第5章系统运动的稳定性5.1外部稳定性和内部稳定性5. 2李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理5. 4连续时间线性系统的状态运动稳定判据5.5线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计
第5章 系统运动的稳定性 5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定判据 5.5 线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计
5.1外部稳定性和内部稳定性外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性的关系
5.1 外部稳定性和内部稳定性 ➢ 外部稳定性 ➢ 内部稳定性 ➢ 内部稳定性和外部稳定性的关系
稳定性是系统的另一个重要特征。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。实际系统必须是稳定的。外部稳定性：通过输入一输出关系来表征。内部稳定性：零输入下状态运动的响应来表征。满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系
系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。 稳定性是系统的另一个重要特征。 实际系统必须是稳定的。 外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。 内部稳定性 ：零输入下状态运动的响应来表征。 满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系
外部稳定性考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入u(t），即满足条件：[u(t)] ≤k, <00 , Vt e[fo,0]的输入 u(t），所对应的输出 y(t）均是有界的,即成立y(t)l ≤k, <00 , Vte[to,0)则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入一有界输出稳定，简称为BIBO稳定
考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入 ， u t( ) u t( ) 稳定，简称为 B I B O 稳定。 y t( ) u t k t t ( ) , , 1 0 ) 即满足条件： 的输入 ，所对应的输出 均是有界的，即成立 则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入—有界输出 ➢ 外部稳定性 y t k t t ( ) , , 2 0 )
BIBO稳定判别准则x = A(t)x + B(t)ux(to)= 0y= C(t)x + D(t)u结论 5.1[时变系统]对于零初始条件的线性时变系统，表H(t,T)为其脉冲响，存在一应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，个有限正数k，使对于一切t [to,）,H(t,）的所有hi,(t,t)(i=1,2,.,q;j=1,2,..,p)均满足关系式["h,(t,t)dt ≤k<00
所有 BIBO稳定判别准则 结论 5.1 [时变系统] 均满足关系式： 0 ( , ) t ij t h t d k 应矩阵，则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一 k t t 0 , ) ( , ) ( 1,2, , ; 1,2, , ) h t i q j p ij = = 个有限正数 ，使对于一切 ， 的 对于零初始条件的线性时变系统，表 H t( , ) 为其脉冲响 H t( , ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x A t x B t u y C t x D t u x t = + = + =
证明：分成两步来证明首先，考虑p=9 =1，即单输入一单输出的情况。[' |h(t,t)ldt ≤ k <o0成立,先证充分性：已知且任意输入u(t)满足 u(t)|≤k <0,t [fo,)那么利用由脉冲响应函数h(t,）表示输出 (t)得[(0)|=[" h(,T)u(t)dt≤ h(, )lu(t)]dt<k [" h(t,t)]dt ≤kik= k, <00由定义知：系统为BIBO稳定
首先，考虑 ，即单输入—单输出的情况。 证明 ：分成两步来证明 p q = =1 先证充分性 ：已知 成立， 0 0 0 1 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t t t y t h t u d h t u d k h t d k k k = = 且任意输入 满足 0 ( , ) t t h t d k 得 那么利用由脉冲响应函数 表示输出 u t( ) 由定义知：系统为 B I B O 稳定。 u t k t t ( ) , , 1 0 ) h t( , ) y t( )
证必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定设存在某个t, E[to，），使[" |h(t, t)]dt = 00定义如下有界输入+1,h(ti,t) >00.h(ti,t) = 0u(t) = sgnh(ti,t) = 3-1,h(ti,t)<0考察由它作用下所产生的输出(t)，易知y(t)= [" h(t,T)u(t)dt = ["|h(t1,T)]dt = 00表明输出无界，与BIBO稳定相矛盾。从而"h(t,t)]dt≤k<00, Vte[to, 0)
证必要性 ：采用反证法，已知系统B I B O 稳定 t t 1 0 , ) 使 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t y t h t u d h t d = = = 定义如下有界输入 1 0 ( , ) t t h t d = 从而 表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。 1 1 1 1 1, ( , ) 0 ( ) sgn ( , ) 0, ( , ) 0 1, ( , ) 0 h t t u t h t t h t t h t t + = = = − 考察由它作用下所产生的输出 y t( ) ，易知 ) 0 0 ( , ) , , t t h t d k t t 设存在某个
多输入一多输出情况系统输出 y(t)的分量 y,(t)满足关系式[y(0)] =['[h(t,t)u(t) +..+ h,(t,t)u,(t) dt'" h,(t,t)u(t)dt|+...+[" hp(t, t)u,(t)dt且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO情形，可证得此结论
y t( ) 多输入—多输出情况 系统输出 的分量 y t i ( ) 满足关系式 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t i i ip p t t t i ip p t t y t h t u h t u d h t u d h t u d = + + + + 且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO 情形，可证得此结论
x = Ax + Bu结论5.2[定常系统]y=Cx+Du x(0)=0令初始时刻to=0，对于零初始条件的线性定常系统，H(t)为其脉冲响应矩阵，，G(s)为其传递函数矩阵，则系统为BIBO稳定存在一个有限正数k ，使 H(t）的每一个元h,(t)J。|h,(t)]dt ≤ k< 80(s)（真或严格真）的所有极点均具有负实部
结论 5.2 [ 定常系统 ] 0 ( ) h t dt k ij 则系统为 B I B O 稳定 k G s( ) ( ) 存在一个有限正数 ， 使 的每一个元 h t ij 0 对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 t = 0 ， G s( ) （真或严格真） 的所有极点均具有负实部 H t( ) 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵， H t( ) (0) 0 x Ax Bu y Cx Du x = + = + =
内部稳定对于线性时变系统x = A(t)x + B(t)uy= C(t)x + D(t)ux(to) = xo定义5.2[内部稳定]如果外输入u(t)=O，由任意非零xo引起的零输入响应Xou (t)满足关系式：lim Xou (t)= 0t>80则称系统在时刻to是内部稳定的
对于线性时变系统 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x A t x B t u y C t x D t u x t x = + = + = 0 ( ) u x t u t( ) 0 定义5.2 [内部稳定] 如果外输入 ，由任意非零 引起的零输入响应 满足关系式： 则称系统在时刻 是内部稳定的。 ➢ 内部稳定 0 x 0 lim ( ) 0 u t x t → = 0 t