第三节 按制系就的传画數
第三节 控制系统的传递函数
第三节控制系统的传递函数 传递函数的概念 、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
第三节 控制系统的传递函数 ➢ 一、传递函数的概念 ➢ 二、传递函数的性质 ➢ 三、典型环节及其传递函数
引言 控制系统的微分方程:是在时域描述系统动态性能的数学模 型,在给定外作用及初始条件下,求解微分方程可以得到系 统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变, 便需要重新列写并求解微分方程。 传递函数:对线性常微分方程进行拉氏变换,得到的系统在 复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性,而且可以研究 系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典 控制理论中最基本也是最重要的概念
引言 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模 型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系 统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变， 便需要重新列写并求解微分方程。 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在 复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究 系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典 控制理论中最基本也是最重要的概念
传递函数的概念 图2-14所示的尺C电路中电 容的端电压uC(t)。根据克希 R 霍夫定律,可列写如下微分 十 十 方程: i()R+u()=1()(260) u(0)=i()dt (2.61) 消去中间变量j(,得到输入ur(t) 与输出uc()之间的线性定常微分 图2-14RC电路 方程 RO du (t) dt +()=4(t)(262)
一、传递函数的概念 图2-14所示的RC电路中电 容的端电压uc(t)。根据克希 霍夫定律，可列写如下微分 方程： ( ) ( ) ( ) c r i t R u t u t + = (2.60) 1 u t i t t c ( ) ( )d C = (2.61) 消去中间变量i(t)，得到输入ur(t) 与输出uc(t)之间的线性定常微分 方程: d ( ) ( ) ( ) d c c r u t RC u t u t t + = (2.62) 图2-14 RC电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换,并考虑电容上的 初始电压uc(0),得: RCsU(s)-RC2(O)+U(s)=U7(s)(263) 式中U(s)输出电压uc()的拉氏变换 Ur(s)—输入电压u()的拉氏变换 由上式求出Uc(S)的表达式 U(S) RCS+/(S)+ RC RC+1(0)(2.64) 当输入为阶跃电压u(0)=1()时,对U(S)求拉氏反变换,即得 (1)的变化规律:
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压uc(0)，得: ( ) ( ) ( ) ( ) (2.63) RCsU s RCu U s U s c c c r − + = 0 式中 Uc(s)—— 输出电压 uc(t) 的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压 ur(t) 的拉氏变换。 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 c r c RC U s U s u RCs RCs = + + + 0 当输入为阶跃电压ur (t)= u0·1(t)时，对Uc (s)求拉氏反变换，即得 uc (t)的变化规律: 由上式求出Uc(s)的表达式: (2.64)
e (265) 式中第一项称为零状态响应,2 由ur(t)决定的分量; 第二项称为零输入响应, 由初始电压UC(O)决定的 0(1-eC 分量 u(O)e Rc 图2-15表示各分量的变化曲线, 电容电压uC(即为两者的合成 图2-15RC网络的阶跃响应曲线
0 ( ) (1 ) ( ) t t RC RC u t u e u e c c − − = − + 0 (2.6 5) 式中第一项称为零状态响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。 图2-15表示各分量的变化曲线， 电容电压uc (t)即为两者的合成。 图2-15 RC网络的阶跃响应曲线
在式(265)中,如果把初始电压Uc(O)也视为一个输入作用, 则根据线性系统的叠加原理,可以分别研究在输入电压ur() 和初始电压uc(O)作用时,电路的输出响应。若uc(O)=0,则 有 U2(S)= U,(s)(2.66) RCs+l 当输入电压u(0)一定时,电路输出响应的拉氏变换U()完全由 l/(RCs+1)所确定,式(266)亦可写为 U(s)1 (2.67) U(S) RCS+1 当初始电压为零时,电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比,是一个只与电路结构及参数有关的函数
在式(2.65 )中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用， 则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur (t) 和初始电压uc (0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则 有 : 1 ( ) ( ) 1 U s U s c r RCs = + (2.66) 当输入电压ur (t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc (s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为: ( ) 1 ( ) 1 c r U s U s RCs = + (2.67) 当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数
用式(267)来表征电路本身特性,称做传递函数,记为: G(S) Ts+1 Ur(s) Uc(s) Gs 式中7=RC。显然,传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。 图2-16传递函数 传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递 关系,即输入电压Ur(s),经过G(s)的传递,得到输出电压 Uc(s)=G(s)Ur(s) 对传递函数作如下定义:线性(或线性化)定常系统在零初始 条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为纥缢 画赵
用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： 1 ( ) 1 G s Ts = + 式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。 图2-16 传递函数 传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 对传递函数作如下定义： 线性（或线性化）定常系统在零初始 条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递 函数
若线性定常系统由下述n阶微分方程描述: d c(t)+an-im-c(t)+.+a,c(t)+aoc(t (2.68) d d bm r(t)+b (1)+…+b1,r(t)+br( dt dt 式中c()是系统输出量,()是系统输入量,a0,a1, an,b0,b1,…,bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=Lc(,R(s)=L[r(,在初始条件为零时,对式 (2.68)进行拉氏变换,可得到s的代数方程: lans"+as+.+a,s+aoC(s) Tbms"+bms+.+6,s+bR(s)
若线性定常系统由下述n阶微分方程描述： 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n n n n n m m m m m m a c t a c t a c t a c t t t t b r t b r t b r t b r t t t t − − − − − − + + + + = + + + + (2.68) 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，… an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程： 1 1 1 0 1 1 1 0 [ ... ] ( ) [ ... ] ( ) n n n n m m m m a s a s a s a C s b s b s b s b R s − − − − + + + + = + + + +
由传递函数的定义,由式(268)描述的线性定常系统的传递函数: C(s) b,s"+bm-S-+.+6,S+bo M(s) R(s ans"+a,_"+.+a,s+ao D(s) (2.69) 式中M(s)=bny+bmsm1+…+b1s+b为传递函数的分子多项式; D(s)=an”+an1s1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。 分子 numerator 分母 denominator 传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义,()系统输入量及其各 阶导数在仁=0时的值均为零;(二)系统输出量及其各阶导数在仁0 时的值也为零
由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数： 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n C s M s b s b s b s b G s R s a s a s a s a D s − − − − + + + + = = = + + + + 式中 M(s)= bm s m+bm-1 s m-1+…+b1 s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= an s n+an-1 s n-1+…+a1 s+a0为传递函数的分母多项式。 分子numerator , 分母 denominator (2.69) 传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，(一)系统输入量及其各 阶导数在t=0时的值均为零；(二)系统输出量及其各阶导数在t=0 时的值也为零
