S 4.4 刚体定轴转动的动能定理4.4.1力矩的功4.4.2刚体定轴转动的动能定理2026/3/20
2026/3/20 1 §4.4 刚体定轴转动的动能定理 4.4.1 力矩的功 4.4.2 刚体定轴转动的动能定理
S4.4刚体定轴转动的动能定理4.4.1力矩的功因为各质元在dW, = Fog - dr,z方向无位移FF外外2=(Fi外/ + Fi;外z)·d(z,k +R,)mF外//R,=(F;外/ + F;外z)·dRZ;10: Fi外z dR, = 0.. dW, = Fi外 dR,2026/3/202
§4.4 刚体定轴转动的动能定理 2026/3/20 2 4.4.1 力矩的功 z O Ri irmi i z Fi外 Fi z 外 Fi外// i i i dW F dr = 外 / / ˆ ( ) ( ) = + + F F d z k R i i 外 外z i i i i i / / = dW F dR 外 / / ( ) = + F F dR i i z 外 外 i 0 F dR i z i 外 = 因为各质元在 z方向无位移
HdW, = Fi/ dR,外//= Fi外/ R,de cos p?8dR,de0为dR,与 Fi外的夹角R;dW, = Fi外/R,de sing=|R,×F;外/|de: Mi外k=- R,×Fp//.. dW,= Mi外:de刚体的定轴转动中，外力对刚体做的功等于该力对轴的力矩和力的作用点绕该轴转动的角位移的乘积。力矩的功力矩在轴上的分量2026/3/203
2026/3/20 3 Fi外// Ri d dRi O / / cos = F R d i外 i i i i / / dW F dR = 外 为 dRi 与 Fi外// 的夹角 / / i i sin i dW F R d = 外 R F d i i / / = 外 / / ˆ M k R F i z i 外 = i 外 i i z dW M d = 外 刚体的定轴转动中，外力对刚体做的功等于该力对 轴的力矩和力的作用点绕该轴转动的角位移的乘积。 力矩在轴上的分量 力矩的功
刚体内一对内力对定轴转动的功为零@: dW, = F, ·dr, + Fj,-dr,"F,=-F.. dW, = F,(dr, - dr,)m;: (dr, -dr,) = d(r, -r)= 0 :. dW, =0FF对于整个刚体，同时考虑内力和外力元m0dW=Z(Fi外 +F)·dr,..dW -ZMi外:d = M合外de刚体在作定轴转动时，合外力对刚体作的功，等于外力对该转轴的合外力矩的功。2026/3/20
2026/3/20 4 z O irmi Fij j r Fji mj 刚体内一对内力对定轴转动的功为零 ij ij i ji j dW F dr F dr = + F F ij ji = − ( ) ij ij i j = − dW F dr dr ( ) ( ) 0 i j i j dr dr d r r − = − = 0 ij = dW ( ) i i i i dW F F dr = + 外 内 i z z i = = dW M d M d 外 合外 刚体在作定轴转动时，合外力对刚体作的功， 等于外力对该转轴的合外力矩的功。 对于整个刚体，同时考虑内力和外力
4.4.2刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能2m=Em,(R,の)1(Iom,R )o?.22刚体定轴转动中动能变化的原因是力矩做功；从定轴转动的转动定律出发：M,=IβdoHIodoM.dede20edt@100222026/3/20
2026/3/20 5 4.4.2 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能 1 1 2 2 2 2 ( ) k i i i i i i E m v m R = = 1 1 2 2 2 2 2 ( ) i i i = = m R I 刚体定轴转动中动能变化的原因是力矩做功； 从定轴转动的转动定律出发： M I z = 2 2 2 1 1 1 2 2 = − I I 2 1 I d = 2 2 1 1 z d M d I d dt =
=10MdeI0,2Je221M.do= EEk味-Ek始:.W = △E, = Ek末 - Ek始+合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量称为定轴转动的动能定理。若M外=O，则△E=O动能守恒若刚体受保守力作用，可以引入势能概念。2026/3/206
2026/3/20 6 = = − W E E E k k k末 始 2 1 W M d E E z k k = = − 末 始 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 M d I I z = − 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体 所做的功等于刚体的转动动能的增量， 称为定轴转动的动能定理。 0 M z 若 外 = ，则 = Ek 0 动能守恒 若刚体受保守力作用，可以引入势能概念
刚体的重力势能将重力看成是刚体受到的外部保守力，按质心的定义，重力做的功等于质心势能的变化末天木Zm,)=[*mg·drc=(Ecp始-Ecp末)Ig·dm,g.dr.=J始如始:1mghc末-mghc始 =Ecp末-Ecp始结论：刚体的重力势能相当于它的全部质量集中在质心时所具有的势能。机械能守恒：对于刚体若在运动过程中只有保守外力(重力)作功则包括地球的系统机械能守恒2026/3/20
2026/3/20 7 刚体的重力势能 mgh mgh E E 末 − = − C Cp 始 末 始 结论：刚体的重力势能相当于它的全部质量集中 在质心时所具有的势能。 将重力看成是刚体受到的外部保守力，按质心的定 义，重力做的功等于质心势能的变化 ( ) i i i i i i m g dr g d m r = 末 末 始 始 对于刚体若在运动过程中只有保守外力(重力)作功, 则包括地球的系统机械能守恒。 机械能守恒： ( ) mg dr E E C Cp Cp = = − 末 始 始 末
例1：一个质量为m半径为R的N定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的Rimo物体而下垂。若绳与滑轮间无.T相对滑动，忽略轴处摩擦，求mog物体m由静止下落高度h时的速1元度和此时滑轮的角速度。m解法二：对滑轮利用动能定理h16mgTRMde=0R2JOvm.R=Th=-0m.vR242026/3/20
2026/3/20 8 例1：一个质量为m0半径为R的 定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑 轮边上，另一端挂一质量为m的 物体而下垂。若绳与滑轮间无 相对滑动，忽略轴处摩擦，求 物体m由静止下落高度h时的速 度和此时滑轮的角速度。 R m T m g0 mg T m0 N 解法二：对滑轮利用动能定理 2 0 1 2 h Md TR I R = = 2 0 1 2 I m R = v R = 2 0 1 4 = Th m v
对物体m利用动能定理(mg-T)h==mv2Th :m.y244mghVV2m+mo解法三：根据机械能守恒定律1122=my2 - mgh = 010一227m.R?WR=v24mghVE2m+ mo2026/3/20
2026/3/20 9 解法三：根据机械能守恒定律 1 1 2 2 0 2 2 I mv mgh + − = 2 0 1 2 I m R = R v = 0 4 2 mgh v m m = + 对物体m利用动能定理 ( ) 1 2 2 mg T h mv − = 2 0 1 4 Th m v = 0 4 2 mgh v m m = +
例2：一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆日角时的角速度和角加速度。xxV解： 棒下摆过程中轴对00hc棒的支持力不作功，只dmC有重力作功，动能定理： Mde=-I0?mgdmg21M = ( gxdm = g | xdm = mgxcmgl cos 02101-10MdO =-mgl cos Ado =mglsine2JO22(102026/3/20
2026/3/20 10 例2：一根长为 l、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角速 度和角加速度。 解：棒下摆过程中轴对 棒的支持力不作功，只 有重力作功，动能定理： O dmdmg x mgC hC x 2 0 1 2 Md I = 1 2 cos M gxdm g xdm mgx mgl C = = = = 2 0 0 1 1 1 2 2 2 Md mgl d mgl I cos sin = = =