课时授课计划 第23次课 【教学课题】:第三章空间力系 教学目的】:理解空间力系的平衡条件 教学重点及处理方法】:空间力系平衡问题的平面解法 处理方法:详细讲解 【教学难点及处理方法】:空间力系的平衡空间力系的定义, 空间力系的计算及平衡问题。 处理方法:结合例题分析讲解 【教学方法】:讲授法 教具】:三角板 【时间分配】:引入新课5min 新课80min 小结、作业5min
课 时 授 课 计 划 第 23 次课 【教学课题】： 第三章 空间力系 【教学目的】：理解空间力系的平衡条件 【教学重点及处理方法】：空间力系平衡问题的平面解法 处理方法： 详细讲解 【教学难点及处理方法】： 空间力系的平衡空间力系的定义， 空间力系的计算及平衡问题。 处理方法： 结合例题分析讲解 【教学方法】: 讲授法 【教具】：三角板 【时间分配】： 引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min
第二十三次课 【提示启发引出新课】 力系中各力的作用线不在同一平面内,该力系称为空间力系。 根据力的作用线的关系可以分为空间汇交力系、空间平行力系、空间任 意力系。本次课讨论空间力系的平衡问题。 【新课内容】 第三章空间力系 空间力系一一各力的作用线不在同一平面内的力系。 3.1力的投影和力对轴之矩 3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 βF 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示,已知力F与三个坐 标轴所夹的锐角分别为a、β、y,则力F在三个轴上的投影等 于力的大小乘以该夹角的余弦,即
第二十三次课 【提示启发 引出新课】 力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为空间力系。 根据力的作用线的关系可以分为空间汇交力系、空间平行力系、空间任 意力系。本次课讨论空间力系的平衡问题。 【新课内容】 第三章 空间力系 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 3.1 力的投影和力对轴之矩 3.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力 F 与三个坐 标轴所夹的锐角分别为 、 、 ,则力 F 在三个轴上的投影等 于力的大小乘以该夹角的余弦，即
Fr=Fcos B 2.二次投影法 F2=Cosy 有些时候,需要求某力在坐标轴上的投影,但没有直接给出这个 力与坐标轴的夹角,而必须改用二次投影法。 F φ 如图所示,若已知力F与z轴的夹角为,力F和z轴所确定的 平面与x轴的夹角为,可先将力F在Oxy平面上投影,然后再向x、 y轴进行投影。则力在三个坐标轴上的投影分别为 F=Fsiny cos p F=F siny sin gp F=CosY 反过来,若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz,也可求 出力的大小和方向,即
2.二次投影法 有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个 力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。 如图所示，若已知力 F 与 z 轴的夹角为 ，力 F 和 z 轴所确定的 平面与 x 轴的夹角为 ，可先将力 F 在 oxy 平面上投影，然后再向 x、 y 轴进行投影。则力在三个坐标轴上的投影分别为 反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影 Fx、Fy、Fz，也可求 出力的大小和方向，即
COsp=F COSy 例3-1斜齿圆柱齿轮上A点受到啮合力Fn的作用,Fn沿齿廓在 接触处的法线方向,如图所示。n为压力角,β为斜齿轮的螺旋角 试计算圆周力Ft、径向力Fr、轴向力Fa的大小 Fa 解建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力Fn向平面Axy投影得 Fxy,其大小为Fxy= Ncos n 向z轴投影得径向力Fr= Fnsin 然后再将Fxy向x、y轴上投影,如图所示。因=B,得 圆周力 Ft=Fxycos B=Fncos ncos R 轴向力 Fa=Fxysin g=Ncos nsin B 3.1.2力对轴之矩
例 3-1 斜齿圆柱齿轮上 A 点受到啮合力 Fn 的作用，Fn 沿齿廓在 接触处的法线方向，如图所示。 n 为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。 试计算圆周力 Ft、径向力 Fr、轴向力 Fa 的大小。 解 建立图示直角坐标系 Axyz,先将法向力 Fn 向平面 Axy 投影得 Fxy，其大小为 Fxy=Fncos n 向 z 轴投影得径向力 Fr=Fnsin n 然后再将 Fxy 向 x、y 轴上投影，如图所示。因 =β，得 圆周力 Ft=Fxycosβ=Fncos ncosβ 轴向力 Fa=Fxysinβ=Fncos nsinβ 3.1.2 力对轴之矩
在平面力系中,建立了力对点之矩的概念。力对点的矩,实际 上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩 以推门为例,如图所示。门上作用一力F,使其绕固定轴z转动 现将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的分力Fxy(此分 力的大小即为力F在垂直于z轴的平面A上的投影)。由经验可知,分 力Fz不能使静止的门绕z轴转动,所以分力Fz对z轴之矩为零;只有 分力Fxy才能使静止的门绕z轴转动,即Fxy对z轴之矩就是力F对z 轴之矩。现用符号Mz(F)表示力F对z轴之矩,点0为平面A与z轴 的交点,d为点0到力Fxy作用线的距离。因此力F对z轴之矩为 Mz(F)=M0(F)=±Fnd 上式表明:力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影
在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际 上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。 以推门为例，如图所示。门上作用一力 F，使其绕固定轴 z 转动。 现将力 F 分解为平行于 z 轴的分力 Fz 和垂直于 z 轴的分力 Fxy（此分 力的大小即为力 F 在垂直于 z 轴的平面 A 上的投影）。由经验可知，分 力 Fz 不能使静止的门绕 z 轴转动，所以分力 Fz 对 z 轴之矩为零；只有 分力 Fxy 才能使静止的门绕 z 轴转动，即 Fxy 对 z 轴之矩就是力 F 对 z 轴之矩。现用符号 Mz（F）表示力 F 对 z 轴之矩，点 O 为平面 A 与 z 轴 的交点，d 为点 O 到力 Fxy 作用线的距离。因此力 F 对 z 轴之矩为 上式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影
对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度 量,是一个代数量。其正负号可按下法确定:从z轴正端来看,若力矩 逆时针,规定为正,反之为负 力对轴之矩等于零的情况:(1)当力与轴相交时(此时d=0) (2)当力与轴平行时。 3.1.3合力矩定理 如一空间力系由F1、F2、…、Fn组成,其合力为FR,则 可证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为 M(FR)=∑M2(F) 题3-1在如图所示边长a=12cm,b=16cm,c=10cm的六面体上,作用 力F1=2kN,F2=2kN,F3=4kN,试计算各力在坐标轴上的投影。 FI 3.2空间力系的平衡 3.2.1空间力系的简化 力偶矩矢
对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度 量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从 z 轴正端来看，若力矩 逆时针，规定为正，反之为负。 力对轴之矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时 d=0）； （2）当力与轴平行时。 3.1.3 合力矩定理 如一空间力系由 F1、F2、…、Fn 组成，其合力为 FR，则 可证明合力 FR 对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为 题 3-1 在如图所示边长 a=12cm,b=16cm,c=10cm 的六面体上，作用 力 F1=2kN, F2=2kN,F3=4kN,试计算各力在坐标轴上的投影。 3.2 空间力系的平衡 3.2.1 空间力系的简化 力偶矩矢
力偶矩矢M 设物体上作用空间力系F1、F2、…、Fn,如图所示。与平 面任意力系的简化方法一样,在物体内任取一点0作为简化中心,依据 力的平移定理,将图中各力平移到0点,加上相应的附加力偶,这样就 可得到一个作用于简化中心0点的空间汇交力系和一个附加的空间力 偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成,便 可以得到一个作用于简化中心0点的主矢FR和一个主矩M。 F2 主矢FR的大小为 ∑)+)+∑F 主矩M0的大小为
设物体上作用空间力系 F1、F2、…、Fn，如图所示。与平 面任意力系的简化方法一样，在物体内任取一点 O 作为简化中心，依据 力的平移定理，将图中各力平移到 O 点，加上相应的附加力偶，这样就 可得到一个作用于简化中心 O 点的空间汇交力系和一个附加的空间力 偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，便 可以得到一个作用于简化中心 O 点的主矢 F'R 和一个主矩 MO。 主矢 F'R 的大小为 主矩 MO 的大小为
M=√∑M(F)2+D∑MF)+1∑M(F 3.2.2空间力系的平衡方程及其应用 空间任意力系平衡的必要与充分条件是:该力系的主矢和 力系对于任一点的主矩都等于零。即FR=0,M=0,则 F=0 ∑F=0 ∑F2=0 ∑Mx(F)=0 ∑M(F)= 由上式可推知, 空间汇交力系的平衡方程为:各力在三个坐标轴上投影的 代数和都等于零。 空间平行力系的平衡方程为:各力在某坐标轴上投影的代 数和以及各力对另外二轴之矩的代数和都等于零 当空间任意力系平衡时,它在任意平面上的投影所组成的平 面任意力系也是平衡的。因而在工程中,常将空间力系投影到三个坐标 平面上,画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图,分别列出它们 的平衡方程,同样可解出所求的未知量。这种将空间问题转化为平面问 题的研究方法,称为空间问题的平面解法。这种方法特别适用于受力较 多的轴类构件。 例3-2带式输送机传动系统中的从动齿轮轴如图所示。已知齿轮 的分度圆直径d=282.5mm,轴的跨距L=105m,悬臂长度L1=110.5mm
3.2.2 空间力系的平衡方程及其应用 空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和 力系对于任一点的主矩都等于零。即 F'R ＝0， MO＝0，则 由上式可推知， 空间汇交力系的平衡方程为：各力在三个坐标轴上投影的 代数和都等于零。 空间平行力系的平衡方程为：各力在某坐标轴上投影的代 数和以及各力对另外二轴之矩的代数和都等于零。 当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影所组成的平 面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常将空间力系投影到三个坐标 平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们 的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种将空间问题转化为平面问 题的研究方法，称为空间问题的平面解法。这种方法特别适用于受力较 多的轴类构件。 例 3-2 带式输送机传动系统中的从动齿轮轴如图所示。已知齿轮 的分度圆直径 d=282.5mm，轴的跨距 L=105mm，悬臂长度 L1=110.5mm
圆周力Ft=1284.8N,径向力Fr=467.7N,不计自重。求轴承A、B的约 束反力和联轴器所受转矩MT。 解(1)取从动齿轮轴整体为研究对象,作受力图。 RAr R R (2)作从动齿轮轴受力图在三个坐标平面上的投影图。 xz平面 yz平面 Rar RB MT y平面 R RBH (3)按平面力系(三个投影力系)列平衡方程进行计算
圆周力 Ft=1284.8N，径向力 Fr=467.7N，不计自重。求轴承 A、B 的约 束反力和联轴器所受转矩 MT。 解（1）取从动齿轮轴整体为研究对象，作受力图。 （2）作从动齿轮轴受力图在三个坐标平面上的投影图。 （3）按平面力系（三个投影力系）列平衡方程进行计算
x平面∑MA(F)=0Mx-=0 Mr=2=2825 2×12848N.my 2 =181481N. y平面∑MA(F)=022-LRB=0 4677 ∑z=0-R4p+F-Rgy=0 RA=F-RBy=4677-233.85M=233.85N 平面∑M()=0.-2+Nm=0 E21284.8 N=642.4N 22 ∑=0-RA+F-RB=0 RAF=E1-RB=1284.8-6424M=642.4N
