第三章质点系统的运动规律2026/3/20
1 第三章 质点系统的运动规律 2026/3/20
S3.1从质点到质点系统3.1.1 质心3.1.2 质心运动定理S3.2 动量、动量定理及动量守恒3.2.1动量、动量定理2026/3/20
2026/3/20 2 §3.2 动量、动量定理及动量守恒 §3.1 从质点到质点系统 3.1.1 质心 3.1.2 质心运动定理 3.2.1 动量、动量定理
S3.1从质点到质点系统质点系统(1)对于非质点物体，以微分思想把它分解为一系列质量微元dm，这些dm可以看成质点处理。(2)此时整个物体变成一系列质点组成的系统，称为质点系统。(3)也可以将有相互作用的多个质点作为质点系统，以牛顿定律进行研究。隔离体法-最直观的处理对质点系统内每一个质点进行逐个分析，然后把所有质点的方程联立求解。此种把系统分隔开分别考虑的方法称为隔离体法。2026/3/203
§3.1 从质点到质点系统 2026/3/20 3 质点系统 (1) 对于非质点物体，以微分思想把它分解为一系 列质量微元dm，这些dm可以看成质点处理。 (2) 此时整个物体变成一系列质点组成的系统，称 为质点系统。 (3) 也可以将有相互作用的多个质点作为质点系统， 以牛顿定律进行研究。 隔离体法- 最直观的处理 对质点系统内每一个质点进行逐个分析，然后把 所有质点的方程联立求解。此种把系统分隔开分 别考虑的方法称为隔离体法
例1：质量为m和m,的两个小球，用长为l、质量和伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面上。开始时m固定不动，m绕m作匀速圆周运动，其线速率为Vo，如果m突然失去约束，求：(1）若以m质点为参考系，给出m质点的动力学方程；（2）杆中张力？m解：m失去约束之后，mi和m公F组成的系统是孤立系统，只有杆2中内力相互作用，属两体问题。VCmF(1)在惯性系（以桌面为参考系）12d'rd'r,0FFi2 = m =mzdt?21dt?d(r-r2)m,Fi2 -m,F21 = (m, + m,)Fi2 = m,m2dt?2026/3/20
2026/3/20 4 2 12 1 2 1 d r F m dt = 例1：质量为m1和m2的两个小球，用长为l、质量和伸 缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面 上。开始时m2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运动，其 线速率为v0，如果m2突然失去约束，求：(1) 若以m2质 点为参考系，给出m1质点的动力学方程; (2) 杆中张力？ 解：m2失去约束之后，m1 和 m2 组成的系统是孤立系统，只有杆 中内力相互作用，属两体问题。 (1) 在惯性系（以桌面为参考系） 2 21 2 2 2 d r F m dt = 2 1 2 2 12 1 21 1 2 12 1 2 2 ( ) ( ) d r r m F m F m m F m m dt− − = + = m1 m2 0 v 1r 2r O F12 F21
d(-r)m,Fi2 - m,F2, =(m + m,)Fi2 = m,m2dt?d'ri2d'ri2m,m,m. F, = m +m, dr一ua2udt?F12F21m,m.折合质量u=%mm +m2两体运动中，上式有着普遍性，122如地球和卫星、原子核和电子等等。0(2)释放m,瞬间，m相对于m,以速度Vo做匀速圆周运动，杆的张力提供向心加速度%2D:.F=u1121152026/3/20
2026/3/20 5 m1 m2 0 v 1r 2r O F12 F21 12 r 2 1 2 2 12 1 21 1 2 12 1 2 2 ( ) ( ) d r r m F m F m m F m m dt− − = + = 2 2 1 2 12 12 12 12 2 2 1 2 m m d r d r F a m m dt dt = = = + 2 0 v F l = (2) 释放m2瞬间， m1相对于m2以速度 v0做匀速圆周运动，杆的张力提供向心加速度 两体运动中，上式有着普遍性， 如地球和卫星、原子核和电子等等。 1 2 折合质量 1 2 m m m m = + 2 2 12 0 12 v v a l l = =
Fm2外3.1.1 质心F两个质点的系统1外m2m: Fi外 +j=maiF2外 +f'= mzi2m, :d'rd'r,:F=-':F外 +Fm+m1外2外dt?dt?由于内力总是成对出现的，N个质点的系统所以矢量和为零。d?r, _ d(Emr)ZZFi外 =)m;dt?dt?i62026/3/20
2026/3/20 6 f f = − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 d r d r F F m m dt dt + = + 外 外 1 1 1 1 m F f m a : 外 + = 2 2 2 2 m F f m a : + = 外 两个质点的系统 N个质点的系统 2 2 2 2 ( ) i i i i i i i d r d m r F m dt dt = = 外 由于内力总是成对出现的， 所以矢量和为零。 m1 m2 f f F1外 F2外 3.1.1 质心
考虑由质量分别为 ml、m、….m,的 N个质点组成的质点系，每个质点相对于任一点0的位置矢量分别为，；其质心相对于O点的定义为：m1CCZm,r;AMm122M=Zm;为质点系的总质量。0i质心的位失随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的、唯一的。内力的作用不会影响质心的位置即使质点位置发生变化。2026/3/20
2026/3/20 7 m1 m2 1r 2r O C Cr 2C r 1C r 考虑由质量分别为 m1、m2、. mn 的 N 个质点组 成的质点系，每个质点相对于任一点O的位置矢量 分别为 r r r 1 2 , . n ；其质心相对于O点的定义为： i i i C m r r M i i M m = 为质点系的总质量。 质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质 点系，质心的位置是固定的、唯一的。 内力的作用不会影响质心的位置即使质点位置发 生变化
3.1.2质心运动定理dr, _ d'(Em,r)ZFi外=Zm;dt2dt?:im.MF=MMMa外dt?dt?F外 = Mac外质心运动定理：系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。质心的运动，就好象一个质量等于系统的总质量的质点，在施于这系统的外力作用下的运动2026/3/208
2026/3/20 8 3.1.2 质心运动定理 2 2 2 2 ( ) i i i i i i i d r d m r F m dt dt = = 外 2 2 2 2 ( ) i i C C m r d M d r F M M Ma dt dt = = = 外 质心运动定理：系统的总质量和质心加速度的乘 积等于质点系所受外力的矢量和。 质心的运动，就好象一个质量等于系统的总质量 的质点，在施于这系统的外力作用下的运动 F Ma 外 = C
质心位置的计算Z,m,irdm或=[r.MM直角坐标系中的分量式为：xdmZ,m,x;质量连续分布时质量离散分布时MM[ ydmZ,n,m;yiVVoMMzdmZ,m,ziZCzcMM关键：dm=pdv2026/3/20
2026/3/20 9 质心位置的计算 直角坐标系中的分量式为： i i i C m x x M = C xdm x M = i i i C m y y M = i i i C m z z M = C ydm y M = C zdm z M = 质 量 连 续 分 布 时 质 量 离 散 分 布 时 关键：dm = ρdV 1 i i i C C m r r r rdm M M = = 或
如果质量均匀分布的物体具有一个对称中心，则质心与对称中心重合;若有一个对称轴，则质心必在该轴上。.vdmm,y;质心速度：MMZ,m,a,adm质心加速度：acMM2026/3/2010
2026/3/20 10 如果质量均匀分布的物体具 有一个对称中心，则质心与 对称中心重合； 若有一个对称轴，则质心必 在该轴上。 i i i C m v v M = C vdm v M = 质心速度： i i i C m a a M = C adm a M = 质心加速度：