自动空制原理课件
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※7.．3．4奇点和奇线引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下两个基本特征
※7．3．4 奇点和奇线 引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹， 而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能 的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面 图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动 状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下 两个基本特征。 2
1． 奇点奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点，就是指相轨迹的斜率dx/dx=0/0为不定值的点，因此可以有无穷多条相轨迹经过该点。由于在奇点处，dx/dt =0，dx/dt =0这表示系统处于平衡状态，故奇点亦称为平衡点。+ a,(x, &&+ ao(x, &x = 0i&=x2令xi=x, x,= i& = - a,(x,x,)x2 - ao(xi,x2)xi&=x2i x, =0i& =Q(xi,x,)iQ(xi,x,) = 03
1．奇点 奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点，就 是指相轨迹的斜率d /dx = 0/0为不定值的点，因此可 以有无穷多条相轨迹经过该点。 x 由于在奇点处，d x/dt =0，dx/dt = 0这表示系统处 于平衡状态，故奇点亦称为平衡点。 令x1 = x，x2 = x 3
奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小偏差理论，在奇点（xio，x2o）附近展开成泰勒级数10( - x0)+ 10Q(x,x2)= Q(x10,X20) +X, +LIxi (x10+x20)Ix2 (x10,x20)Q(X10, X20) = 01010Q(x1,x2) =(xi - Xi0)+X2Ix; (x10,x20)Ix2 (x10,x20)i&=X2- d- cx, = 0i& = cx, + dx2& d&- cx=04系统在奇点附近的线性化方程
奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于 此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小 偏差理论，在奇点（x10，x20）附近展开成泰勒级数 Q(x10，x20) = 0 系统在奇点附近的线性化方程 4
系统在奇点附近的运动状态就由上式的两个特征根决定。根据特征根的分布情况，系统相应有六种奇点：稳定节点两个负实根相轨迹是一簇趋向原点的抛物线。系统在奇点附近是稳定的。不稳定节点（一一两个正实根相轨迹是由原点出发的一簇发散型抛物线。系统在奇点附近是不稳定的。稳定焦点一一在左半平面的一对共轭复数根相轨迹是收敛于原点的一簇螺旋线。系统在奇点附近是稳定的。不稳定焦点在右半平面的一对共轭复数根福相轨迹为一簇从原点发散的螺旋线。系统在奇点附近是不稳定的
系统在奇点附近的运动状态就由上式的两个特征 根决定。根据特征根的分布情况，系统相应有六种奇 点： 稳定节点 —— 两个负实根 相轨迹是一簇趋向原点的抛物线。系统在奇点附 近是稳定的。 不稳定节点 —— 两个正实根 相轨迹是由原点出发的一簇发散型抛物线。系统 在奇点附近是不稳定的。 稳定焦点 —— 在左半平面的一对共轭复数根 相轨迹是收敛于原点的一簇螺旋线。系统在奇点 附近是稳定的。 不稳定焦点 —— 在右半平面的一对共轭复数根 相轨迹为一簇从原点发散的螺旋线。系统在奇点附 近是不稳定的。 5
鞍点一一个负实根，一个正实根系统在奇点附近是不稳定的。中心点一一对纯虚根相轨迹是一簇同心的椭圆曲线。系统在奇点附近可能稳定，可能不稳定，与忽略掉的高次项有关系XX0L
鞍点 —— 一个负实根，一个正实根 系统在奇点附近是不稳定的。 中心点 —— 一对纯虚根 相轨迹是一簇同心的椭圆曲线。系统在奇点附 近可能稳定，可能不稳定，与忽略掉的高次项有关系。 x x 0 0 j 6
xCsxSixxX=SXX0jXIXI口XX01
x x 0 x= s 2 x x= s 1 x x x 0 x= s 1 x x= s 2 x 0 j 0 j 7
jXXX00XXXTxX8
x x 0 x x 0 0 j 0 j 0 j x x 0 8
[例7-7]试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。&+0.5&+2x+ x2 = 0解：（1）确定奇点。令x,=x, x,=i&=X2i& = - 0.5x2 - 2x, - x根据奇点的定义，得ix, =01 - 0.5x2 - 2x - x2 = 0ix,=x=0ixi =x=-21x2 =&=0ix =&=09
[例7-7] 试绘制由下列方程描述的非线性系统的相 平面图。 根据奇点的定义，得 解：（1）确定奇点。 令x1 = x，x2 = x 9
(2）石确定奇点的类型在奇点（0，0）附近，可得系统的线性化方程为&+0.5&+ 2x = 0它的两个特征根为-0.25口j1.39，故该奇点是稳定焦点。在奇点（口2，0）附近，由于该奇点不在坐标原点，先进行坐标变换，令y=x+2，则此时系统的线性化方程为&+0.5& 2y=0它有两个特征根1.19和口1.69，因此这个奇点为鞍点。10
（2）确定奇点的类型。 在奇点（0，0）附近，可得系统的线性化方程为 它的两个特征根为 -0.25 j1.39，故该奇点是稳定焦 点。 在奇点（ 2，0）附近，由于该奇点不在坐标原 点，先进行坐标变换，令y = x+2，则此时系统的线性 化方程为 它有两个特征根1.19和 1.69，因此这个奇点为鞍 点。 10