$ 3.3动能、势能及机械能守恒3.3.2保守力和势能3.3.3功能原理和机械能守恒3.3.4能量守恒定律2026/3/20
2026/3/20 1 §3.3 动能、势能及机械能守恒 3.3.2 保守力和势能 3.3.3 功能原理和机械能守恒 3.3.4 能量守恒定律
S3.3#动能、势能及机械能守恒3.3.1动能、功和动能定理动能定理二、WAB = EkB -Ek =E,动能定理：合力对质点所做的功等于质点动能的增量三、质点系统的动能定理W外 +W丙=△E,=EkB-EkA2026/3/20
§3.3 动能、势能及机械能守恒 2026/3/20 2 3.3.1 动能、功和动能定理 二、 动能定理 动能定理：合力对质点所做的功等于质点动能的增量 W E E E AB kB kA k = − = 三、质点系统的动能定理 W W E E E 外 + = = − 内 k kB kA
3.3.2 保守力和势能一、保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。如万有引力、弹性力。非保守力：摩擦力等二、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。保守力做的功等于势能的减少量。( F保·dr =-△E,= E,(r)-E,(r)W保=如果设r处势能为零，则任意位置的势能为E,(")=-W保=-}" F保·dr =[° F保·dr2026/3/203
2026/3/20 3 3.3.2 保守力和势能 一、保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的 始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 二、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由 质点间的相对位置决定的能量称为势能。保守力做 的功等于势能的减少量。 如万有引力、弹性力。非保守力：摩擦力等 0 0 ( ) ( ) r p p p r W F dr E E r E r = = − = − 保 保 如果设r0处势能为零，则任意位置的势能为 0 0 ( ) r r p r r E r W F dr F dr = − = − = 保 保 保
b三、几种保守力和相应的势能drm1、万有引力的功和引力势能r+dr["F|drcose=-"F.dr=FdrWaMmGMmM-AEdr可见，万有引力是保守力。H引力势能以无穷远为零势能点。MmGMmE.(r2026/3/20
2026/3/20 4 1、万有引力的功和引力势能 cos b b b a a a r r r r r r W F dr F dr Fdr = = = − 可见，万有引力是保守力。 引力势能以无穷远为零势能点。 2 1 ( ) p r Mm E r G dr GMm r r = − = − 三、几种保守力和相应的势能 r dr r dr + a b M F m 2 1 1 ( ) b a r r b a p Mm G dr GMm r r r E = − = − = − dr dr
b重力做功和势能：dr重力的方向总是向下的，m取向上的方向为V方向r+drmg ·dr = ("-mgj (dxi + dyi)W=amg= I'-mgdy0= -mg(y, - ya)= mg(ya - y,)=-AE重力的功等于重力势能增量的负值。重力势能以地面为零势能点E,(y) = ["-mgdy = -mg(0 - y) = mgyn2026/3/20
2026/3/20 5 r dr r dr + a b O mg 重力的方向总是向下的， m 取向上的方向为y方向 重力做功和势能： = −E p 重力的功等于重力势能增量的负值。 重力势能以地面为零势能点 0 ( ) ( ) 0 p y E y mgdy mg y mgy = − = − − = ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) b b a a b a b a a b W mg dr mgj dxi dyj mgdy mg y y mg y y = = − + = − = − − = −
2、弹力的功和弹性势能以弹簧原长为x轴零点0ba小W = {"*-kxdxX0000000000062T公P2F=-kx1= -AEP可见，弹性力是保守力。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能以弹簧原长为零势能点。=kxE,(x)= f-kxdx = -(0-=kx222026/3/20D
2026/3/20 6 可见，弹性力是保守力。 弹性力的功等于弹性势能增量的负值。 弹性势能以弹簧原长为零势能点。 0 1 1 2 2 0 2 2 ( ) ( ) p x E x kxdx kx kx = − = − − = 1 1 2 2 2 2 ( ) b ax x b a p W kxdx kx kx E = − = − − = − 2、弹力的功和弹性势能 以弹簧原长为x轴零点 F kx = − O a b x
小结：·势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。故常说“某系统的势能”。若系统中物体的相对位置改变，则系统的势能也会改变。重力势能?·势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。·两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。2026/3/20
2026/3/20 7 小结： • 势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。 故常说“某系统的势能”。若系统中物体的相对位 置改变，则系统的势能也会改变。重力势能？ • 势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考 点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守 力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力 所做的功。 • 两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数
四、势能和保守力的关系考虑质点在保守力作用下沿着给定0方向运动F-dE,= F.dl = FcosOdl = F,dldldEDHdl保守力沿某一给定方向的分量等于与此保守力的势能函数沿此方向的空间变化率。若势能为E,(x,y,z)aEaEaEPDPFHF7Oz.ayaxaEaEaE111F=Fi+Fj+Fk-kOz.axay2026/3/208
2026/3/20 8 考虑质点在保守力作用下沿着给定 方向运动 p l dE F dl = − 保守力沿某一给定方向的分量等于与此保守力的势能 函数沿此方向的空间变化率。若势能为Ep (x, y, z) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) p p p x y z E E E F F i F j F k i j k x y z = + + = − + + cos p l − = = = dE F dl F dl F dl p x E F x = − p y E F y = − p z E F z = − 四、势能和保守力的关系 dl F l l F
例6：若两个分子间的相互作用势能可以近似地表示为E,(r)= -E,[2(一)° -(")2]其中E.和r.都是正的常数，r分子间的距离。求出作用力为零时的分子ro间距离和此时对应的势能。0dE解：势能曲线如图所PF示，分子间作用力为dr由上式解得F=0时，r=ro，称为平衡位置。此时E,(r)=-E 2(") -(")2 =-E。由于分子力可由势能曲线的负斜率加以说明在r=r时，斜率为零，分子力为零，即处于平衡位置。2026/3/20
2026/3/20 9 解：势能曲线如图所 示，分子间作用力为 由上式解得F = 0时，r = r0，称为平衡位置。此时 例6：若两个分子间的相互作用势能可以近似地表示为 其中E0和r0都是正的常数，r分子间 的距离。求出作用力为零时的分子 间距离和此时对应的势能。 0 0 6 12 0 ( ) [ ( ) ( ) ] 2 p r r E r E r r = − − p dE F dr = − 0 0 6 12 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 p r r E r E E r r = − − = − O Ep r r0 在r = r0时，斜率为零，分子力为零，即处于平衡位置。 由于分子力可由势能曲线的负斜率加以说明
五、势能曲线(势能随位置变化的曲线)EEDE人EEkEDE,E-h0重力势能曲线弹性势能曲线万有引力势能曲线曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。2026/3/2010
2026/3/20 10 重力势能曲线 弹性势能曲线 万有引力势能曲线 曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的 选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。 五、势能曲线(势能随位置变化的曲线) E p h E E p Ek O E p E E pEkO x E p r Ek E p o E