《现代控制理论》课程教学资源——现控课件_Ch1-2 Obtaining State Space Description from I_O Description

1.2由系统输入输出导出状态空间描述ObtainingStateSpaceDescriptionfromI/ODescription通常将由输入一输出描述导出状态空间描述的问题称为实现问题（realizationproblem）。y(") +ay(r- +...+a-y+a,y=bu" +bu(m-) +..+bmju+b.uY(s) _ bos" +b,s"- +b,s"-2 +..+bm--$+bmG(s) =U(s)s" +a,sn-I +...+an-is+an实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定A、B、C、D。X(t) = AX(t) + Bu(t)StatespacedescriptionofLTIsystemy(t) = CX(t) + Du(t)

1.2 由系统输入输出导出状态空间描述 Obtaining State Space Description from I/O Description •通常将由输入-输出描述导出状态空间描述的问题称为 实现问题(realization problem)。 实现问题归结为： 通过选取适当的状态变量，确 定A、B、C、D。 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n m m n n m m y a y a y a y b u bu b u b u − − − − + + + + = + + + + X(t) = AX(t) + Bu(t)  y(t) = CX(t) + Du(t) State space description of LTI system n n n n m m m m m s a s a s a b s b s b s b s b U s Y s G s + + + + + + + + + = = − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 0 1 ( ) ( ) ( )  

1.2.1由微分方程导出状态空间描述（ObtainingStateSpaceDescriptionfromDifferential Equation)>给定下列n阶SISO线性时不变（LTI）系统：m≤ny(") +ay(n-) +.+an-y+a,y= bu(m) +bu(m-1) +..+bm-ju+bmu(1.35)结论1m=0时，n阶SIS0（1.35)对应的一个状态空间描述为：TOX0100X1X0000X2u一+2x00001×n-1boxaaian-1an-2xnXiX2V=X3

1.2.1由微分方程导出状态空间描述(Obtaining State Space Description from Differential Equation) ➢给定下列n阶SISO线性时不变（LTI）系统： ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n m m n n m m y a y a y a y b u bu b u b u − − + + + + = + + + + − − (1.35) 结论1 m=0时，n阶SISO (1.35)对应的一个状态空间描述为： u x b x x x x a a a a x x x n n n n n n n                 +                                 − − − − =                 − − − − 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0                                   = xn x x x y   3 2 1 1 0 0 0 m n 

证明Case1：当m=0时，(1.35)变为：(1.36)y(") +ay(r-l) +...+an-j+a,y= bu取n个状态变量 X,X2,,Xn，分别为 y,,…, J(n-1)，则有：x=j=X2xi=yx =j= X3X2= j两边微分xn-1 = y(n-1) = xnXn-1 = J(n-2)x, = y(n) =-any-an-ji-..-aiy(n-l) +bou(x, = y(n-I)=-anxi -an-ix2 -...-aixn +bou(1.37)(1.38)

取n个状态变量 ，分别为 ，则有 ： ( 1) , , , n y y y − 1 2 , , , n x x x 1 2 ( 2) 1 ( 1) n n n n x y x y x y x y − − −  =   =    =    = (1.37) 证明 Case 1: 当m=0时，(1.35)变为： ( ) ( 1) 1 1 0u n n n n y a y a y a y b − + + + + = − (1.36)            = − − − − + = = − − − − + = = = = = = − − − − − a x a x a x b u x y a y a y a y b u x y x x y x x y x n n n n n n n n n n n 1 1 2 1 0 0 ( 1) 1 1 ( ) ( 1) 1 2 3 1 2           两边微分 (1.38)

将（1.38)写成状态空间描述中状态方程的形式0x010AX00福X2?1.十u(1.39)0000Xn-1xboQXn--2n-companion matrix(友矩阵)：主对角线上方或者下方的元素均为1；最后一行/第一行的元素可取任意值；而其Xi余元素均为零。X201系统的输出方程为：=x =[100…：（X3(1.40).Xn

将(1.38)写成状态空间描述中状态方程的形式： u (1.39) x b x x x x a a a a x x x n n n n n n n                 +                                 − − − − =                 − − − − 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0                 系统的输出方程为：   1 2 1 3 1 0 0 0 n x x y x x x       = =           (1.40) companion matrix(友矩阵): 主对角线上方或者下方的元素均为1；最 后一行/第一行的元素可取任意值；而其 余元素均为零

状态空间描述(1.38-1.39）文Yn-m1..2DoFigure 1.5SimulationDiagram

Figure 1.5 Simulation Diagram 状态空间描述(1.38-1.39)

E.g. 1.3 Find a state space description for the system described bythefollowingdifferential equationy+2+lli+6y=3uSolutionForthesystem,m = 0, n= 3; a, = 2, a, =11, a, = 6, b, = 3Choose state variables x = y, x2 = j= x, x, = j =x2The state equation of the system is:0001x00x000x200X2u01+X2二6-11一X3x3b.-a3-a,-aX3Xiand the output equation is y=[1 0 ] x2X3

E.g. 1.3 Find a state space description for the system described by the following differential equation y y y y u + + + = 2 11 6 3 Solution For the system, 1 2 3 0 m n a a a b = = = = = = 0, 3; 2, 11, 6, 3 Choose state variables 1 2 1 3 2 x y x y x x y x = = = = = , , The state equation of the system is: u x b x x x a a a x x           +                     − − − =           3 0 2 1 3 3 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0    and the output equation is             = 3 2 1 1 0 0 x x x y u x x x           +                     − − − = 3 0 0 6 11 2 0 0 1 0 1 0 3 2 1

结论2m≤n时，n阶sIsoy") +ay(r-) +...+an--y+a,y=bu" +bur- +..+b,ji+b,u对应的一个状态空间描述为：00文001AAA:MXi200001X2x300000X3:..·:..永n100001Xn-1β.xnxn-a-an-1-a2-a-an-2Xi[β = boX2β, = b -a,β考β, = b, -a,β, -a,β[β]y=[100...00]...:βn-- = bn-1 -a,βn-2 -α,βn-3 -.*--an-2β, -an-βXn-1[β=b, -aβn-- -azβ-2 -...-an-2β, -an--β,-a,βx

u x x x x x x a a a a a x x x x n n n n n n n n n                     +                                         − − − − − =                     − − − − −      1 3 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0                    结论2 m n  时，n阶SISO     u x x x x x y n n 0 1 3 2 1 1 0 0 0 0 +                      = −   ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n n n n n n n y a y a y a y b u bu b u b u − − − − + + + + = + + + + 对应的一个状态空间描述为： 0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 1 2 2 3 2 1 1 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 n n n n n n n n n n n n n b b a b a a b a a a a b a a a a a                  − − − − − − − − − −  =  = −   = − −    = − − − − −   = − − − − − −

Case 2: y(") +ay(n-l) +...+a,y+a,y=b,u") +bu(r-l) +...+b,ji+b,u证明（将状态变量组定义为输出v和输入u以及各阶导数的一个线性组合：xi = y-βouX2=-Boi-BuX=-βoi-βi-βu(1.43)：Xn-1 = J(n-2) - βou(n-2) _.- βn-3u - βn-2u[xn = y(n-1) - βou(n-1) -...- βn-2u - βn-_u进而，为导出系数β,(i=0,,n-1)的计算公式，将方程组(1.43)由上至下依次乘以系数an，an-1，，a1，得：anx, =any-anβuan-ixz =an-ij-an-i-an-Buan-2xg =an-2ji-an-2β,ii-an-2β,u-an-2β,u：ax, = ajy(n-1) -a,βou(n-1) -..-a,βn-2u-a,β,-,u[Xn+ = y(n) - βou() -...- β-lu- β,u

证明 Case 2: 将状态变量组定义为输出y和输入u以及各阶导数的一个线性组合：            = − − − − = − − − − = − − − = − − = − − − − − − − − − − x y u u u x y u u u x y u u u x y u u x y u n n n n n n n n n n 2 1 ( 1) 0 ( 1) 3 2 ( 2) 0 ( 2) 1 3 0 1 2 2 0 1 1 0                       (1.43) 进而，为导出系数 的计算公式，将方程组(1.43)由上 至下依次乘以系数an , an-1 , ., a1，得： , ( 0, , 1) i  i n = − 1 0 1 2 1 1 0 1 1 2 3 2 2 0 2 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 0 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x a y a u a x a y a u a u a x a y a u a u a u a x a y a u a u a u x y u u u             − − − − − − − − − − − − − + −  = −  = − −   = − − −     = − − − −   = − − − − （*） ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n n n n n n n y a y a y a y b u bu b u b u − − − − + + + + = + + + +

any=pnxianBouan-j丰al-x,+an-iBu+an-Bu依次相加an-2j=al-2x+an-2Bi+an-2βu+an-2B,u**·ay(nr- := ax, +a,βou(n-I) +.+a,βn-2u +la,βn-u[y(n) =Xn++ + Bu(m)++ βn-ju+ β,uy(n) +a y(n-l) +...+a. j+a,y:ku(m) +bu(m-l) +...+b.-ju+b.u(1.35)一注：（**）式各方程等式左边相加结果为（1.35）的左边。相应的，等式右边相加应该等于（1.35）的右边表达式，即：(xn+1 +aix, +...+an-ix2 +anxi)+(βou(") +(β +a,β)u(n-I) +...+(βn-- +a,βn-2 +...+an-β)u+(β, +a,βn-- +...+anβ)u)(**)= bou(n) +...+bn-ju(l) +b,u

1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 2 3 2 0 2 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 0 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a y a x a u a y a x a u a u a y a x a u a u a u a y a x a u a u a u y x u u u             − − − − − − − − − − − − − + −  = +  = + +   = + + +     = + + + +   = + + + + ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n m m n n m m y a y a y a y b u bu b u b u − − − − + + + + = + + + + 依 次 相 加 (1.35) （**） ( ) ( 1) 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 ( ) (1) 0 1 { } { ( ) ( ) ( ) } n n n n n n n n n n n n n n n x a x a x a x u a u a a u a a u b u b u b u          − + − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 注：（**）式各方程等式左边相加结果为（1.35）的左边。相应的， 等式右边相加应该等于（1.35）的右边表达式，即： (***)

比较(***)式中u(n)的系数，可导出系数β.,(i=O,..,n)的计算公式：[β= boβ =b-aβ(1.41)β, = b, -a,β-αzβo：βn-1 = bn-- -α,βn-2 -α,βn-3 -...-an-2β, -an-1βo[β, = b, -a,βn-- -a,βn-2 ...-an-2β, -an--β, -a,βo将(1.43)微分可得各个状态变量(statevariables)的微分方程组：x=j-βou=(x2+βoi+βu)-βou=x2+βuxz =j-βoi-βu=x3 +Bzuxg=x4+βgu..输出方程为：y=x+βu(1.46)xn-1 = xn + βn-ju(1.47)X, = y(n) - Bou(n) -...-βn-2ii- βn-lu=(-anX -an-1X2 -...-a2Xn-1 -ajxn)+βu

比较(***)式中u (n)的系数，可导出系数 i , ( 0, , ) i n = 的计算公式： 0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 1 2 2 3 2 1 1 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 n n n n n n n n n n n n n b b a b a a b a a a a b a a a a a                  − − − − − − − − − −  =  = −   = − −    = − − − − −   = − − − − − − (1.41) 输出方程为： 1 0 y x u = +  (1.47) 将(1.43)微分可得各个状态变量(state variables)的微分方程组：              = − − − − − + = − − − − = + = + = − − = + = − = + + − = + − − − − − − a x a x a x a x u x y u u u x x u x x u x y u u x u x y u x u u u x u n n n n n n n n n n n n n               ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) 0 ( ) 1 1 3 4 3 2 0 1 3 2 1 0 2 0 1 0 2 1                 (1.46)