处理】1.列表给出各物体几何尺寸和质量的测量结果，计算转动惯量理论值；5
5 三组取平均值。再将塑料圆柱体放在载物盘上，使其几何轴线与垂轴重合，测量复合体的摆动周 期 T1，因为弹簧扭转常数 K 与摆动角度略有关系，但在 40°～ 90°范围基本相同，所以测量时摆 角不宜过大或过小。由式(8)和式(9)确定 K． 表 1 各待测物体的有关几何尺寸及质量 圆柱 圆筒 滑块 1 滑块 2 细杆 球 几 何 尺 寸(mm) 直径 外径 内径 外径 内径 高 外径 内径 高 长度 直径 质 量(g) 3．测量各个待测物转动惯量实验值 测量球体和细杆时不需要载物盘，分别用支座和夹具将其固定到垂轴上，注意金属细杆的中 心必须与垂轴重合。确定其转动惯量时应考虑支座和夹具的转动愦量，不过二者数值都较小。 球支座转动惯量实验参考值 I01=1.89×10-5 kg.m2 细杆夹具转动惯量实验参考值 I02 =1.88×10-5 kg.m2 4.验证平行轴定理 转轴固定在细杆中心，并与细杆垂直，两金属圆柱形滑块对称地固定在细杆两边凹槽内（细 杆两相邻凹槽之间的间距为 5.O cm）。测量两滑块质心距转轴距离 d 分别为 5.O、10.O、15.0、20.O、 25.O(cm)时，两金属圆柱形滑块对中心轴的转动惯量实验值，并与平行轴定理给出的转动惯量的 理论值进行比较，从而验证平行轴定理。 表 2 各待测物转动惯量与验证平行轴定理测量值 圆柱 圆筒 滑块 细杆 球 载物盘 5cm 10cm 15cm 20cm 25cm 周 期 （s ） 【数据处理】 1. 列表给出各物体几何尺寸和质量的测量结果，计算转动惯量理论值；
K2.测量扭摆弹簧的扭转常数K及a=4元33.参考表3给出各物体转动惯量实验值，并与相应理论值比较给出百分误差表3待测刚体转动惯量实验值±7/l#×100%物体名称平均周期T/s1实验值/(kg.m)lo=aF2载物盘I,=aTI圆柱I,=a?-l.圆筒l,=aT2- lo球体1,=aT2-1o2细杆4.参考表4给出平行轴定理的验证结果。表4验证平行轴定理d/cm5.0010.0015.0020.0025.00平均周期T/s实验值1=a2-14-1o2/(kg·m)理论值/m=2md+2/滑块/(kg·m）m-//m×100%【注意事项】1.取、放和安装待测物体要小心，不得摔碰。2.请勿测量圆球的质量（超过电子天平量程）。3.测量时各部分的锁紧螺栓都应拧紧，确保刚体摆动平稳。4.随时调整底脚螺栓，保持扭摆机座应水平。5.测量时摆角应在40°~90°范围，不宜过大或过小。，【思考题】1.试分析扭摆法测量刚体的转动惯量的主要系统误差？2.利用扭摆装置验证平行轴定理时，为什么用两个相同的金属圆柱形滑块对称放置？试分析。3.利用实验室现有装置，你能否设计出其他方法来验证平行轴定理？4.若要提高测量精度，应从哪些方面改进？6
6 2. 测量扭摆弹簧的扭转常数 K 及 2 4 K a = ； 3. 参考表 3 给出各物体转动惯量实验值，并与相应理论值比较给出百分误差； 表 3 待测刚体转动惯量实验值 物体名称 平均周期 T s I 实验值/(kg.m 2 ) I I I 理 − 理 100% 载物盘 2 0 I aT = 圆柱 2 1 0 I aT I = − 圆筒 2 2 0 I aT I = − 球体 2 3 01 I aT I = − 细杆 2 4 02 I aT I = − 4. 参考表 4 给出平行轴定理的验证结果。 表 4 验证平行轴定理 d/cm 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 平均周期 T s 实验值 2 2 4 02 I aT I I = − − / (kg m ) 理论值 2 2 I md I 理 = + 2 2 / (kg m ) 滑块 I I I 理 - 100% 理 【注意事项】 1. 取、放和安装待测物体要小心，不得摔碰。 2. 请勿测量圆球的质量（超过电子天平量程）。 3. 测量时各部分的锁紧螺栓都应拧紧，确保刚体摆动平稳。 4. 随时调整底脚螺栓，保持扭摆机座应水平。 5. 测量时摆角应在 40°~ 90°范围，不宜过大或过小。， 【思考题】 1. 试分析扭摆法测量刚体的转动惯量的主要系统误差? 2. 利用扭摆装置验证平行轴定理时，为什么用两个相同的金属圆柱形滑块对称放置？试分析。 3. 利用实验室现有装置，你能否设计出其他方法来验证平行轴定理？ 4. 若要提高测量精度，应从哪些方面改进？
【拓展思考】1.如何设计实验测量球支座与细杆夹具的转动惯量？2.利用实验室现有装置，你能否设计出其他方法来验证平行轴定理？【重点难点】1.关于计时的起点：是先按“开始/暂停”键，再释放扭摆，还是先释放扭摆再按“开始/暂停”键？这是决定测量精度的关键，同学们仔细思考一下。2．关于扭摆摆动的角度：应保证扭摆在弹簧的线性区域工作，通过对本实验室仪器的实际测定我们所用的设备的线性区在40°－90°，考虑阻尼作用，初始摆角在90°附近最为理想。【常见易错】1.固定螺丝没柠紧指导建议：这是这个实验最容易产生误差的地方，一方面在安装被测物体时要注意拧紧螺丝。另外，在摆动时也要注意观察扭摆的摆动状态是否平稳，弹簧是否有抖动的现象。2.挡光位置不合适指导建议：选择合适的挡光位置，可以减小周期的测量误差。实验时应调整光电探头的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆高度应位于光电门中央能遮住发射、接收红外线的小孔，又不与探头接触。【参考文献】[1]熊永红等主编，《大学物理实验》，科学出版社，2007年[2]吴泳华，霍剑青，熊永红．大学物理实验，北京：高等教育出版社，2004[3]刘平，陈秉岩，大学物理实验．南京：南京大学出版社，20127
7 【拓展思考】 1. 如何设计实验测量球支座与细杆夹具的转动惯量？ 2. 利用实验室现有装置，你能否设计出其他方法来验证平行轴定理？ 【重点难点】 1. 关于计时的起点：是先按“开始/暂停”键，再释放扭摆，还是先释放扭摆再按“开始/暂停” 键？这是决定测量精度的关键，同学们仔细思考一下。 2. 关于扭摆摆动的角度：应保证扭摆在弹簧的线性区域工作，通过对本实验室仪器的实际测定， 我们所用的设备的线性区在 40°- 90°，考虑阻尼作用，初始摆角在 90°附近最为理想。 【常见易错】 1. 固定螺丝没拧紧 指导建议：这是这个实验最容易产生误差的地方，一方面在安装被测物体时要注意拧紧螺丝。另 外，在摆动时也要注意观察扭摆的摆动状态是否平稳，弹簧是否有抖动的现象。 2. 挡光位置不合适 指导建议：选择合适的挡光位置，可以减小周期的测量误差。实验时应调整光电探头的位置，使 其处于挡光杆的平衡位置处，挡光杆高度应位于光电门中央能遮住发射、接收红外线的小孔，又 不与探头接触。 【参考文献】 [1] 熊永红等主编，《大学物理实验》，科学出版社，2007 年 [2] 吴泳华, 霍剑青, 熊永红. 大学物理实验. 北京：高等教育出版社，2004 [3] 刘平，陈秉岩，大学物理实验. 南京：南京大学出版社，2012
第二部分金属杨氏模量的测量一拉伸法（选做）【实验目的】1.学会用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。2.掌握光杠杆法测量微小伸长量的原理。3.学会用逐差法或最小二乘法处理实验数据。4.学会不确定度的计算方法，结果的正确表达。【预备问题】1.杨氏模量的定义是什么？它反映了固体材料的什么性质？2.光杠杆法利用了什么原理？有什么优点？【实验背景】力作用于物体所引起的效果之一是使受力物体发生形变，物体的形变可分为弹性形变和塑性形变。固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转、弯曲，对于纵向弹性形变可以用杨氏模量来描述，这个物理量最初是由英国物理学家托马斯·杨引入的，因此称杨氏模量。杨氏模量一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。它的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，材料越不容易发生形变。杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，在工程设计以及科研中常常需要选用合适的方案对其进行测量。测定杨氏模量的方法很多，如拉伸法、弯曲法和振动法（前两种方法属静态法，后一种属动态法）等。【实验原理】一、杨氏模量的定义设金属丝的原长为L，横截面积为S，沿长度方向施力F后，其长度改变4L，则金属丝单位面积上受到的垂直作用力G=FIS称为正应力，金属丝的相对伸长量ε=4L/L称为线应变。实验结果指出，在弹性范围内，物体的正应力与线应变成正比，即：0=E·8(1)或F/S=E·AL/L(2)公式（2）也称胡克定律，比例系数E即为金属丝的杨氏模量（单位：Pa或N/m2），它表征材料本身的性质，E越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。由式(2）可知：00
8 第二部分 金属杨氏模量的测量-拉伸法（选做） 【实验目的】 1. 学会用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。 2. 掌握光杠杆法测量微小伸长量的原理。 3. 学会用逐差法或最小二乘法处理实验数据。 4. 学会不确定度的计算方法，结果的正确表达。 【预备问题】 1. 杨氏模量的定义是什么？它反映了固体材料的什么性质？ 2. 光杠杆法利用了什么原理？有什么优点？ 【实验背景】 力作用于物体所引起的效果之一是使受力物体发生形变，物体的形变可分为弹性形变和塑性 形变。固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转、弯曲，对于纵向弹性形变可以用杨氏模 量来描述，这个物理量最初是由英国物理学家托马斯 • 杨引入的，因此称杨氏模量。杨氏模量一 般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。它的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大， 材料越不容易发生形变。 杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，在工程设计以及科研中常常需要选用合 适的方案对其进行测量。测定杨氏模量的方法很多，如拉伸法、弯曲法和振动法（前两种方法属 静态法，后一种属动态法）等。 【实验原理】 一、杨氏模量的定义 设金属丝的原长为 L，横截面积为 S，沿长度方向施力 F 后，其长度改变 ΔL，则金属丝单位 面积上受到的垂直作用力 σ = F/S 称为正应力，金属丝的相对伸长量 ε = ΔL/L 称为线应变。实验结 果指出，在弹性范围内，物体的正应力与线应变成正比，即： =E (1) 或 F S E L L = (2) 公式 (2) 也称胡克定律，比例系数 E 即为金属丝的杨氏模量（单位：Pa 或 N/m2），它表征材料本 身的性质，E 越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。 由式 (2) 可知：
F/SE=(3)AL/L对于直径为d的圆柱形金属丝，其杨氏模量为：4mgLE=-(4)元式中工为金属丝原长，可由卷尺测量：d为金属丝直径，可用螺旋测微器测量：F可由实验中础码的质量m求出，即F=mg（g为重力加速度）：而4L是一个微小长度变化（mm级），针对它的测量，本实验仪采用光杠杆法。二、光杠杆法图1反射镜装置图2光杠杆足尖示意图光杠杆法主要是利用平面镜转动，将微小角位移放大成较大的线位移后进行测量。仪器利用光杠杆组件实现放大测量功能，光杠杆组件由反射镜装置、望远镜与标尺等组成。反射镜装置的结构如图1，在反射镜的支架上有三个尖状足。图2为尖状足的示意图，α、b为前足，c为后足（或称动足），实验中α、b不动，c随着金属丝伸长或缩短而上下移动，锁紧螺钉用于固定反射镜的角度。三个足构成一个三角形，c点到两前足连线αb的距离称为光杠杆常数（图2中的D），可根据需求改变其大小。光杠杆的放大原理如图3所示。y-4x4标尺标尺固定于反射镜正上方，当望远镜对齐反射镜中心位置，反射镜法线与水平方向成一合适夹角时，在望远镜中能看到标尺的像，假设开始时望远镜叉丝对准x1位置。当金属丝受力后，产生微小伸长4L，与反射镜连H动的动足尖下降，从而带动反射镜转动角度6。根据光的反射定律可知，在出射光线（即进入望远镜的光线）不变的情况下，入射光线转动了20，此时望远镜中看到标望远镜6AL尺刻度为x2。实验中D>>4L，所以0甚至20会很小。从专反射镜-D-图3的几何关系中我们可以看出，20很小时有：图3光杠杆放大原理图4L~D-0,4x~H-26故有：9
9 F S E L L = (3) 对于直径为 d 的圆柱形金属丝，其杨氏模量为： 2 4mgL E d L = (4) 式中 L 为金属丝原长，可由卷尺测量；d 为金属丝直径，可用螺旋测微器测量；F 可由实验中砝 码的质量 m 求出，即 F = mg（g 为重力加速度）；而 ΔL 是一个微小长度变化（mm 级），针对它的 测量，本实验仪采用光杠杆法。 二、光杠杆法 图 1 反射镜装置 图 2 光杠杆足尖示意图 光杠杆法主要是利用平面镜转动，将微小角位移放大成较大的线位移后进行测量。仪器利用 光杠杆组件实现放大测量功能，光杠杆组件由反射镜装置、望远镜与标尺等组成。 反射镜装置的结构如图 1，在反射镜的支架上有三个尖状足。图 2 为尖状足的示意图， a、b 为前足，c 为后足（或称动足），实验中 a、b 不动，c 随着金属丝伸长或缩短而上下移动，锁紧螺 钉用于固定反射镜的角度。三个足构成一个三角形，c 点到两前足连线 ab 的距离称为光杠杆常数 （图 2 中的 D），可根据需求改变其大小。 光杠杆的放大原理如图 3 所示。 标尺固定于反射镜正上方，当望远镜对齐反射镜中 心位置，反射镜法线与水平方向成一合适夹角时，在望 远镜中能看到标尺的像，假设开始时望远镜叉丝对准 x1 位置。当金属丝受力后，产生微小伸长 ΔL，与反射镜连 动的动足尖下降，从而带动反射镜转动角度 θ。根据光的 反射定律可知，在出射光线（即进入望远镜的光线）不 变的情况下，入射光线转动了 2θ，此时望远镜中看到标 尺刻度为 x2。实验中 D>>ΔL，所以 θ 甚至 2θ 会很小。从 图 3 的几何关系中我们可以看出，2θ 很小时有： ΔL≈D∙θ，Δx≈H∙2θ 故有： x1 H O x2 θ θ 2θ D ΔL Δx 反射镜 望远镜 标尺 图 3 光杠杆放大原理图
2HALAr=(5)D其中2H/D称作光杠杆的放大倍数，H是反射镜中心与标尺的垂直距离。仪器中H>>D，这样一来，便能把一微小位移△L放大成较大的容易测量的位移4x。将式（5）代入式（4）得到：8mgLH1E=(6)d'DAx如此，可以通过测量式（6）右边的各参量得到被测金属丝的杨氏模量。【实验仪器】上夹头标尺望远镜?金属丝游标卡尺光杠杆螺旋测微器C码托卷尺测力计图4近距转镜杨氏模量仪一、实验架实验架是测量待测金属丝杨氏模量的主要平台。金属丝一视度调节手轮分划线端穿过横梁并被上夹头夹紧，另一端与码托连接，可通过增减码对拉力大小进行调节，安全方便（图4)。二、光杠杆组件O型连接圈光杠杆组件由反射镜装置、望远镜与标尺等组成，反射镜调焦手轮装置在前文已经介绍过了（图1、图2）。望远镜放大倍数12物镜倍，最近视距0.3m，含有目镜十字分划线（纵线和横线），镜图5望远镜示意图身可360度转动。通过望远镜架可调升降、水平转动及俯仰倾角。望远镜结构如图5所示。三、测量工具实验过程中需用到的测量工具及其相关参数、用途如表1。10
10 2H x L D = (5) 其中 2H/D 称作光杠杆的放大倍数，H 是反射镜中心与标尺的垂直距离。仪器中 H >> D，这样一 来，便能把一微小位移 ΔL 放大成较大的容易测量的位移 Δx。将式 (5) 代入式 (4) 得到： d D x mgLH E = 8 1 2 (6) 如此，可以通过测量式 (6) 右边的各参量得到被测金属丝的杨氏模量。 【实验仪器】 图 4 近距转镜杨氏模量仪 一、实验架 实验架是测量待测金属丝杨氏模量的主要平台。金属丝一 端穿过横梁并被上夹头夹紧，另一端与砝码托连接，可通过增 减砝码对拉力大小进行调节，安全方便（图 4）。 二、光杠杆组件 光杠杆组件由反射镜装置、望远镜与标尺等组成，反射镜 装置在前文已经介绍过了（图 1、图 2）。 望远镜放大倍数 12 倍，最近视距 0.3m，含有目镜十字分划线（纵线和横线），镜 身可 360 度转动。通过望远镜架可调升降、水平转动及俯仰倾 角。望远镜结构如图 5 所示。 三、测量工具 实验过程中需用到的测量工具及其相关参数、用途如表 1。 物镜 调焦手轮 O型连接圈 分划线 视度调节手轮 图 5 望远镜示意图