循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 刘振杨圣奇柏正林黄运龙 Creep property and damage constitutive model of dioritic porphyrite under cyclic loading-unloading LIU Zhen,YANG Sheng-qi.BAI Zheng-lin,HUANG Yun-long 引用本文： 刘振，杨圣奇，柏正林，黄运龙.循环加御载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型工程科学学报，2022,441)：143-151. doi10.13374j.issn2095-9389.2020.12.23.004 LIU Zhen,YANG Sheng-qi,BAI Zheng-lin,HUANG Yun-long.Creep property and damage constitutive model of dioritic porphyrite under cyclic loading-unloading[J].Chinese Journal of Engineering,2022,44(1):143-151.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2020.12.23.004 在线阅读View online:https::/doi.org10.13374j.issn2095-9389.2020.12.23.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 初始温度条件下全尾胶结膏体损伤本构模型 Damage constitutive model of cemented tailing paste under initial temperature effect 工程科学学报.2017,39(1：31htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.01.004 THMC多场耦合作用下岩石物理力学性能与本构模型研究综述 A review of the research on physical and mechanical properties and constitutive model of rock under THMC multi-field coupling 工程科学学报.2020,42(11)：1389htps:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.29.003 循环加、卸载速率对砂岩变形和渗透特性的影响 Deformation and permeability of sandstone at different cycling loading-unloading rates 工程科学学报.2017,391：133htps:doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.01.017 临床外科手术中骨切削技术的研究现状及进展 A review of bone cutting in surgery 工程科学学报.2019,41(6)：709htps:/1oi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.06.002 循环荷载下花岗岩应力门槛值的细观能量演化及岩爆倾向性 Meso-energy evolution and rock burst proneness of the stress thresholds of granite under triaxial cyclic loading and unloading test 工程科学学报.2019,41(7)：864 https:ldoi.org10.13374j.issn2095-9389.2019.07.004 氨含量对0Crl6Ni5Mo马氏体不锈钢高温热变形行为影响 Effect of nitrogen content on the hot deformation behavior of OCrl6Ni5Mo martensitic stainless steel 工程科学学报.2017,39(10，：1525 https:doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.10.010

循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 刘振 杨圣奇 柏正林 黄运龙 Creep property and damage constitutive model of dioritic porphyrite under cyclic loading-unloading LIU Zhen, YANG Sheng-qi, BAI Zheng-lin, HUANG Yun-long 引用本文: 刘振, 杨圣奇, 柏正林, 黄运龙. 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型[J]. 工程科学学报, 2022, 44(1): 143-151. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.12.23.004 LIU Zhen, YANG Sheng-qi, BAI Zheng-lin, HUANG Yun-long. Creep property and damage constitutive model of dioritic porphyrite under cyclic loading-unloading[J]. Chinese Journal of Engineering, 2022, 44(1): 143-151. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2020.12.23.004 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.12.23.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 初始温度条件下全尾胶结膏体损伤本构模型 Damage constitutive model of cemented tailing paste under initial temperature effect 工程科学学报. 2017, 39(1): 31 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.004 THMC多场耦合作用下岩石物理力学性能与本构模型研究综述 A review of the research on physical and mechanical properties and constitutive model of rock under THMC multi-field coupling 工程科学学报. 2020, 42(11): 1389 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.29.003 循环加、卸载速率对砂岩变形和渗透特性的影响 Deformation and permeability of sandstone at different cycling loading-unloading rates 工程科学学报. 2017, 39(1): 133 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.017 临床外科手术中骨切削技术的研究现状及进展 A review of bone cutting in surgery 工程科学学报. 2019, 41(6): 709 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.06.002 循环荷载下花岗岩应力门槛值的细观能量演化及岩爆倾向性 Meso-energy evolution and rock burst proneness of the stress thresholds of granite under triaxial cyclic loading and unloading test 工程科学学报. 2019, 41(7): 864 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.004 氮含量对0Cr16Ni5Mo马氏体不锈钢高温热变形行为影响 Effect of nitrogen content on the hot deformation behavior of 0Cr16Ni5Mo martensitic stainless steel 工程科学学报. 2017, 39(10): 1525 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.10.010

工程科学学报.第44卷，第1期：143-151.2022年1月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.1:143-151,January 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.12.23.004;http://cje.ustb.edu.cn 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 刘振)，杨圣奇，2)区，柏正林)，黄运龙) 1)中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，徐州2211162)中国矿业大学力学与土木工程学院，徐州2211163)华东勘 测设计院（福建）有限公司.福州350003 ☒通信作者，E-mail:yangsqi@hotmail.com 摘要分级加载压缩蠕变试验未能充分考虑稳定蠕变中的黏塑性应变，故采用三轴循环加卸载压缩蠕变试验来实现岩石 的黏弹、塑性应变分离，从而使岩石黏弹、塑性应变在岩石蠕变的各个阶段得以充分考虑.以某水电站闪长玢岩为例，探讨该 类岩石蠕变特性.在破坏前，岩石的瞬时弹性应变以及瞬时塑性应变随着偏应力逐级增大呈线性增长；随着偏应力的增加， 黏弹性应变和黏塑性应变呈非线性增长.引入一个分数阶Abl黏壶与Kelvin模型串联形成新型黏弹性模型：用分数阶 Abl黏壶代替传统的黏塑性模型中的线性牛顿体并基于损伤建立黏塑性损伤模型.然后将新型黏弹性模型和黏塑性损伤模 型与瞬时弹性模型和瞬时塑性模型串联组成一个新的岩石蠕变损伤模型.最后将该模型与岩石蠕变曲线进行拟合，从而证 明该模型的适用性 关键词循环加卸载：应变分离：分数阶Abel黏壶：损伤变量：本构模型 分类号TU45 Creep property and damage constitutive model of dioritic porphyrite under cyclic loading-unloading LIU Zhen,YANG Sheng-i,BAI Zheng-lin.HUANG Yun-long 1)State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China 2)School of Mechanics and Civil Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China 3)Huadong Survey and Design Institute(Fujian)Co.,Ltd.,Fujian 350003,China Corresponding author,E-mail:yangsqi@hotmail.com ABSTRACT The hierarchical loading compression creep test fails to fully consider the viscoplastic strain in a stable creep.Thus,the triaxial cyclic loading compression creep test is adopted to realize the separation of viscoelastic and viscoplastic strain to fully consider the two strains in each stage of the creep.With the development of hydropower project construction in China being moved towards the mountain valley,the geological conditions and engineering environment faced by geotechnical engineering become more complex. Moreover,in the process of geotechnical engineering design,engineering construction,and safe operation,the effect of the rheological, mechanical properties of rock becomes more difficult to ignore.This engineering problem is becoming more significant for the staff involved.Therefore,rheological,mechanical properties of rock have become a very important research content.This study took the diorite porphyry of one hydropower station as an example to discuss the creep characteristics of this type of rock.Before the failure,the instantaneous elastic strain and instantaneous plastic strain increase linearly as the deviator stress gradually increases.With increased deviator stress,the viscoelastic strain and viscoplastic strain exhibit a nonlinear increase.The fractional Abel viscous pot and Kelvin model were introduced to form a new viscoelastic model.The fractional Abel viscous pot was used to replace the linear Newtonian fluid 收稿日期：2020-12-23 基金项目：国家自然科学基金资助项目(41272344)

循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 刘    振1)，杨圣奇1,2) 苣，柏正林3)，黄运龙3) 1) 中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，徐州 221116    2) 中国矿业大学力学与土木工程学院，徐州 221116    3) 华东勘 测设计院 (福建) 有限公司，福州 350003 苣通信作者， E-mail: yangsqi@hotmail.com 摘    要    分级加载压缩蠕变试验未能充分考虑稳定蠕变中的黏塑性应变，故采用三轴循环加卸载压缩蠕变试验来实现岩石 的黏弹、塑性应变分离，从而使岩石黏弹、塑性应变在岩石蠕变的各个阶段得以充分考虑. 以某水电站闪长玢岩为例，探讨该 类岩石蠕变特性. 在破坏前，岩石的瞬时弹性应变以及瞬时塑性应变随着偏应力逐级增大呈线性增长；随着偏应力的增加， 黏弹性应变和黏塑性应变呈非线性增长. 引入一个分数阶 Abel 黏壶与 Kelvin 模型串联形成新型黏弹性模型；用分数阶 Abel 黏壶代替传统的黏塑性模型中的线性牛顿体并基于损伤建立黏塑性损伤模型. 然后将新型黏弹性模型和黏塑性损伤模 型与瞬时弹性模型和瞬时塑性模型串联组成一个新的岩石蠕变损伤模型. 最后将该模型与岩石蠕变曲线进行拟合，从而证 明该模型的适用性. 关键词    循环加卸载；应变分离；分数阶 Abel 黏壶；损伤变量；本构模型 分类号    TU45 Creep  property  and  damage  constitutive  model  of  dioritic  porphyrite  under  cyclic loading-unloading LIU Zhen1) ，YANG Sheng-qi1,2) 苣 ，BAI Zheng-lin3) ，HUANG Yun-long3) 1) State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China 2) School of Mechanics and Civil Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China 3) Huadong Survey and Design Institute (Fujian) Co., Ltd., Fujian 350003, China 苣 Corresponding author, E-mail: yangsqi@hotmail.com ABSTRACT    The hierarchical loading compression creep test fails to fully consider the viscoplastic strain in a stable creep. Thus, the triaxial cyclic loading compression creep test is adopted to realize the separation of viscoelastic and viscoplastic strain to fully consider the two strains in each stage of the creep. With the development of hydropower project construction in China being moved towards the mountain  valley,  the  geological  conditions  and  engineering  environment  faced  by  geotechnical  engineering  become  more  complex. Moreover, in the process of geotechnical engineering design, engineering construction, and safe operation, the effect of the rheological, mechanical properties of rock becomes more difficult to ignore. This engineering problem is becoming more significant for the staff involved.  Therefore,  rheological,  mechanical  properties  of  rock  have  become  a  very  important  research  content.  This  study  took  the diorite porphyry of one hydropower station as an example to discuss the creep characteristics of this type of rock. Before the failure, the instantaneous elastic strain and instantaneous plastic strain increase linearly as the deviator stress gradually increases. With increased deviator stress, the viscoelastic strain and viscoplastic strain exhibit a nonlinear increase. The fractional Abel viscous pot and Kelvin model were introduced to form a new viscoelastic model. The fractional Abel viscous pot was used to replace the linear Newtonian fluid 收稿日期: 2020−12−23 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（41272344） 工程科学学报，第 44 卷，第 1 期：143−151，2022 年 1 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. 1: 143−151, January 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.12.23.004; http://cje.ustb.edu.cn

144 工程科学学报，第44卷，第1期 in the traditional viscoplastic model,and a viscoplastic damage model was established based on the damage variables.The new viscoelastic plastic model and viscoplastic damage model were then connected in series with the transient elastic model and transient plastic model to form a new rock creep damage model.Finally,the model is fitted with the rock creep curve to prove the applicability of the model. KEY WORDS cyclic loading-unloading;strain separation;fractional abel viscous pot;damage variable;constitutive model 大量工程实践表明-，岩石蠕变与岩石工程 种修正的变阶分数阶Maxwell岩石蠕变模型，并与 的长期稳定和安全运营密切相关.目前，许多学者 蠕变试验结果进行拟合；苏腾等l%在Scott-Blair 热衷于岩石蠕变试验与本构模型的研究，并取得 分数阶元件和变系数分数阶元件的基础上，提出 大量成果.Cuden等)、李永盛、Zhao等通过单 一种变阶分数阶非线性黏弹塑性蠕变模型，并用 调分级加载蠕变试验，分析了岩石蠕变力学特性 煤样蠕变试验结果进行验证 及破坏模式，然而单调分级加载蠕变试验忽视了 岩体内部包含不同尺度的裂隙缺陷，研究岩 岩石在稳态流变阶段中的塑性变形.循环加卸载 石的蠕变特性，需要考虑损伤力学理论和方法，构 蠕变试验因为其能够实现蠕变应变的应变分离， 建岩石时效变形中的损伤演化、扩展本构模型是 更加准确的分析岩石蠕变力学特性，越来越受到 近年来发展的岩石流变本构发展的重要内容刀 研究者青睐.徐鹏和杨圣奇根据岩石循环加卸 李德建等在变阶分数阶蠕变模型中引入损伤变 载蠕变试验结果，分析了瞬时弹、塑性应变及黏 量，依此构造变阶分数阶损伤蠕变模型；Hu等 弹、塑性应变与应力水平之间的关系；Yang和HuM 基于应变能损伤建立蠕变损伤模型，并通过岩石 对高温处理后红砂岩进行循环加卸载蠕变试验， 蠕变试验验证该模型的合理性 着重分析了温度及围压对砂岩黏弹、塑性应变的 本文通过引人一个分数阶Abel黏壶与Kelvin模 影响.Zhao等s对金川矿区软岩进行单轴循环加 型串联形成新型黏弹性模型，用其代替传统的黏 卸载蠕变试验，发现软岩在循环加卸载过程中增 塑性模型中的线性牛顿体并基于损伤建立黏塑性 强了瞬时变形的能力.陈沅江等9通过对4种不 损伤模型.然后将新的黏弹性模型、黏塑性损伤 同尺寸砂质页岩单轴循环加卸载流变试验，着重 模型与瞬时弹、塑性模型串联形成新的蠕变损伤 研究软岩流变尺寸效应 模型，并与闪长玢岩的蠕变试验结果进行拟合，从 岩石蠕变模型作为表征岩石蠕变特性的途径 而证明该模型的适用性 之一，主要集中于元件组合模型的研究.然而，由 1闪长玢岩蠕变试验结果及分析 于岩石蠕变过于复杂，许多模型无法准确的描述 岩石蠕变的3个阶段，尤其是加速蠕变阶段.而分 试验试样主要成分有黏土矿物、石英、斜长石 数阶微积分中分数阶算子具备长期的记忆效应， 和铁白云石等，外表呈深灰色，自然风干密度为 因此其作为描述岩石黏弹、塑性应变以及建立与 2.49gcm3,经常规试验得36MPa围压下，试样峰 时间相关的本构模型的有力工具，被广泛地应用 值偏应力为108MPa,弹性模量12.72GPa,泊松比 于岩石流变力学领域.早在1978年，Koellerlo利 为0.234.根据国际岩石力学学会试验规程，将试样 用Riemann-Liouville分数阶算子构建的分数阶黏 加工成直径50mm,高100mm的标准圆柱体试 壶来取代元件模型中的传统牛顿体.近年来， 样.闪长玢岩蠕变试验在中国矿业大学深部岩土 Yin等山基于分数阶微积分，提出了一个分数阶 与地下工程国家重点实验室里的多功能岩石三轴 Bingham模型，它可以描述泥质黏土的屈服强度随 测试系统上进行的.具体参数如下：最大围压为60MPa, 时间变化的行为：沙博文等在Scott--Blair黏壶 最大偏压为400MPa,最大轴向位移为10mm,最 基础上，考虑蠕变参数的非定常性，建立岩石黏弹 大环向位移为4mm,满足试验所需2o 塑性蠕变本构模型，并与花岗岩蠕变试验结果进 为了模拟深部高地应力环境，因此试验设计 行拟合.Zhou等)、Wu等采用变系数的分数 围压为36MPa.试验应力加载路径如下：首先将 阶黏壶构建一种新的盐岩蠕变本构模型，并且可 围压(a3),轴压(o1)同步增加至36MPa,在此加载 以较好地描述蠕变的3个阶段：Wu等基于变阶 过程中试样所受偏应力(o1-o3)为0MPa,蠕变变 分数阶理论，在考虑时间效应的基础上，提出来一 形较小.接着，把偏应力加载至目标值，而后保持偏

in  the  traditional  viscoplastic  model,  and  a  viscoplastic  damage  model  was  established  based  on  the  damage  variables.  The  new viscoelastic plastic model and viscoplastic damage model were then connected in series with the transient elastic model and transient plastic model to form a new rock creep damage model. Finally, the model is fitted with the rock creep curve to prove the applicability of the model. KEY WORDS    cyclic loading-unloading；strain separation；fractional abel viscous pot；damage variable；constitutive model 大量工程实践表明[1−2] ，岩石蠕变与岩石工程 的长期稳定和安全运营密切相关. 目前，许多学者 热衷于岩石蠕变试验与本构模型的研究，并取得 大量成果. Cuden 等[3]、李永盛[4]、Zhao 等[5] 通过单 调分级加载蠕变试验，分析了岩石蠕变力学特性 及破坏模式，然而单调分级加载蠕变试验忽视了 岩石在稳态流变阶段中的塑性变形. 循环加卸载 蠕变试验因为其能够实现蠕变应变的应变分离， 更加准确的分析岩石蠕变力学特性，越来越受到 研究者青睐. 徐鹏和杨圣奇[6] 根据岩石循环加卸 载蠕变试验结果，分析了瞬时弹、塑性应变及黏 弹、塑性应变与应力水平之间的关系；Yang 和 Hu[7] 对高温处理后红砂岩进行循环加卸载蠕变试验， 着重分析了温度及围压对砂岩黏弹、塑性应变的 影响. Zhao 等[8] 对金川矿区软岩进行单轴循环加 卸载蠕变试验，发现软岩在循环加卸载过程中增 强了瞬时变形的能力. 陈沅江等[9] 通过对 4 种不 同尺寸砂质页岩单轴循环加卸载流变试验，着重 研究软岩流变尺寸效应. 岩石蠕变模型作为表征岩石蠕变特性的途径 之一，主要集中于元件组合模型的研究. 然而，由 于岩石蠕变过于复杂，许多模型无法准确的描述 岩石蠕变的 3 个阶段，尤其是加速蠕变阶段. 而分 数阶微积分中分数阶算子具备长期的记忆效应， 因此其作为描述岩石黏弹、塑性应变以及建立与 时间相关的本构模型的有力工具，被广泛地应用 于岩石流变力学领域. 早在 1978 年，Koeller[10] 利 用 Riemann-Liouville 分数阶算子构建的分数阶黏 壶来取代元件模型中的传统牛顿体. 近年来 ， Yin 等[11] 基于分数阶微积分，提出了一个分数阶 Bingham 模型，它可以描述泥质黏土的屈服强度随 时间变化的行为；沙博文等[12] 在 Scott‒Blair 黏壶 基础上，考虑蠕变参数的非定常性，建立岩石黏弹 塑性蠕变本构模型，并与花岗岩蠕变试验结果进 行拟合. Zhou 等[13]、Wu 等[14] 采用变系数的分数 阶黏壶构建一种新的盐岩蠕变本构模型，并且可 以较好地描述蠕变的 3 个阶段；Wu 等[15] 基于变阶 分数阶理论，在考虑时间效应的基础上，提出来一 种修正的变阶分数阶 Maxwell 岩石蠕变模型，并与 蠕变试验结果进行拟合；苏腾等[16] 在 Scott‒Blair 分数阶元件和变系数分数阶元件的基础上，提出 一种变阶分数阶非线性黏弹塑性蠕变模型，并用 煤样蠕变试验结果进行验证. 岩体内部包含不同尺度的裂隙缺陷，研究岩 石的蠕变特性，需要考虑损伤力学理论和方法，构 建岩石时效变形中的损伤演化、扩展本构模型是 近年来发展的岩石流变本构发展的重要内容[17] . 李德建等[18] 在变阶分数阶蠕变模型中引入损伤变 量，依此构造变阶分数阶损伤蠕变模型；Hu 等[19] 基于应变能损伤建立蠕变损伤模型，并通过岩石 蠕变试验验证该模型的合理性. 本文通过引入一个分数阶 Abel 黏壶与 Kelvin 模 型串联形成新型黏弹性模型，用其代替传统的黏 塑性模型中的线性牛顿体并基于损伤建立黏塑性 损伤模型. 然后将新的黏弹性模型、黏塑性损伤 模型与瞬时弹、塑性模型串联形成新的蠕变损伤 模型，并与闪长玢岩的蠕变试验结果进行拟合，从 而证明该模型的适用性. 1    闪长玢岩蠕变试验结果及分析 试验试样主要成分有黏土矿物、石英、斜长石 和铁白云石等，外表呈深灰色，自然风干密度为 2.49 g·cm−3，经常规试验得 36 MPa 围压下，试样峰 值偏应力为 108 MPa，弹性模量 12.72 GPa，泊松比 为 0.234. 根据国际岩石力学学会试验规程，将试样 加工成直径 50 mm，高 100 mm 的标准圆柱体试 样. 闪长玢岩蠕变试验在中国矿业大学深部岩土 与地下工程国家重点实验室里的多功能岩石三轴 测试系统上进行的. 具体参数如下：最大围压为60 MPa， 最大偏压为 400 MPa，最大轴向位移为 10 mm，最 大环向位移为 4 mm，满足试验所需[20] . 为了模拟深部高地应力环境，因此试验设计 围压为 36 MPa. 试验应力加载路径如下：首先将 围压（σ3），轴压（σ1）同步增加至 36 MPa，在此加载 过程中试样所受偏应力（σ1‒σ3）为 0 MPa，蠕变变 形较小. 接着，把偏应力加载至目标值，而后保持偏 · 144 · 工程科学学报，第 44 卷，第 1 期

刘振等：循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 145 应力不变，持续72h,在此过程中注意观察保存试 卸载蠕变试验结果如图1所示.从图1中可得， 样的轴向和环向变形.然后，偏应力卸载至0MPa, 试样在每级偏应力作用下首先产生瞬时变形，然 保持偏应力不变，持续24h.最后，按照同样的方 后开始产生蠕变变形，试样在较低偏应力水平下， 法进行下一级加载，重复上述步骤直至试样破坏 呈现出衰减和等速蠕变.偏应力增加至第5级 试样在三轴循环加卸载蠕变试验中各级的偏应力 100MPa时，试样经过短暂的衰减蠕变和等速蠕变 水平根据常规三轴压缩试验的结果确定.试验加 后，蠕变速率迅速增加试样进入加速蠕变阶段，随 载阶段的偏应力分别为60,70,80,90和100MPa. 后不久试样破坏.当每级偏应力卸载时，瞬时弹性 1.1闪长玢岩蠕变试验结果 应变瞬间恢复至0，随后黏弹性应变随时间缓慢 采用上述试验方案得到闪长玢岩三轴循环加 恢复 120 35 120 (a) (b) 100 -01-03 30 100 -Cy 25 80 80 20 15 40 10 20 20 100 200 300 400 10 20 30 40 h E/10- 图1闪长玢岩三轴压缩蠕变试验结果.()应变、应力-时间曲线：(b)应力-应变曲线 Fig.I Triaxial compression creep test results of diorite porphyrite:(a)strain and stress vs time curves;(b)stress-strain curve 众所周知，岩石材料的变形分为可恢复的弹性 在三轴循环加卸载蠕变试验加载阶段，可以 变形和不可恢复的塑性变形.而在蠕变试验中变形 得到试样瞬时应变（em=eme+emp)和蠕变应变 又可划分为与时间无关的瞬时变形和与时间有关的 (c。=ee+ecp),在卸载阶段，可以得到瞬时弹性应变 蠕变变形四.故此我们可以认为在循环加卸载蠕变 (em)和黏弹性应变(ee).根据闪长玢岩三轴循环 加卸载蠕变试验结果对试样的蠕变应变进行黏 试验中，应变由与时间无关的瞬时弹性应变(eme)和 弹、塑性应变分离.分离结果如表1所示.表中， 瞬时塑性应变(emp)以及与时间相关的黏弹性应变 oa为试验加载阶段的偏应力，为试验卸载阶段 (ee)和黏塑性应变(ep)组成，用公式表示为： 的偏应力，p为塑性应变即瞬时塑性应变与黏塑 &Eme +Ece Emp+Ecp (1) 性应变之和 表1 闪长玢岩三轴循环加卸载蠕变试验黏弹塑性应变分析 Table 1 Viscoelastic strain analysis of diorite porphyrite triaxial cyclic loading and unloading creep test d/MPa o/MPa cm/10~3 me/10-3 mp/103 eJ103 ce/10-3 Eep/10- 6/10-3 60 0 9.967 4.342 5.625 1.588 0.213 1.375 7.000 0 0 11.799 4.937 6.862 1.732 0.337 1.395 8.257 80 0 14.169 5.807 8.361 1.854 0.432 1.423 9.784 9% 0 17.526 6.937 10.589 2.053 0.552 1.501 12.091 100 0 20.382 4.761 1.2闪长玢岩蠕变应变与偏应力的关系 应变随着偏应力的增长近似线性增加，拟合效果 图2展示了试样瞬时应变与偏应力之间的关 较好.另外，试样的瞬时塑性应变与瞬时弹性应变 系，从图中可得，试样的瞬时弹性应变、瞬时塑性 之比由1.296增长到1.527.故而在三轴循环加卸

应力不变，持续 72 h，在此过程中注意观察保存试 样的轴向和环向变形. 然后，偏应力卸载至 0 MPa， 保持偏应力不变，持续 24 h. 最后，按照同样的方 法进行下一级加载，重复上述步骤直至试样破坏. 试样在三轴循环加卸载蠕变试验中各级的偏应力 水平根据常规三轴压缩试验的结果确定. 试验加 载阶段的偏应力分别为 60，70，80，90 和 100 MPa. 1.1    闪长玢岩蠕变试验结果 采用上述试验方案得到闪长玢岩三轴循环加 卸载蠕变试验结果如图 1 所示. 从图 1 中可得， 试样在每级偏应力作用下首先产生瞬时变形，然 后开始产生蠕变变形，试样在较低偏应力水平下， 呈现出衰减和等速蠕变. 偏应力增加至第 5 级 100 MPa 时，试样经过短暂的衰减蠕变和等速蠕变 后，蠕变速率迅速增加试样进入加速蠕变阶段，随 后不久试样破坏. 当每级偏应力卸载时，瞬时弹性 应变瞬间恢复至 0，随后黏弹性应变随时间缓慢 恢复. (σ1−σ3)/MPa 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 (b) ε1 /10−3 0 5 10 15 20 25 30 35 0 20 40 60 80 100 120 0 100 200 300 400 (σ1−σ3)/MPa t/h (a) ε1/10−3 σ1−σ3 ε1 图 1    闪长玢岩三轴压缩蠕变试验结果. （a）应变、应力‒时间曲线；（b）应力‒应变曲线 Fig.1    Triaxial compression creep test results of diorite porphyrite: (a) strain and stress vs time curves; (b) stress‒strain curve 众所周知，岩石材料的变形分为可恢复的弹性 变形和不可恢复的塑性变形，而在蠕变试验中变形 又可划分为与时间无关的瞬时变形和与时间有关的 蠕变变形[21] . 故此我们可以认为在循环加卸载蠕变 试验中，应变由与时间无关的瞬时弹性应变（εme）和 瞬时塑性应变（εmp）以及与时间相关的黏弹性应变 （εce）和黏塑性应变（εcp）组成，用公式表示为： ε = εme +εce +εmp +εcp （1） 在三轴循环加卸载蠕变试验加载阶段，可以 得 到 试 样 瞬 时 应 变 （ εm=εme+εmp） 和 蠕 变 应 变 （εc=εce+εcp），在卸载阶段，可以得到瞬时弹性应变 （εme）和黏弹性应变（εce）. 根据闪长玢岩三轴循环 加卸载蠕变试验结果对试样的蠕变应变进行黏 弹、塑性应变分离. 分离结果如表 1 所示. 表中， σa 为试验加载阶段的偏应力，σb 为试验卸载阶段 的偏应力，εp 为塑性应变即瞬时塑性应变与黏塑 性应变之和. 表 1 闪长玢岩三轴循环加卸载蠕变试验黏弹塑性应变分析 Table 1   Viscoelastic strain analysis of diorite porphyrite triaxial cyclic loading and unloading creep test σa /MPa σb /MPa εm/ 10−3 εme/ 10−3 εmp/ 10−3 εc / 10−3 εce/ 10−3 εcp/ 10−3 εp / 10−3 60 0 9.967 4.342 5.625 1.588 0.213 1.375 7.000 70 0 11.799 4.937 6.862 1.732 0.337 1.395 8.257 80 0 14.169 5.807 8.361 1.854 0.432 1.423 9.784 90 0 17.526 6.937 10.589 2.053 0.552 1.501 12.091 100 0 20.382 4.761 1.2    闪长玢岩蠕变应变与偏应力的关系 图 2 展示了试样瞬时应变与偏应力之间的关 系，从图中可得，试样的瞬时弹性应变、瞬时塑性 应变随着偏应力的增长近似线性增加，拟合效果 较好. 另外，试样的瞬时塑性应变与瞬时弹性应变 之比由 1.296 增长到 1.527. 故而在三轴循环加卸 刘    振等： 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 · 145 ·

146 工程科学学报，第44卷.第1期 100 100 8 _(a) 95 (b) ●Test results 90 ● Test results -Linear fitting Linear fitting 80 ● ● 75 70 65 (o-=11.338em+12.576 65 (a1-0=5.98638mp+27.95 ● R2=0.981 60 R=0.981 50 6 8 10 12 Cme/10-3 G￥J10-3 图2不同偏应力加载闪长玢岩的瞬时应变.()解时弹性应变：(b)瞬时塑性应变 Fig.2 Instantaneous strain of diorite porphyry under different deviatoric stress loading:(a)instantaneous elastic strain (b)transient plastic strain 载蠕变试验中瞬时弹、塑性应变都不可忽略 塑性应变增长幅度越来越大.另外试样黏弹、塑 图3展示了试样黏塑性应变及黏弹性应变与 应变之比由15.5%增加到30.3%.因此对于三轴循 偏应力之间呈现出较明显的非线性线性关系.并 环加卸载蠕变试验中进行黏弹、塑性应变分离是 且随着偏应力逐渐接近峰值偏应力时，试样的黏 必要的 95 100 90 (a ● Test results 95(b ●Test results Nonlinear fitting 90 Nonlinear fitting 80 8 75 6 70 6 570 65 60 (o1-o3=185.92-150.32e 60 (o03=93.21-4.82×102e-18sm R2=0.995 2=0.998 55 02 0.3 0.4 0.5 0.6 1.40 1.45 1.50 1.55 E/10-3 c-/10 图3不同偏应力加载时闪长玢岩的蠕变应变.(a)黏弹性应变：(b)黏塑性应变 Fig.3 Creep strain of diorite porphyry under different deviatoric stress loading:(a)viscoelastic strain;(b)viscoplastic strain 2非线性弹-黏-塑性蠕变损伤模型 又因为试样的三轴应力状态为o>02(侧向压 力)=σ3，又考虑到在试样三轴压缩蠕变试验中，静 2.1瞬时弹性模型 水压力不能卸除（σ一3≥0），故而将静水压力造成 由图2可知，瞬时弹性应变与偏应力之间存在 的轴向应变分量视为不可恢复塑性应变的一部 明显线性关系.所以瞬时弹性应变可由弹簧元件 分，试样的瞬时弹性应变可用式(4)表示： 进行描述.考虑到试样处于三维应力状态，故给出 其三维本构方程，其方程如式(2)所示： 8e=-9+1-03 (4) 3Gme 9Kme 1 8me二2Gme (2) 瞬时弹性应变可由试验获得，因此剪切模量为： Gme= 01-03 (5) 式中：S为应力偏量；Kme为体积模量，由式(3)确 1-03 定；Gme为剪切模量，由式(S)确定；di为Kronecker 9Kme 张量；om为应力球张量 2.2瞬时塑性模型 E K=30-2m (3) 当施加的应力水平较低时产生的瞬时塑性应 变很小，可以忽略不计.由图2可知，瞬时塑性应 式中：E为弹性模量；“为泊松比. 变与施加的偏应力水平呈现出显著的线性关系

载蠕变试验中瞬时弹、塑性应变都不可忽略. 图 3 展示了试样黏塑性应变及黏弹性应变与 偏应力之间呈现出较明显的非线性线性关系. 并 且随着偏应力逐渐接近峰值偏应力时，试样的黏 塑性应变增长幅度越来越大. 另外试样黏弹、塑 应变之比由 15.5% 增加到 30.3%. 因此对于三轴循 环加卸载蠕变试验中进行黏弹、塑性应变分离是 必要的. (σ1−σ3)/MPa (a) (σ1−σ3 )=185.92−150.32e−0.8εce R 2=0.995 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Test results Nonlinear fitting εce/10−3 (σ1−σ3)/MPa (b) (σ1−σ3 )=93.21−4.82×1012e −18.69εcp R 2=0.998 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 Test results Nonlinear fitting εcp/10−3 图 3    不同偏应力加载时闪长玢岩的蠕变应变. （a）黏弹性应变；（b）黏塑性应变 Fig.3    Creep strain of diorite porphyry under different deviatoric stress loading: (a) viscoelastic strain; (b) viscoplastic strain 2    非线性弹‒黏‒塑性蠕变损伤模型 2.1    瞬时弹性模型 由图 2 可知，瞬时弹性应变与偏应力之间存在 明显线性关系. 所以瞬时弹性应变可由弹簧元件 进行描述. 考虑到试样处于三维应力状态，故给出 其三维本构方程，其方程如式（2）所示： εme = S ij 2Gme + 1 3Kme δijσm （2） 式中：Sij 为应力偏量；Kme 为体积模量，由式（3）确 定；Gme 为剪切模量，由式（5）确定；δij 为 Kronecker 张量；σm 为应力球张量. K = E 3(1−2µ) （3） 式中：E 为弹性模量；μ 为泊松比. 又因为试样的三轴应力状态为 σ1>σ2（侧向压 力）=σ3，又考虑到在试样三轴压缩蠕变试验中，静 水压力不能卸除（σ1−σ3≥0），故而将静水压力造成 的轴向应变分量视为不可恢复塑性应变的一部 分，试样的瞬时弹性应变可用式（4）表示： εme = σ1 −σ3 3Gme + σ1 −σ3 9Kme （4） 瞬时弹性应变可由试验获得，因此剪切模量为： Gme = σ1 −σ3 3 ( εme − σ1 −σ3 9Kme ) （5） 2.2    瞬时塑性模型 当施加的应力水平较低时产生的瞬时塑性应 变很小，可以忽略不计. 由图 2 可知，瞬时塑性应 变与施加的偏应力水平呈现出显著的线性关系， (σ1−σ3)/MPa (a) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 4 5 6 7 8 Test results Linear fitting (σ1−σ3 )=11.338εme+12.576 R 2=0.981 εme/10−3 (σ1−σ3)/MPa (b) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 4 6 8 10 12 Test results Linear fitting (σ1−σ3 )=5.9863εmp+27.95 R 2=0.981 εmp/10−3 图 2    不同偏应力加载闪长玢岩的瞬时应变. （a）瞬时弹性应变；（b）瞬时塑性应变 Fig.2    Instantaneous strain of diorite porphyry under different deviatoric stress loading: (a) instantaneous elastic strain; (b) transient plastic strain · 146 · 工程科学学报，第 44 卷，第 1 期

刘振等：循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 147 偏应力水平超过某一阈值时，试样产生的瞬时塑 介于固体和理想流体之间的元件.其模型的表达 性应变达到不容忽视的地步.为描述之一现象，将 式为： 一个弹性元件和一个塑性元件形成并联结构（如 d"s(t) r(0=刀drn 0≤n≤1 (9) 图4所示)来描述之一效果2四 式中：n为黏滞系数；n为Abel黏壶的分数阶导数 当=0时，该模型变成弹簧元件，当1时，该模 型又变成牛顿体.偏应力保持不变时，该元件三维 蠕变本构方程通过积分可得2： =-3. 0≤n≤1 (10) 3n I(n+1) 图4瞬时塑性模型 Fig.4 Transient plasticity model 将分数阶Abel黏壶与Kelvin体串联组成一个新 型黏弹性模型（如图5所示），其蠕变本构方程如下： 根据上文提到将静水压力造成的轴向应变分 (c1-c3r1-03 量视为不可恢复塑性应变的一部分，偏应力小于 3nceol(n+1)3Gce (11) 应力阈值S时岩石几乎不会产生瞬时塑性应变， 即塑性应变仅为静水压力引起的应变.偏应力大 于等于应力阈值S时，其三维本构方程如下： 5p-1m）-S0+o1=)-S0+ 9Kmp (6) 3Gmp 3Kmp 式中：S为应力阈值，即施加的应力超过该阈值时， 试样产生的塑性应变不容忽视；Kp为塑性体积模 图5新型黏弹性模型 量，可由式(3)确定；Gmp为塑性剪切模量，因为cmp Fig.5 New viscoelastic model 可由试验获得，所以剪切模量Gp可由下式确定： 式中：Ieeo为分数阶Abel黏壶黏滞系数；n介于 (σ1-03)-S0 0到1之间；r(n+1)为Gamma函数 Gmp= (7) (c1-03)+303-S0 3 Emp 为了验证该模型的优越性，利用1 stopt软件采 9Kme 用最小二乘法对其进行非线性拟合.表2给出了 2.3黏弹性模型 2模型的拟合参数，根据拟合结果可以看出改进黏 众所周知，在三轴压缩蠕变试验中，保持偏应 弹性体的拟合程度(R)均在0.995以上，拟合程度 力（σ一o?0)不变时，会产生随时间逐渐增大的蠕 更高.并且随着偏应力水平的增加Kelvin体的拟 变应变.而在卸载偏应力后，会产生黏弹性应变时 合程度越来越低，可见在高应力水平下Kelvin体 间恢复曲线.假设试样在黏弹性应变恢复期间，没 已经不能够承担描述试样黏弹性应变的任务，故 有损伤产生，那么在加载过程中黏弹性应变曲线 此本文选用新型黏弹性模型来描述黏弹性应变曲 可由黏弹性恢复曲线向上翻转得到3-2刈大多学 线.以偏应力90MPa为例，两模型拟合对比结果 者采用Kelvin模型来描述试样的黏弹性应变曲 如图6(a)所示. 线，Kelvin模型不仅能够很好地描述黏弹性应变曲 2.4黏塑性模型 线，而且还可以描述弹性后效.其三维本构方程如 蠕变应变为黏弹性应变和黏塑性应变之和， 式(8)所示： 所以用加载阶段的蠕变曲线减去黏弹性应变曲线 e= 1-3 (8) 即可得到黏塑性应变曲线，黏弹性应变曲线由上 3Gce 文提供的方法获得，又因为试验条件限制，本文试 式中：Gce表示Kelvin体中的剪切模量，ce表示Kelvin 验卸载阶段持续时间为24h,加载阶段持续时间 体中的黏滞系数. 为72h,故先通过式(11)与黏弹性应变曲线进行拟 但是，在高应力下岩石的黏弹性应变率呈现 合，求得黏弹性模型参数，然后再将所求参数带入 出明显的非线性现象，而Kelvin模型难以描述该 式(11)求出72h内的黏弹性应变，最后再根据上 现象.本文通过引进一个分数阶Abel黏壶来克服 述方法进行黏弹-塑性应变分离，分离后黏弹、塑 Kelvin模型的不足.众所周知分数阶Abel黏壶是 性应变曲线如图6(b)所示

偏应力水平超过某一阈值时，试样产生的瞬时塑 性应变达到不容忽视的地步. 为描述之一现象，将 一个弹性元件和一个塑性元件形成并联结构（如 图 4 所示）来描述之一效果[22] . Gmp S0 图 4    瞬时塑性模型 Fig.4    Transient plasticity model 根据上文提到将静水压力造成的轴向应变分 量视为不可恢复塑性应变的一部分，偏应力小于 应力阈值 S0 时岩石几乎不会产生瞬时塑性应变， 即塑性应变仅为静水压力引起的应变. 偏应力大 于等于应力阈值 S0 时，其三维本构方程如下： εmp = (σ1 −σ3)−S 0 3Gmp + (σ1 −σ3)−S 0 9Kmp + σ3 3Kmp （6） 式中：S0 为应力阈值，即施加的应力超过该阈值时， 试样产生的塑性应变不容忽视；Kmp 为塑性体积模 量，可由式（3）确定；Gmp 为塑性剪切模量，因为 εmp 可由试验获得，所以剪切模量 Gmp 可由下式确定： Gmp = (σ1 −σ3)−S 0 3 ( εmp − (σ1 −σ3)+3σ3 −S 0 9Kme ) （7） 2.3    黏弹性模型 众所周知，在三轴压缩蠕变试验中，保持偏应 力（σ1−σ3>0）不变时，会产生随时间逐渐增大的蠕 变应变. 而在卸载偏应力后，会产生黏弹性应变时 间恢复曲线. 假设试样在黏弹性应变恢复期间，没 有损伤产生，那么在加载过程中黏弹性应变曲线 可由黏弹性恢复曲线向上翻转得到[23−24] . 大多学 者采用 Kelvin 模型来描述试样的黏弹性应变曲 线，Kelvin 模型不仅能够很好地描述黏弹性应变曲 线，而且还可以描述弹性后效. 其三维本构方程如 式（8）所示： εce = σ1 −σ3 3Gce ( 1−exp( − Gce ηce t )) （8） 式中：Gce 表示Kelvin 体中的剪切模量，ηce 表示Kelvin 体中的黏滞系数. 但是，在高应力下岩石的黏弹性应变率呈现 出明显的非线性现象，而 Kelvin 模型难以描述该 现象. 本文通过引进一个分数阶 Abel 黏壶来克服 Kelvin 模型的不足. 众所周知分数阶 Abel 黏壶是 介于固体和理想流体之间的元件. 其模型的表达 式为： σ(t) = η d n ε(t) dt n 0 ⩽ n ⩽ 1 （9） 式中：η 为黏滞系数；n 为 Abel 黏壶的分数阶导数. 当 n=0 时，该模型变成弹簧元件，当 n=1 时，该模 型又变成牛顿体. 偏应力保持不变时，该元件三维 蠕变本构方程通过积分可得[25] ： ε = σ1 −σ3 3η · t n Γ(n+1) 0 ⩽ n ⩽ 1 （10） 将分数阶 Abel 黏壶与 Kelvin 体串联组成一个新 型黏弹性模型（如图 5 所示），其蠕变本构方程如下： εce = (σ1 −σ3)t n 3ηceoΓ(n+1) + σ1 −σ3 3Gce ( 1−exp( − Gce ηce t ))（11） Gce ηce ηceo n 图 5    新型黏弹性模型 Fig.5    New viscoelastic model 式中 ： ηceo 为分数 阶 Abel 黏壶黏滞系数 ； n 介 于 0 到 1 之间；Γ(n+1) 为 Gamma 函数. 为了验证该模型的优越性，利用 1stopt 软件采 用最小二乘法对其进行非线性拟合. 表 2 给出了 2 模型的拟合参数，根据拟合结果可以看出改进黏 弹性体的拟合程度（R 2 ）均在 0.995 以上，拟合程度 更高. 并且随着偏应力水平的增加 Kelvin 体的拟 合程度越来越低，可见在高应力水平下 Kelvin 体 已经不能够承担描述试样黏弹性应变的任务，故 此本文选用新型黏弹性模型来描述黏弹性应变曲 线. 以偏应力 90 MPa 为例，两模型拟合对比结果 如图 6（a）所示. 2.4    黏塑性模型 蠕变应变为黏弹性应变和黏塑性应变之和， 所以用加载阶段的蠕变曲线减去黏弹性应变曲线 即可得到黏塑性应变曲线，黏弹性应变曲线由上 文提供的方法获得. 又因为试验条件限制，本文试 验卸载阶段持续时间为 24 h，加载阶段持续时间 为 72 h，故先通过式（11）与黏弹性应变曲线进行拟 合，求得黏弹性模型参数，然后再将所求参数带入 式（11）求出 72 h 内的黏弹性应变，最后再根据上 述方法进行黏弹‒塑性应变分离，分离后黏弹、塑 性应变曲线如图 6（b）所示. 刘    振等： 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 · 147 ·

.148 工程科学学报，第44卷，第1期 表2 Kelvin模型与改进Kelvin模型拟合参数 Table2 Fitting parameters of the Kelvin model and improved Kelvin model (a1-03)/MPa Viscoelastic model Mced/GPah GeGPa ce/GPa-h n Kelvin model 99.57 488.12 0.974 60 New viscoelastic model 666.67 240.96 848.46 0.430 0.998 Kelvin model 74.75 187.54 一 0.864 70 New viscoelastic model 238.10 256.41 398.15 0.263 0.996 Kelvin model 一 65.16 112.93 一 0.808 80 New viscoelastic model 175.44 222.22 254.26 0.212 0.996 Kelvin model 57.75 104.06 0.784 90 New viscoelastic model 140.85 225.56 302.36 0.194 0.995 0.6 3.0r (a) (b) 0.5 2.5 0.4 2.0 203 Creep curve 0.2 -Viscoplastic curve Test results 1.0 -Viscoelastic curve ---New model curve Kelvin model curve 0.5 15 20 25 20 0 80 h h 图690MPa为例示意图.(a)拟合结果对比：(b)黏弹、塑性应变分离结果 Fig690MPa schematic diagram:(a)comparison of fitting results,(b)results of viscoelastic and plastic strain separation 由图6(b)可知黏塑性应变曲线呈现出非线性 性模型会退化为瞬时塑性模型，当=1时，该模型 特征，为了解决牛顿体难以描述黏塑性应变曲线 表现为理想黏塑性体 非线性特征的问题，本文采用分数阶Abel黏壶来 在加速蠕变阶段之前，岩石试样内部虽然积 替代线性牛顿体.如图7所示，其三维本构方程如 累一定程度的塑性变形，有一定损伤产生，但是其 式(12)所示： 损伤程度对试样整体承载能力影响不大，因此认 0 (σ1-3)≤S0 为此时损伤程度D=O.而当试样进入加速蠕变阶 Ecp (o1-03)-S0 3nep r(m+1)(1-03)>So 段，试样损伤迅速积累直至破坏，考虑黏滞系数 (12) p在损伤积累的过程中会随着时间逐渐减小的过 So 程，故此引人损伤变量D来描述这一现象Kachanov 损伤演化方程如下： 出-( (13) 式中：，b为材料参数.对其进行积分得： 图7黏塑性模型 (1-Do)+1(1-D)+I (14) Fig.7 Viscoplastic model b+1 b+1 aobt 式中：ncp表示分数阶Abel黏壶的黏滞系数；T(m+I) 式中：Do为偏应力加载时的初始损伤，而偏应力开 为Gamma函数；m表示Abel黏壶的分数阶导数， 始加载时，试样的损伤程度很小可以忽略不计，即 m介于0到1之间，随着m取值的不同，新型黏塑 可以认为Do=0:当岩石失稳破坏，即D=1时，可得 性模型会展现出不同的性质，当m=0时，新型黏塑 蠕变破坏时间。为：

由图 6（b）可知黏塑性应变曲线呈现出非线性 特征，为了解决牛顿体难以描述黏塑性应变曲线 非线性特征的问题，本文采用分数阶 Abel 黏壶来 替代线性牛顿体. 如图 7 所示，其三维本构方程如 式（12）所示： εcp =    0 (σ1 −σ3) ⩽ S 0 (σ1 −σ3)−S 0 3ηcp · t m Γ(m+1) (σ1 −σ3) > S 0 （12） ηcp m S0 图 7    黏塑性模型 Fig.7    Viscoplastic model 式中：ηcp 表示分数阶 Abel 黏壶的黏滞系数；Γ(m+1) 为 Gamma 函数；m 表示 Abel 黏壶的分数阶导数， m 介于 0 到 1 之间，随着 m 取值的不同，新型黏塑 性模型会展现出不同的性质，当 m=0 时，新型黏塑 性模型会退化为瞬时塑性模型，当 m=1 时，该模型 表现为理想黏塑性体. 在加速蠕变阶段之前，岩石试样内部虽然积 累一定程度的塑性变形，有一定损伤产生，但是其 损伤程度对试样整体承载能力影响不大，因此认 为此时损伤程度 D=0. 而当试样进入加速蠕变阶 段，试样损伤迅速积累直至破坏，考虑黏滞系数 ηcp 在损伤积累的过程中会随着时间逐渐减小的过 程，故此引入损伤变量D 来描述这一现象. Kachanov[26] 损伤演化方程如下： dD dt = a ( σ 1− D )b （13） 式中：a，b 为材料参数. 对其进行积分得： (1− D0) b+1 b+1 − (1− D) b+1 b+1 = aσ b t （14） 式中：D0 为偏应力加载时的初始损伤，而偏应力开 始加载时，试样的损伤程度很小可以忽略不计，即 可以认为 D0=0；当岩石失稳破坏，即 D=1 时，可得 蠕变破坏时间 tp 为： 表 2  Kelvin 模型与改进 Kelvin 模型拟合参数 Table 2 Fitting parameters of the Kelvin model and improved Kelvin model (σ1−σ3 ) / MPa Viscoelastic model ηceo/ GPa∙h Gce/ GPa ηce/ GPa∙h n R 2 60 Kelvin model — 99.57 488.12 — 0.974 New viscoelastic model 666.67 240.96 848.46 0.430 0.998 70 Kelvin model — 74.75 187.54 — 0.864 New viscoelastic model 238.10 256.41 398.15 0.263 0.996 80 Kelvin model — 65.16 112.93 — 0.808 New viscoelastic model 175.44 222.22 254.26 0.212 0.996 90 Kelvin model — 57.75 104.06 — 0.784 New viscoelastic model 140.85 225.56 302.36 0.194 0.995 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25 ε1/10−3 (a) Test results New model curve Kelvin model curve t/h 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 20 40 60 80 (b) Viscoplastic curve Creep curve Viscoelastic curve ε1/10−3 t/h 图 6    90 MPa 为例示意图. （a）拟合结果对比；（b）黏弹、塑性应变分离结果 Fig.6    90 MPa schematic diagram: (a) comparison of fitting results; (b) results of viscoelastic and plastic strain separation · 148 · 工程科学学报，第 44 卷，第 1 期

刘振等：循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 149 1 p=2 (15) 3试验结果与模型曲线对比 b(b+1) 损伤变量D演化方程为： 由式(1)可知，试样在三轴循环加卸载蠕变试 0-}户 (16) 验中轴向应变由瞬时弹、塑性应变及黏弹、塑性 应变组成.因此，将上文4种应变对应的模型串联 因此，考虑损伤的黏塑性本构模型为： 0 (o1-o3)≤S0 组成一个新型的蠕变模型来反映试样蠕变的各个 Ecp (g1-03)-S0 3nep(1-D)T(m+1 (I-3)>So 阶段，新型蠕变模型具体如图8所示.综合式(1)、 (17) (4)、(6)、(11)和(17)其三维蠕变模型如下： +9+3n+l-》 -+1-+1-. (σ1-3)≤S0 1-3+1-3+1-3)-S0+o1-3)+303-S0+ 3Gme 9Kme 3Gmp 9Kmp (o1-3)>S0 (18) T3."+1-31-exp-Get+c1-c3)-S0. T(n+1)+3Gge 3nep(1-D)r(m+1) Tm+n+B(1-e-c）o1-og)≤So A Etm lee m D (DT(m+3)>5 (19) 式(19)中： A=1-C,B= 3nceo 3Gce 图8非线性蠕变损伤模型 (20) Fig.8 Nonlinear creep damage model C=Gc,E=g1-3）-S0 nce 3ncp 因为在进入加速蠕变阶段之前瞬时弹性应 综上所述蠕变模型中：体积模量Kmp和Kme由式 (3)确定；弹性剪切模量Gme由式(5)确定；塑性剪 变，瞬时塑性应变可由试验获得，进人加速蠕变试 切模量Gm由式(7)确定；由式(20)中的A可得 验后可获得瞬时弹、塑性应变之和.故此本文只 neo、B可得Ge、C可得nce、E可得np蠕变模型 与试验结果拟合情况见图9，具体参数见表3.由 对蠕变曲线进行拟合，又因为蠕变模型较复杂，因 表3可得，当试样进入加速蠕变阶段时，在0.345h 此对蠕变模型进行简化，具体如下： 时发生蠕变破坏，与试验结果相符.故可认为该模 21 可 (b) 19 90 MPa 25 Test results Test results Model curve Model curve 80 MPa 100 MPa 70 MPa 22 60 MPa 21 30 45 60 75 30 0.050.100.150.200.250.30 h thh 图9试验与模型拟合结果.(a)稳态流变拟合：(b)加速流变拟合 Fig.9 Test and model fitting results:(a)steady state rheological fitting,(b)accelerated rheological fitting

tp = 1 aσb (b+1) （15） 损伤变量 D 演化方程为： D = 1− ( 1− t tp ) 1 b+1 （16） 因此，考虑损伤的黏塑性本构模型为： εcp =    0 (σ1 −σ3) ⩽ S 0 (σ1 −σ3)−S 0 3ηcp(1− D) · t m Γ(m+1) (σ1 −σ3) > S 0 （17） 3    试验结果与模型曲线对比 由式（1）可知，试样在三轴循环加卸载蠕变试 验中轴向应变由瞬时弹、塑性应变及黏弹、塑性 应变组成. 因此，将上文 4 种应变对应的模型串联 组成一个新型的蠕变模型来反映试样蠕变的各个 阶段，新型蠕变模型具体如图 8 所示. 综合式（1）、 （4）、（6）、（11）和（17）其三维蠕变模型如下： ε =    σ1 −σ3 3Gme + σ1 −σ3 9Kme + σ1 −σ3 3ηceo · t n Γ(n+1) + σ1 −σ3 3Gce ( 1−exp( − Gce ηce t )) (σ1 −σ3) ⩽ S 0 σ1 −σ3 3Gme + σ1 −σ3 9Kme + (σ1 −σ3)−S 0 3Gmp + (σ1 −σ3)+3σ3 −S 0 9Kmp + (σ1 −σ3) > S 0 σ1 −σ3 3ηceo · t n Γ(n+1) + σ1 −σ3 3Gce ( 1−exp( − Gce ηce t ))+ (σ1 −σ3)−S 0 3ηcp(1− D) · t m Γ(m+1) （18） S0 Gme ηceo n ηcp m D ηce Gce Gmp εme εmp εcp εce εp 图 8    非线性蠕变损伤模型 Fig.8    Nonlinear creep damage model 因为在进入加速蠕变阶段之前瞬时弹性应 变，瞬时塑性应变可由试验获得，进入加速蠕变试 验后可获得瞬时弹、塑性应变之和. 故此本文只 对蠕变曲线进行拟合，又因为蠕变模型较复杂，因 此对蠕变模型进行简化，具体如下： εc=    Atn Γ(n+1) +B ( 1−e −Ct) (σ1−σ3) ⩽ S 0 Atn Γ(n+1) +B ( 1−e −Ct) + Etm (1− D)Γ(m+1) (σ1−σ3)>S 0 （19） 式（19）中： A = σ1 −σ3 3ηceo ,B = σ1 −σ3 3Gce C = Gce ηce ,E = (σ1 −σ3)−S 0 3ηcp （20） 综上所述蠕变模型中：体积模量 Kmp 和 Kme 由式 （3）确定；弹性剪切模量 Gme 由式（5）确定；塑性剪 切模量 Gmp 由式（ 7）确定；由式（ 20）中的 A 可得 ηceo、B 可得 Gce、C 可得 ηce、E 可得 ηcp. 蠕变模型 与试验结果拟合情况见图 9，具体参数见表 3. 由 表 3 可得，当试样进入加速蠕变阶段时，在 0.345 h 时发生蠕变破坏，与试验结果相符. 故可认为该模 (a) ε1/10−3 9 11 13 15 17 19 21 0 15 30 45 60 75 Model curve Test results 90 MPa 70 MPa 80 MPa 60 MPa t/h (b) ε1/10−3 Model curve Test results 20 21 22 23 24 25 26 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 100 MPa t/h 图 9    试验与模型拟合结果. （a）稳态流变拟合；（b）加速流变拟合 Fig.9    Test and model fitting results: (a) steady state rheological fitting; (b) accelerated rheological fitting 刘    振等： 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 · 149 ·

·150 工程科学学报，第44卷.第1期 表3蠕变模型参数 time-dependent properties of a marble in Jinping II hydropower station.J Rock Mech Geotech Eng,2012(2):168 Table 3 Creep model parameters [6]Xu P,Yang S Q.Study of visco-elasto-plastic constitutive model (1-3)/ A C E n b1 R MPa of coal under cyclic loading.Chin J Rock Mech Eng,2015,34(3): 60 0.030.0830.2840.6550.430.156- -0.991 537 70 0.0980.0910.6440.7990.2630.106一 -0.997 (徐鹏，杨圣奇.循环加卸载下煤的黏弹塑性蠕变本构关系研究 80 0.1520.120.8740.6280.2120.159 一 一 0.996 岩石力学与工程学报，2015,34(3)：537) 900.2130.1330.7460.7220.1940.206一 -0.994 [7]Yang S Q,Hu B.Creep and long-term permeability of a red 1000.0960.48260.353.6570.6650.6770.590.3450.999 sandstone subjected to cyclic loading after thermal treatments Rock Mech Rock Eng,2018,51:2981 型对预测岩石加速蠕变破坏时间有一定帮助，又 [8]Zhao YL,Cao P,Wang W J,et al.Viscoelasto-plastic rheological 由图9、表3可知，蠕变模型与试验曲线拟合程度 experiment under circular increment step load and unload and nonlinear creep model of soft rocks.JCentral South Univ Techol. 较好，从而证明了该模型的适用性 2009,16(3):488 4结论 [9] Chen Y J,Xie B X,Cao P,et al.Dimensional effect of soft rock rheology.J Univ of Sci Technol Beijing,2008,30(5):468 (I)将分数阶Abel黏壶和Kelvin模型串联组 (陈沅江，谢本贤，曹平，等，软岩流变的尺寸效应.北京科技大 成一个新型黏弹性模型，该模型可以更好地描述 学学报，2008,30(5)：468) 闪长玢岩的黏弹性应变；将该分数阶Abel黏壶与 [10]Koeller R C.Applications of fractional calculus to the theory of 一个塑性元件并联组成一个非线性黏塑性模型用 viscoelasticity.Jppl Mech,1984,51(2):299 于描述岩石黏塑性应变；用弹簧元件描述岩石瞬 [11]Yin D S,Zhang W,Cheng C,et al.Fractional time-dependent 时弹性应变，将弹簧元件与塑性元件并联组成一 Bingham model for muddy clay.J Non Newton Fluid Mech,2012. 个塑性模型来描述瞬时塑性应变 187-188:32 (2)将4种应变模型串联起来组成一个新的岩 [12]Sha B W,Zhu QZ,Min ZZ.Study on creep characteristics and 石蠕变模型，并基于损伤变量考虑黏塑性模型中 fractional-order visco-elastoplastic model of granite.J Saf Sci Technol,.2020,16(3):24 黏滞系数的衰减，建立新的蠕变损伤模型.利用 (沙博文，朱其志，闵中泽.花岗岩蠕变特性及分数阶黏弹塑性 Istopt软件将它与闪长玢岩蠕变试验结果进行最 模型研究.中国安全生产科学技术，2020,16(3)：24) 小二乘拟合，拟合结果很好，从而证明该蠕变损伤 [13]Zhou H W,Liu D,Lei G,et al.The creep-damage model of salt 模型的合理性和科学性 rock based on fractional derivative.Energies,2018,11(9):2349 [14]Wu F,Chen J,Zou Q L.A nonlinear creep damage model for salt 参考文献 rock.Int J Damage Mech,2019,28(5):758 [1]Cai M F,He M C,Liu D Y.Rock Mechanics and Engineering.2nd [15]Wu F,Liu J F,Wang J.An improved Maxwell creep model for Ed.Beijing:Science Press,2019 rock based on variable-order fractional derivatives.Environ Earth (蔡美峰，何满潮，刘东燕.岩石力学与工程.2版北京：科学出 Sci,2015,73(11):6965 版社，2019) [16]Su T,Zhou H W,Zhao J W,et al.A creep model of rock based on [2]Sun J.Rheological Behavior of Geomaterials and its Engineering variable order fractional derivative.Chin J Rock Mech Eng,2019, Applications.Beijing:China Architecture and Building Press,1999 38(7):1355 (孙钧.岩土材料流变及其工程应用.北京：中国建筑工业出版 (苏腾，周宏伟，赵家巍，等.基于变阶分数阶导数的岩石蠕变模 社，1999) 型.岩石力学与工程学报，2019,38(7)：1355) [3]Cruden D M.Single-increment creep experiments on rock under [17]Yan B Q,Ren F H,Cai M F,et al.A review of the research on uniaxial compression.Int J Rock Mech Min Sci Geomech Abstr, physical and mechanical properties and constitutive model of rock 1971,8(2):127 under THMC multi-field coupling.Chin J Eng,2020,42(11): [4]Li Y S.Creep and relaxation of 4 kinds of rock under uniaxial 1389 cimpression tests.Chin J Rock Mech Eng,1995,14(1):39 (颜丙乾，任奋华，蔡美峰，等.THMC多场耦合作用下岩石物理 (李永盛.单轴压缩条件下四种岩石的蠕变和松弛试验研究.岩 力学性能与本构模型研究综述.工程科学学报，2020,42(11)： 石力学与工程学报，1995,14(1)：39) 1389) [5]Zhao X J,Chen B R,Zhao H B,et al.Laboratory creep tests for [18]Li D J,Liu X L,Han C.Variable-order fractional damage creep

型对预测岩石加速蠕变破坏时间有一定帮助，又 由图 9、表 3 可知，蠕变模型与试验曲线拟合程度 较好，从而证明了该模型的适用性. 4    结论 （1）将分数阶 Abel 黏壶和 Kelvin 模型串联组 成一个新型黏弹性模型，该模型可以更好地描述 闪长玢岩的黏弹性应变；将该分数阶 Abel 黏壶与 一个塑性元件并联组成一个非线性黏塑性模型用 于描述岩石黏塑性应变；用弹簧元件描述岩石瞬 时弹性应变，将弹簧元件与塑性元件并联组成一 个塑性模型来描述瞬时塑性应变. （2）将 4 种应变模型串联起来组成一个新的岩 石蠕变模型，并基于损伤变量考虑黏塑性模型中 黏滞系数的衰减，建立新的蠕变损伤模型. 利用 1stopt 软件将它与闪长玢岩蠕变试验结果进行最 小二乘拟合，拟合结果很好，从而证明该蠕变损伤 模型的合理性和科学性. 参    考    文    献 Cai M F, He M C, Liu D Y. Rock Mechanics and Engineering. 2nd Ed. Beijing: Science Press, 2019 （ 蔡美峰, 何满潮, 刘东燕. 岩石力学与工程. 2版 北京: 科学出 版社, 2019） [1] Sun J. Rheological Behavior of Geomaterials and its Engineering Applications. Beijing: China Architecture and Building Press, 1999 （ 孙钧. 岩土材料流变及其工程应用. 北京: 中国建筑工业出版 社, 1999） [2] Cruden  D  M.  Single-increment  creep  experiments  on  rock  under uniaxial  compression. Int J Rock Mech Min Sci Geomech Abstr, 1971, 8（2）: 127 [3] Li  Y  S.  Creep  and  relaxation  of  4  kinds  of  rock  under  uniaxial cimpression tests. Chin J Rock Mech Eng, 1995, 14（1）: 39 （李永盛. 单轴压缩条件下四种岩石的蠕变和松弛试验研究. 岩 石力学与工程学报, 1995, 14（1）：39） [4] [5] Zhao X J, Chen B R, Zhao H B, et al. Laboratory creep tests for time-dependent  properties  of  a  marble  in  Jinping  II  hydropower station. J Rock Mech Geotech Eng, 2012（2）: 168 Xu P, Yang S Q. Study of visco-elasto-plastic constitutive model of coal under cyclic loading. Chin J Rock Mech Eng, 2015, 34（3）: 537 （徐鹏, 杨圣奇. 循环加卸载下煤的黏弹塑性蠕变本构关系研究. 岩石力学与工程学报, 2015, 34（3）：537） [6] Yang  S  Q,  Hu  B.  Creep  and  long-term  permeability  of  a  red sandstone  subjected  to  cyclic  loading  after  thermal  treatments. Rock Mech Rock Eng, 2018, 51: 2981 [7] Zhao Y L, Cao P, Wang W J, et al. Viscoelasto-plastic rheological experiment  under  circular  increment  step  load  and  unload  and nonlinear creep model of soft rocks. J Central South Univ Technol, 2009, 16（3）: 488 [8] Chen Y J, Xie B X, Cao P, et al. Dimensional effect of soft rock rheology. J Univ of Sci Technol Beijing, 2008, 30（5）: 468 （陈沅江, 谢本贤, 曹平, 等. 软岩流变的尺寸效应. 北京科技大 学学报, 2008, 30（5）：468） [9] Koeller  R  C.  Applications  of  fractional  calculus  to  the  theory  of viscoelasticity. J Appl Mech, 1984, 51（2）: 299 [10] Yin  D  S,  Zhang  W,  Cheng  C,  et  al.  Fractional  time-dependent Bingham model for muddy clay. J Non Newton Fluid Mech, 2012, 187-188: 32 [11] Sha B W, Zhu Q Z, Min Z Z. Study on creep characteristics and fractional-order  visco-elastoplastic  model  of  granite. J Saf Sci Technol, 2020, 16（3）: 24 （沙博文, 朱其志, 闵中泽. 花岗岩蠕变特性及分数阶黏弹塑性 模型研究. 中国安全生产科学技术, 2020, 16（3）：24） [12] Zhou H W, Liu D, Lei G, et al. The creep-damage model of salt rock based on fractional derivative. Energies, 2018, 11（9）: 2349 [13] Wu F, Chen J, Zou Q L. A nonlinear creep damage model for salt rock. Int J Damage Mech, 2019, 28（5）: 758 [14] Wu  F,  Liu  J  F,  Wang  J.  An  improved  Maxwell  creep  model  for rock based on variable-order fractional derivatives. Environ Earth Sci, 2015, 73（11）: 6965 [15] Su T, Zhou H W, Zhao J W, et al. A creep model of rock based on variable order fractional derivative. Chin J Rock Mech Eng, 2019, 38（7）: 1355 （苏腾, 周宏伟, 赵家巍, 等. 基于变阶分数阶导数的岩石蠕变模 型. 岩石力学与工程学报, 2019, 38（7）：1355） [16] Yan B Q, Ren F H, Cai M F, et al. A review of the research on physical and mechanical properties and constitutive model of rock under  THMC  multi-field  coupling. Chin J Eng,  2020,  42（11）: 1389 （颜丙乾, 任奋华, 蔡美峰, 等. THMC多场耦合作用下岩石物理 力学性能与本构模型研究综述. 工程科学学报, 2020, 42（11）： 1389） [17] [18] Li  D  J,  Liu  X  L,  Han  C.  Variable-order  fractional  damage  creep 表 3    蠕变模型参数 Table 3    Creep model parameters （σ1−σ3）/ MPa A B C E n m b tp R 2 60 0.03 0.083 0.284 0.655 0.43 0.156 — — 0.991 70 0.098 0.091 0.644 0.799 0.263 0.106 — — 0.997 80 0.152 0.12 0.874 0.628 0.212 0.159 — — 0.996 90 0.213 0.133 0.746 0.722 0.194 0.206 — — 0.994 100 0.096 0.482 60.35 3.657 0.665 0.677 0.59 0.345 0.999 · 150 · 工程科学学报，第 44 卷，第 1 期

刘振等：循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 151· model based on equivalent viscoelasticity for rock.Rock Soil and triaxial compression.Int Rock Mech Min Sci,2015,80:337 Mech,2020,41(12:3831 [23]Zhao Y L,Wang Y X,Wang W J,et al.Modeling of non-linear (李德建，刘校麟，韩超.基于等效黏弹性的变阶分数阶岩石损 rheological behavior of hard rock using triaxial rheological 伤蠕变模型.岩土力学，2020,41(12)：3831) experiment.IntJRock Mech Min Sci,2017,9:66 [19]Hu B,Yang S Q,Xu P.A nonlinear rheological damage model of [24]Zhao YL,Zhang L Y,Wang WJ,et al.Creep behavior of intact hard rock.J Central South Univ,2018,25(7):1665 and cracked limestone under multi-level loading and unloading [20]Yang S Q,Hu B.Creep and permeability evolution behavior of red cycles.Rock Mech Rock Eng,2017,50(6):1409 sandstone containing a single fissure under a confining pressure of [25]Kilbas AA,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and Applications 30 MPa.Sci Rep,2020,10:1900 of Fractional Differential Equations.Amsterdam:Elsevier Press, [21]Wang W,Zhou X Q,Liu T G,et al.Investigation of rheological 2006 constitutive model of rocks based on viscoplastic theory.J China [26]Qin Y P.Wang L.Sun W B,et al.Study on rheological theory Three Gorges Uniy Nat Sci,2010,32(6):51 model of rock damage.Chin J Rock Mech Eng,2002,21(Suppl 2): (王伟，周先齐，刘桃根，等.基于粘塑理论的岩石流变本构模型 2291 研究.三峡大学学报（自然科学版），2010,32(6)：51) (秦跃平，王林，孙文标，等.岩石损伤流变理论模型研究.岩石 [22]Yang S Q,Xu P,Ranjith P G.Damage model of coal under creep 力学与工程学报，2002,21（增刊2）：2291)

model  based  on  equivalent  viscoelasticity  for  rock. Rock Soil Mech, 2020, 41（12）: 3831 （李德建, 刘校麟, 韩超. 基于等效黏弹性的变阶分数阶岩石损 伤蠕变模型. 岩土力学, 2020, 41（12）：3831） Hu B, Yang S Q, Xu P. A nonlinear rheological damage model of hard rock. J Central South Univ, 2018, 25（7）: 1665 [19] Yang S Q, Hu B. Creep and permeability evolution behavior of red sandstone containing a single fissure under a confining pressure of 30 MPa. Sci Rep, 2020, 10: 1900 [20] Wang W, Zhou X Q, Liu T G, et al. Investigation of rheological constitutive model of rocks based on viscoplastic theory. J China Three Gorges Univ Nat Sci, 2010, 32（6）: 51 （王伟, 周先齐, 刘桃根, 等. 基于粘塑理论的岩石流变本构模型 研究. 三峡大学学报(自然科学版), 2010, 32（6）：51） [21] [22] Yang S Q, Xu P, Ranjith P G. Damage model of coal under creep and triaxial compression. Int J Rock Mech Min Sci, 2015, 80: 337 Zhao Y L, Wang Y X, Wang W J, et al. Modeling of non-linear rheological  behavior  of  hard  rock  using  triaxial  rheological experiment. Int J Rock Mech Min Sci, 2017, 93: 66 [23] Zhao Y L, Zhang L Y, Wang W J, et al. Creep behavior of intact and  cracked  limestone  under  multi-level  loading  and  unloading cycles. Rock Mech Rock Eng, 2017, 50（6）: 1409 [24] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.  Amsterdam:  Elsevier  Press, 2006 [25] Qin  Y  P,  Wang  L,  Sun  W  B,  et  al.  Study  on  rheological  theory model of rock damage. Chin J Rock Mech Eng, 2002, 21(Suppl 2): 2291 （ 秦跃平, 王林, 孙文标, 等. 岩石损伤流变理论模型研究. 岩石 力学与工程学报, 2002, 21(增刊2): 2291） [26] 刘    振等： 循环加卸载下闪长玢岩蠕变特性及损伤本构模型 · 151 ·