自动空制原理课件
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8.5离散系统的数学模型差分方程8.5.11。差分的定义所谓差分，对采样信号来说，指两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化趋势来。设离散函数序列为e(kT)，通常为了方便，都省掉T而直接写成e(k)。各阶差分的定义如下：一阶前向差分e(k)=e(k+1) e(k)二阶前向差分2e(K)=[e(k)]e(k+2)2e(k+1)+二e(k)+
8.5 离散系统的数学模型 8.5.1 差分方程 1。 差分的定义 所谓差分，对采样信号来说，指两相邻采样脉冲 之间的差值。一系列差值变化的规律，可反映出采样 信号的变化趋势来。设离散函数序列为e(kT)，通常为 了方便，都省掉T而直接写成e(k)。各阶差分的定义如 下： 一阶前向差分 e(k) = e(k+1) e(k) 二阶前向差分 2e(k) = [ e(k)] = e(k+2) 2e(k+1) + e(k) 2
一阶后向差分 e(k) =e(k) e(k1)二阶后向差分2e(k)=e(k)2e(k1)+e(k)差分表示离散信号变化趋势2.线性常系数差分方程r(k)c(k)线性离散系统c(k)+ac(k1)+azc(k2)+...+anc(k口n)=r(k)+br(k1)+br(k2)+...+bmr(k khj a b,r(k- i)-a a,c(k- i)-3
一阶后向差分 e(k) = e(k) e(k 1) 二阶后向差分 2e(k) = e(k) 2e(k 1) + e(k) 差分表示离散信号变化趋势。 2. 线性常系数差分方程 线性离散系统 r(k) c(k) c(k) +a1 c(k 1)+ a2 c(k 2)+.+ an c(k n) = r(k) +b1 r(k 1)+ b2 r(k 2)+.+ bmr(k m) 3
3.差分方程的解法经典法、选代法和z变换法例8-16已知后向差分方程头为c(k)5c(k1)+6c(k2)=r(k)其中r(k)=1，k□0；初始条件为c(0)=0，c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k)，k=0，1，2，解：c(k)=r(k)+5c(k1) 6c(k2)c(0)=0c(1)=1c(2)=r(2) + 5c(1) 6c(0) =6c(3)=r(3)+5c(2) 口6c(1)=251
3. 差分方程的解法 经典法、迭代法和z变换法 例8-16 已知后向差分方程为 c(k) 5c(k 1)+ 6c(k 2) = r(k) 其中r(k)=1，k 0；初始条件为c(0)=0，c(1)=1。试 用迭代法求输出序列c(k)，k=0，1，2，. 。 解： c(k) = r(k) + 5c(k 1) 6c(k 2) c(0)=0 c(1)=1 c(2)=r(2) + 5c(1) 6c(0) = 6 c(3)=r(3) + 5c(2) 6c(1) = 25 . 4
例8-17已知后向差分方程头c(k+1)bc(k)=r(k)其中r(k)=ak，初始条件为c(0)=0。试求输出c(k)。解：（1）利用z变换位移定理对差分方程两边进行变换，代入相应的初始条件，化成复变量的代数方程。C(z) z c(O) bC(z) =R()（2）求出代数方程的解C(z）。R(z)= Z[ah}=_,c(0)=0z-a7.C(z) =7(z- a)(z- b)5
例8-17 已知后向差分方程为 c(k+1) bc(k) = r(k) 其中r(k)= a k ，初始条件为c(0)=0。试求输出c(k)。 解： （1）利用z变换位移定理对差分方程两边进 行z变换，代入相应的初始条件，化成复变量z的代数 方程。 C(z) z c(0) bC(z) = R(z) （2）求出代数方程的解C(z)。 5
（3）对C(z)求z反变换，得出解c(kT)或c*(t)。C(z)(z - a)(z -b)b-az-ba-hz-aZeuZ7C(z) =-ab8z-az.b1(a- b*)c(k)(k = 0,1,2,L)a-b0
（3）对C(z)求z反变换，得出解c(kT)或c*(t) 。 6
8.5.2脉冲传递函数1、脉冲传递函数的定义在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的变换与离散输入信号的z变换之比称为离散系统的脉冲传递函数c(k)+ac(k1)+ac(k2)+...+a,c(kn=r(k) +b,r(k 1)+ b,r(k 2)+... +m(hmazz2 +...+azn)C(z)=(1+bz1+b2z2+...+bmzm)R(z)bo+biz-1+b2z-2+L+bmz"C(z)G(z) =1+a,z+a2z-2+L +a,z"R(z)
8.5.2 脉冲传递函数 1、脉冲传递函数的定义 在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统 离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比， 称为离散系统的脉冲传递函数。 c(k) +a1 c(k 1)+ a2 c(k 2)+.+ an c(k n) = r(k) +b1 r(k 1)+ b2 r(k 2)+.+ bmr(k m) (1 + a1 z 1 + a2 z 2 +.+ an z n ) C(z) = (1 + b1 z 1 + b2 z 2 +.+ bmz m) R(z) 7
2、脉冲传递函数的意义.c*(t)r*(t)r(t)c(t)G(s)*(t)=Z1[R(2)],c*(t)=Z1C(2))￥c(kT) =a r(nT)g[(k - n)TJ= g(kT)*r(kT)n=0C(z) = G(z) R(z)YC(z)G(z) =a g(kT)z-k = Z[g*(t)R(z)k=()系统的脉冲传递函数是单位脉冲响应序列的变换。8KIN
2、脉冲传递函数的意义 G(s) r(t) c(t) r*(t) c*(t) r*(t)= Z 1 [ R(z)]， c*(t)= Z 1 [ C(z)] C(z) = G(z) R(z) 系统的脉冲传递函数是单位脉冲响应序列的z变换。 8
3、脉冲传递函数的求法（1）由差分方程求脉冲传递函数令初始条件为零，对方程两端进行z变换整理一脉冲传递函数例8-18已知离散系统的差分方程为c(k+2) 2c(k+1)+c(k)=Tr(k+1)试求脉冲传递函数G(z)。解：(z2 2z+1)C(z) = TzR(z)TzC(z)2=G(2)=2.22+1R(z)U
3、脉冲传递函数的求法 （1）由差分方程求脉冲传递函数 令初始条件为零，对方程两端进行z变换 → 整理 → 脉冲传递函数 例8-18 已知离散系统的差分方程为 c(k+2) 2c(k +1)+ c(k) = Tr(k+1) 试求脉冲传递函数G(z)。 解： ( z 2 2z+1 )C(z) = TzR(z) 9
（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数例8-19已知离散系统的差分方程为10G(s) :s(s + 10)试求脉冲传递函数G（z）。解：G(s)=$+10z(1- e-107)ZZG(z) =107(z - 1)(z - e- 107)Z-1e-10
（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 例8-19 已知离散系统的差分方程为 试求脉冲传递函数G(z)。 解： 10