第 控制糸统数学模型 电气系张满生
第二章 控制系统数学模型 电气系 张满生
本章提纲 第一节导论 第二节控制系统的微分方程 第三节控制系统的传递函数 第四节控制系统结构图与信号流图 第五节应用 MATLAB控制系统仿真 结
本章提纲 第一节 导论 第二节 控制系统的微分方程 第三节 控制系统的传递函数 第四节 控制系统结构图与信号流图 第五节 应用MATLAB控制系统仿真 小结
本章提要 描述系统各变量之间关系的数学表达式 叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动 态性能都可以通过数学模型来描述(例如微 分方程、传递函数等) 控制系统的数学模型关系到对系统性能 的分析结果,所以建立合理的数学模型是控 制系统分析中最重要的事情。本章将对系统 和元件数学模型的建立、传递函数的概念、 构图和信号流图的建立及简化等内容加以 仑述
本章提要 ❖ 描述系统各变量之间关系的数学表达式， 叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动 态性能都可以通过数学模型来描述（例如微 分方程、传递函数等）。 ❖ 控制系统的数学模型关系到对系统性能 的分析结果，所以建立合理的数学模型是控 制系统分析中最重要的事情。本章将对系统 和元件数学模型的建立、传递函数的概念、 结构图和信号流图的建立及简化等内容加以 论述
第一节导论 数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统 的动态模型,即线性定常微分方程,分析系统的动态 特性。 建立系统数学模型时,必须: (1)全面了解系统的特性,确定研究目的以及准确 性要求,决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模 型简化 (2)根据所应用的系统分析方法,建立相应形式 的数学模型,有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统的数学模型主要有两条途径:第一种途 径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根 据对系统的观察,通过测量所得到的大量输入、输出 数据,推断出被研究系统的数学模型
第一节 导论 数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统 的动态模型，即线性定常微分方程，分析系统的动态 特性。 建立系统数学模型时，必须： (1) 全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确 性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模 型简化。 (2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式 的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统的数学模型主要有两条途径：第一种途 径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根 据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出 数据，推断出被研究系统的数学模型
控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描 述,微分方程式就是系统的一种数学模型。建立系统 微分方程式的一般步骤如下: (1)在条件许可下适当简化,忽略一些次要因素。 (②)根据物理或化学定律,列出元件的原始方程式 (3)列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式。 这种关系式可能是数学方程式,或是曲线图。 (4)将上述关系式代入原始方程式,消去中间变量, 就得元件的输入输出关系方程式 (5)求出其它元件的方程式。 (6)从所有元件的方程式中消去中间变量,最后得系 统的输入输出微分方程式
第二节 控制系统的微分方程 控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描 述，微分方程式就是系统的一种数学模型。建立系统 微分方程式的一般步骤如下： (1) 在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素。 (2) 根据物理或化学定律，列出元件的原始方程式。 (3) 列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式。 这种关系式可能是数学方程式，或是曲线图。 (4) 将上述关系式代入原始方程式，消去中间变量， 就得元件的输入输出关系方程式。 (5) 求出其它元件的方程式。 (6) 从所有元件的方程式中消去中间变量，最后得系 统的输入输出微分方程式
、微分方程式的建立 (一)弹簧一质量一阻尼器系统 E 图2-1表示一个弹簧质量 阻尼器系统 力f(t)作 用时,系统产生位移y 要求写出系统在外力f(作 用下的运动方程式。f(t)是 M 系统的输入,y(是系统的 输出。列出的步骤如下: (1)运动部件质量用M表示 r(t) (2)列出原始方程式。根 据牛顿第二定律,有 图2-1弹簧一质量一阻尼器系统
一、微分方程式的建立 （一）弹簧—质量—阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧—质量— 阻尼器系统。当外力f (t)作 用时，系统产生位移y(t)， 要求写出系统在外力f (t)作 用下的运动方程式。f (t)是 系统的输入，y(t)是系统的 输出。列出的步骤如下： （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根 据牛顿第二定律，有： 图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统
f(t)-f()-f2(t)=M dt 式中f1()阻尼器阻力; ∫2(1)弹簧力。 (3)f()和f2(为中间变量,找出它们与其它因素的 关系。阻尼器阻力与运动方向相反,与运动速度成正 比,故有: f(1)=B(t) (2.2) dt 式中B一阻尼系数 设弹簧为线性弹簧,则有: f2(D)=Ky() 式中K弹性系数
（3）f 1 (t)和f 2 (t)为中间变量，找出它们与其它因素的 关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正 比，故有： 2 1 2 2 d ( ) ( ) ( ) d y f t f t f t M t − − = 式中 f 1 (t)——阻尼器阻力； f 2 (t)——弹簧力。 (2.1) (2.2) 1 d ( ) ( ) d y t f t B t = 式中B —— 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f 2 (t) = Ky(t) (2.3) 式中 K—— 弹性系数
(4)将式(22)和式(23代入式(2.1),得系统的微 方程式 d2+B9 Mu(t dt+ Ky(t)=f(t) 式中M、B、K均为常数,此机械位移系统为线性定 常系统。 式(24)还可写成 Mdy0+B90+y0)=10(243) K B K K 则有 d2y+)、y+y)=f()(24b) dt dt K
（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分 方程式 : 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定 常系统。 式(2.4)还可写成: 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d y t y t M B Ky t f t t t + + = (2.4) (2.4a) 2 2 d ( ) d ( ) 1 ( ) ( ) d d M y t B y t y t f t K t K t K + + = B B T K = 2 M M T K = 则有 (2.4b) 2 2 2 d ( ) d ( ) 1 ( ) ( ) d d M B y t y t T T y t f t t t K + + = 令
T和7是图2-1所示系统的时间常数。1/为该系统 的传递系数,它的意义是:静止时系统的输出与输入 之比 列写微分方程式时,输出量及其各阶导数项列写在 方程式左端,输入项列写在右端。由于一般物理系统 均有质量、惯性或储能元件,左端的导数阶次总比右端 的高
TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统 的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入 之比。 列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在 方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统 均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端 的高
(二)R-L-C电路 图22所示R-L-C电路中,R、L、C均为常值 2)为输入电压,U(t)为输出电压,输出端开路。要 求列出u(与u(的方程关系式。 R 十 000 十 c+( 图2-2R-L-C电路 (1)根据克希霍夫定律可写出原始方程式: d L+ Ri+lidt=u(t dt
（二）R-L-C电路 图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur (t)为输入电压， uc (t)为输出电压，输出端开路。要 求列出uc (t)与ur (t)的方程关系式。 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式： (2.5) d 1 d ( ) d r i L Ri i t u t t C + + = 图2-2 R-L-C电路