课时授倮计划 第28次谋 【教骨银题】:§6-3扭转的度条件 【学目的】:掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形、掌握强度 条件和刚度条件及其应用 【喾重点及处理方法】:圆轴扭转时横截面上的应力扭转的强度条 件和刚度条件及应用。 处理方法:详细讲解 【教兽卓点及处理方法】:圆轴扭转时横截面上的变形 处理方法:结合例题分析讲解 【教学方法】:讲授法 【敬具】:三角板 【时间分配】:引入新课5min 新课80min 小结、作业5min
课 时 授 课 计 划 第 28 次课 【教学课题】： §6-3 扭转的强度条件 【教学目的】：掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形、掌握强度 条件和刚度条件及其应用 【教学重点及处理方法】：圆轴扭转时横截面上的应力扭转的强度条 件和刚度条件及应用。 处理方法： 详细讲解 【教学难点及处理方法】：圆轴扭转时横截面上的变形 处理方法： 结合例题分析讲解 【教学方法】: 讲授法 【教具】：三角板 【时间分配】： 引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min
第28次课 【提示启发引出新课】 前面已经讨论了扭转的扭矩的计算,扭矩图的绘制,圆轴扭转的 应力的计算公式,强度条件。在本次课中讨论扭转的强度的应用及刚度 条件及应用。 【新课内容】 6.3圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6.3.1圆轴扭转时横截面上的应力 应力与变形有关,观察变形:
第 28 次课 【提示启发 引出新课】 前面已经讨论了扭转的扭矩的计算，扭矩图的绘制，圆轴扭转的 应力的计算公式，强度条件。在本次课中讨论扭转的强度的应用及刚度 条件及应用。 【新课内容】 6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．3．1 圆轴扭转时横截面上的应力 应力与变形有关，观察变形：
在小变形的情况下: (1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化:;各圆周线 绕轴线转动了不同的角度 (2)所有纵向线仍近似地为直线,只是同时倾斜了同一角度g 扭转变形的平面假设:圆轴扭转时,横截面保持平面,并且只在原地发 生刚性转动。 在平面假设的基础上,扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一 样,绕轴线作相对转动,由此可以得出 (1)扭转变形时,由于圆轴相邻横截面间的距离不变,即圆轴没 有纵向变形发生,所以横截面上没有正应力。 (2)扭转变形时,各纵向线同时倾斜了相同的角度:各横截面绕 轴线转动了不同的角度,相邻截面产生了相对转动并相互错动,发生了 剪切变形,所以横截面上有切应力。 根据静力平衡条件,推导出截面上任一点的切应力计算公式根据静 力平衡条件,推导出截面上任一点的切应力计算公式
在小变形的情况下： （1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线 绕轴线转动了不同的角度。 （2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度 g 。 扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发 生刚性转动。 在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一 样，绕轴线作相对转动，由此可以得出： （1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没 有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。 （2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕 轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了 剪切变形，所以横截面上有切应力。 根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式根据静 力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式
式中,τp为横截面上任一点的切应力(MPa);M为 横截面上的扭矩(Nmm);p为欲求应力的点到圆心的距离(mm); l为截面对圆心的极惯性矩(mm3)。 圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大(p=R),其值为 MR M ma? max R 式中,W为抗扭截面系数(mm3) 极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质,其大小与截 面的形状和尺寸有关 (1)实心轴,设直径为D, ≈0.1D ≈0.2D (2)空心轴,设外径为D,内径为d,c=dD
式中，为横截面上任一点的切应力（MPa ）；MT 为 横截面上的扭矩（N mm ）； 为欲求应力的点到圆心的距离（mm ）； I 为截面对圆心的极惯性矩（mm 4）。 圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大(=R )，其值为 式中，Wp为抗扭截面系数（mm 3） 极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截 面的形状和尺寸有关。 (1) 实心轴， 设直径为 D， (2)空心轴，设外径为 D，内径为 d，=d/D
R16 6.3.2圆轴扭转时的强度计算 对于阶梯轴,因为抗扭截面系数W不是常量,最大工作应力不 定发生在最大扭矩Mmx所在的截面上。要综合考虑扭矩M和抗扭截面 系数W,按这两个因素来确定最大切应力m。 塑性材料:[r(0.5~0.6[o 脆性材料:[r](0.8~1.0)[ol
6．3．2 圆轴扭转时的强度计算 对于阶梯轴，因为抗扭截面系数 Wp不是常量，最大工作应力 max不一 定发生在最大扭矩 MTmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩 MT 和抗扭截面 系数 Wp，按这两个因素来确定最大切应力 max。 塑性材料： =() l 脆性材料： =() l
例6-1某一传动轴所传递的功率P=80kW,其转速n=582m/mi, 直径d=5m,材料的许用切应力τ]=50MPa,试校核该轴的强度 解(1)计算外力偶矩 M.=9.5510=9.510580N.m=1312700y.m (2)计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作 用,由截面法得Mr=M=l312700Nmm (3)校核强度 r1312700 MPa=39.5MPa<[tl M.0.2×55 所以,轴的强度满足要求 6.4圆轴扭转时的变形和刚度计算 6.4.1圆轴扭转时的变形扭角 t一一圆轴扭转时,任意两横截面产生的相对角位移。 等直圆轴的扭角φ的大小与扭矩M及轴的长度L成正比,与横截 面的极惯性矩ψ成反比,引入比例常数G
例 6-1 某一传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速 n=582r/min ， 直径 d=55mm ，材料的许用切应力=MPa，试校核该轴的强度。 解 （1）计算外力偶矩 （2）计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作 用，由截面法得 MT=Me=1312700N mm （3）校核强度 所以，轴的强度满足要求。 6．4 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6．4．1 圆轴扭转时的变形扭角 t——圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移。 等直圆轴的扭角的大小与扭矩 MT 及轴的长度 L 成正比，与横截 面的极惯性矩 Ip 成反比，引入比例常数 G
M-L △L= FNL EA φ为扭角(rad);G为材料的切变模量(GPa)。 当扭矩Mr及杆长L一定时,GD越大,扭角φ就越小,Gp反映 了圆轴抵抗扭转变形的能力,称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭 矩值有变化,或轴径不同,则应分段计算出相应各段的扭角,然后叠 加 6.4.2扭转时的刚度计算 等直圆轴的刚度条件 =为单位长度的最大扭角,单位为rad/m,而工程上许用单位长 度扭角[0的单位为%m 注意:对于阶梯轴,因为极惯性矩l不是常量,所以最大单位长 度扭角不一定发生在最大扭矩 MT所在的轴段上。要综合考虑扭 矩Mr和极惯性矩L来确定最大单位长度扭角an =M、180 G
为扭角（rad）； G 为材料的切变模量(GPa)。 当扭矩 MT 及杆长 L 一定时，GIp 越大，扭角就越小，GIp 反映 了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭 矩值 有变化，或轴径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠 加。 6．4．2 扭转时的刚度计算 等直圆轴的刚度条件： max为单位长度的最大扭角，单位为 rad/m ，而工程上许用单位长 度扭角[]的单位为 0 /m 注意：对于阶梯轴，因为极惯性矩 Ip 不是常量，所以最大单位长 度扭角 不一定发生在最大扭矩 MTmax 所在的轴段上。要综合考虑扭 矩 MT 和极惯性矩 Ip 来确定最大单位长度扭角max
应用扭转强度条件:校核强度、设计截面和确定许可载荷。 例6-2图示阶梯轴,直径分别为d=40mm,d2=55mm,已知C 轮输入转矩Mc=l432.5Mm,A轮输出转矩MA=620.8Nm,轴的转速 n=200/mnin,轴材料的许用切应力[τ]=60MPa,许用单位长度扭角 []=2/m,切变模量G=80GPa,试校核该轴的强度和刚度。 B P B 解(1)作扭矩图 eB Mec MT/N-m 1432.5 620.8 M/ar在BC段,但AB段较细。危险截面可能发生在的d截面处, 也可能发生在BC段
应用扭转强度条件：校核强度、设计截面和确定许可载荷。 例 6-2 图示阶梯轴，直径分别为 d1=40mm ，d2=55mm ，已知 C 轮输入转矩 Mec=1432.5Nm ，A 轮输出转矩 MeA=620.8Nm ，轴的转速 n=200r/min ，轴材料的许用切应力[]=60MPa，许用单位长度扭角 []=20 /m ，切变模量 G=80GPa ，试校核该轴的强度和刚度。 解 （1）作扭矩图 MT max在 BC 段，但 AB 段较细。危险截面可能发生在的 d1截面处， 也可能发生在 BC 段
(2)校核强度AB段 z=mn=620.8×103 MPa=48 SMP 段 xM2=1432.5MP=43.1MPa 0.2×55 za2=1=48.5MPa<[刁 轴的强度满足要求。 (3)校核刚度AB段 Mn1180°(620.8×103×180×103 B1 /m=1.737°/m 80×103×0.1404z BC段 M2、1814325×103×180°×10 /m=1.121°/m 80×103×0.1×554x e==1.7370/m<[e hay 轴的刚度也满足要求
（2）校核强度 AB 段 BC 段 轴的强度满足要求。 （3）校核刚度 AB 段 BC 段 轴的刚度也满足要求
【小结】:扭转的强度和刚度条件及应用。 【作业】:6-5 【后记】:
【小结】： 扭转的强度和刚度条件及应用。 【作业】： 6-5 【后记】：
