南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第二章 质点力学 §2.3 质点运动的坐标描述（2/2）

(II)S2.3质点运动的坐标描述2.3.1平面极坐标系2.3.2圆周运动的角速度和角加速度2.3.3自然坐标系2026/3/20

2026/3/20 1 §2.3 质点运动的坐标描述（II） 2.3.1 平面极坐标系 2.3.2 圆周运动的角速度和角加速度 2.3.3 自然坐标系

(II)S2.3质点运动的坐标描述2.3.1平面极坐标系AA= A,r + A00P(r, 0)极轴平面极坐标：以极径r、极角0为坐标构建的坐标系0单位矢量：径向单位矢量r。横向单位矢量2026/3/202

§2.3 质点运动的坐标描述（II） 2026/3/20 2 2.3.1 平面极坐标系 O 0r ˆ 0 ˆ  P r( , )   极轴 r O 平面极坐标：以极径 r、极角θ为坐标构建的坐标系 单位矢量：径向单位矢量 0r ˆ 横向单位矢量 0 ˆ  0 0 ˆ ˆ A A r A r  = + 

i平面极坐标系中的运动描述r(t)P极坐标系中，P点的位矢0r(r,0)= rr0注意：极坐标系中单位失量随质点运动而变化。单位矢量，。的微分和时间导数： =0r(t+At) Ar当△t→ 0时, dr = de040r(t)drede0°dtdt2026/3/203

2026/3/20 3 0 r r rr ( , )  = ˆ 极坐标系中，P点的位矢 平面极坐标系中的运动描述 注意：极坐标系中单位矢量随质点运动而变化。 单位矢量 的微分和时间导数: 0 0 ˆ r ˆ ,  0 ( ) r t ˆ 0r t t ˆ ( ) +   0 r ˆ 0 0 ˆ ˆ dr d dt dt   =   0 0 0 ˆ  =  r r ˆ   ˆ 0 0 ˆ 当Δt → 0时， dr d ˆ =  P 0r ˆ 0 ˆ   r t( ) O

, +40AA。 = -0r0°r(t + △t)当△t→0时，dé。=-dor40r(t)de.dedtdt10%drodedtdtdé40de9 +△0.dtdt2026/3/20

2026/3/20 4 r t( ) 0 ˆ  0 0 ˆ ˆ   +  r t t ( ) +  0 ˆ  0 ˆ  0 0 ˆ ˆ   +  0 ˆ   0 0 ˆ ˆ d d r dt dt    = − 0 0 ˆ  = −   r ˆ 0 0 ˆ 当Δ d d r   = − ˆ t → 0时， 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ dr d dt dt d d r dt dt      =    = − 

极坐标系中的速度Q8diaddrdrArVr(t + △t)rr+r10Odtdtdtdt万drde0.+r00rr=-r(t)0dtdt0deR瞬时角速度0=dtdr径向速度dtde横向速度=roV4dtL2026/3/20

2026/3/20 5 O r t( ) r t t ( ) +  r PQ  0r ˆ 0  ˆ 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ dr d r r rr r dt dt  = + = +   极坐标系中的速度 0 0 0 ˆ ( ) ˆ ˆ dr d dr dr v rr r r dt dt dt dt = = = + 瞬时角速度 d dt    = = 径向速度 r dr v r dt = = 横向速度 d v r r dt   = = 

极坐标系中的加速度dideddiAa :0dtdtdtdtd?de de.dadeAdrdr2100-+0dt?dtdtdtdtdtdtdtdédidede0将代入上式0dtdtdtdtde一dHHardtdtdi2026/3/206

2026/3/20 6 极坐标系中的加速度 0 0 ˆ ˆ dv d dr d a r r dt dt dt dt    = = +     2 2 0 0 2 2 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d r dr dr d d d dr d a r r r dt dt dt dt dt dt dt dt     = + + + +   2 2 2 2 2 0 0 2 ˆ ( ) ˆ d r d dr d d a r r r dt dt dt dt dt         = − + +         将 0 0 ， 代入上式 ˆ ˆ d d r dt dt   = − 0 0 ˆ ˆ dr d dt dt  = 

ded?edo角速度角加速度β ==dt?dtdtd?rd’rde径向加速度-r@a.dt?dtdtd'eddrdr横向加速度 a。=22の+rβ+dt?dtdtdtdr dt极坐标系中速度及加速度与直角坐标系不同，它的分量并非单纯由该方向的位矢分量及其变化所引起极坐标的径向、横向坐标是互相关联的。2026/3/20

2026/3/20 7 1 2 ( ) d a r r dt  =  2 2 2 2 dr d d dr a r r dt dt dt dt    横向加速度 = + = +   2 2 2 2 2 2 ( ) r d r d d r a r r dt dt dt  径向加速度 = − = −  d dt   = 2 2 d d dt dt   角速度 角加速度  = = 极坐标系中速度及加速度与直角坐标系不同，它的 分量并非单纯由该方向的位矢分量及其变化所引起。 极坐标的径向、横向坐标是互相关联的

例4：湖面上有一条小船，在岸边高崖上的船夫通过绞车以匀速率V收绳将船拉向岸边，如图所示。若绳子的质量可以忽略，问（1）船的速度u比收绳速率大还是小？（2）船的加速度如何？解：选取绞车处为极点，小0船速度u在极坐标系中的分hU解如图所示。Q小船的极径r不断减小，且u其径向速度的绝对值就是收绳速率V，即dr+hVVu.==-Vdtxcos α2026/3/20

2026/3/20 8 例4：湖面上有一条小船，在岸边高崖上的船夫通过 绞车以匀速率 v 收绳将船拉向岸边，如图所示。若绳 子的质量可以忽略，问（1）船的速度 u 比收绳速率 v 大还是小？（2）船的加速度如何？ hO r uru u  解：选取绞车处为极点，小 船速度 u 在极坐标系中的分 解如图所示。 小船的极径 r 不断减小，且 其径向速度的绝对值就是收 绳速率 v，即 r dr u v dt = = − 2 2 cos v x h u v  x +  = =

d2,de极坐标中径向加速度为：dtdtd'rda=-α或(2-α)dt?dtdta.X船的加速度：dα = arccot-cosαhdadtcosαh?y2(Vx2+h2)2x?(x? +h2)xh?y?t2026/3/20

2026/3/20 9 2 2 2 ( ) r d r d a r dt dt  = − 船的加速度： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 cos ( ) cos ( ) ( ) r a a r d dt x h h v x x x h h vx    = = − + = − + = −   = − 或 (2 )  − 2 2 2 2 ( ) ( ) r d r d d a r r dt dt dt   = − = − 极坐标中径向加速度为： arccot x h  =

例5：设一根细棒在水平面内以恒定的角速度の绕顶点0旋转，有一只蚂蚁从t=0时刻开始从0点出发并以恒定的速率u沿细棒向外爬行，求蚂蚁的速度及加速度。分析：尽管蚂蚁的运动轨迹十分复杂，但由于已知它相对于0点的距离变化及相对于0点的运动方向的变化（即转动），利用极坐标可较方便地求出蚂蚁的速度。0解：蚂蚁离极点O的距离就是r，由于蚂蚁沿棒以u作匀速运动，dr即径向速率=u， 极径r=ut;0udtde棒以角速度の绕旋转，即极角的时间变化率0dt所以蚂蚁的运动速度为：2026/3/2010

2026/3/20 10 例5：设一根细棒在水平面内以恒定的角速度ω绕顶点 O旋转，有一只蚂蚁从t = 0时刻开始从O点出发并以恒 定的速率u沿细棒向外爬行，求蚂蚁的速度及加速度。 分析：尽管蚂蚁的运动轨迹十分复杂，但由于已知它 相对于O点的距离变化及相对于O点的运动方向的变化 （即转动），利用极坐标可较方便地求出蚂蚁的速度。 解：蚂蚁离极点O的距离就是r， 由于蚂蚁沿棒以u作匀速运动， 即径向速率 ，极径r = ut ; dr u dt = 棒以角速度ω绕O旋转，即极角的时间变化率 , 所以蚂蚁的运动速度为: d dt  = u  O