工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建周磊邹帅东 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong 引用本文： 王光建，周磊，邹帅东.基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测[.工程科学学报，2020,42(8)：1055-1064.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2019.10.18.004 WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong.Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error[J].Chinese Journal of Engineering,2020,42(8):1055-1064.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 在线阅读View online::https:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.18.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation 工程科学学报.2017,3912：1898htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.12.017 基于高炉料线的RCS测量及SAR成像验证 RCS measurement and SAR imaging verification based on blast furnace stock line 工程科学学报.2018.40(8：979htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.08.012 基于极限学习机ELM)的连铸坯质量预测 Quality prediction of the continuous casting bloom based on the extreme learning machine 工程科学学报.2018,40(7)：815 https::1doi.og/10.13374.issn2095-9389.2018.07.007 高温应变栅丝蠕变对应变测量精度影响与补偿 Influence of high temperature strain grid wire creep on strain measurement precision and its compensation 工程科学学报.2017,391：88 https:ldoi.org/10.13374j.issn2095-9389.2017.01.012 基于膏体稳定系数的级配表征及屈服应力预测 Grading characterization and yield stress prediction based on paste stability coefficient 工程科学学报.2018.40(10：1168 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.10.003 基于光电容积脉搏波的有限空间生理疲劳测量 Confined space physiological fatigue measurement based on photoplethysmography pulse wave signal 工程科学学报.2018.40(10：1215htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.10.008
基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建 周磊 邹帅东 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian, ZHOU Lei, ZOU Shuai-dong 引用本文: 王光建, 周磊, 邹帅东. 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测[J]. 工程科学学报, 2020, 42(8): 1055-1064. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 WANG Guang-jian, ZHOU Lei, ZOU Shuai-dong. Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error[J]. Chinese Journal of Engineering, 2020, 42(8): 1055-1064. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation 工程科学学报. 2017, 39(12): 1898 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.017 基于高炉料线的RCS测量及SAR成像验证 RCS measurement and SAR imaging verification based on blast furnace stock line 工程科学学报. 2018, 40(8): 979 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.012 基于极限学习机(ELM)的连铸坯质量预测 Quality prediction of the continuous casting bloom based on the extreme learning machine 工程科学学报. 2018, 40(7): 815 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.07.007 高温应变栅丝蠕变对应变测量精度影响与补偿 Influence of high temperature strain grid wire creep on strain measurement precision and its compensation 工程科学学报. 2017, 39(1): 88 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.012 基于膏体稳定系数的级配表征及屈服应力预测 Grading characterization and yield stress prediction based on paste stability coefficient 工程科学学报. 2018, 40(10): 1168 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.10.003 基于光电容积脉搏波的有限空间生理疲劳测量 Confined space physiological fatigue measurement based on photoplethysmography pulse wave signal 工程科学学报. 2018, 40(10): 1215 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.10.008
工程科学学报.第42卷，第8期：1055-1064.2020年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.42,No.8:1055-1064,August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004;http://cje.ustb.edu.cn 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建12区，周磊3)，邹帅东13) 1)重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆4000442)重庆大学汽车工程学院.重庆4000443)重庆大学机械工程学院，重庆400044 ☒通信作者，E-mail:gjwang@cqu.edu.cn 摘要提出了基于双偏心误差齿轮副的驱动齿面与齿背面（双齿面）无负载传动误差计算模型，建立与时变侧隙计算公式 的等价关系，从理论上证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量方法.通过实验方法测量不同负载力矩、不同初始啮合面的双 面传动误差并获得相应载荷下的初始回差.基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿轮副整个大周期侧隙的连续测量与 预测.结果表明，连续侧隙曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变化趋势 司时，侧隙连续测量方法及侧隙预测均证明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并获得了更全面的侧隙数据，对齿轮 传动的非线性研究、消隙控制以及齿轮精度研究等均具有指导意义和参考价值. 关键词时变侧隙：双齿面传动误差；连续测量：侧隙预测：偏心误差 分类号TH132.4 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong 1)State Key Laboratory of Mechanical Transmissions,Chongqing University,Chongqing 400044,China 2)School of Automotive Engineering.Chongqing University,Chongqing 400044,China 3)College of Mechanical Engineering,Chongqing University,Chongqing 400044,China Corresponding author,E-mail:gjwang@cqu.edu.cn ABSTRACT Transmission error in gear system and backlash are important factors that affect the accuracy of precision transmission systems.The main sources of the complete cycle transmission errors and periodic backlash are eccentric errors due to imperfections in machining and assembling.Therefore,analyzing the transmission error in gear system and backlash under the effect of eccentricity error is necessary.Scholars from around the world have conducted extensive research on the transmission error of the gear system.They observed that the back-side contact of the gear tooth generally happens in high-speed light-load conditions,or when alternate load torque occurs or anti-backlash gear has been used.However,the existing literature does not evidently show the calculation method of the transmission error of the back-side tooth mesh.Therefore,analyzing the transmission error of the back-side tooth mesh is of great significance.The present work develops a calculation model of drive-and back-side(two-sided)transmission error of an involute gear pair with eccentricities to construct the equivalence of time-varying backlash calculation formula to demonstrate the continuous measurement of gear backlash based on two-sided transmission error that can also be realized in theory.The experimental transmission error and the corresponding hysteresis were acquired under various load torques and different initial conditions,such as initial position of the gear unit.The continuous backlash curve of the gear pair was obtained from the two-sided transmission curves,and the backlash of the whole cycle could be predicted.The result of the experiment shows that the continuous measurement curve agrees with the mechanical hysteresis method,and the prediction of backlash perfectly reflects the variation range and trend of backlash.Moreover,both the continuous measurement method of backlash and prediction of backlash demonstrate that the model is practicable and have higher 收稿日期：2019-10-18 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275538)：上海市空间飞行器机构重点实验室开放课题(SM2014D101)
基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建1,2) 苣，周 磊1,3)，邹帅东1,3) 1) 重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044 2) 重庆大学汽车工程学院，重庆 400044 3) 重庆大学机械工程学院，重庆 400044 苣通信作者，E-mail：gjwang@cqu.edu.cn 摘 要 提出了基于双偏心误差齿轮副的驱动齿面与齿背面（双齿面）无负载传动误差计算模型，建立与时变侧隙计算公式 的等价关系，从理论上证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量方法. 通过实验方法测量不同负载力矩、不同初始啮合面的双 面传动误差并获得相应载荷下的初始回差. 基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿轮副整个大周期侧隙的连续测量与 预测. 结果表明，连续侧隙曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变化趋势. 同时，侧隙连续测量方法及侧隙预测均证明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并获得了更全面的侧隙数据，对齿轮 传动的非线性研究、消隙控制以及齿轮精度研究等均具有指导意义和参考价值. 关键词 时变侧隙；双齿面传动误差；连续测量；侧隙预测；偏心误差 分类号 TH132.4 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian1,2) 苣 ，ZHOU Lei1,3) ，ZOU Shuai-dong1,3) 1) State Key Laboratory of Mechanical Transmissions, Chongqing University, Chongqing 400044, China 2) School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China 3) College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China 苣 Corresponding author, E-mail: gjwang@cqu.edu.cn ABSTRACT Transmission error in gear system and backlash are important factors that affect the accuracy of precision transmission systems. The main sources of the complete cycle transmission errors and periodic backlash are eccentric errors due to imperfections in machining and assembling. Therefore, analyzing the transmission error in gear system and backlash under the effect of eccentricity error is necessary. Scholars from around the world have conducted extensive research on the transmission error of the gear system. They observed that the back-side contact of the gear tooth generally happens in high-speed light-load conditions, or when alternate load torque occurs or anti-backlash gear has been used. However, the existing literature does not evidently show the calculation method of the transmission error of the back-side tooth mesh. Therefore, analyzing the transmission error of the back-side tooth mesh is of great significance. The present work develops a calculation model of drive- and back-side (two-sided) transmission error of an involute gear pair with eccentricities to construct the equivalence of time-varying backlash calculation formula to demonstrate the continuous measurement of gear backlash based on two-sided transmission error that can also be realized in theory. The experimental transmission error and the corresponding hysteresis were acquired under various load torques and different initial conditions, such as initial position of the gear unit. The continuous backlash curve of the gear pair was obtained from the two-sided transmission curves, and the backlash of the whole cycle could be predicted. The result of the experiment shows that the continuous measurement curve agrees with the mechanical hysteresis method, and the prediction of backlash perfectly reflects the variation range and trend of backlash. Moreover, both the continuous measurement method of backlash and prediction of backlash demonstrate that the model is practicable and have higher 收稿日期: 2019−10−18 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (51275538)；上海市空间飞行器机构重点实验室开放课题 (SM2014D101) 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期：1055−1064，2020 年 8 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 42, No. 8: 1055−1064, August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004; http://cje.ustb.edu.cn
·1056 工程科学学报，第42卷，第8期 efficiency,and the overall data retain instructional significance,reference value for nonlinear research,anti-backlash control,and gear accuracy of gear transmission KEY WORDS time-varying backlash;two-sided transmission error;continuous measurement;backlash prediction;eccentric error 齿轮传动误差和侧隙是影响精密传动系统运动 线，推导由变形引起的回差与负载力矩的关系，从 准确性的重要因素，而由于加工、装配等导致的偏 而得到无负载双齿面传动误差曲线，最终获得连 心误差（包括轴、齿轮、轴承等制造及装配误差） 续侧隙曲线.同时根据齿背面传动误差曲线及其 是大周期传动误差和周期性侧隙的主要来源-] 理论模型，拟合得到齿轮副偏心误差及初始相位， 因此有必要分析研究偏心误差作用下的齿轮传动 实现对整个大周期侧隙值的快速预测 误差和侧隙 1双面传动误差与侧隙理论模型 国内外学者对齿轮系统传动误差进行了较多 研究.文献[4]按照传动比的高和低，分别用两种 1.1双面无负载传动误差 不同的计算公式对误差进行相位补偿，文献[⑤]~[6)] 定义因轴承、轴及齿轮等加工及装配误差导 指出其不足并在其基础上采用解析法推导出偏心误 致主动轮几何中心与其实际旋转中心的偏移量 差的齿轮副传动误差公式.由于解析法求解过程 e1为主动轮综合偏心误差，见图1，则当轮齿啮合 复杂，啮合线增量法计算传动误差较为简单，应用 面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， 更为普遍，如文献[1，文献[7)~[8]通过啮合线增 △F1d=e1sin(p1+a+6) (1) 量法分别计算了具有偏心误差的外啮合齿轮副， 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， NGW行星减速器的传动误差.而在高速轻载或交 △F1b=e1sin(p1-a+i) (2) 变负载力矩齿轮传动以及无隙啮合传动中，通常 会出现轮齿齿背面啮合1)]，但上述计算传动误差 式中：△F1(包括△F1和△F1b)为主动轮偏心导致的 啮合线增量；p1为主动轮任意时刻的转动角位移； 的文献中并未明确指出齿背面啮合传动误差计算方 e1和01为主动轮偏心误差及其初始相位；a为齿轮 法，因此分析计算齿背面传动误差具有重要意义. 副压力角.其中，定义与主动轮旋转方向一致的齿 由于齿轮侧隙的强非线性，其直接影响伺服 控制的稳定性、响应性、精度和系统敏感度：同 面为驱动齿面，与主动轮旋转方向相反的齿面为 齿背面，如图1所示 时对于精密传动系统，特别在轻载高速工况下，侧 隙也是影响齿轮动态特性的重要因素5-因此 同理，定义从动轮几何中心与其实际旋转中心 通过测量获得全面的齿轮侧隙数据具有重要意 的偏移量e2为从动轮综合偏心误差，见图2，则当轮 义.而目前齿轮侧隙的测量方法主要包括塞尺 齿啮合面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， 法、百分表法、度盘法、自整角机法和机械滞后回 △F2a=e2sin(p2-a+) (3) 差法等，测试数据离散，数据不全面，效率较低 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， 本文提出一种基于双齿面传动误差的侧隙连 △F2b=e2sin(p2+a+h) (4) 续测量新方法.通过建立双面传动误差计算模型， 式中：△F2(包括△F2a和△F2b)为从动轮偏心导致的 建立与侧隙计算公式等价关系.并通过实验方法 啮合线增量；P2为从动轮任意时刻的转动角位移： 得到不同负载力矩下的双齿面动态传动误差曲 e2和2为从动轮偏心误差及其初始相位 (a) (b) Back-side Drive-side △F Driving gear Driven gear Driving gear Driven gear 图1主动轮偏心误差下啮合线增量计算模型.()啮合齿面为驱动齿面：(b)啮合齿面为齿背面 Fig.I Engagement increment calculation model with eccentric error of pinion:(a)drive-side meshing;(b)back-side meshing
efficiency, and the overall data retain instructional significance, reference value for nonlinear research, anti-backlash control, and gear accuracy of gear transmission. KEY WORDS time-varying backlash；two-sided transmission error；continuous measurement；backlash prediction；eccentric error 齿轮传动误差和侧隙是影响精密传动系统运动 准确性的重要因素，而由于加工、装配等导致的偏 心误差（包括轴、齿轮、轴承等制造及装配误差） 是大周期传动误差和周期性侧隙的主要来源[1−3] . 因此有必要分析研究偏心误差作用下的齿轮传动 误差和侧隙. 国内外学者对齿轮系统传动误差进行了较多 研究. 文献 [4] 按照传动比的高和低，分别用两种 不同的计算公式对误差进行相位补偿，文献 [5]～[6] 指出其不足并在其基础上采用解析法推导出偏心误 差的齿轮副传动误差公式. 由于解析法求解过程 复杂，啮合线增量法计算传动误差较为简单，应用 更为普遍，如文献 [1]，文献 [7]～[8] 通过啮合线增 量法分别计算了具有偏心误差的外啮合齿轮副， NGW 行星减速器的传动误差. 而在高速轻载或交 变负载力矩齿轮传动以及无隙啮合传动中，通常 会出现轮齿齿背面啮合[9−13] ，但上述计算传动误差 的文献中并未明确指出齿背面啮合传动误差计算方 法，因此分析计算齿背面传动误差具有重要意义. 由于齿轮侧隙的强非线性，其直接影响伺服 控制的稳定性、响应性、精度和系统敏感度[14] ；同 时对于精密传动系统，特别在轻载高速工况下，侧 隙也是影响齿轮动态特性的重要因素[15−19] . 因此 通过测量获得全面的齿轮侧隙数据具有重要意 义. 而目前齿轮侧隙的测量方法[20] 主要包括塞尺 法、百分表法、度盘法、自整角机法和机械滞后回 差法等，测试数据离散，数据不全面，效率较低. 本文提出一种基于双齿面传动误差的侧隙连 续测量新方法. 通过建立双面传动误差计算模型， 建立与侧隙计算公式等价关系. 并通过实验方法 得到不同负载力矩下的双齿面动态传动误差曲 线，推导由变形引起的回差与负载力矩的关系，从 而得到无负载双齿面传动误差曲线，最终获得连 续侧隙曲线. 同时根据齿背面传动误差曲线及其 理论模型，拟合得到齿轮副偏心误差及初始相位， 实现对整个大周期侧隙值的快速预测. 1 双面传动误差与侧隙理论模型 1.1 双面无负载传动误差 定义因轴承、轴及齿轮等加工及装配误差导 致主动轮几何中心与其实际旋转中心的偏移量 e1 为主动轮综合偏心误差，见图 1，则当轮齿啮合 面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， ∆F1d = e1 sin(φ1 +α+θ1) （1） 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， ∆F1b = e1 sin(φ1 −α+θ1) （2） ∆F1 ∆F1d ∆F1b φ1 e1 θ1 α 式中： （包括 和 ）为主动轮偏心导致的 啮合线增量； 为主动轮任意时刻的转动角位移； 和 为主动轮偏心误差及其初始相位； 为齿轮 副压力角. 其中，定义与主动轮旋转方向一致的齿 面为驱动齿面，与主动轮旋转方向相反的齿面为 齿背面，如图 1 所示. 同理，定义从动轮几何中心与其实际旋转中心 的偏移量 e2 为从动轮综合偏心误差，见图 2，则当轮 齿啮合面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， ∆F2d = e2 sin(φ2 −α+θ2) （3） 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， ∆F2b = e2 sin(φ2 +α+θ2) （4） ∆F2 ∆F2d ∆F2b φ2 e2 θ2 式中： （包括 和 ）为从动轮偏心导致的 啮合线增量； 为从动轮任意时刻的转动角位移； 和 为从动轮偏心误差及其初始相位. (a) φ1+α+θ1 ΔF1d φ1 e1 α θ1 Drive-side Driving gear Driven gear (b) φ1−α+θ1 ΔF1b φ1 e1 α θ1 Back-side Driving gear Driven gear 图 1 主动轮偏心误差下啮合线增量计算模型. （a）啮合齿面为驱动齿面；（b）啮合齿面为齿背面 Fig.1 Engagement increment calculation model with eccentric error of pinion: (a) drive-side meshing; (b) back-side meshing · 1056 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期
王光建等：基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 1057· (a) 0:+0:-a (b) 0t8+a △F Driven gear Driving ge Driving gea Driven gear 图2从动轮偏心误差下啮合线增量计算模型.()啮合齿面为驱动齿面：(b)啮合齿面为齿背面 Fig.2 Engagement increment calculation model with eccentric error of driven gear:(a)drive-side meshing,(b)back-side meshing 定义仅由偏心引起的传动误差为无负载传动 其中，a为齿轮副安装中心距，由于e1<a,e2<a,因此， 误差（后面实验研究的由偏心误差、刚度、负载及 180×2sina jN≈ ×[e2cos(p2+2)-e1cos(p1+)】 时变侧隙引起的传动误差定义为动态传动误差)， R2cosa (9) 将啮合齿面不同情况下的主从动轮啮合线增量转 化为从动轮旋转角度，则可分别得到驱动齿面与 由公式(9)易知初始变值侧隙为， o= 180×2sina 齿背面无负载传动误差 ×(e2cos02-e1cos8i) (10) πR2cosa 180 △中a= -x πR2COs 因此，齿轮副总侧隙及初始总侧隙可表示为， (5) [e1 sin(o+a+01)+e2sin(2-a+)- jo=jiv +jc (11) e sin(a+1)-e2sin(-a+6)] joo=jvo+je (12) 180 ATb=Ra cosa 式中：w、jo、je、jeo及j分别为齿轮副变值侧隙， (6) [e1sin(p1-a+0)+e2sin(p2+a+02)- 初始变值侧隙，总侧隙，初始总侧隙及常值侧隙， ei sin(-a+01)-e2 sin(a+02)] 单位均为度（°） 式中：△为驱动齿面啮合时无负载传动误差； 13双齿面无负载传动误差与侧隙关系 △血为齿背面啮合时无负载传动误差，单位均为度 通过前文计算公式可知， ():R2为从动轮分度圆半径 △a+jp=△a+jN+je 1.2侧隙理论计算模型 180 齿轮传动的侧隙通常包括常值侧隙和周期性 xei sin(o+a+01) Rcosa 变值侧隙)，其中常值侧隙主要由齿厚偏差、中心 +e2 sin(2-a+62)-el sin(a+1)- 距误差等引起；周期性变值侧隙主要由轴承、轴及 齿轮等制造、装配偏心误差引起.周期性变值侧 180×2sina e2 sin(-a+62)]+ πR2Cosa 隙计算如下： le2 cos(2+62)-e cos(+1)]+jc [a+e2cos(2+0)-e1 cos(1+61) jv= (13) +[e1sin(p1+0)-e2sin(p2+2)2 180 xel sin(o1-a+01)+ 180×2sina R2 cosa R2 cosa e2sin(2+a+02)-e1sin(-a+0)- (7) 将上式用牛顿二项式定理展开，得， 180×2sina e2 sin(a+2)]+ 180x2sina πR2coSa Jv= ×{e2cos(p2+2)-e1cos(91+0)+ πR2CoSa [e2 cos(02)-e1 cos(01)]+jc 1 eisin(1+01)-e2sin(2+) 2(a+e2cos(2+0)-ei cos(1+0)) l=△+je0 1 [eisin(1+0)-e2sin(+)]2 由上式可知，齿轮副侧隙可间接通过驱动齿 2[a+eacos(p0)-e1cosp 面无负载传动误差及含初始侧隙的齿背面无负载 (8) 传动误差得到
定义仅由偏心引起的传动误差为无负载传动 误差（后面实验研究的由偏心误差、刚度、负载及 时变侧隙引起的传动误差定义为动态传动误差）， 将啮合齿面不同情况下的主从动轮啮合线增量转 化为从动轮旋转角度，则可分别得到驱动齿面与 齿背面无负载传动误差. ∆ϕd = 180 πR2 cosα × [e1 sin(φ1 +α+θ1)+e2 sin(φ2 −α+θ2)− e1 sin(α+θ1)−e2 sin(−α+θ2)] （5） ∆πb = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 −α+θ1)+e2 sin(φ2 +α+θ2)− e1 sin(−α+θ1)−e2 sin(α+θ2)] （6） ∆ϕd ∆ϕb R2 式中 ： 为驱动齿面啮合时无负载传动误差 ； 为齿背面啮合时无负载传动误差，单位均为度 (°)； 为从动轮分度圆半径. 1.2 侧隙理论计算模型 齿轮传动的侧隙通常包括常值侧隙和周期性 变值侧隙[21] ，其中常值侧隙主要由齿厚偏差、中心 距误差等引起；周期性变值侧隙主要由轴承、轴及 齿轮等制造、装配偏心误差引起. 周期性变值侧 隙计算如下： jv = vt [a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)] 2 +[e1 sin(φ1 +θ1)−e2 sin(φ2 +θ2)]2 −a × 180×2 sinα πR2 cosα （7） 将上式用牛顿二项式定理展开，得， jv= 180×2sinα πR2 cosα × {e2 cos(φ2+θ2)−e1cos(φ1+θ1)+ 1 2 e1sin(φ1 +θ1)−e2sin(φ2 +θ2) (a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)) + 1 2 [e1sin(φ1 +θ1)−e2sin(φ2 +θ2)]2 [a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)]3 +...} （8） 其中，a 为齿轮副安装中心距，由于 e1<<a, e2<<a，因此， jv ≈ 180×2 sinα πR2 cosα ×[e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)] （9） 由公式（9）易知初始变值侧隙为， jv0 = 180×2 sinα πR2 cosα ×(e2 cos θ2 −e1 cos θ1) （10） 因此，齿轮副总侧隙及初始总侧隙可表示为， jφ = jv + jc （11） jφ0 = jv0 + jc （12） 式中： jv、 jv0、 jφ、 jφ0 及 jc分别为齿轮副变值侧隙， 初始变值侧隙，总侧隙，初始总侧隙及常值侧隙， 单位均为度 (°). 1.3 双齿面无负载传动误差与侧隙关系 通过前文计算公式可知， ∆ϕd + jφ = ∆ϕd + jv + jc = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 +α+θ1) +e2 sin(φ2 −α+θ2)−e1 sin(α+θ1)− e2 sin(−α+θ2)]+ 180×2 sinα πR2 cosα × [e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)]+ jc = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 −α+θ1)+ e2 sin(φ2 +α+θ2)−e1 sin(−α+θ1)− e2 sin(α+θ2)]+ 180×2 sinα πR2 cosα × [e2 cos(θ2)−e1 cos(θ1)]+ jc = ∆ϕb + jφ0 （13） 由上式可知，齿轮副侧隙可间接通过驱动齿 面无负载传动误差及含初始侧隙的齿背面无负载 传动误差得到. (a) φ2+θ2−α ΔF2d φ2 e2 α θ2 Driving gear Driven gear (b) φ2+θ2+α φ ΔF2b 2 e2 α θ2 Driving gear Driven gear 图 2 从动轮偏心误差下啮合线增量计算模型. （a）啮合齿面为驱动齿面；（b）啮合齿面为齿背面 Fig.2 Engagement increment calculation model with eccentric error of driven gear: (a) drive-side meshing; (b) back-side meshing 王光建等： 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 · 1057 ·
·1058 工程科学学报，第42卷，第8期 2双齿面传动误差测量 差曲线为初始无侧隙齿背面传动误差.由于主从 动轮齿数的关系，当主动轮旋转16圈，从动轮旋 2.1实验装置及参数 转9圈时，齿轮啮合的轮齿相同，齿轮副回到初始 实验装置如图3，实验系统包括驱动电机、变 测试起点.为方便进行实验结果比较，主动轮每次 齿厚齿轮副、编码器、负载电机、滚珠花键副、数 均由相同起始位置开始，起始位置的精度由编码 据采集系统、电机的控制器、直线执行器、消隙控 器保证.实验中为保证实验数据的可靠性，每组数 制器以及上位机等.通过控制器1控制驱动电机 据均进行重复性实验 旋转，控制器2控制负载电机提供实验所需负载， 2.3传动误差实验曲线与初步分析 主从动轮转动角度分别通过编码器1和2测量，测 按图4~图5所示初始位置，分别进行不同负 量的角位移数据由数据采集系统采集并带入公式(14) 载力矩下的双齿面传动误差曲线测量，实验结果 计算，从而获得双齿面实验传动误差曲线.由于本 如图6~图9.定义回差为负载下实验装置的变形 实验仅涉及传动误差及侧隙测量，并未涉及消隙 与齿轮副侧隙值之和，即 实验，因此消隙控制器及直线执行器未使用，但连 续侧隙的测试对消隙控制研究具有重要意义2-2刘 B=je+△d (15) 此外，本装置中的变齿厚齿轮副属于渐开线齿轮 式中，B为回差，△为负载引起的变形 副一种，因此上述建立的传动误差及侧隙理论模 因此，初始时刻的回差（以下简称初始回差） 型仍然适用.实验参数及齿轮副参数如表1 为负载引起的变形和齿轮副初始侧隙之和，即 △0=925-9 (16) (14) B0=je0+△6k i 式中，Bo为初始回差 式中，△中为传动误差，2分别为编码器2测量角位 由实验装置图3可知，负载引起的变形和齿轮 移，1为编码器1测量角位移，为传动比 副初始侧隙为编码器2在初始时刻测量所得角度 2.2双齿面传动误差测量 值的绝对值，而初始时刻编码器1测量角度值 当驱动电机驱动主动齿轮旋转，其方向与负 载力矩方向均为逆时针时，若启动时开始接触齿 9=0,因此， 面为驱动齿面，如图4(a).实验所测的传动误差曲 (17) 线为初始无侧隙驱动齿面传动误差：若启动时开 始接触齿面为齿背面，如图4(b),则实验所测的传 式中，B为初始回差，△为传动误差初始值 动误差曲线为含初始侧隙的驱动齿面传动误差 由公式(17)知，初始回差即为初始时刻传动 当驱动电机驱动主动齿轮逆时针旋转，负载力矩 误差值绝对值.图6(a)中为不同负载的驱动齿面 方向为顺时针方向时，若启动时开始接触齿面为 传动误差曲线，同时由于初始接触齿面为驱动齿 驱动齿面，如图5(a),实验所测的传动误差曲线为 面，即齿轮副初始侧隙为零，联立公式(16)及(17) 含初始侧隙的齿背面传动误差；若启动时开始接 可知，传动误差曲线的初始时刻值的绝对值（即初 触齿面为齿背面，如图5(b),则实验所测的传动误 始回差)等于负载引起的变形值.当负载力矩为零 Conical involute gear pair Coupling-1 flange Hos comp Controller-2 Acoucmon Ach acto spnir Couplingin Coupling moto 图3传动误差及侧隙测量实验装置图 Fig.3 Experimental device for transmission error and backlash measurement
2 双齿面传动误差测量 2.1 实验装置及参数 实验装置如图 3，实验系统包括驱动电机、变 齿厚齿轮副、编码器、负载电机、滚珠花键副、数 据采集系统、电机的控制器、直线执行器、消隙控 制器以及上位机等. 通过控制器 1 控制驱动电机 旋转，控制器 2 控制负载电机提供实验所需负载， 主从动轮转动角度分别通过编码器 1 和 2 测量，测 量的角位移数据由数据采集系统采集并带入公式（14） 计算，从而获得双齿面实验传动误差曲线. 由于本 实验仅涉及传动误差及侧隙测量，并未涉及消隙 实验，因此消隙控制器及直线执行器未使用，但连 续侧隙的测试对消隙控制研究具有重要意义[22−24] . 此外，本装置中的变齿厚齿轮副属于渐开线齿轮 副一种，因此上述建立的传动误差及侧隙理论模 型仍然适用. 实验参数及齿轮副参数如表 1. ∆ϕ = φ2s − φ1s i （14） ∆ϕ φ2s φ1s i 式中， 为传动误差， 分别为编码器 2 测量角位 移， 为编码器 1 测量角位移， 为传动比. 2.2 双齿面传动误差测量 当驱动电机驱动主动齿轮旋转，其方向与负 载力矩方向均为逆时针时，若启动时开始接触齿 面为驱动齿面，如图 4（a），实验所测的传动误差曲 线为初始无侧隙驱动齿面传动误差；若启动时开 始接触齿面为齿背面，如图 4（b），则实验所测的传 动误差曲线为含初始侧隙的驱动齿面传动误差. 当驱动电机驱动主动齿轮逆时针旋转，负载力矩 方向为顺时针方向时，若启动时开始接触齿面为 驱动齿面，如图 5（a），实验所测的传动误差曲线为 含初始侧隙的齿背面传动误差；若启动时开始接 触齿面为齿背面，如图 5（b），则实验所测的传动误 差曲线为初始无侧隙齿背面传动误差. 由于主从 动轮齿数的关系，当主动轮旋转 16 圈，从动轮旋 转 9 圈时，齿轮啮合的轮齿相同，齿轮副回到初始 测试起点. 为方便进行实验结果比较，主动轮每次 均由相同起始位置开始，起始位置的精度由编码 器保证. 实验中为保证实验数据的可靠性，每组数 据均进行重复性实验. 2.3 传动误差实验曲线与初步分析 按图 4～图 5 所示初始位置，分别进行不同负 载力矩下的双齿面传动误差曲线测量，实验结果 如图 6～图 9. 定义回差为负载下实验装置的变形 与齿轮副侧隙值之和，即 B = jφ + ∆δk （15） 式中， B 为回差， ∆δk 为负载引起的变形. 因此，初始时刻的回差（以下简称初始回差） 为负载引起的变形和齿轮副初始侧隙之和，即 B0 = jφ0 + ∆δk （16） 式中， B0 为初始回差 φ 0 2s φ 0 1s = 0 由实验装置图 3 可知，负载引起的变形和齿轮 副初始侧隙为编码器 2 在初始时刻测量所得角度 值 的绝对值，而初始时刻编码器 1 测量角度值 ，因此， B0 = φ 0 2s = φ 0 2s − φ 0 1s i = ∆ϕ 0 （17） B0 ∆ϕ 式中， 为初始回差， 0 为传动误差初始值. 由公式（17）知，初始回差即为初始时刻传动 误差值绝对值. 图 6（a）中为不同负载的驱动齿面 传动误差曲线，同时由于初始接触齿面为驱动齿 面，即齿轮副初始侧隙为零，联立公式（16）及（17） 可知，传动误差曲线的初始时刻值的绝对值（即初 始回差）等于负载引起的变形值. 当负载力矩为零 Conical involute Motor gear pair Angular displacement sensor-1 and mounting Coupling-1 flange Host computer Anti-backlash controller Acquisition system Controller-2 Controller-l Rolling spline pair Angular displacement Coupling-3 Load motor sensor-2 and mounting flange Linear Coupling-2 actuator 图 3 传动误差及侧隙测量实验装置图 Fig.3 Experimental device for transmission error and backlash measurement · 1058 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期
王光建等：基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 ·1059 表1齿轮副基本参数 大，因此传动误差曲线初始时刻值的绝对值逐渐 Table I Basic parameters of gear pair 增大，即逐渐远离坐标原点.由各负载下传动误差 System parameters Value 初始时刻值及公式(17)可得相应负载下的初始回 Tooth number of driving gear 45 差实验值，如图6(b)所示，而初始回差理论值由计 Tooth number of driven gear S 算所得，将在2.4节具体阐述.此外，从图6(b)可 Module/mm 3 知，负载力矩与初始回差呈较好的线性关系 Pressure angle/() 20 图7(a)所示，由于初始接触齿面发生变化，齿 Tooth width/mm 20 轮副初始侧隙值不为零，因此，传动误差曲线初始 Addendum circle diameter of driving gear/mm 94 时刻为初始侧隙值与负载引起的变形值之和.当 Dedendum circle diameter of driving gear/mm 85 负载为零时，负载引起的变形为零，因此由公式(16) Addendum circle diameter of driven gear/mm 164 及公式(17)可知，传动误差初始时刻值的绝对值 Dedendum circle diameter of driven gear/mm 155 即为齿轮副初始侧隙，即约为0.065°.同时由各负 Driving speed/(rmin) 10 载下传动误差初始时刻值及公式(17)可得相应负 0 载下的初始回差实验值，如图7(b)所示.图7(b) 2.5 中，初始回差与负载也呈较好的线性关系 Loading torque/(N-m) 5 同理可分析图8与图9齿背面传动误差曲线 7.5 与初始回差.图8(a)中，当初始时刻接触面为驱动 10 齿面时，齿轮副初始侧隙不为零，初始回差为齿轮 副初始侧隙及实验装置变形之和；图9(a)中，当初 时，负载引起的变形为零，因此传动误差曲线初始 始时刻接触面为齿背面时，齿轮副初始侧隙为零， 时刻值为零.而随着负载力矩逐渐增加，导致齿 因此初始回差等于实验装置变形.此外，如图8(b) 轮、轴、联轴器等零件变形加大，初始回差逐渐增 与9(b)所示，初始回差与负载也呈较好的线性关 (a) (b) Tooth surface of meshing. Meshing tooth surface during transmission and during transmnission initial contact Load torque direction Load torque direction Drive speed direction Drive speed direction Initial contact tooth suface 图4驱动齿面传动误差测量起始位置示意图.()初始接触齿面为驱动齿面：(b)初始接触齿面为齿背面 Fig.4 Schematic of the initial position of the drive-side transmission error measurement:(a)drive-side contact in initial position;(b)back-side contact in initial position (a) (b) Initial contact tooth surface oad torque direction Load torque direction Drive speed direction Drive speed direction Meshing tooth surface Tooth surface of meshing during transmission and during tranamission initial contact 国5齿背面传动误差测量起始位置示意图.()初始接触齿面为驱动齿面：(b)初始接触齿面为齿背面 Fig.5 Schematic of the initial position of the back-side transmission error measurement:(a)drive-side contact in initial position;(b)back-side contact in initial position
时，负载引起的变形为零，因此传动误差曲线初始 时刻值为零. 而随着负载力矩逐渐增加，导致齿 轮、轴、联轴器等零件变形加大，初始回差逐渐增 大，因此传动误差曲线初始时刻值的绝对值逐渐 增大，即逐渐远离坐标原点. 由各负载下传动误差 初始时刻值及公式（17）可得相应负载下的初始回 差实验值，如图 6（b）所示，而初始回差理论值由计 算所得，将在 2.4 节具体阐述. 此外，从图 6（b）可 知，负载力矩与初始回差呈较好的线性关系. 图 7（a）所示，由于初始接触齿面发生变化，齿 轮副初始侧隙值不为零，因此，传动误差曲线初始 时刻为初始侧隙值与负载引起的变形值之和. 当 负载为零时，负载引起的变形为零，因此由公式（16） 及公式（17）可知，传动误差初始时刻值的绝对值 即为齿轮副初始侧隙，即约为 0.065°. 同时由各负 载下传动误差初始时刻值及公式（17）可得相应负 载下的初始回差实验值，如图 7（b）所示. 图 7（b） 中，初始回差与负载也呈较好的线性关系. 同理可分析图 8 与图 9 齿背面传动误差曲线 与初始回差. 图 8（a）中，当初始时刻接触面为驱动 齿面时，齿轮副初始侧隙不为零，初始回差为齿轮 副初始侧隙及实验装置变形之和；图 9（a）中，当初 始时刻接触面为齿背面时，齿轮副初始侧隙为零， 因此初始回差等于实验装置变形. 此外，如图 8（b） 与 9（b）所示，初始回差与负载也呈较好的线性关 表 1 齿轮副基本参数 Table 1 Basic parameters of gear pair System parameters Value Tooth number of driving gear 45 Tooth number of driven gear 80 Module/mm 2 Pressure angle/(°) 20 Tooth width/mm 20 Addendum circle diameter of driving gear/mm 94 Dedendum circle diameter of driving gear/mm 85 Addendum circle diameter of driven gear/mm 164 Dedendum circle diameter of driven gear/mm 155 Driving speed/(r·min−1) 10 Loading torque/(N∙m) 0 2.5 5 7.5 10 Tooth surface of meshing, during transmission and initial contact (a) (b) Drive speed direction Load torque direction Meshing tooth surface during transmnission Initial contact tooth suface Drive speed direction Load torque direction 图 4 驱动齿面传动误差测量起始位置示意图. （a）初始接触齿面为驱动齿面；（b）初始接触齿面为齿背面 Fig.4 Schematic of the initial position of the drive-side transmission error measurement: (a) drive-side contact in initial position; (b) back-side contact in initial position (a) (b) Meshing tooth surface during tranamission Initial contact tooth surface Load torque direction Drive speed direction Load torque direction Tooth surface of meshing during transmission and initial contact Drive speed direction 图 5 齿背面传动误差测量起始位置示意图. （a）初始接触齿面为驱动齿面；（b）初始接触齿面为齿背面 Fig.5 Schematic of the initial position of the back-side transmission error measurement: (a) drive-side contact in initial position; (b) back-side contact in initial position 王光建等： 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 · 1059 ·
·1060 工程科学学报，第42卷，第8期 0.06 Load torque 0.08 (a) 0.07 (b) ★-Experiment 0.04 -■-Theory SN.n 0.02 0.06 10N-m 0.05 -0.02 0.04 0.04 0.03 ★ 0.06 0.02 -0.08 0.01 -0.10 0 0123456789101112 0 1 2 3456789101112 Time/s Loadtorque/(N-m) 图6驱动齿面传动误差测量且初始时刻哪动齿面接触.()传动误差对比曲线：(b)各负载与其初始回差对比 Fig.6 Drive-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position:(a)comparison of transmission error curves;(b)comparison of each load torque with its corresponding hysteresis 0 Load torque (a) -0.02 0.14 L(b) N'm ★-Experiment -0.04 -■-Theory 0.12 。C ★ -006 -0.08 0.10 -0.10 -0.12 0.08 -0.14 0.06 -0.16 0123456789101112 0123456789101112 Time/s Loadtorque/(N-m) 图7驱动齿面传动误差测量且初始时刻齿背面接触.()传动误差对比曲线：(b)各负载与其初始回差对比 Fig.7 Drive-side transmission error measurement with back-side contact at initial position:(a)comparison of transmission error curves;(b)comparison of each load torque with its corresponding hysteresis 0.20(a) (b) 0.14 ★Experiment Theor 0.16 。0.12 ★ 0.14 0.12 0.10 0.10 008 Load torqu m 0.06 'm 0.08 10N-m 0.04 0 2 3 4 56789101112 0123456789101112 Time/s Loadtorque/(N-m) 图8齿背面传动误差测量且初始时刻驱动齿面接触.()传动误差对比曲线：(b)各负载与其初始回差对比 Fig.8 Back-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position:(a)comparison of transmission error curves;(b)comparison of each load torque with its corresponding hysteresis 系，且变化斜率基本与图6(b)、图7(b)一致 以表示下， 2.4刚度计算与初始回差分析 TT TT △k= (18) 从图3实验装置图可知，当施加负载力矩时， 后+后+云+ 编码器2测量的角度中包含的变形主要是齿轮副 式中，T为负载力矩，kg、ka、k及k分别为单位宽度 变形、滚珠花键副变形、膜片联轴器2变形及从动 齿轮副刚度、从动轮至编码器2之间的输出轴刚 轮至编码器2之间的输出轴变形.因此总变形可 度、滚珠花键副刚度及联轴器刚度.其中，单位宽
系，且变化斜率基本与图 6（b）、图 7（b）一致. 2.4 刚度计算与初始回差分析 从图 3 实验装置图可知，当施加负载力矩时， 编码器 2 测量的角度中包含的变形主要是齿轮副 变形、滚珠花键副变形、膜片联轴器 2 变形及从动 轮至编码器 2 之间的输出轴变形. 因此总变形可 以表示下， ∆δk = T kg + T ka + T ks + T kc （18） 式中， T 为负载力矩， kg、ka、ks及 kc分别为单位宽度 齿轮副刚度、从动轮至编码器 2 之间的输出轴刚 度、滚珠花键副刚度及联轴器刚度. 其中，单位宽 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 11 12 −0.08 −0.06 −0.04 −0.10 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 (a) Transmission error/(°) Time/s Load torque 0 N·m 2.5 N·m 7.5 N·m 10 N·m 5 N·m 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 12 11 0.01 0.02 0.03 0 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 (b) Experiment Theory Hysteresis/(°) Loadtorque/(N·m) 图 6 驱动齿面传动误差测量且初始时刻驱动齿面接触. （a）传动误差对比曲线；（b）各负载与其初始回差对比 Fig.6 Drive-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position: (a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 11 12 −0.14 −0.12 −0.16 −0.08 −0.06 −0.04 −0.10 −0.02 0 (a) Transmission error/(°) Time/s Load torque 0 N·m 2.5 N·m 7.5 N·m 10 N·m 5 N·m 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 12 11 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 (b) Experiment Theory Hysteresis/(°) Loadtorque/(N·m) 图 7 驱动齿面传动误差测量且初始时刻齿背面接触. （a）传动误差对比曲线；（b）各负载与其初始回差对比 Fig.7 Drive-side transmission error measurement with back-side contact at initial position: (a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 11 12 0.06 0.12 0.04 0.08 0.16 0.14 0.10 0.20 0.18 (a) Transmission error/(°) Time/s Load torque 2.5 N·m 7.5 N·m 10 N·m 5 N·m 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 12 11 0.08 0.10 0.12 0.14 (b) Experiment Theory Hysteresis/(°) Loadtorque/(N·m) 图 8 齿背面传动误差测量且初始时刻驱动齿面接触. （a）传动误差对比曲线；（b）各负载与其初始回差对比 Fig.8 Back-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position: (a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis · 1060 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期
王光建等：基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 ·1061 0.16 0.08 (a) Load torque (b) ★ 0.14 -2.5Nm ★Experiment 。0.12 0.06 ■-Theory 10 N-m 0.10 0.08 0.04 0.06 0.04 0.02 0.02 0 567 89101112 01 2 3456789101112 Time/s Loadtorque/(N'm) 图9齿背面传动误差测量且初始时刻齿背面接触.()传动误差对比曲线：(b)各负载与其初始回差对比 Fig.9 Back-side transmission error measurement with back-side contact at initial position:(a)comparison of transmission error curves;(b)comparison ofeach load torque with its corresponding hysteresis. 度齿轮副刚度通过文献[20]查得为20N(ummm), 器刚度相对较低，即变形较大，因此对初始回差影 轴的刚度由文献[25]得289.44Nm(),滚珠花键 响较大 副刚度参考文献[26]计算后为9.768×107pBNm, 联立公式(16)及(18)得 其中P为外载作用力，膜片联轴器刚度参考文献25] 1111 B0= ×T+j0 (19) 为1.87×10 N.m'rad.各部分刚度及变形如表2、 表3所示 由公式(19)可知，初始回差与负载之间理论 上呈线性关系.将表3中各负载下计算的理论变 表2各部分理论刚度 形值以及23节的齿轮副初始侧隙值代入公式 Table 2 Theoretical stiffness of each part (16),得到理论初始回差，如图6(b)、图7(b)、 Part Theoretical stiffness 图8(b)及图9(b).由图6(b)~图9(b)可知，实验 Gear 20 N-(um'mm) 和理论初始回差吻合较好，且均与负载具有较好 Shaft 289.44Nm( 的线性关系 Spline 9.768×10-PsN-m-l Coupling 1.87×10 N.mrad 3侧隙连续曲线与预测 3.1侧隙连续曲线 表3不同负载力矩下，各部分变形数据 当通过公式(13)获得齿轮副连续侧隙曲线 Table 3 Deformation data of various parts under different loads 时，双齿面传动误差曲线必须为无负载传动误差 Theoretical deformation/(10) 曲线.由图6(a)~图9(a)可知，负载下的传动误 Part 2.5N.m 5 Nm 7.5Nm 10N-m 差曲线与无负载下的传动误差曲线为常值的上下 Gear 0.06 0.11 0.17 0.22 偏移，其偏移值与表3中计算的变形值相等，即 Shaft 8.64 17.27 25.91 34.55 △b5=△d-△m (20) Spline 1.06 1.69 2.21 2.68 △5=△+△6 (21) Coupling 7.66 15.32 22.98 30.64 式中，△、△分别为负载下驱动面和齿背面传动 Theoretical total deformation 17.4234.3951.2768.09 误差.因此，将负载下的双齿面传动误差曲线上下 Experimental Drive-side 15 30 48 65 total deformation Back-side 15 31 50 偏移相应负载下的变形值，即可得到无负载双齿 面传动误差曲线.以2.5Nm双齿面传动误差实验 从表3可以看出，各负载力矩下实验总变形结 曲线为例，如图10，将双齿面传动误差曲线上下 果与理论结果吻合较好，且引起变形回差的主要 偏移，偏移值为该负载引起的变形值，分别得到 因素是轴和联轴器.由公式(16)可知，初始回差主 无负载不含侧隙驱动齿面传动误差曲线和无负载 要由实验装置变形和齿轮副初始侧隙组成，因此 含初始侧隙的齿背面传动误差曲线，最终由不含 变形越大，初始回差越大.同时表2中，轴与联轴 负载变形的齿背面传动误差曲线减去不含负载变
度齿轮副刚度通过文献 [20] 查得为 20 N·(μm·mm)−1 ， 轴的刚度由文献 [25] 得 289.44 N∙m·(°)−1，滚珠花键 副刚度参考文献 [26] 计算后为 9.768×107 ·P 1/3 N·m−1 ， 其中 P 为外载作用力，膜片联轴器刚度参考文献 [25] 为 1.87×104 N∙m·rad−1 . 各部分刚度及变形如表 2、 表 3 所示. 从表 3 可以看出，各负载力矩下实验总变形结 果与理论结果吻合较好，且引起变形回差的主要 因素是轴和联轴器. 由公式（16）可知，初始回差主 要由实验装置变形和齿轮副初始侧隙组成，因此 变形越大，初始回差越大. 同时表 2 中，轴与联轴 器刚度相对较低，即变形较大，因此对初始回差影 响较大. 联立公式（16）及（18）得 B0 = ( 1 kg + 1 ka + 1 ks + 1 kc ) ×T + jφ0 （19） 由公式（19）可知，初始回差与负载之间理论 上呈线性关系. 将表 3 中各负载下计算的理论变 形值以及 2.3 节的齿轮副初始侧隙值代入公式 （ 16） ，得到理论初始回差 ，如图 6（ b） 、图 7（ b） 、 图 8（b）及图 9（b）. 由图 6（b）～图 9（b）可知，实验 和理论初始回差吻合较好，且均与负载具有较好 的线性关系. 3 侧隙连续曲线与预测 3.1 侧隙连续曲线 当通过公式（ 13）获得齿轮副连续侧隙曲线 时，双齿面传动误差曲线必须为无负载传动误差 曲线. 由图 6（a）～图 9（a）可知，负载下的传动误 差曲线与无负载下的传动误差曲线为常值的上下 偏移，其偏移值与表 3 中计算的变形值相等，即 ∆ϕ F d = ∆ϕd −∆δk （20） ∆ϕ F b = ∆ϕb + ∆δk （21） ∆ϕ F d ∆ϕ F 式中， b 、 分别为负载下驱动面和齿背面传动 误差. 因此，将负载下的双齿面传动误差曲线上下 偏移相应负载下的变形值，即可得到无负载双齿 面传动误差曲线. 以 2.5 N∙m 双齿面传动误差实验 曲线为例，如图 10，将双齿面传动误差曲线上下 偏移，偏移值为该负载引起的变形值，分别得到 无负载不含侧隙驱动齿面传动误差曲线和无负载 含初始侧隙的齿背面传动误差曲线，最终由不含 负载变形的齿背面传动误差曲线减去不含负载变 表 2 各部分理论刚度 Table 2 Theoretical stiffness of each part Part Theoretical stiffness Gear 20 N∙(μm·mm)−1 Shaft 289.44 N∙m∙(°)−1 Spline 9.768×107 ·P 1/3 N∙m−1 Coupling 1.87×104 N∙m∙rad−1 表 3 不同负载力矩下，各部分变形数据 Table 3 Deformation data of various parts under different loads Part Theoretical deformation/(10−3 °) 2.5 N∙m 5 N∙m 7.5 N∙m 10 N∙m Gear 0.06 0.11 0.17 0.22 Shaft 8.64 17.27 25.91 34.55 Spline 1.06 1.69 2.21 2.68 Coupling 7.66 15.32 22.98 30.64 Theoretical total deformation 17.42 34.39 51.27 68.09 Experimental total deformation Drive-side 15 30 48 65 Back-side 15 31 50 75 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 11 12 0.06 0.12 0.04 0.02 0 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.16 0.14 0.10 (a) Transmission error/(°) Time/s Load torque 2.5 N·m 7.5 N·m 10 N·m 5 N·m 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8 10 12 11 0.08 (b) Experiment Theory Hysteresis/(°) Loadtorque/(N·m) 图 9 齿背面传动误差测量且初始时刻齿背面接触. （a）传动误差对比曲线；（b）各负载与其初始回差对比 Fig.9 Back-side transmission error measurement with back-side contact at initial position: (a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis. 王光建等： 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 · 1061 ·
·1062 工程科学学报，第42卷，第8期 形的驱动面传动误差曲线得到连续的齿轮副侧隙 和初始变值侧隙值，通过公式(12)得常值侧隙为 曲线 0.072°，最后得到齿轮副总侧隙，如图12所示. 0.24 0.12 0.20 0.10 0.16 0.08 0.06 012 0.04 0.08 0.02 004 -0.02 0 1000200030004000 5000 000 200030004000 5000 Driving gear anglel() Driving gear angle/() 图12侧隙预测曲线 图10双面传动误差与侧隙连续曲线 Fig.12 Predicted backlash curve Fig.10 Two-sided transmission error and continuous backlash curve 4 侧隙测量方法对比 3.2侧隙预测 3.2.1初始侧隙、偏心误差及其初始相位预测 如图13所示，机械滞后回差测量法是将主动 不同于上述侧隙连续测量方法，侧隙预测只 轮固定，再将从动轮分别转动到驱动齿面接触和 需采集一段含初始侧隙的齿背面传动误差曲线， 齿背面接触两个位置，记录两个位置的角度值并 以2.5Nm含初始侧隙的驱动面传动误差实验曲 相减，并除去该力矩下引起的变形角度，从而得到 线为例，如图11，易知初始回差为0.08°，除去负载 该位置处齿轮副的侧隙值.再将主动转动一定角 力矩引起的理论变形量0.015（第2部分刚度计算 度，重复上面操作，从而得到一组离散的侧隙值曲 中已求)，因此齿轮副初始侧隙j0为0.065°.再将 线.本实验在一个大周期内（主动轮16圈，从动轮9圈） 不含初始回差的齿背面传动误差曲线带入其理论 以及2.5Nm负载力矩下，主动轮从0°到5760°每 模型公式(6)，通过实验数据拟合，从而预测出齿 旋转90°测试一组侧隙值，共计65组侧隙数据，测 轮副的偏心误差及其初始相位，拟合曲线如图11， 量结果如图14 拟合得到偏心误差和初始相位分别为：e1=0.023mm, 01=-12.9°，e2=0.026mm,2=-69.8°. 4.0 Fixed 2.0 1.8 erroe-Hysteresis 3.5 Torque 1.6 1.4 12 图13机械滞后回差法测量原理 1.0 2.5 Fig.13 Measurement principle of mechanical return backlash method 0.6 0.4 图14为三种侧隙测量方法测试结果，可以看 02 出侧隙连续测量与机械滞后回差法测量的结果十 15 0.2 分吻合，证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量 1.0 10 15 20 方法的正确性.三种方法中，机械滞后回差法数据 Time/s 零散且不全面，且耗费时间周期长，效率低：基于 图11齿背面传动误差实验及拟合曲线 双齿面传动误差的侧隙连续测量方法不需要单点 Fig.11 Experimental and fitting curve of back-side transmission error 进行测量，可以获得更全面的侧隙数据，且整个大 3.2.2变值侧隙、常值侧隙及总侧隙预测 周期侧隙结果仅在几分钟内便可全部得到，效率 将拟合得到的偏心误差及初始相位带入侧隙 较高：侧隙预测方法效率最高，仅需测量一小段含 模型公式(9)得到变值侧隙，如图12.再通过公式 侧隙的齿背面传动误差而得到整个大周期侧隙结 (10),得初始变值侧隙jo为-0.007°，并由初始侧隙 果，但与其余两种方法相比，其结果存在有一定偏
形的驱动面传动误差曲线得到连续的齿轮副侧隙 曲线. 3.2 侧隙预测 3.2.1 初始侧隙、偏心误差及其初始相位预测 jφ0 e1 = 0.023 θ1 = −12.9 ◦ e2 = 0.026 θ2 = −69.8 ◦ 不同于上述侧隙连续测量方法，侧隙预测只 需采集一段含初始侧隙的齿背面传动误差曲线， 以 2.5 N∙m 含初始侧隙的驱动面传动误差实验曲 线为例，如图 11，易知初始回差为 0.08°，除去负载 力矩引起的理论变形量 0.015°（第 2 部分刚度计算 中已求），因此齿轮副初始侧隙 为 0.065°. 再将 不含初始回差的齿背面传动误差曲线带入其理论 模型公式（6），通过实验数据拟合，从而预测出齿 轮副的偏心误差及其初始相位，拟合曲线如图 11， 拟合得到偏心误差和初始相位分别为： mm， ， mm， . 3.2.2 变值侧隙、常值侧隙及总侧隙预测 jv0 将拟合得到的偏心误差及初始相位带入侧隙 模型公式（9）得到变值侧隙，如图 12. 再通过公式 （10），得初始变值侧隙 为−0.007°，并由初始侧隙 和初始变值侧隙值，通过公式（12）得常值侧隙为 0.072°，最后得到齿轮副总侧隙，如图 12 所示. 4 侧隙测量方法对比 如图 13 所示，机械滞后回差测量法是将主动 轮固定，再将从动轮分别转动到驱动齿面接触和 齿背面接触两个位置，记录两个位置的角度值并 相减，并除去该力矩下引起的变形角度，从而得到 该位置处齿轮副的侧隙值. 再将主动转动一定角 度，重复上面操作，从而得到一组离散的侧隙值曲 线. 本实验在一个大周期内（主动轮16 圈，从动轮9 圈） 以及 2.5 N∙m 负载力矩下，主动轮从 0°到 5760°每 旋转 90°测试一组侧隙值，共计 65 组侧隙数据，测 量结果如图 14. 图 14 为三种侧隙测量方法测试结果，可以看 出侧隙连续测量与机械滞后回差法测量的结果十 分吻合，证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量 方法的正确性. 三种方法中，机械滞后回差法数据 零散且不全面，且耗费时间周期长，效率低；基于 双齿面传动误差的侧隙连续测量方法不需要单点 进行测量，可以获得更全面的侧隙数据，且整个大 周期侧隙结果仅在几分钟内便可全部得到，效率 较高；侧隙预测方法效率最高，仅需测量一小段含 侧隙的齿背面传动误差而得到整个大周期侧隙结 果，但与其余两种方法相比，其结果存在有一定偏 1000 4000 2000 3000 5000 0.12 0.04 −0.04 0 0.08 0.16 0.24 0.20 Transmission error and backlash/(°) Driving gear angle/(°) Back-side transmission error with initial backlash and load deformation Back-side transmission error with initial backlash and without load deformation Drive-side transmission error with load deformation and without backlash Drive-side transmission error without load deformation and without backlash Backlash curve 图 10 双面传动误差与侧隙连续曲线 Fig.10 Two-sided transmission error and continuous backlash curve 0 20 5 10 15 25 1.2 0.4 −0.2 0 0.8 1.6 1.4 0.6 0.2 1.0 1.8 2.0 2.0 1.0 3.0 2.5 1.5 3.5 4.0 Transmission error/(°) Load torque/(N·m) Time/s Back-side transmission error Load torque Fitting curve Back-side transmission error-Hysteresis 图 11 齿背面传动误差实验及拟合曲线 Fig.11 Experimental and fitting curve of back-side transmission error 0 5000 1000 2000 3000 4000 0.12 0.04 −0.02 0 0.08 0.06 0.02 0.10 Backlash/(°) Driving gear angle/(°) Predicted constant backlash Predicted variable backlash Predicted total backlash 图 12 侧隙预测曲线 Fig.12 Predicted backlash curve Fixed Torque 图 13 机械滞后回差法测量原理 Fig.13 Measurement principle of mechanical return backlash method · 1062 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期
王光建等：基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 ·1063· 差，因为拟合得到的偏心误差与其初始相位以及 [4]Michalec G W.Precision Gearing:Theory and Practice.New 计算的理论刚度值均与实际情况存在偏差，因此 York:Wiley,1966 此方法只能大致预测侧隙值范围以及侧隙在整个 [5]Wu C S.The turning angle error from gears eccentric error.J Nanjing Inst Technol,1982(4):133 大周期内的变化趋势 (吴慈生.齿轮偏心误差所引起的传动误差.南京工学院学报， 1982(4):133) 0.12 [6J Zou S D,Wang G J.Research on transmission error of dual- eccentric gears.JUniv Electron Sci Technol China,2017,46(6): 0.10 955 (邹帅东，王光建.双齿轮偏心的传动误差计算与研究.电子科 0.08 技大学学报，2017,46(6)：955) [7]Yu L,Wang G J,Zou S D.The experimental research on gear 0.06 eccentricity error of backlash-compensation gear device based on transmission error.Int J Precis Eng Manuf,2018,19(1):5 0.04 0 [8]Wang C B,Chen X A,Chen H,et al.Influence of error's 1000 200030004000 5000 Driving gear angle/() randomness on transmission accuracy of planetary gear.J 图14三种侧隙测量方法对比 Chongqing Univ,2012,35(9):41 Fig.14 Comparison of three backlash measurement methods (王朝兵，陈小安，陈宏，等.误差随机性对行星齿轮系传动精度 的影响特性.重庆大学学报，2012,35(9)：41) 5结论 [9] Guo Y,Parker R G.Dynamic modeling and analysis of a spur (1)本文建立双齿面传动误差及侧隙理论模 planetary gear involving tooth wedging and bearing clearance nonlinearity.Eur J Mech-A/Solids,2010,29(6):1022 型并建立三者等价关系.进行了不同负载力矩下 [10]Guo Y C,Parker R G.Analytical determination of back-side 双齿面传动误差的测量.结果表明负载力矩与初 contact gear mesh stiffness.Mech Mach Theory,2014,78:263 始回差呈较好的线性关系，负载力矩越大，变形越 [11]Yu WN,Mechefske C K,Timusk M.Influence of the addendum 大，初始回差越大.经过刚度理论计算发现引起变 modification on spur gear back-side mesh stiffness and dynamics. 形回差的主要部分为膜片联轴器与输出轴，齿轮 J Sound Vib,2017,389:183 和滚珠花键影响较小 [12]Shi JF,Gou X F,Zhu L Y.Modeling and analysis of a spur gear (2)基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿 pair considering multi-state mesh with time-varying parameters and backlash.Mech Mach Theory,2019,134:582 轮整个大周期侧隙的连续测量与预测.结果表明， [13]Raghuwanshi N K,Parey A.Effect of back-side contact on mesh 连续测量曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良 stiffness of spur gear pair by finite element method.Procedia Eng, 好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变 2017,173:1538 化趋势.同时，测量连续测量方法及侧隙预测均证 [14]Shi Z G,Zuo Z Y.Backstepping control for gear transmission 明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并 servo systems with backlash nonlinearity.IEEE Trans Autom Sci 获得了更全面的侧隙数据，为齿轮传动的非线性 Eg,2015.,12(2):752 [15]Li X P,Mu J X,Pan W J,et al.Influence of fractal backlash on 研究、消隙控制以及齿轮精度研究等奠定了基础. dynamic behavior of gear-bearing system.J Mech Eng,2018. 参考文献 54(9):153 (李小彭，牟佳信，潘五九，等.具有分形特性的齿侧间隙对齿轮 [1]Wang G J,Chen L,Yu L,et al.Research on the dynamic 轴承系统动态特性的影响.机械工程学报，2018,54(9)：153) transmission error of a spur gear pair with eccentricities by finite [16]Chen Q,Ma Y B,Huang S W,et al.Research on gears'dynamic element method.Mech Mach Theory,2017,109:1 performance influenced by gear backlash based on fractal theory [2]Yu L,Wang G J,Zou S D.The calculation of meshing efficiency Appl SurfSci,2014,313:325 of a new type of conical involute gear.Strojniski vestnik~J Mech [17]Yi Y,Huang K.Xiong Y S,et al.Nonlinear dynamic modelling Eng,2017,63(5):320 and analysis for a spur gear system with time-varying pressure [3]Zou S D,Wang G J,Yu L.Research on calculation of unloaded angle and gear backlash.Mech Syst Signal Process,2019,132:18 transmission error of planetary gear train caused by eccentricity// [18]Jin G H,Long S S,Gao P,et al.Load sharing characteristics and ASME 2017International Design Engineering Technical experimental research of cylindrical gear split-torque transmission Conferences and Computers and Information in Engineering system.J Central S Univ Sci Technol,2019,50(7):1592 Conference.Cleveland,2017:1 (靳广虎，龙珊珊，高鹏，等.圆柱齿轮分扭传动系统的均载特性
差，因为拟合得到的偏心误差与其初始相位以及 计算的理论刚度值均与实际情况存在偏差，因此 此方法只能大致预测侧隙值范围以及侧隙在整个 大周期内的变化趋势. 5 结论 （1）本文建立双齿面传动误差及侧隙理论模 型并建立三者等价关系. 进行了不同负载力矩下 双齿面传动误差的测量. 结果表明负载力矩与初 始回差呈较好的线性关系，负载力矩越大，变形越 大，初始回差越大. 经过刚度理论计算发现引起变 形回差的主要部分为膜片联轴器与输出轴，齿轮 和滚珠花键影响较小. （2）基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿 轮整个大周期侧隙的连续测量与预测. 结果表明， 连续测量曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良 好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变 化趋势. 同时，测量连续测量方法及侧隙预测均证 明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并 获得了更全面的侧隙数据，为齿轮传动的非线性 研究、消隙控制以及齿轮精度研究等奠定了基础. 参 考 文 献 Wang G J, Chen L, Yu L, et al. Research on the dynamic transmission error of a spur gear pair with eccentricities by finite element method. Mech Mach Theory, 2017, 109: 1 [1] Yu L, Wang G J, Zou S D. The calculation of meshing efficiency of a new type of conical involute gear. Strojniški vestnik-J Mech Eng, 2017, 63（5）: 320 [2] Zou S D, Wang G J, Yu L. Research on calculation of unloaded transmission error of planetary gear train caused by eccentricity // ASME 2017International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Cleveland, 2017: 1 [3] Michalec G W. Precision Gearing: Theory and Practice. New York: Wiley, 1966 [4] Wu C S. The turning angle error from gears eccentric error. J Nanjing Inst Technol, 1982（4）: 133 （吴慈生. 齿轮偏心误差所引起的传动误差. 南京工学院学报, 1982（4）：133） [5] Zou S D, Wang G J. Research on transmission error of dualeccentric gears. J Univ Electron Sci Technol China, 2017, 46（6）: 955 （邹帅东, 王光建. 双齿轮偏心的传动误差计算与研究. 电子科 技大学学报, 2017, 46（6）：955） [6] Yu L, Wang G J, Zou S D. The experimental research on gear eccentricity error of backlash-compensation gear device based on transmission error. Int J Precis Eng Manuf, 2018, 19（1）: 5 [7] Wang C B, Chen X A, Chen H, et al. Influence of error's randomness on transmission accuracy of planetary gear. J Chongqing Univ, 2012, 35（9）: 41 （王朝兵, 陈小安, 陈宏, 等. 误差随机性对行星齿轮系传动精度 的影响特性. 重庆大学学报, 2012, 35（9）：41） [8] Guo Y, Parker R G. Dynamic modeling and analysis of a spur planetary gear involving tooth wedging and bearing clearance nonlinearity. Eur J Mech-A/Solids, 2010, 29（6）: 1022 [9] Guo Y C, Parker R G. Analytical determination of back-side contact gear mesh stiffness. Mech Mach Theory, 2014, 78: 263 [10] Yu W N, Mechefske C K, Timusk M. Influence of the addendum modification on spur gear back-side mesh stiffness and dynamics. J Sound Vib, 2017, 389: 183 [11] Shi J F, Gou X F, Zhu L Y. Modeling and analysis of a spur gear pair considering multi-state mesh with time-varying parameters and backlash. Mech Mach Theory, 2019, 134: 582 [12] Raghuwanshi N K, Parey A. Effect of back-side contact on mesh stiffness of spur gear pair by finite element method. Procedia Eng, 2017, 173: 1538 [13] Shi Z G, Zuo Z Y. Backstepping control for gear transmission servo systems with backlash nonlinearity. IEEE Trans Autom Sci Eng, 2015, 12（2）: 752 [14] Li X P, Mu J X, Pan W J, et al. Influence of fractal backlash on dynamic behavior of gear-bearing system. J Mech Eng, 2018, 54（9）: 153 （李小彭, 牟佳信, 潘五九, 等. 具有分形特性的齿侧间隙对齿轮- 轴承系统动态特性的影响. 机械工程学报, 2018, 54（9）：153） [15] Chen Q, Ma Y B, Huang S W, et al. Research on gears’ dynamic performance influenced by gear backlash based on fractal theory. Appl Surf Sci, 2014, 313: 325 [16] Yi Y, Huang K, Xiong Y S, et al. Nonlinear dynamic modelling and analysis for a spur gear system with time-varying pressure angle and gear backlash. Mech Syst Signal Process, 2019, 132: 18 [17] Jin G H, Long S S, Gao P, et al. Load sharing characteristics and experimental research of cylindrical gear split-torque transmission system. J Central S Univ Sci Technol, 2019, 50（7）: 1592 （靳广虎, 龙珊珊, 高鹏, 等. 圆柱齿轮分扭传动系统的均载特性 [18] 0 5000 1000 2000 3000 4000 0.12 0.04 0.08 0.06 0.10 Backlash/(°) Driving gear angle/(°) Backlash discrete measurement Predicted backlash Backlash continuous measurement 图 14 三种侧隙测量方法对比 Fig.14 Comparison of three backlash measurement methods 王光建等： 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 · 1063 ·
