S 3.2 动量、动量定理及动量守恒3.2.1动量、动量定理3.2.2动量守恒定律S3.3动能、势能及机械能守恒3.3.1动能、功和动能定理2026/3/20
2026/3/20 1 §3.3 动能、势能及机械能守恒 3.3.1 动能、功和动能定理 §3.2 动量、动量定理及动量守恒 3.2.1 动量、动量定理 3.2.2 动量守恒定律
3.2动量、动量定理及动量守恒3.2.1动量、动量定理三、 动量定理（将力的作用过程与效果【动量变化联系在一起）dp = FdtI = [ Fdt = Ap一段时间内质点所受合力的冲量，等于这段时间内该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。2026/3/202
§3.2 动量、动量定理及动量守恒 2026/3/20 2 3.2.1 动量、动量定理 三、动量定理 （将力的作用过程与效果〔动量变 化〕联系在一起） dp Fdt = I Fdt p = = 一段时间内质点所受合力的冲量，等于这段时间 内该质点动量的增量。这个结论称为动量定理
四、质点系统的动量定理.: Z,dp, =d(Z,p,)=Z,F,dtdp, = F,dtZ,F丙=0定义P总=乙,P；，同时考虑到d总 = F外dtI外=[ F外dt = AP总质点系统所受合外力的冲量，等于该质点系统总动量的增量。dp您FP总 = Z,m,v, = Mvc Ma外dt质点系统的动量定理等价于质心运动定律。可以用质心的运动描述质点系统的整体运动。2026/3/203
2026/3/20 3 四、质点系统的动量定理 质点系统的动量定理等价于质心运动定律。 可以用质心的运动描述质点系统的整体运动。 i i dp F dt = ( ) i i i = = dp d p F dt dp F dt 总 = 外 I F dt p = = 外 外 总 质点系统所受合外力的冲量，等于该质点系统总 动量的增量。 定义 p p 总 = i i ，同时考虑到 0 i i F内 = C dp F Ma dt = = 总 i i i C 外 p m v Mv 总 = =
例6：一质量均匀分布的柔软细绳铅0直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平x桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力等于已落到桌面上的绳重量的三倍。X证明：将整个细绳看作质点系统，系统所受外力为重力和桌面的支撑力，通过系统的动量定理来求解问题。假设某一时刻t，绳下落了x距离，下落速度V，系统总动量为:p=p(l-x)v2026/3/20
2026/3/20 4 例6：一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平 桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过 程中，任意时刻作用于桌面的压力， 等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 O x x 证明：将整个细绳看作质点系统， 系统所受外力为重力和桌面的支 撑力，通过系统的动量定理来求 解问题。假设某一时刻 t，绳下落 了x距离，下落速度 v，系统总动 量为： p l x v = − ( )
p=p(l-x)v1r由于绳自由下落：x =V=g12gt23dp3xmgplgpgmg121dtdpN +mg动量定理:dt3xmg负号代表-x方向:N13xmg绳对桌面的力： F=-N152026/3/20
2026/3/20 5 p l x v = − ( ) 由于绳自由下落： 1 2 2 x gt v gt = = dp N mg dt + = 1 2 2 p l gt gt = − 3 3 2 2 2 dp xmg lg g t mg dt l = − = − 动量定理： 负号代表-x方向 绳对桌面的力： 3xmg F N l = − = 3xmg N l = −
3.2.2动量守恒定律dp总F外=-质点系统的动量守恒定律dtd点=0, P总=常矢量如果 F外= 0,则dt当质点系统所受的合外力为零时，质点系统的总动量就保持不变。*系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。?动量守恒可在某一方向上成立。*动量守恒定律在微观高速范围仍适用。*动量守恒是物理学中的基本规律，反映了时空特性，是空间平移对称性的体现。2026/3/208
2026/3/20 8 3.2.2 动量守恒定律 dp F dt = 总 质点系统的动量守恒定律 外 当质点系统所受的合外力为零时， 质点系统的总动量就保持不变。 * 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 * 动量守恒是物理学中的基本规律，反映了时空 特性，是空间平移对称性的体现。 , , 0 0 dp F p dt = = = 总 如果 外 则 总 常矢量
例7：一个有1/4圆弧滑槽的导轨质量为M，停在光滑的水平面上，另一质量为m的滑块自圆弧顶点由静止下滑。求：当滑块滑到底时，导轨mRM在水平面上移动的距离?解：选如图坐标系，在m下滑MX过程中，M和m组成的系统在水平方向上合外力为零，因此水平方向上动量守恒。2026/3/20
1 x 2 x 例7：一个有1/4圆弧滑槽的导轨质量为M，停在光 滑的水平面上，另一质量为m的滑块自圆弧顶点由 静止下滑。 求：当滑块滑到底时，导轨 M在水平面上移动的距离？ 2026/3/20 9 R x m M 解：选如图坐标系，在m下滑 过程中，M和m组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此 水平方向上动量守恒
解：水平方向上动量守恒。:. mi(t)+ MV(t) = 0mv. = MVmRM[VdtMX.. mx, = Mx,:X+x=RmRm+M102026/3/20
2026/3/20 10 1 x 2 x R x m M 解：水平方向上动量守恒。 + = mv t MV t ( ) ( ) 0 mv MV x = 0 0 t t m v dt M Vdt x = = mx Mx 1 2 1 2 x x R + = 2 m x R m M = +
例8：火箭飞行原理（书中例3.7，使用动量定理解题u+dv设火箭在自由空间飞行，即u不受引力、空气阻力等任何dmMM + dM外力的影响。系统动量守恒t +dttx在t时刻总动量M沿x方向在 t + dt 时刻总动量: dm(v-u)+(M -dm)(v+dv)由动量守恒定律：: dm=-dM:: -dM(v-u)+(M +dM)(v+ dv) = M略去二阶无穷小量dM·dvdM:. dv =-:. udM + Mdv = 0M112026/3/20
2026/3/20 11 例8：火箭飞行原理（书中例3.7，使用动量定理解题） v dv + vM M dM + u dm t t dt + x 设火箭在自由空间飞行，即 不受引力、空气阻力等任何 外力的影响。系统动量守恒 在t 时刻总动量 Mv 沿x方向 在 t + dt 时刻总动量： dm v u M dm v dv ( ) ( )( ) − + − + dm dM = − − − + + + = dM v u M dM v dv Mv ( ) ( )( ) 由动量守恒定律： 略去二阶无穷小量 dM dv + = udM Mdv 0 dM dv u M = −
设火箭点火时的质量为Mi，初速为Vi，燃料烧完后质量为M，速度为Vf，对上式积分得：,-,=uln MM,火箭在燃料烧完后所增加的速度与喷气速度成正比，也与火箭的始末质量比的自然对数成正比。如果以喷出气体dm为所考虑系统，它在dt时间内的动量变化率为：dm[(v-u) -v)] _ -udmdtdt根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭的推力；所以喷出气体对火箭的反作用力：dmF=udt2026/3/2012
2026/3/20 12 设火箭点火时的质量为Mi，初速为vi，燃料烧完后 质量为Mf，速度为vf，对上式积分得： ln i f i f M v v u M − = 火箭在燃料烧完后所增加的速度与喷气速度成正比， 也与火箭的始末质量比的自然对数成正比。 如果以喷出气体dm为所考虑系统，它在dt时间内的动 量变化率为： dm v u v udm [( ) )] dt dt − − − = 根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭的推力；所 以喷出气体对火箭的反作用力： dm F u dt =