山东理工大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（1/4）

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1线性相位FR数字滤波器的条件和特点 7.2利用窗函数法设计FR滤波器 7.3利用频率采样法设计FR滤波器 7.4利用等波纹最佳逼近法设计FR滤波器 7.5R和FR数字滤波器的比较 Back

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1.线性相位FIR数字滤波器 对于长度为N的h(n),传输函数为 He)= h(n)e (7.1.1) n=0 H(e)=H.(@)e-) (7.1.2) 式中，H(o)称为幅度特性，0(o)称为相位特性。 注意：这里H(o)不同于H(e)儿，H(o)为o的实函数，可能取 负值，而H(eo)总是正值

7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 对于长度为N的h(n)，传输函数为 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N j j n n j j g H e h n e H e H e       − − = − = =  (7.1.1) (7.1.2) 式中，Hg (ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。 注意：这里Hg (ω)不同于|H(ejω)|,Hg (ω)为ω的实函数，可能取 负值，而|H(ejω)|总是正值。 1． 线性相位FIR数字滤波器 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 线性相位FR滤波器是指0（ω）是ω的线性函数，即 0(0)=-t0,t 第一类线性相位 0(o)=0。-t0,日，起始相位第二类线性相位 第二类线性相位严格地说，此时（ω）不具有线性相位 特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数， d0(o)=- 也可称两种情况为线性相位 dw

d ( ) d     = − 也可称两种情况为线性相位  () = −，  () = 0 −， 0 起始相位 线性相位FIR滤波器是指θ(ω)是ω的线性函数，即 第二类线性相位严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位 特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数， 第二类线性相位 第一类线性相位 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.线性相位FIR的时域约束条件 1)第一类线性相位对h(m)的约束条件 第一类线性相位FR数字滤波器的相位函数0(O)=-OT,由式 (7.1.1)和(7.1.2)得到： N-1 Heo)=∑hn)ejow=H。(w)e-jo: 用欧拉公式 n=0 W-1 ncoson-jsinon)H (aYcosor-isinor (7.1.5)

1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数θ(ω)=-ωτ，由式 （7.1.1）和（7.1.2）得到: 1 j j j g 0 (e ) ( )e ( )e N n n H h n H     − − − = = =  （7.1.5） 1 g 0 ( )(cos jsin ) ( )(cos jsin ) N n h n n n H      − =  − = − 2. 线性相位FIR的时域约束条件 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 线性相位FIR的时域约束条件 用欧拉公式

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 由式（7.1.5)得到： N- He(@)cos@T= h(n)coson (7.1.6) N-1 He(@)sinot= h(n)sinon n=0 将(7.1.6)式中两式相除得到： h(n)coson coswt n=0 sin@t N-1 h(n)sinon V- N- lm))cosmnsinwr=∑m）)sinncosm n=0 n=0

由式（7.1.5）得到: 1 0 1 0 ( )cos cos sin ( )sin N n N n h n n h n n     − = − = =   将（7.1.6）式中两式相除得到： 1 g 0 1 g 0 ( )cos ( )cos ( )sin ( )sin N n N n H h n n H h n n       − = − =   =    =     （7.1.6） 1 1 0 0 ( )cos sin ( )sin cos N N n n h n n h n n     − − = =  = 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 N-1 化简得到： h(n)sin[o(n-r)]=0 (7.1.7) n=0 函数h(n)sinw(n一t)关于求和区间的中心(N一1)/2奇对称，是满 足(7.1.7)式的一组解。因为sino(n一)关于n=t奇对称，如果 取=(N-1)/2,则要求h(n)关于(N一1)/2偶对称，所以要求x和h(n) 满足如下条件 N-1 0(0)=-0,t= (7.1.8) h(n)=h(N-1-n),0<n<N-1 第一类线性相位特性：h(m)应当关于=(N一1)/2点偶对称。 当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数， 即0(o)=-(N-1)/2

化简得到: 函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称，是满 足（7.1.7）式的一组解。因为sinω(n－τ)关于n=τ奇对称，如果 取τ=(N－1)/2，则要求h(n)关于(N－1)/2偶对称，所以要求τ和h(n) 满足如下条件: 1 0 ( )sin[ ( )] 0 N n h n n   − =  − = （7.1.7） （7.1.8） 1 ( ) , 2 ( ) ( 1 ), 0≤ ≤ 1 N h n h N n n N      −  = − =    = − − − 第一类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N－1)/2点偶对称。 当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数， 即θ(ω)=－ω(N－1)/2。 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 2)第二类线性相位对h(m)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位：0(o尸-π/2-0T,类似推 导可得到： F()()e a)e h(n)cos[o(n-r)]=0 (7.1.9) n=0 函数h(n)cos[o(n一)]关于求和区间的中心(N-1)/2奇对称， 是满足式(7.1.9)的一组解，因为cos[o(n一t)]关于n=t偶对 称，所以要求x和h(n)满足如下条件：

第二类线性相位FIR数字滤波器的相位:θ(ω)=-π/2-ωτ，类似推 导可得到: 1 j j j( / 2 ) g 0 (e ) ( )e ( )e N n n H h n H     − − −  + = = =  2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件 函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称， 是满足式（7.1.9）的一组解，因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对 称，所以要求τ和h(n)满足如下条件： 1 0 ( )cos[ ( )] 0 N n h n n   − =  − = （7.1.9） 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 0@）=-or,2 0 W-1 (7.1.10) h(n)=-h(N-1-n),0<n<N-1 第二类线性相位特性：h(n应当关于n=(N一1)/2点奇对称。 N为奇数和偶数时h(n)的对称情况（两类）分别如表7.1.1中 情况3和情况4所示。（出现4种情况)

第二类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N－1)/2点奇对称。 （7.1.10） 1 ( ) , 2 2 ( ) ( 1 ), 0≤ ≤ 1 N h n h N n n N       −  = − − =    = − − − − N为奇数和偶数时h(n)的对称情况（两类）分别如表7.1.1中 情况3和情况4所示。（出现4种情况） 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 FIR滤波器时域约束条件：h(n=±h(N一n一1) 情况1：h()=h(N-n一1)，N为奇数 将时域约束条件h(n)=h(N一n一1)和0(o)=一ωx代入式 (7.1.1)和（7.1.2)，得到：

2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 FIR滤波器时域约束条件：h(n)=±h(N－n－1) 情况1： h(n)=h(N－n－1), N为奇数 将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入式 （7.1.1）和（7.1.2），得到: 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 N-1 H(eo)=∑h(n)eoa =0 (N-3)/2 H(eo)=】 N-1 m+M2e-"+ In(nye Jes =(N+1)/2 令m=N-1-n Ie)=2e-+V2ea+空aN1-meaam (N-3)/2 m=0 (N-3)/2 +e2 =0 W-1 (N-3)/2 7= 2 H(e)=eoh(x)十∑2h(m)cos(on-t) n=0

n 1 0 ( ) ( ) −  − =  =  j N n j H e h n e n 1 1 / 2 n ( 1)/ 2 3 / 2 0 ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( −  = + −  −  − =   +  − = + j N n N j j N N n j e h n e N H e h n e h － （ ） （ － ） m ) 3 / m n ( )/ 3 / ( ) ( ) ( ) ( m − − − = − − − =  +  − − − = + 1 2 0 1 2 2 0 1 2 1 j N N j j N N n j e h N e N H e h n e h （ （ － ） （ － ）    ）  令m＝N − 1− n       = = − ( ) ( ) ( )cos( ( )) /       ＋ － （ － ） H e e h h n n N 3 n j j 2 0 2 ( ) ( ) ( )[ ] (n- ) (n- ) 3 / ( )/ 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 − − − = − − +    + − =  N j N j N n j j N h n e e N H e e h     （ － ） 1 , 2 N  − = 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计