一端带刚性质量的变截面梁的振动问题

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1990.03.015 北京科技大学学报 第12卷第3期 Vol.12 No.3 1990年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 1990 一端带刚性质量的变截面梁的振动问题 杨揆 一 摘要：一端搭有刚性质量的变藏面悬件梁的振动问题，应用于塔式建筑结构。借助 子Besse1函数，给出了振动系统的须书方程，并在一些参数值变化的情况下，给出了若干 组前三阶频率值。得到的所有基频与已有文献中的结果完全一致，并能算出系统的任意阶频 事。 关健词：弹性约束，须事，扭转弹簧 Vibrations of A Beam of Varying Cross Section with End Mass Yang Kuiyi ABSTRCTA:The vibrations of beam with a mass attached to its end is discussed. This model applied to civil engineering towers.By using Bessel functions,the frequancy equation is obtained.The frequancy values of the first mode,2nd mode and 3rd mode for many cases are calculated.The fundamental frequancy calculated by present paper are agreement with other approximate method,but present method can calculate the frequancy of any orders. KEY WORDS:etastically restrained,frequancy,rotational springs 1概 述 一些塔形建筑结构，如矿井提升井塔等，可简化成图1所示的力学模型。D.A.Grant1】 处理了顶端物体为集中质量的等截面梁问题。C,W.S.To〔)考虑了顶端物体的几何参数和 转动惯量。J,H.Lau(3)用Bessel函数解出了变截面梁振动的各阶频率，限于附带的是集中 1989一05一06收稿 ·数力系(Dept,of Math,and Mech,) 289

第” 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 一端带刚性质 量 的变截面梁 的振动问题 杨 换 一 ’ 摘 要 一端带有 刚 性质量 的变 截面悬 臂梁的振 动问题 ， 应用 于塔 式 建 筑 结 构 。 借 助 于 “ 函 数 ， 给 出了振 动 系统 的 频 率方程 ， 并在一 些 参数 值变化 的 情况下 ， 给 出 了若 干 组前三阶 频率值 。 得 到的所有 基频与已 有 文献 中的结果完全 一致 ， 并能 算出系统 的任 意阶 频 率 。 关 健词 弹性 约 束 ， 频率 ， 扭转弹 簧 ， 、 、 犷 盯 ， · · ， · 犷 ， · 五 ， · 兰 · ， 了 ， 、 概 述 一些塔形建筑 结构 ， 如 矿井 提升井塔等 ， 可简化成图 所示 的力 学模 型 。 〔 ‘ ’ 处理 了顶端 物体为 集 中质量 的 等截面梁 问题 。 。 〔 “ ’ 考虑 了顶 端物体 的 几 何参 数 和 转动惯量 。 〔 “ 〕 用 函数解 出了变截面梁振 动的各 阶频率 ， 限于附带的是集 中 一 一 收稿 数 力系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．03．015

质量，且右端为固定端。P.A,A.Laura等c)用Ray leigh-Schmidt近似方法研究了质量具 有几何尺寸和转动惯量的变截面梁振动问题， 由于近似方法的局限，仅给出了系统的一阶频 中。在上述研究基础上，考虑了左端质量的几 何参数和转动惯量，右端拓宽为弹性约束，对 图1梁的力学模型 于这种力学模型给出了求解各阶频率的方法， Fig.1 The model sct of mechanics 且计算了若干情况下的前三阶固有频率的具 休数值。 2 分 析 设横截面的两个方向尺寸均与轴向尺寸成线性关系，例如半径与轴向尺寸成比例的圆载 面梁，边长与轴向尺寸成比例的方形截面梁等等。记轴向坐标为x,则其截面积可写成 A(x)=ax2,截面惯性矩可写成T(x)=bx4,其中9，b为取决于结构尺寸的无量纲系数。 把它们代人变截面梁的振动方程： 02 (1) 其中y=y(x,)为梁的挠度，E为材料弹性模量，p为材料密度。设y(x,t)=4(x)sin@1, 则方程化为 dx+8x diu x2diu dx+12diu 2dx2-k4u=0 (2) 其中 A=2%o2 (3) 此方程的通解是 u(x)=u-J{C1J2(2kx12)+C2Y2(2kx12)+C3I:(2kx12)+C.K2(2kx12)} (4) 其中J2,Y2,I2,K2分别为二阶Bessel函数和变型的二阶Bessel函数；C1,C2,C3, C.为待定常数。 坐标原点的位置并不能任意假定，根据条 件A(x)=ax2可以找出原点的位置（图2）。 设梁左端的坐标为x1,右端坐标为x2,附彬 %2 质量为M，其质心距边缘距离为d,转动惯量 图2梁的坐标及受力分所 为J,由图2分析可得梁的边界条件如下： Fig.2 Coordinates and forces of the 在x=x处 bcam Q=E, =Muco2 1 290

质 量 ， 且 右端为固定 端 。 担 卜一－ 一 一一一州 图 梁的 力学摸型 玉 等 亡‘ 〕 用 洛 一 一 近似方法研究了质量 具 有几何尺 寸和 转动惯量的 变截面 梁振 动 问题 ， 由于近似 方 法 的 局 限 ， 仅给 出了系统的 一阶频 率 。 在 述 研 究基础上 ， 考 虑 了左 端质量的 几 何 参数和 转 动惯 量 ， 右 端 拓宽为弹性约 束 ， 对 于这 种力 学模 型给 出了求解各阶频率的方法 ， 月 计算出 了若 千情况下 的 前三 阶固 有频率的 具 体 数值 。 分 析 设 横截面的两 个方向尺 寸均 与轴向尺 寸成线 性关系 ， 例 如半径 与轴向尺 寸成比例 的圆截 面梁 ， 边长 与轴 向尺 寸 成 比例 的 方形 截 面 梁等 等 。 记轴 向坐标 为 ， 则 其 截 面 积 可 写 成 “ ‘ ， 截面惯性矩 可写 成 ‘ ， 其 中 马 ， 为取 决 于结 构尺 寸的无 量纲 系数 。 把它们代人 变截面 梁的 振 动方程 。工 一 〔 二 ，宗〕 · ， · 豁 。 其 中 ， 为梁的挠度 ， 为材料弹 性 模 量 ， 为材料密 度 。 设 夕 ， “ 二 ， 则方程化 为 刁 ， “ 工 ‘ 王 、 一 万不 而丁 一 左 ’ “ 其中 “ ‘ 二 咒 此方 程 的通解是 牛 “ 一 ’ 其 中 ， ， 几 ‘ 为 待定 常数 。 ， 寿 ‘ ， “ 寿劣 ‘ ， 、 七 之 ” ‘ 吞义 ” “ 分 别 为 二阶 函数和 变型的 二阶 函数 ， ， ， 坐标原点的 位置并 不能 任意假定 ， 根据 条 ’ 件 二 。 二 可 以 找 出原点的位 置 图 。 设 梁左端 的坐标 为 ， 右端坐 标 为 二 ， 附带 质量 为 ， 其质 心距 边 缘 距 离 为 ， 转 动惯 歇 为 ， 由图 分析可 得梁的 边 界条件如下 在 二 二 ，处 图 粱的 坐 标 及受 力分 析 急 。 洽 ， 尝梦 二 划 。 艺

=M41o2-Md- du dx 02 (5) 其中下标1表示在x1处取值。 M-E du =-Jx @2+Q1d =-(J+Md2)du @2+Mudo2 (6) x 在×=×2处 u2=0 () du =-Ma=-E:x。 d2u (8) 其中中是右端扭转弹簧系数，下标2表示在x=x2处取值。 从(4)式出发，应用Bessel函数的下列关系式： 是2(z-.(2)}=-z-(Z,2fzJ(2}=zJ(2, {z-y2}=-zy1(2,22y,(②}=zY-2, 2〔z-7.(3}=z1,1(Z,2{z1(z}=21-1(Z, 2〔z-K.(②}=-2K2,2{2K3}=-ZK-1② 可得 盟-x{-,eC-Y2x)C+2x9C,-K,2x13)C} (9) =x-(J,2x)C+y.2x)C+1.2x)C+K,2x)C,) (10) 〔E6x‘)=E6sx{J,2x)C+Y,(2x)C+1,2x1)C- K3(2kx12)C4} (11) 代人边界条件(5)、(6)、(7)、(8)，用(3)式简化后并令 291

二 ‘ 。 一 一 一一 。 “ “ 劣 其 中下 标 表示在 二 处取值 。 百了 。 “ ， 二 一 五 。 五了 。 一了 口一， 、 、 在 二 二 二 处 左 习 。 必 一下 一 八了 ， 二 一 灯 ， 下 一 ‘ ’ 。 其 中 必是 右端扭 转弹簧系数 ， 下标 表 示在 二 二 处取值 。 从 式 出发 ， 应用 函数的下列关 系式 ， 、 ， 一 豆玄 戈乙 一 “ 。 戈乙 一 乙 一 “ 。 山 ‘ 乙 ， ， 百 悦乙 ” 。 乙 ” 。 。 去 一 卜 一 一 ” 一 ‘ ， 洽 · 卜 “ 一 ， ， ， 弋乙 一 ’ ‘ 。 乙 二 乙 一 “ 。 ， 乙 ， 瑟 乙 ” 乙 ‘ “ 一 乙 ， ， ， 丈乙 一 “ 人 乙 一 乙 一 ” 八 ， 乙 ， 才 弋乙 ” 入 乙 一 乙 “ 人 一 ‘ 戈乙 一尸尸， 一 可得 “ 口 、 ， ， ， 。 、 、 二 ， ， ， 。 、 ， ， 。 、 。 二 ， ， ， ， ， 。 、 一 百万 介义 一 “ ‘ 戈 一 总 “ ‘ “ 一 了 翔戈 “ ‘ 〕 ‘ ， 又艺“ “ 一 一 八 气 尺 “ ‘ ‘ 全 二 秃“ 一 几 ’ 尹 ’ 、 寿戈 声 儿 ’ 尹“ 。 义 ‘ ，“ ‘ 其 厂 。 二 劣 ‘ 、 “ 劣 〕 二 ” 二 ‘ ‘ ‘ ‘ ” 十 “ ‘ ’ ， “ “ ” 。 及二 ， 、 代人 边界条件 、 、 、 ， 用 式简化 后 并令

Mdk2 Mk a1=paxy’ = pax572 (12) ks(J+Md2) Ebkx712 3=- paxTii, 04= 且引入符号 J1=J1(2kx}2) (=12) (13) i=2,3,4 (Y:1,I,1,K:!的意义类同)，则边界条件最后可化为如下形式的齐次线性方程组： a11C1+012C2+a13C3+a,C4=0,(i=1,2,3,4) (14) 其中各系数a:」为 a11=(1-a1)J31-a2J21 a12=(1-a)Y1-a2r21 a13=(1+a1)I31-a2I21 a14=(-1-a1)Ks1-a2K21 a21=J41-a3J31-a1J21 a22=Y41-a3Y1-a1Y21 (15) a23=I41+43I31-a121 a24=K41-a3Ks1-a1K31 a31=J22,02=Y23,a33=I22,a34=K22 a41=aJ42-J32,a42=a,Y42-Y32 a43=a,I42+I32,a44=a,K43-K32 当给定的k值使得系数行列式|a1}=0时，便是行列式的根，由式(3)可以转换成系统的自 然频率ω。于是求系统的各阶频率归结成求解四阶行列式|a:|=0的根。 3数值计算 在求频率的过程中含有求各阶Bessel函数值的环节。无论是查函数表还是用其展开式计 算都使整个过程过于繁杂。然而工程实际中的变截面梁绝大多数能使得x1和x?的数值较 大，以致于使得满足|1|=0的2kx12>16,这就满足了使用了近似式的条件。例如，当 Z>15.9有 12)=√z{in(2+牙)+82sin(2-牙)} J1(z)=√是{sin(z-牙）+8zin(z+年)} 其他各类Bsse】函数也都有其近似公式。有了0阶和1阶的函数值，便可以求出任意阶的函 292

寿， 一 万 一下尸 ， “ ‘ ” ， ， 庵 一 户 、 ， ， ， 一 功 且 引入 符号 】 二 尹 收 ， ， 』， ， 的意 义类同 ， 则边界条件最后可 化为如下形式的齐次线 性方程组 ， 。 ‘ ， 二 ， ， ， 其 中各 系数 。 为 一 一 一 一 一 一 一 ‘ 一 一 一 一 一 二 ‘ 一 一 口 一 一 一 一 一 “ 尤 二 ， ， ， 。 一 一 一 ， 一 一 一 一 ‘ 一 ， “ 一 一 当给定 的 值使 得 系 数行 列式 。 ‘ ， 二 时 ， 便 是 行 列式 的根 ， 由式 可 以 转 换 成 系 统 的 自 然 频 率 。 。 于 是 求 系统 的各阶 频 率 归结 成求解 四 阶行 列式 的根 。 数 值 计 算 在 求 频 率的过 程 中含有求各 阶 函 数值 的环 节 。 无 论是查 函数表 还是用其展开 式计 算都使整 个过 程 过 于 繁杂 。 然而 工 程 实际 中的 变截 面梁绝大 多数 能使 得 二 ， 和 幻 的数 值 较 大 ， 以致 于使 得满足 卜 。 的 扮 ‘ 夕’ ， 这 就满 足 了使用 了近似式的 条件 。 例 如 ， 当 有 ‘ ， 了矗 ·‘· 履 一 知 · 一 于 一 ‘ ， 丫扁 ‘· 一 令 矗 · 于 其 他各 类 函数也 都有其近似公 式 。 有 了 阶和 阶的函 数值 ，便 可 以 求 出任意阶的 函

数值。这样，求频率的整个过程可以写成一个完整的计算机程序。 为了分析各参数对频率的彩响，并和已有文献的结果相比较，计算出了若干数值结果如 下： (1)不考虑附带物体的转动惯量和几何参数的悬臂梁（即J=0,d=0,中=∞）。 设梁的截面为正方形，在x1处截面积为1×1，在x2处为1.2×1.2，梁长L=15。由 这些原始数据得到a=1.77778×10-4,b=0.263374×10-8,x1=75,x2=90。设梁的质 量为Mv,附带质量为M,引入比值y=M/M,对于不同附带质量的系统前三阶值列于 表1，其中带·的数字是文献〔4)转换后的结果。 表1J=0,d=0,=0条件下的前三阶值 Table.1 Values of k,k2 and ks for case of J=0,d=0,p=o :值 k1 k2 ks 1.231 y=0 2.91 4.79 1,231 2.62 4.14 y=0.2 1.402 1.402 =0.4 0.942 2.54 4.38 0.943 (2)考虑附带刚体的几何参数和转动惯量的悬臂梁（即J≠0，d≠0，中=∞）。 为和文献〔4)比较，设梁的左端截面为1×1，右端截面为1.1×1.1，梁长L=15,并设 y=1。按照习惯，把刚体的转动惯量用其回转半径r。来表示，即J=Mr。求出了两组不 同d值和不同r。值系统的前三阶k值列于表2。文献〔4〕中的基频参数也转换成了k1列千 表中（只有两位有效数字）。 表2中=∞，y=1条件下的各阶值 Table.2 Values of k,k2 and ks for case of =oo,y=1 是值 k1 k2: k3 d=6 ”g=12 0.754 1,736 4.15 0.75 ”0=15 0.714 1.653 4.13 0.71 d=9 ”。=12 0.712 1.801 4.19 0.71* ”0=15 0.682 1.709 4.16 0.68 (3)右端扭转弹簧系数对频率的影响。 293

数值 。 这样 ， 求频率的整个过程可以写 戍 一个完整的计算机程序 。 为 了分 析各 参数对频率的影 响 ， 并 和 已有文献 的结果 相 比较 ， 计算 出了若 千数值结果如 下 不考虑附带物体 的转动惯 量和 几何参数的 悬 臂梁 即 二 ， ， 功 。 设梁 的截面为正 方形 ， 在 二 处截面 积 为 ， 在 处为 ， 梁长 。 由 这 些 原始数据得到 二 一 ， 。 一 ” ， 二 ， ， 二 。 设 梁 的 质 量 为 丫 ， 附带质量为 ， 弓入 比值 夕 二 厂 ， 对于 不 同附带质 量 的 系统 前三 阶 值列 于 表 ， 其 中带 · 的数 字是 文献 〔 礴 ’ 转换后 的结果 。 、 、 表 ， ， 叻二 条件下 的前三 阶 值 ， 寿 ， 二 ， 叻 一 一 值 汤 乏 。 。 。 夕 。 。 。 。 二 。 。 。 考虑附带 刚体的 几何参数和转动惯量 的 悬臂梁 即 了笋 。 ， 护 。 ， 功 。 为和 文献 〔 〕 比较 ， 设梁 的左 端截面为 ， 右端截 面 为 ， 梁长 二 ， 并 设 夕 。 按照 习惯 ， 把刚体 的转动惯 量用 其回转半径 。 来 表示 ， 即 二 若 。 求 出了两 组 不 同 值和 不 同 。 值 系统 的 前三 阶 寿值列于 表 。 文献 〔 〕中的基频参数也 转 换 成 了 ， 列 于 表 中 只 有两 位有 效 数字 。 表 叻 ， 夕 条件下 的各 阶 值 ， 值 叻二 的 ， 夕 。 。 。 内月﹄子才‘ 土︸生，，上 ﹄奋 。 。 。 。 右端扭转弹簧系数对频率的影 响

梁的尺寸同前，设d=0,y=1计算了中=∞，=Ebx:/6以及中=Ebx:/153个数值 下的前三阶k值列于表3。（注：文〔4）中的中是本文中中的倒数再乘以各项常数) 表了d=0,y=1时，扭转弹簧系数对k值的影响 Table.3 Influence of rotational spring constant (d=0,y=1) k值 k2 灯 中=m 030 1.071 3.40 5.98 1.071° 10=4.5 1.027 2,10 4.15 1.026 =Eh:2/6 Y。=0 0.877 2,95 5.45 0.879 "0=4.5 0.851 1.963 3.70 0.856 p=Eb:5/15 1'070 0.75 2.84 5.37 0.757 10=4.5 0.738 1.919 3.61 0.74° 4结 论 (1)求图1所示系统的固有频率可以归结为求解按式(15)规定的行列式的根。 (2)可以求出任意阶的系统频率。 (3)求得的基频与用Rayleigh-Schmidt方法得到的结果完全一致。 参考文献 1 Grant D A.Jour.Appl.Mech.,1975;42:878 2 To C W S.Jour.Sound and Vibration,1982;83:445 3 Lau J H.Jour.Appl.Mech.,1984;51:182 4 Laura P AA,Gutierrez R H.Jour.Sound and Vibration,1986;108:123 294

梁 的尺 寸 同 前 ， 设 下 的 前三 阶 值列于 表 。 ， 夕 计算了 功 ， 功二 旅 全 以及 价二 心 个 数 值 注 文 〔 〕 中的 必是 本文 中 叻的 倒数再 乘以各 项 常数 表 ， 夕 时 ， 扭转 弹赞系教 对 值 的影 晌 ‘ 。 ， 夕 圣 值 左 玉 圣 功 。 飞 ’ 二 ，， 。 。 ’ 。 价二 “ ‘ 里 ， 。 二 。 。 · ’ 。 价 刃“ 二 孟八 。 。 。 ， ’ 。 。 。 结 论 求 图 所示 系统的 固有 频 率可 以 归结为 求解 按式 规定 的行 列式 的根 。 可 以求 出任意阶 的 系统 频率 。 求 得的基频与用 一 方法得到 的结果 完全 一致 。 今 考 文 献 · · ， ， ， ，