梅森素数Mersenne Prime 梅森素数(Mersenne Prime)是指形如2^p一1的正整数，其中指数p是素 数，常记为Mp。若M仰是素数，则称为梅森素数。p=2,3,5,7时，Mp 都是素数，但M11=2047=23×89不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数 论中未解决的难题之一。截止2012年7月累计发现47个梅森素数，最大 的是p=43,112,609,此时Mp是一个12,978,189位数。 概述 素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数（如2、3、5、7 等等)，素数有无穷多个。而形如“2P一1”(P为素数)的正整数，其中指数 P是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称为梅森素数。以17世纪法国数 学家马林·梅森的名字命名。梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当 今科学探索的热点和难点之一。截止2012年7月人类仅发现47个梅森素 数。 梅森素数由来 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2P一1的 先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P一1是 素数，则(2^p一1)2(p一1)是完美数。 1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论 研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数 问题的基础”。这封信讨论了形如2P一1的数（其中p为素数）。 梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P一1作了大量的 计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于 p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时，2P-1是素数；而对 于其他所有小于257的数时，2^P一1是合数。前面的7个数（即2,3,5,7， 13,17和19)属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4 个数（即31,67,127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深 信不疑。 虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研 究2P一1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸地位。梅森的工 作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为 人热情以及最早系统而深入地研究2P一1型的数，为了纪念他，数学界就
梅森素数 Mersenne Prime 梅森素数(Mersenne Prime)是指形如 2^p－1 的正整数，其中指数 p 是素 数，常记为 Mp。若 Mp 是素数，则称为梅森素数。p=2，3，5，7 时，Mp 都是素数，但 M11=2047=23×89 不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数 论中未解决的难题之一。截止 2012 年 7 月累计发现 47 个梅森素数，最大 的是 p=43,112,609，此时 Mp 是一个 12,978,189 位数。 概 述 素数是在大于 1 的整数中只能被 1 和其自身整除的数(如 2、3、5、7 等等)，素数有无穷多个。而形如“2^P－1”(P 为素数)的正整数，其中指数 P 是素数，常记为 Mp。若 Mp 是素数，则称为梅森素数。以 17 世纪法国数 学家马林·梅森的名字命名。梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当 今科学探索的热点和难点之一。截止 2012 年 7 月人类仅发现 47 个梅森素 数。 梅森素数由来 早在公元前 300 多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究 2^P－1 的 先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果 2^P－1 是 素数，则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。 1640 年 6 月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论 研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数 问题的基础”。这封信讨论了形如 2^P－1 的数(其中 p 为素数)。 梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对 2^P－1 作了大量的 计算、验证工作，并于 1644 年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于 p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257 时，2^P－1 是素数；而对 于其他所有小于 257 的数时，2^P－1 是合数。前面的 7 个数(即 2，3，5，7， 13，17 和 19)属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的 4 个数(即 31，67，127 和 257)属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深 信不疑。 虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研 究 2^P－1 型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸地位。梅森的工 作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为 人热情以及最早系统而深入地研究 2^P－1 型的数，为了纪念他，数学界就
把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即 Mp=2P一1.如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2P一1型素数） 寻找历程 2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人， 因此被人们誉为“数海明珠”。自梅森提出其断言后，人们发现的己知最 大素数几乎都是梅森素数：因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同 于寻找新的最大素数的历程。 梅森素数的研究难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而 且需要进行艰苦的计算。 1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是 一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉还证明 了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式(2p -1)2(p一1)，其中2^p一1是素数。 100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重 要定理一鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。 1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数一这是梅 森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107,它们分别在1911年 与1914年被数学家鲍尔斯发现。 1903年，数学家柯尔第一个否定了“M67为素数”这一自梅森断言以 来一直被人们相信的结论。算出2^67-1，等于193707721×761838257287. 1922年，数学家克莱契克进一步验证了M257并不是素数，而是合数。 1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp 的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：M>3是素数的充分必要条件 是Lp-2=0,其中L0=4,Ln+1=(Ln一2)Mod Mp。这一方法直到今天的“计 算机时代”仍发挥重要作用。 1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使 用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、 M1279、M2203和M2281。 1957年，数学家黎塞尔证明M3217是素数。 1961年，数学家赫维兹证明M4253和M4423是素数。 1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。 1963年9月6日晚上8点，第23个梅森素数M11213通过大型计算机 被找到。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲
把这种数称为“梅森数”；并以 Mp 记之(其中 M 为梅森姓名的首字母)，即 Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”(即 2^P－1型素数)。 寻找历程 2300 多年来，人类仅发现 47 个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人， 因此被人们誉为“数海明珠”。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最 大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同 于寻找新的最大素数的历程。 梅森素数的研究难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而 且需要进行艰苦的计算。 1772 年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了 M31 是 一个素数，它共有 10 位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉还证明 了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式(2^p －1)2^(p－1)，其中 2^p－1 是素数。 100 年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别 Mp 是否是素数的重 要定理—鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。 1883 年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了 M61 也是素数—这是梅 森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89 和 M107，它们分别在 1911 年 与 1914 年被数学家鲍尔斯发现。 1903 年，数学家柯尔第一个否定了“M67 为素数”这一自梅森断言以 来一直被人们相信的结论。算出 2^67－1，等于 193707721×761838257287。 1922 年，数学家克莱契克进一步验证了 M257 并不是素数，而是合数。 1930 年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对 Mp 的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp>3 是素数的充分必要条件 是 Lp-2=0，其中 L0=4，Ln+1=(Ln－2) Mod Mp。这一方法直到今天的“计 算机时代”仍发挥重要作用。 1952 年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使 用 SWAC 型计算机在几个月内，就找到了 5 个梅森素数：M521、M607、 M1279、M2203 和 M2281。 1957 年，数学家黎塞尔证明 M3217 是素数。 1961 年，数学家赫维兹证明 M4253 和 M4423 是素数。 1963 年，美国数学家吉里斯证明 M9689 和 M9941 是素数。 1963 年 9 月 6 日晚上 8 点，第 23 个梅森素数 M11213 通过大型计算机 被找到。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲
以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213一1是个素数”的邮 戳。 1971年3月4日晚，塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素 数M19937。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括中国的 新华社)都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用 CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。 1979年2月，诺尔找到第26个梅森素数M23209。 1979年4月，史洛温斯基使用CRAY-1型计算机找到梅森素数M44497。 使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅 森素数：M86243、M132049和M216091。但他未能确定M86243和M216091 之间是否有异于M132049的梅森素数。 1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机发现 M110503. 1992年3月25日，哈威尔实验室（英国原子能技术权威机构）的一个研 究小组宣布他们找到梅森素数M756839。 1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇再次夺回发现已知最大素数的桂 冠一这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。 (这一素数是使用C℉AY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于 发现了7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。) 2008年8月，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家史密斯 (E.Smith)通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际 合作项目，发现了第46个也是最大的梅森素数2^43112609-1，该素数也就 是2自身相乘43112609次减1，它有12978189位数，如果用普通字号将这 个巨数连续写下来，它的长度可超过50公里！这一成就被美国的《时代》 杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一，排名在第29位。 ○43,112.609 左图：第46个格喜老酸 上图裤克像 下图：伊利佑伊大竿数学盖的南程 311213 用 IS PRIME ≈00
以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213－ 1 是个素数”的邮 戳。 1971 年 3 月 4 日晚，塔可曼使用 IBM360-91 型计算机找到新的梅森素 数 M19937。而到 1978 年 10 月，世界几乎所有的大新闻机构(包括中国的 新华社)都报道了以下消息：两名年仅 18 岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用 CYBER174 型计算机找到了第 25 个梅森素数：M21701。 1979 年 2 月，诺尔找到第 26 个梅森素数 M23209。 1979 年 4 月，史洛温斯基使用 CRAY-1 型计算机找到梅森素数 M44497。 使用经过改进的 CRAY-XMP 型计算机在 1983 年至 1985 年间找到了 3 个梅 森素数：M86243、M132049 和 M216091。但他未能确定 M86243 和 M216091 之间是否有异于 M132049 的梅森素数。 1988 年，科尔魁特和韦尔什使用 NEC-FX2 型超高速并行计算机发现 M110503。 1992 年 3 月 25 日，哈威尔实验室(英国原子能技术权威机构)的一个研 究小组宣布他们找到梅森素数 M756839。 1994 年 1 月 14 日，史洛温斯基和盖奇再次夺回发现已知最大素数的桂 冠—这一素数是 M859433。而下一个梅森素数 M1257787 仍是他们的成果。 (这一素数是使用 CRAY-794 超级计算机在 1996 年取得的。史洛温斯基由于 发现了 7 个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。) 2008 年 8 月，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家史密斯 (E.Smith)通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际 合作项目，发现了第 46 个也是最大的梅森素数 2^43112609-1，该素数也就 是 2 自身相乘 43112609 次减 1，它有 12978189 位数，如果用普通字号将这 个巨数连续写下来，它的长度可超过 50 公里！这一成就被美国的《时代》 杂志评为“2008 年度 50 项最佳发明”之一，排名在第 29 位
梅森素数表 截止2012年7月，已经发现了47个梅森素数，并且确定M24036583 位于梅森素数序列中的第41位。现把它们序号、发现时间、发现者等列表 如下： 序号 Mp=2p-1 Mp的位数 发现时间 发现者 2 3 1 古代 古人 7 古代 古人 J 31 古代 古人 > 127 古代 古人 5 13 8191 4 1456年 无名氏 6 17 131071 6 1588年 Cataldi 7 19 524287 6 1588年 Cataldi 31 2147483647 10 1772年 欧拉 9 61 2305843009213693951 9 1883年 Pervushin 10 89 618970019..449562111 27 1911年 Powers 11 107 162259276..010288127 33 1914年 Powers 12 127 170141183..884105727 39 1876年 卢卡斯 13 521 686479766..115057151 157 1952年1月30日 Robinson 14 607 531137992..031728127 183 1952年1月30日 Robinson 15 1.279 104079321..168729087 386 1952年6月25日 Robinson 16 2,203 147597991..697771007 664 1952年10月7日 Robinson 17 2,281 446087557..132836351 687 1952年10月9日 Robinson 18 3,217 259117086.909315071 969 1957年9月8日 Riesel 19 4,253 190797007.350484991 1,281 1961年11月3日 Hurwitz 20 4,423 285542542..608580607 1,332 1961年11月3日 Hurwitz 21 9.689 478220278..225754111 2.917 1963年5月11日 Gillies 22 9.941 346088282..789463551 2.993 1963年5月16日 Gillies 23 11,213 281411201.696392191 3,376 1963年6月2日 Gillies 24 19.937 431542479.968041471 6.002 1971年3月4日 布莱恩特·塔克曼 25 21,701 448679166..511882751 6,533 1978年10月30日 Noll&Nickel 26 23,209 402874115..779264511 6.987 1979年2月9日 Noll 27 44.497 854509824.011228671 13,395 1979年4月8日 Nelson&Slowinski 28 86,243 536927995..433438207 25.962 1982年9月25日 Slowinski 29 110,503 521928313..465515007 33,265 1988年1月28日 Colquitt&Welsh 30 132.049 512740276..730061311 39,751 1983年9月20日 Slowinski 31 216.091 746093103..815528447 65.050 1985年9月6日 Slowinski 32 756,839 174135906..544677887 227,832 1992年2月19日 Slowinski&Gage
梅森素数表 截止 2012 年 7 月，已经发现了 47 个梅森素数，并且确定 M24036583 位于梅森素数序列中的第 41 位。现把它们序号、发现时间、发现者等列表 如下： 序号 p Mp=2^p-1 Mp 的位数 发现时间 发现者 1 2 3 1 古代 古人 2 3 7 1 古代 古人 3 5 31 2 古代 古人 4 7 127 3 古代 古人 5 13 8191 4 1456 年 无名氏 6 17 131071 6 1588 年 Cataldi 7 19 524287 6 1588 年 Cataldi 8 31 2147483647 10 1772 年 欧拉 9 61 2305843009213693951 19 1883 年 Pervushin 10 89 618970019…449562111 27 1911 年 Powers 11 107 162259276…010288127 33 1914 年 Powers 12 127 170141183…884105727 39 1876 年 卢卡斯 13 521 686479766…115057151 157 1952 年 1 月 30 日 Robinson 14 607 531137992…031728127 183 1952 年 1 月 30 日 Robinson 15 1,279 104079321…168729087 386 1952 年 6 月 25 日 Robinson 16 2,203 147597991…697771007 664 1952 年 10 月 7 日 Robinson 17 2,281 446087557…132836351 687 1952 年 10 月 9 日 Robinson 18 3,217 259117086…909315071 969 1957 年 9 月 8 日 Riesel 19 4,253 190797007…350484991 1,281 1961 年 11 月 3 日 Hurwitz 20 4,423 285542542…608580607 1,332 1961 年 11 月 3 日 Hurwitz 21 9,689 478220278…225754111 2,917 1963 年 5 月 11 日 Gillies 22 9,941 346088282…789463551 2,993 1963 年 5 月 16 日 Gillies 23 11,213 281411201…696392191 3,376 1963 年 6 月 2 日 Gillies 24 19,937 431542479…968041471 6,002 1971 年 3 月 4 日 布莱恩特·塔克曼 25 21,701 448679166…511882751 6,533 1978 年 10 月 30 日 Noll& Nickel 26 23,209 402874115…779264511 6,987 1979 年 2 月 9 日 Noll 27 44,497 854509824…011228671 13,395 1979 年 4 月 8 日 Nelson& Slowinski 28 86,243 536927995…433438207 25,962 1982 年 9 月 25 日 Slowinski 29 110,503 521928313…465515007 33,265 1988 年 1 月 28 日 Colquitt& Welsh 30 132,049 512740276…730061311 39,751 1983 年 9 月 20 日 Slowinski 31 216,091 746093103…815528447 65,050 1985 年 9 月 6 日 Slowinski 32 756,839 174135906…544677887 227,832 1992 年 2 月 19 日 Slowinski& Gage
33 859.433 129498125..500142591 258.716 1994年1月10日 Slowinski&Gage 34 1,257,787 412245773..089366527 378,632 1996年9月3日 Slowinski&Gage 35 1,398,269 814717564..451315711 420,921 1996年11月13日 GIMPS/Joel Armengaud 36 2976,221 623340076.729201151 895,932 1997年8月24日 GIMPS/Gordon Spence 37 3,021,377 127411683..024694271 909.526 1998年1月27日 GIMPS/Roland Clarkson GIMPS/Nayan 38 6,972,593 437075744..924193791 2,098,960 1999年6月1日 Hajratwala 39 13.466,917 924947738..256259071 4,053.946 2001年11月14日 GIMPS/Michael Cameron 40 20.996.011 125976895..855682047 6,320,430 2003年11月17日 GIMPS/Michael Shafer 41 24,036.583 299410429..733969407 7,235,733 2004年5月15日 GIMPS/Josh Findley 42* 25.964.951 122164630.577077247 7,816,230 2005年2月18日 GIMPS/Martin Nowak GIMPS/Curtis Cooper及 43* 30,402,457 315416475..652943871 9,152,052 2005年12月15日 Steven Boone GIMPS/Curtis Cooper及 44 32.582.657 124575026..053967871 9.808.358 2006年9月4日 Steven Boone GIMPS/Hans-Michael 45* 37,156,667 202254406..308220927 11,185,272 2008年9月6日 Elvenich 46* 42,643,801 169873516..562314751 12,837,064 2009年4月12日 GIMPS/Odd M.Strindmo 47* 43,112,609 316470269.697152511 12,978,189 2008年8月23日 GIMPS/Edson Smith 理论探索 梅森素数的分布极不规则。找到梅森素数的时间分布都极不规则，有 时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布 规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出 了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔 和德国数学家伯利哈特曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的 猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出：而它们与实际情况的接近 程度均未尽如人意。 中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者一一他运用联系 观察法和不完全归纳法，于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表 达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名 为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森 素数研究中的一项重大突破之一。 GIMPS项目 1996年初，美国数学家和程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素
33 859,433 129498125…500142591 258,716 1994 年 1 月 10 日 Slowinski& Gage 34 1,257,787 412245773…089366527 378,632 1996 年 9 月 3 日 Slowinski& Gage 35 1,398,269 814717564…451315711 420,921 1996 年 11 月 13 日 GIMPS/Joel Armengaud 36 2,976,221 623340076…729201151 895,932 1997 年 8 月 24 日 GIMPS/Gordon Spence 37 3,021,377 127411683…024694271 909,526 1998 年 1 月 27 日 GIMPS/Roland Clarkson 38 6,972,593 437075744…924193791 2,098,960 1999 年 6 月 1 日 GIMPS/Nayan Hajratwala 39 13,466,917 924947738…256259071 4,053,946 2001 年 11 月 14 日 GIMPS/Michael Cameron 40 20,996,011 125976895…855682047 6,320,430 2003 年 11 月 17 日 GIMPS/Michael Shafer 41 24,036,583 299410429…733969407 7,235,733 2004 年 5 月 15 日 GIMPS/Josh Findley 42* 25,964,951 122164630…577077247 7,816,230 2005 年 2 月 18 日 GIMPS/Martin Nowak 43* 30,402,457 315416475…652943871 9,152,052 2005 年 12 月 15 日 GIMPS/Curtis Cooper 及 Steven Boone 44* 32,582,657 124575026…053967871 9,808,358 2006 年 9 月 4 日 GIMPS/Curtis Cooper 及 Steven Boone 45* 37,156,667 202254406…308220927 11,185,272 2008 年 9 月 6 日 GIMPS/Hans-Michael Elvenich 46* 42,643,801 169873516…562314751 12,837,064 2009 年 4 月 12 日 GIMPS/Odd M. Strindmo 47* 43,112,609 316470269…697152511 12,978,189 2008 年 8 月 23 日 GIMPS/Edson Smith 理论探索 梅森素数的分布极不规则。找到梅森素数的时间分布都极不规则，有 时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布 规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出 了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔 和德国数学家伯利哈特曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的 猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近 程度均未尽如人意。 中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者——他运用联系 观察法和不完全归纳法，于 1992 年 2 月首次给出了梅森素数分布的精确表 达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名 为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森 素数研究中的一项重大突破之一。 GIMPS 项目 1996 年初，美国数学家和程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素
数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是 著名的“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。该项目采取网格计算方 式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。 1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了“素 数网”(PrimeNet),使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只 要人们去GMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻 新的梅森素数。 为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新 领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找 新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数 的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美 元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是 为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。 截止2012年7月，人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发 现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。世界上有180多个国 家和地区超过23万人参加了这一国际合作项目，并动用了45万多台计算 机联网来寻找新的梅森素数。该项目的计算能力己超过当今世界上任何一 台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度达到每秒700万亿次。 著名的《自然》杂志说：GMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻 找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。 意义 梅森素数历来都是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热 点和难点之一。自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎 只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了 欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一 种“副产品”了。 寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现己 知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在 发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。 寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如 M1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算 速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发 现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的
数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是 著名的“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。该项目采取网格计算方 式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。 1997 年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了“素 数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向 GIMPS 发送报告自动化。现在只 要人们去 GIMPS 的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻 新的梅森素数。 为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新 领域基金会(EFF)于 1999 年 3 月向全世界宣布了为通过 GIMPS 项目来寻找 新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过 1000 万位数 的个人或机构颁发 10 万美元。后面的奖金依次为：超过 1 亿位数，15 万美 元；超过 10 亿位数，25 万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是 为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。 截止 2012 年 7 月，人们通过 GIMPS 项目找到了 13 个梅森素数，其发 现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。世界上有 180 多个国 家和地区超过 23 万人参加了这一国际合作项目，并动用了 45 万多台计算 机联网来寻找新的梅森素数。该项目的计算能力已超过当今世界上任何一 台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度达到每秒 700 万亿次。 著名的《自然》杂志说：GIMPS 项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻 找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。 意 义 梅森素数历来都是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热 点和难点之一。自古希腊时代直至 17 世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎 只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了 欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一 种“副产品”了。 寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已 知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明 M31 为当时最大的素数以来，在 发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。 寻 找 梅 森素 数是 测 试计 算 机运 算速 度 及其 他 功能 的有 力 手段 。 如 M1257787 就是 1996 年 9 月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算 速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发 现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的
理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后 一一数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。 由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“大素数” 所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力己在某种意义上标志着一 个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。 梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密 码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难， 但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的 素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。 寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最 新的13个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威 力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能 完成的项目成为可能：这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了 快速傅立叶变换的应用。 在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家 认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学 家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的 一种标志，也是科学发展的里程碑之一。 可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力， 吸引着更多的有志者去寻找和研究。最后，有必要指出的是：素数有无穷 多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？ 这是尚未解决的著名数学难题：而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目 标。 (2012-9-16摘自百度百科)
理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后 ——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。 由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“大素数” 所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一 个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。 梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密 码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难， 但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的 素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。 寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最 新的 13 个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威 力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能 完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了 快速傅立叶变换的应用。 在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家 认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学 家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的 一种标志,也是科学发展的里程碑之一。 可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力， 吸引着更多的有志者去寻找和研究。最后，有必要指出的是：素数有无穷 多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？ 这是尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目 标。 (2012-9-16 摘自百度百科)