《无机材料物理性能》第四章 热学性能（4.1）固体的热容

41固体的热容 固体的热容是原子振动在宏观性质上的一个最直 接的表现。 杜隆·伯替定律--室温和更高的温度,几乎全 部单原子固体的热容接近3NkB 在低温热容与T3成正比。 本节将热容和原子振动联系起来,用原子振动解 释实验事实

4.1 固体的热容 固体的热容是原子振动在宏观性质上的一个最直 接的表现。 杜隆·伯替定律------在室温和更高的温度，几乎全 部单原子固体的热容接近3NkB。 在低温热容与T3成正比。 本节将热容和原子振动联系起来，用原子振动解 释实验事实

在热力学中 CV=OE/OT)v E-体的平均内能 (晶格热振动)晶格热容 固体的热容 (电子的热运动)电子热容

在热力学中 （晶格热振动）晶格热容 固体的热容 （电子的热运动）电子热容 E------固体的平均内能 Cv =( E/ T)V

经典统计理论的能量均分定理: 每一个简谐振动的平均能量是k1T,若固体中有N 个原子,则有3N个简诸振动模, 总的平均能量:E=3Nk1T 热容:C、=3NkB

经典统计理论的能量均分定理： 每一个简谐振动的平均能量是kBT ，若固体中有N 个原子，则有3N个简谐振动模， 总的平均能量: E=3NkBT 热容: Cv = 3NkB

4.1.1简诸振子的能量本质 热量 进 晶格 增 起 起 晶格振动电子缺陷和热缺陷 现 频率为0晶格波(振子)-量表现为 振动的振幅的增加 现 为 增加的方式,描子的能量增加 以声子为单位增加振子能量(即能量量子化)

热量 晶格 晶格振动 电子缺陷和热缺陷 频率为晶格波（振子） 振动的振幅的增加 振子的能量增加 以声子为单位增加振子能量（即能量量子化） 进 入 引 起 表 现 为 增 加 增加的方式 能量表现为 引 起 表 现 为 4.1.1 简谐振子的能量本质

1.振子能量量子化: 振子受热激发所占的能级是分立的,它的能级在0k 时为1/2ho--零点能。依次的能级是每隔ho升高 一级,一般忽略零点能。 nE=nho+ 1/2 ho 2 0

振子受热激发所占的能级是分立的，它的能级在0k 时为1/2 ħ ------零点能。依次的能级是每隔ħ升高 一级，一般忽略零点能。  n En =nħ+ 1/2 ħ 2 1 0 1. 振子能量量子化：

2.振子在不同能级的分布服从波尔兹曼能量分布 规律 根据波尔兹曼能量分布规律,振子具有能量nho的 几率:exp(nho/kT 3.在温度Tk时以频率0振动振子的平均能量 nho lexp(-nho/kBT)I E()= n=0 ∑exp(-nho/k1T exp(h o/kbt)-I T个→E(o)↑

根据波尔兹曼能量分布规律，振子具有能量nħ的 几率： exp(- nħ/kBT) 3. 在温度Tk时以频率振动振子的平均能量  nħ[exp(- nħ/kBT)]  exp(- nħ/kBT)  n=0  n=0 －E()= ħ  exp( ħ  /kBT) －1 = T→ E( －) 2. 振子在不同能级的分布服从波尔兹曼能量分布 规律

4.在温度Tk时的平均声子数 na=E(o)/ha= xp ho/kbt)-1 说明:受热晶体的温度升高,实质上是晶体中热激 发出声子的数目增加。 振子是以不同频率格波叠加起来的合波进行 运动 晶体中的振子(振动频率)不止是一种,而是一个 频谱

4. 在温度Tk时的平均声子数 说明：受热晶体的温度升高，实质上是晶体中热激 发出声子的数目增加。 晶体中的振子（振动频率）不止是一种，而是一个 频谱。 5. 振子是以不同频率格波叠加起来的合波进行 运动 nav=E ()/ ħ 1 exp( ħ/kBT) －1 － =

1.2热容的量子理论 分析具有N个原子的晶体: 每个原子的自由度为3,共有3N个频率,在温度Tk时, 晶体的平均能量: ho E3 wv Fl exp(ho /ket)-1 用积分函数表示类加函数: 设p()do表示角频率o在o和o+do之间的格波数而且 0 P(oda=3N

分析具有N个原子的晶体： 每个原子的自由度为3，共有3N个频率，在温度Tk时， 晶体的平均 能量： 4.1.2 热容的量子理论 E=E(i )=  ħi exp( ħi /kBT) －1 3N i=1 3N i=1 用积分函数表示类加函数： 设()d 表示角频率在和+d之间的格波数,而且  ()d =3N m 0

平均能量为: E=com p(odo exp( ho/kBt)-1 等容热容: P(o)exp ho/kBtd o Cy=(dE/dTv=l0m kB(ho/kg T)(exp( ho/kBT)-1) 说明:用量子理论求热容时,关键是求角频率 的分布函数p(ω)。常用爱因斯坦模型和德拜模 型

平均能量为： E= ()d  ħ exp( ħ/kBT) －1 － － 等容热容： Cv=(dE/dT)v = kB ( ħ/ kBT)2 m 0 () exp ħ/ kBTd  (exp( ħ/kBT) －1)2 说明：用量子理论求热容时，关键是求角频率 的分布函数()。常用爱因斯坦模型和德拜模 型。 m 0

热容的本质: 反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系; 对于N个原子构成的晶体,在热振动时形成3N个 振子,各个振子的频率不同,激发出的声子能量也不 同 桑温度升高,原子振动的振幅增大,该频率的声子 数目也随着增大; 桑温度升高,在宏观上表现为吸热或放热,实质上 是各个频率声子数发生变化

热容的本质：  反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系；  对于N个原子构成的晶体，在热振动时形成3N个 振子，各个振子的频率不同，激发出的声子能量也不 同；  温度升高，原子振动的振幅增大，该频率的声子 数目也随着增大；  温度 升高，在宏观上表现为吸热或放热，实质上 是各个频率声子数发生变化