D0I:10.13374/j.issn1001053x.2013.01.015 第35卷第1期 北京科技大学学报 Vol.35 No.1 2013年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2013 基于流函数的H型钢轧制力能参数模型 赵景云1)，减勇)四，逢晓男2，吕智勇) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)莱芜钢铁集团型钢厂，莱芜271126 ☒通信作者.E-mail::yzangOustb.edu.cn 摘要通过合理的假设对H型钢变形区进行分区，基于流函数方法确定了各个变形区的速度场，建.立了H型钢万能 轧制力学模型.在此基础上，使用Pol多参数优化算法优化变形区参数以使变形区的总功率达到最小并最终求得H 型钢轧制力能参数。计算中采用高斯积分的方法，使得计算结果更加准确.计算结果表明，腹板和翼缘的延伸率相同时， 本文模型计算结果与经过实验数据验证的有限元结果的误差不超过1.53%，当偏离标准工况较大时，通过适当修正，亦 可保证本文方法的计算精度.在腿腰延伸比入=1附近时，模型计算的轧制力与有限元结果变化趋势相同.在合理的力臂 系数情况下，两者结果吻合较好. 关键词轧制：轧制力：数学模型：流函数：有限元法 分类号TG331 Rolling energetic parameter model of H-beams based on the fow function ZHAO Jing-yun 1),ZANG Yong1),PANG Xiao-nan 2),LU Zhi-yong ? 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Section Mill,Laiwu Iron Steel Co.Ltd.,Laiwu 271126,China 3 Corresponding author.E-mail:yzang@ustb.edu.cn ABSTRACT According to a reasonable hypothesis.the rolling deformation zone of H-beams was divided into two regions and the velocity field in each deformation region was set up by the flow function method.A rolling energetic parameter model of H-beams based on the Blow function method was established.Parameters of deformation regions were optimized with the Powell method to minimize the value of total power.Finally.the rolling energetic parameters of H-beams were obtained.The Gauss integral method was used to get more accurate results.Calculation results show that errors between the results of the model and the finite element model verified by test do not exceed 1.53%when the elongations of the web and flange are the same.If the hypothesis is not satisfied,the model in this paper also has well calculation accuracy with proper modification.When the ratio of elongation between flange and web is around 1,the trend of the model's rolling force is the same as the results of the finite element model.When the arm cocfficients are reasonable,the rolling force of the model matches with the results of the finite element model well. KEY WORDS rolling;rolling force:mathematical models;flow function:finite element method 轧制力是金属轧制时的重要力能参数，确定轧多集中在实验研究、初等解析、能量法、有限元、 制力对于制定合理的工艺制度，充分发掘轧机的潜 复合元法等l-61.中岛浩卫川通过实验的方法，得 能具有重要的意义，随着H型钢轧制技术的发展， 到了H型钢和纯粹板带轧制力之间的关系，但他 一些新的工艺技术应用在H型钢轧制中.H型钢轧 只考虑了翼缘延伸率大于腹板延伸率的情况.梁明 制过程中的变形更加复杂，现有的轧制理论不能准 等？根据变形区单元体的功和外功相等（能量法）导 确地计算轧制所需要的力能参数 出了水平辊和立辊的轧制力计算公式，他们在推导 到目前为止，计算H型钢力能参数的方法大 公式时将变形过程简化为平面变形，忽略了金属的 收稿日期：2011-11-16 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目(2009AA03Z15)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 基于流函数的 型钢轧制力能参数模型 赵景云 藏 勇‘困逢 晓男 吕智 勇“ 北京科技大学机械工程学院北京 莱芜钢铁集团型钢厂莱芜 困 通信作者 一 旧 摘 要 通过合理 的假 设对 型钢变形区进行分区基于流 函数方法确定了各个变形区的速度场 建立 了 型钢万能 轧制力学模型 在此基础上使用 〕 多参数优化算法优化变形区参数以使变形区的总功率达到最小并最终求得 型钢轧制力能参数 计算中采用高斯积分的方法使得计算结果更加准确 计算结果表明腹板和翼缘的延伸率相同时 本文模型计算结果与经过实验数据验证的有限元结果的误差不超过 当偏离标准工况较大时通过适 当修正亦 可保证本文方法的计算精度 在腿腰延伸 比 入 附近时模型计算的轧制力与有限元结果变化趋势相同 在合理的力臂 系数情况下 两者结果吻合较好 关键词 轧制 轧制力 数学模型 流函数 有限元法 分类号 一 么万几。五 、一、。‘刹 万‘ 价 。’囚刚 万 尤 一二 “五口欲乞一 。“ 困 一 七 一 、 一 一 〔。、 一 一 ‘ 一 一 川 一〕一 、 一 一 ·、 侧 、 、 一 鞭 、 明 入 、 、一 、 〔 、 一 、 一 一 轧制力是金属轧制时的重要力能参数 确定轧 制力对于制定合理的工艺制度 充分发掘轧机 的潜 能具有重要 的意义 随着 型钢轧制技术的发展 一些新的工艺技术应用在 型钢轧制 中 型钢轧 制过程 中的变形更加复杂 现有的轧制理论不能准 确地计算轧制所需要 的力能参数 到 目前为止 计算 型钢 力能参数 的方法大 收稿 日期 一 一 基金项 目 国家高技术研究发展计划 资助项 目 多集 中在实验研究 、初等解析 、能量法 、有限元 、 复合元法等 一 中岛浩卫川 通过实验 的方法 得 到 了 型钢和纯粹板带轧制 力之 间的关系 但他 只考虑 了翼缘延伸率大于腹板延伸率的情况 梁明 等圆根据变形区单元体 的功和外功相等 能量法 导 出了水平辊和立辊的轧制力计算公式 他们在推导 公式时将变形过程简化为平 面变形忽略 了金属的 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2013．01．015
第1期 赵景云等：基于流函数的H型钢轧制力能参数模型 ·113· 横向流动和翼缘的宽展.王哲等3在进行了一系列型钢一半的变形区.腹板入、出口的厚度为2ho和 假设的前提下对轧制模型简化，建立了确定的速度 2h1,腹板入、出口的速度为Vwo和Vw1,水平辊半径 场，并引入某些未知的初始技术参数，用上限原理 为R,腹板的宽度为2H,腹板单位宽度内流量为 (能量法)导出了计算H型钢万能轧制的轧制压力 Qw,变形区长度lw=V2Rw(ho-h1)-(h1-ho)2. 和轧制力矩的理论公式，未知初始参数的引入使其辊面形状函数hr=(Rw+1)-VR昭-2.翼 的模型不具有通用性.Ji等5-6)考虑了H型钢连缘入、出口的厚度为to和th,入、出口的高度为 轧张力的影响，将H型钢变形区分为三部分，并考2Bo和2B1,入、出口的速度为V和和V,立辊半 虑纵向速度在横向的不均匀分布，用上限法建立了径为R,单侧翼缘的一半流量为Q:,变形区长度 连轧H型钢的轧制力模型：但其固定的速度表达式为(=√2R(o-t4)-(化1-o严，辊面形状函数为 并不能真实表现速度的不均匀分布，且由于考虑速 tx=(R+t1)√-x2.宽展形状函数门应该满足 度的不均匀分布，其速度表达式变得非常复杂 边界条件：B(x=0)=B1:B(a=)=B0,Bx=O=0, 由于H型钢变形的复杂性，腹板和翼缘间存 其中B为B对x求导后的函数.由此设定翼缘 在一定的金属交换，且有延伸率不一致的问题，用 的宽展形状函数为8-9) 一种H型钢轧制力模型计算H型钢轧制力几乎不 可能，所以本文将针对最基础的H型钢轧制进行研 Bx=B+(B1- Bo (°-()月 究，选择UF孔型的轧制道次（此时立辊为圆柱形轧 辊)，并且暂时认为腹板和翼缘的延伸率相当，腹板 和翼缘交界处基本无金属交换的工况进行研究.用 流函数确定变形区的速度场，列出变形区内消耗的 翼缘 总功率表达式.根据上限定理，通过优化轧件入口 腹板 速度%、立辊线速度、翼缘宽展后的一半高度 B1等，使得总功率最小，计算结果表明该理论方法 计算出的H型钢轧制力参数和有限元数据基本相 符（有限元模型经过实测轧制力的验证） 出口断面奇 1轧制力模型建立 图1H型钢变形区参数 1.1基本假设及变形区参数 Fig.1 Parameters of the deformation region of H-beams 前期研究结果表明在腹板和翼缘单道次延伸 系数相当的情况下，腹板和翼缘之间的金属交换很 1.2速度场设定 少，此时可以在腹板和翼缘交界区分为两块区域， 用流函数法求解速度场的优点表现在两个方 腹板位置的变形区可以近似为没有宽展的平板轧 面：首先由于其本身满足拉普拉斯方程，为调和函 制，按平面应变处理.翼缘位置的变形区假设为带 数8-10，用流函数求出的速度场能满足金属体积不 有宽展的平板轧制，按有宽展的三维变形处理.其 可压缩的条件：其次是一个或两个流函数能表达三 基本的假设条件如下： 个方向的速度，减少未知函数的个数 (1)H形轧件视作理想刚塑性体，体积不可 (1)腹板速度场设定.流函数为9=p(x,),由 压缩. 流函数确定的腹板速度场为 (2)热轧过程忽略轧辊的弹性压扁，轧辊和轧 b b 1z=0. (1) 件的接触弧按圆弧线处理. U1y=一8021 (3)水平辊侧面与翼缘的接触面视为平面. 假设腹板变形区的水平速度在高度方向相等，根据 (4)腹板和翼缘间断面的金属交换量为零. 流量一定可以确定1z=-Qw/hz.由式(1)可以 (⑤)腹板与水平辊、翼缘与立辊、水平辊侧面的 确定 接触面的单位摩擦力T=mk.其中m<1,为摩擦 p(x,）= vdy=viry+f(x). (2) V5,os为材料 因子：k为剪切应力屈服极限，k=会， 所以有 的屈服极限 H型钢变形区参数如图1所示，图中所示为H 1y=一 =-Qw延+fx h (3)
第 期 赵景云等 基于流函数的 型钢轧制力能参数模型 · · 横 向流动和翼缘 的宽展 王哲等阁 在进行了一系列 假设的前提下对轧制模型简化 建立 了确定的速度 场 并引入某些未知的初始技术参数 用上 限原理 能量法 导 出了计算 型钢万能轧制 的轧制压力 和轧制力矩 的理论公式 未知初始参数 的引入使其 的模型不具有通用性 等 “一 考虑了 型钢连 轧张力的影响 将 型钢变形区分为三部分 并考 虑纵 向速度在横 向的不均匀分布 用上限法建立 了 连轧 型钢 的轧制力模型 但其固定的速度表达式 并不能真实表现速度 的不均匀分布 且 由于考虑速 度 的不均匀分布 其速度表达式变得非常复杂 由于 型钢变 形的复杂性 腹板和翼缘间存 在一定的金属交换 且有延伸率不一致的问题 用 一种 型钢轧制力模型计算 型钢轧制力几乎不 可能所 以本文将针对最基础的 型钢轧制进行研 究选择 孔型的轧制道次 此时立辊为圆柱形轧 辊 并且暂时认为腹板和翼缘的延伸率相当腹板 和翼缘交界处基本无金属交换 的工况进行研究 用 流函数确定变形区的速度场 列出变形区内消耗 的 总功率表达式 根据上限定理 通过优化轧件入 口 速度 、立辊线速度 铸、翼缘宽展后的一半高度 等 使得总功率最小 计算结果表明该理论方法 计算 出的 型钢 轧制力参数和有限元数据基本相 符 有 限元模型经过实测轧制力的验证 型钢一半的变形区 腹板入 、出口的厚度为 。和 腹板入 、出口的速度为 。和 水平辊半径 为 腹板的宽度为 腹板单位宽度 内流量为 变形区长度 了 。一 一 ‘一 、。 辊面形状函数 二一 场 一、版息二石歹 翼 缘入 、出口的厚度 为 。和 艺入 、出 口的高度 为 和 入 、出 口的速度 为 和 立辊半 径为 单侧翼缘的一半流量为 变形 区长度 为 丫 。一‘ 一 一‘。 辊面形状函数为 二 认 砰二几万宽展形状函数 应该满足 边界条件 马二一 风二一 一 。弓二一。一 其 中 ‘为 二对 注求导后的函数 由此设定翼缘 的宽展形状 函数为 ”一” 「 、 、 一“ 。 一“中 罕 一罕 轧制 力模型建立 基本假设及变形区参数 前期研 究 结果表 明在腹板和翼缘单道 次延伸 系数相 当的情况下 腹板和翼缘之间的金属交换很 少 此时可 以在腹板和翼缘交界区分 为两块 区域 腹板位 置 的变 形 区可 以近似 为没有 宽展 的平板轧 制 按平面应变处理 翼缘位置的变形区假设为带 有宽展 的平板轧制 按有宽展的三维变形处理 其 基本 的假设条件如下 形轧件 视作理想 刚塑性体 体积 不可 压缩 热轧过程忽略轧辊的弹性压扁 轧辊和轧 件 的接触弧按 圆弧线处理 水平辊侧面与翼缘的接触面视为平面 腹板和翼缘间断面的金属交换量为零 腹板与水平辊 、翼缘与立辊 、水平辊侧面的 图 型钢变形区参数 一 一 速度场设定 用流 函数法求解速 度场 的优 点表现在 两个 方 面 首先 由于其本身满足拉普拉斯方程 为调和 函 数 ”一。 用流函数求 出的速度场能满足金属体积不 可压缩 的条件 其次是一个或两个流函数能表达三 个方 向的速度 减少未知函数的个数 腹板速度场设定 流函数为 甲 侧 功由 流函数确定的腹板速度场为 一 一即盯 二 一即万 一 假设腹板变形区的水平速度在高度方 向相等 根据 流量一定可 以确定 叭二 一 二 由式 可 以 确定 接触 面 的单位摩擦 力 丁 吼 其 中 因子 为剪切应力屈服极 限 的屈服 极 限 型钢变形区参数如图 所示 所 以有 、、一 。一。 · 图中所示为 夕 夕 二二 一一一一丁只一 十 委 一口沪一 一
.114 北京科技大学学报 第35卷 根据变形区速度的反对称条件，即y(x,）= 根据式(8)得到翼缘变形区的速度场为 -y(x,一)，可以得出f'(x)=0,即f(x)=C(C为 -Qr 一常数).由此可以确定速度场为 2x=-2pg= Brtr 8p -Qw v2y =:o= 1x= 90 (10) 1y= bp Qwyh:.: (4) 2z=x中y=- Qds 尽 Brt好 Ox 根据流函数确定的速度场求出翼缘变形区的 据流函数确定的速度场求出各应变速度分 各应变速度分量为 量为 02x E2x= =Q Bxtz.z+Br.str E= 8x Ox Bt埕 51y=0y Qwhr.z (5) 52y= Dv2u =-Q B2t Bxtr By (11) h好 a1y=0. 52= 02z Brta,r 51:= 02 0z =-QB ∂2y 10U1王+02 51xw=20y 2∂y +0x -Qiy「B=rtB-B,rt.rB。-2Bt 2Qw7厦h:ah:-2h号小， 2 经B3 1/0v1xL01z (6) 52x:= 1(2+ ∂v2z 51r2= 20z +8x =0, 8x/ = -Qr2 [te.retr B:Be.rtetr -2tBr 2 51y= ay =0. Bt 0 1 2w2 (0u2+ a2: =0. 腹板速度场剪应变速度强度为 (12) HA=2V号+经y 翼缘速度场剪应变速度强度为 V2A,eajP+vr0hh-2i9反 Qw H8= (7) V5VG2:-2P+(ay-52.P+ar-62:P+6(号m+场. 其中， (13) hz= dhx 其中， dx VR- dt红一 t红，x= 1 dx Ve1+h经. da R2 1 tzt1= dt红= g-1+长， 由式（⑤）得出51x+u+51:=0,满足体积不 dB 可压缩条件，流函数确定的速度场是运动学上可能 B.1= =6(B1-Bo)(r-4) dx 民 的速度场 (2)翼缘速度场设定，考虑翼缘宽展的三维变 B..-dB =6(B -Bo)(2r dx 形需要设定两个流函数(c,2)和（红，y),根据流 由式(11) 函数确定的速度场如下式： 52x+52y+52:=0,满足体积不可压缩条件，流 2x=-0py,2y=zpx,2x=ψ红中y: (8) 函数确定的速度场是运动学上可能的速度场， 根据翼缘变形区流量一定的原则，得到2x= 1.3消耗的功率计算 西令贺- Brtr 82_B0,再 (1)消耗的功率计算，H型钢变形区的分区参照 ,==B 文献3，示意图如图2所示.可以看出变形区消耗 分别根据积分条件确定积分常数得到流函数为 的功率由两个变形区（变形区A和B)消耗的功率、 动==2 四个速度间断面（断面①、②、③和④）消耗的功率 (9) 和三个摩擦表面（水平辊和腹板之间的摩擦面，水
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 根据变形区速度的反对称条件即 、 约 二 一、 一、可以得出 ‘二卜 即 为 一常数 由此可以确定速度场为 根据式 得到翼缘变形区的速度场为 二 一岑之甲专 一不尸下一 廿 劣石 勺妙 工﹃ 一 ’ 夕呈人二 二 动二价 二黑工 丝、 二二 妙 之 刃少 口 一 二万 井产之 万二艺 甲一二 刀工 一 口一尹一口 、声‘、了 据 流 函数 确 定 的速 度 场 求 出各 应 变 速 度 分 根据流函数确定 的速度场求 出翼缘变形区的 各应变速度分量为 一伽婉头即免一万之 巍如乳 一 量为 、‘气了 二二 呈 二二 二 呈 一 子 二好 男 心 二好二 呈心 一一 叭一免为九一、夕粉劣 一 一 令夕之了 少、了 瓮 刹 一告。韧·赫二一心二 口二 二 二 一 匕 、 一 旦生兰、 乡劣 工劣 、‘、、亡 誓 豁 一队 声… ‘了 鲁十瓮 一。 工白︸ 一 自脚却 一︸ 一 夕言 气亡 腹板速度场剪应变速度强度为 一粤 袭琦二 一告赘 督 一今 生竺竺飞穿生业 一告鲁 瓮 一 一训孔 “孔 翼缘速度场剪应变速度强度 为 一典玉 、 二、二、。二二。二一雌一 其 中 梅 虑、瓦爪劫不威藻石石瓦二砰画瓦弃靡 二二 二 尸灭下豆酉 其 中 嵘二 兰 一斌一兰护一一 “ 之 － 一 七竺丁 一 丁 、 一 了 一、、 一 由式 得 出 自二 自、十墩二二 满足体积不 可压缩条件 流 函数确定的速度场是运动学上可能 的速度场 翼缘速度场设定 考虑翼缘宽展的三维变 形需要设定两个流函数 州 司 和 叻 功根据流 函数确定的速度场如下式 丛 三 一一上 门 卜二 、 “‘“ 一 一侧每万丽、‘丁‘戮·’ 二二 二二二 瓦 凡 一 飞 一 一一亩一一 一 二一 护 二 一劝价。 、 劝功二 劝功 根据翼缘变形区流量一定 的原则 得到 二 一 艺 丫、 明之 下口劝 二 － 之 艺 分别根据积分条件确定积分常数功得一到雳流函一数叠为 “ 、劣·一寥 功、卜粤 由式 条二 乳、 巍二 满足体积不可压缩条件 流 函数确定的速度场是运动学上可能的速度场 消耗 的功率计算 消耗的功率计算 型钢变形区的分区参照 文献 同示意图如图 所示 可以看出变形区消耗 的功率 由两个变形区 变形区 和 消耗的功率 、 四个速度间断面 断面① 、② 、③和④ 消耗 的功率 和三个摩擦表面 水平辊和腹板之 间的摩擦面 水
第1期 赵景云等：基于流函数的H型钢轧制力能参数模型 115· 平辊侧面和翼缘内侧的摩擦表面，立辊和翼缘外侧 E(S2)=2r |△udS. (21) 的摩擦表面)消耗的功率组成 翼缘与立辊消耗的摩擦功率： 变形区B E(Sa)5. (22) 由以上分析可知，图2中H型钢变形区消耗的 总功率为 对称面 J=E(VA)+E(VB)+E(S1)+E(S2)+E(S3) 变形区A 出口断面 +E(S4)+E(S)+E(S2)+E(S3) (23) 图2H型钢变形区区域划分 优化各参数使H型钢半个变形区的总功率J Fig.2 Area dividing of the deformation region of H-beams 最小，得到最优速度场 变形区A消耗的功率如下式： 半个腹板变形区消耗的总功率： V) (14) w=E(VA)+E(S1)+E(S2)+E(S1). (24) 速度间断面①（腹板变形区和翼缘变形区交界 单侧翼缘变形区消耗的总功率： 的位置)消耗的功率： 5)=k J=E(h)+E(S3)+E(S4)+E(S2)+E(S8).(25) △uls,ds (15) (2)轧制力和轧制力矩计算.由于H型钢万能 速度间断面②（入口断面）消耗的功率： 轧制只有水平辊驱动，因此可方便地求得单辊轧制 lviylr=i ds (16) 力矩： M= 水平辊与腹板表面消耗的摩擦功率： ww (26) 式中，ww为水平辊角速度 E(Sn)=Tw lAvly=h,ds (17) 为计算水平辊和立辊的轧制力，可对轧辊和轧 其中，Tw=mkw,m为摩擦因子，在变形区内不 件进行如下的受力分析. 为常值，结合有限元计算结果中摩擦力的数值和分 轧辊分为水平辊和立辊，其受力示意图分别如 布，由m=kw/r确定沿变形区长度方向不同的 图3所示.其中Rw和R:分别为水平辊和立辊的 m值. 半径：Mw和M分别为水平辊和立辊的扭矩；Pwy 变形区B消耗的功率如下式： 和Pw:分别为腹板对水平辊的作用力(y轴方向和 之轴方向)；Pz和P:分别为单侧翼缘外侧对水平 E(VB)=kr HBdV. (18) 辊的作用力(x轴方向和y轴方向)，其中P为两 者的合力：Fy和Fz分别为翼缘内侧对水平辊的 速度间断面③（腹板和翼缘变形区交界的位置） 作用力(y轴方向和之轴方向)：dwydw:、diyd4z 消耗的功率： 和d4分别为图中所示的距离值.这里需要说明的是： ()k (19) 整个轧制过程中只有水平辊输出功率，并且水平辊 在x轴方向没有位移，其在X轴方向做功为零.立 速度间断面④（入口断面）消耗的功率： 辊是从动辊，不对系统做功：如果忽略轴承摩擦不 (Sa)=kt )s. 计，则M=0,轧件对立辊的作用力通过圆心，如图 Avlz=ids (20) 3(b)所示.所以在本文中对水平辊的受力分析不包 翼缘与水平辊侧面的摩擦功率（的确定方法 括x轴方向. 同Tw) 轧件的受力示意图如图4所示，其中Twr是腹
第 期 赵景云等 基于流函数的 型钢轧制力能参数模型 · · 平辊侧面和翼缘 内侧的摩擦表面 立辊和翼缘外侧 的摩擦表面 消耗 的功率组成 、二一二山汗万 △夕 翼缘与立辊消耗 的摩擦功率 、、一二山汗△·二一二 由以上分析可知图 中 型钢变形 区消耗的 总功率为 侧 玖 侧 玲 侧 十 岛 口断面 图 型钢变形区区域划分 一 变形区 消耗 的功率如下式 凡 优化各参数使 型钢半个变形 区的总功率 最小 得到最优速度场 半个腹板变形区消耗的总功率 、、一 泣盯、。 玖 凡 速度 间断面① 腹板变形区和翼缘变形区交界 的位置 消耗 的功率 单侧翼缘变形区消耗的总功率 、 一、山汗一△。 诈 · 速度间断面② 入 口断面 消耗的功率 、 一、刀汗 、一二 轧制力和轧制力矩计算 由于 型钢万能 轧制只有水平辊驱动 因此可方便地求得单辊轧制 力矩 兰 郎 水平辊与腹板表面消耗的摩擦功率 户 一、刀汗 △一。、 其 中场 为摩擦因子 在变形区 内不 为常值 结合有 限元计算结果中摩擦力的数值和分 布 由 二 二确定沿变形区长度方向不同的 值 变形区 消耗的功率如下式 、、一‘雕」跪 速度 间断面③ 腹板和翼缘变形区交界的位置 消耗 的功率 、二一、刀汗△一 速度 间断面④ 入 口断面 消耗的功率 、 一、刃吓峨 △·二一‘ 翼缘与水平辊侧面的摩擦功率 份 的确定方法 同 乱 式中、 为水平辊角速度 为计算水平辊和立辊 的轧制力 可对轧辊和轧 件进行如下的受力分析 轧辊分为水平辊和立辊 其受力示意图分别如 图 所示 其 中 和 分别为水平辊和立辊 的 半径 和 分别为水平辊和立辊 的扭矩 、 和 二分别为腹板对水平辊的作用力 轴方 向和 轴方 向 二和 分别为单侧翼缘外侧对水平 辊的作用力 轴方 向和 夕轴方 向 其中 为两 者的合力 。和 分别为翼缘 内侧对水平辊的 作用力 轴方向和 之轴方 向 、· 、 、 和 分别为图中所示的距离值 这里需要说 明的是 整个轧制过程 中只有水平辊输 出功率 并且水平辊 在 轴方 向没有位移 其在 轴方 向做功为零 立 辊是从动辊 不对系统做功 如果忽 略轴承摩擦不 计 则 轧件对立辊 的作用力通过 圆心 如 图 所示 所 以在本文 中对水平辊 的受力分析不包 括 轴方 向 轧件 的受力示意 图如 图 所示 其 中 是腹
,116. 北京科技大学学报 第35卷 R P 翼缘 腹板Py 现缘 Pi. (a) (b) 图3水平辊(a)和立辊(b)的受力示意图 Fig.3 Force diagram of the horizontal roller (a)and vertical roller (b) 板对翼缘的拖拽力，是翼缘变形功的主要输入者. 合式(27)和式(28)可得 单侧翼缘变形区 腹板一半变形区 M=Pwy 'dwy Fty'dsy (Twf -Ft:).Rw 对称面 =Pg山，+gd+ (31) Ww 再结合式(23)~式(26)，有 (a) z (b) w=Pwy dwy+Fru dfv Ww 图4腹板变形区(a)和翼缘变形区(b)的受力示意图 Fig.4 Force diagram of the web (a)and flange (b)of defor- 由于F,仅仅是水平辊侧面受到的摩擦力竖直 mation regions 方向的分力，相比Py可忽略不计，进一步求得 根据翼缘变形区受力平衡可得到 Pwy的表达式为 Piz Twf -Ftz Ptz (27) Pwy≈ w w (32) P= w·cwyww·wle' sinB 对翼缘来讲，如果忽略其y轴方向的变形（宽 其中，力臂系数aw=dwy/lw忽略Fy,可近似认 展)，则有 为水平辊y轴方向的总轧制力Pw≈Pwn· i=(Twf-Fz）·v. (28) 2轧制力模型求解 其中，v为轧件速度，可近似认为v≈wwRw 为了使计算结果更加准确，本文采用高斯积分 结合图3(b)和式(27)可得到立辊轧制力： 的方法计算整个变形区消耗的功率，高斯积分公式 A=。== (29) 的代数精度可达2n+1次(2+1个节点).在计算 v·sinB v·ds wrar·lg 过程中，引入实验数据回归得到变形抗力模型，根 其中，a为翼缘变形区的力臂系数，：为翼缘变形 据轧制速度、实验温度等计算得到每个高斯积分点 区长度，w为立辊角速度 的变形抗力，提高模型的计算精度. 由理论和实验得知B非常小，所以在此处认为 在模型的输入参量中，轧制入口速度%、立辊 Px≈P. 线速度以及翼缘宽展后的一半高度B1这几个 根据受力分析，水平辊的总扭矩也可按下式 参量为未知参量，应用上限定理，采用多参数优化 计算： 算法(Powell法)优化这三个参数使消耗的总功率 最小，得到最接近真实的速度场 M=Pwy·dwy+Fty'dry+Pw:dwz-F:·dfz:(3O) 2.1变形抗力模型 因为翼缘的高度相比水平辊的半径很小，所以 本文对在现场取得的Q345轧制前坯料进行了 可近似认为dwz≈dfz≈Rw,又有Pwz=Twf,结 不同温度、不同变形速率下的变形抗力实验，得到
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 所 翼缘 引少 件 至 图 翼缘 又 水平辊 和立辊 的受力示意图 · 正 · 。 板对翼缘的拖拽力是翼缘变形功的主要输入者 合式 和式 可得 单侧翼缘变形区 ·叼 、 二 ·哪 十 · 、 几 一 · 国 再结合式 式 有 而 一蛛 “‘“ “ 户“’“印 图 腹板变形区 和翼缘变形区 的受力示意图 根据翼缘变形区受力平衡可得到 由于 。仅仅是水平辊侧 面受到的摩擦力竖直 方 向的分力 相 比 可忽 略不计 进一步求得 的表达式为 一 口’ 凡、、一五‘ 留 ·心 。 讨 ·‘下 · 、、了 对翼缘来讲 如果忽略其 军轴方 向的变形 宽 展 则有 一 二 · 其 中 为轧件速度 可近似认为 翎 口 结合图 和式 可得到立辊轧制力 介 、 尽 · 刃 · · 其 中 为翼缘变形区的力臂系数 为翼缘变形 区长度 姚 为立辊角速度 由理论和实验得知 口非常小 所 以在此处认为 了飞 、 根据 受力分析 水平辊 的总扭矩也可按下式 计算 。· 、 、· 、 · 一 之· 因为翼缘 的高度相 比水平辊的半径很小 可近似认 为 、 、 又有 所 以 结 其 中力臂系数 。气 忽略 耳、可近似认 为水平辊 。轴方 向的总轧制力 二氏 。 轧制力模型求解 为了使计算结果更加准确 本文采用高斯积分 的方法计算整个变形区消耗 的功率 高斯积分公式 的代数精度可达 十 次 个节点 在计算 过程 中引入实验数据 回归得到变形抗力模型 根 据轧制速度 、实验温度等计算得到每个高斯积分点 的变形抗力提高模型 的计算精度 在模型的输入参量 中轧制入 口速度 〕、立辊 线速度 铸 以及翼缘 宽展后 的一半高度 这几个 参量 为未知参量 应用上 限定理 采用 多参数优化 算法 法 优化这三个参数使消耗的总功率 最小得到最接近真实 的速度场 变形抗力模型 本文对在现场取得 的 轧制前坯料进行 了 不 同温度 、不同变形速率下的变形抗力实验 得到
第1期 赵景云等：基于流函数的H型钢轧制力能参数模型 117 Q345的变形抗力数据，参照周纪华等的变形抗力 比验证.本文中对有限元仿真模型的建立过程不再 模型公式)进行回归得到如下公式： 赘述 a3T+a4 开始 a=o0exp(a1T+a2) 、10 (33) as() -(a6-104 输人已知初始参数 其中：T= 10O0:o为基准变形阻力，MPa,即 t+273 设定未知参量Vo、V和B的初如值和区间 t1000℃、y=0.4和u=10s1时的变形阻力：t为 计算H型钢变形区的速度场 变形温度，℃：u为变形速度，s1；Y为变形程度 (对数应变)：a1~a6为回归系数，其数值取决于钢 利用高斯积分计算总的消耗功率 种，Q345数值如表1所示 表1变形抗力模型回归系数 用Powell法优化三个未知参数 Table 1 Regression coefficients of deformation resistance model ao/MPa a1 总功率是否最小？ a2 a3a1a56 163.54 2.8110.241-0.1610.4581.604-2.211 」否 在后续的编程计算过程中，为求结果更加精 修改速度场 确，本文模型根据上述变形抗力的回归公式计算了 每个高斯积分点的变形抗力值 输出结果 2.2计算总功率流程图 图5计算总功率的流程图 整个计算总功率的流程图5所示.依据上限定 Fig.5 Flow chart of calculation of total power 理，对未知参量%、和B:进行优化，得到功率 的最小值，此时的速度场最接近真实速度场，求得 3.1验证有限元模型 最优解，输出结果 材料为Q345的H496mm×199mm规格的H 型钢，第4道次UF轧机的轧制条件如表2所示. 3计算结果与实验数据对比 轧制力测试数据如图6所示，FUF-H、FUF-V和FUE 工业生产中每个道次腹板和翼缘的延伸率不 分别为UF轧机水平辊轧制力、UF轧机立辊轧制 一定满足本文模型的假设条件.为了对本文模型进 力和UE轧机轧制力.万能轧制有限元模型的轧制 行多种工况下的验证，在此借助于万能轧制有限元 条件按照表2设定，并使模型中H型钢模型的温度 仿真模型数据和本文模型结果进行对比，前提是用 场与现场实测温度结果相符.有限元模型的轧制力 实测轧制力数据验证有限元数据的正确性，本文 和实测轧制力曲线稳定段的平均轧制力对比如表3 基于流函数使用能量法建立的H型钢力能参数模 所示.FUF-H与实测轧制力的误差约为2.2%，FUP-v 型属于理论解析结果，而有限元仿真结果属于数值 与实测轧制力的误差约为11.7%，因此证明万能轧 计算结果，经过测试数据验证的有限元结果可以实 制有限元仿真模型基本正确，可用于验证本文轧制 现多种工况从而对本文理论模型的解析结果进行对 力模型的计算结果 表2UF轧机主要的轧制条件 Table 2 Main rolling conditions of the UF mill 材料 腹板厚度，ho/mm腹板压下量，△h/mm 翼缘厚度，to/mm 翼缘压下量，△/mm 轧制速度，v/(ms-1) Q345 17.74 2.44 24.4 5.6 5 3.2 模型计算结果与有限元结果对比 较为接近 本文模型中的一个重要的假设条件是假定腹 图7为腿腰延伸比入=0.5~1.5范围内时，采 板和翼缘之间无金属交换；但是实际轧制过程中， 用模型计算的水平辊扭矩和有限元模型计算结果对 很难达到此假设条件，只有在腿腰延伸比为1时才 比，其中阴影部分为两者的相对误差.从图中可以
第 期 赵景云等 基于流函数的 型钢轧制力能参数模型 · · 的变形抗 力数据 参照周纪华等的变形抗力 模型公式 川 进行 回归得到如下公式 比验证 本文中对有限元仿真模型的建立过程不再 赘述 ‘ 、 锐 几 。 二 ‘ ‘丈 “ 戈而 一 。一 飞工 一守 万注人、 、产、 其中 艺 川 ℃ 变形温度 二。为基准变形阻力 即 守 和 。二 ” 时的变形阻力 为 ℃ 。为变形速度 一‘ 守为变形程度 对数应变 、 为回归系数 其数值取决于钢 种 数值如表 所示 表 变形抗力模型回归系数 。。 口 已 几 以 已 一 ‘ 〔 一 在后续 的编程 计算过程 中为求结果更加精 确 本文模型根据上述变形抗力的回归公式计算 了 每个高斯积分 点的变形抗力值 计算总功率流程图 整个计算总功率的流程 图 所示 依据上限定 理 对未知参量 、 和 进行优化 得到功率 的最小值 此 时的速度场最接近真实速度场 求得 最优解 输 出结果 开始 输人已知初始参数 设定未知参量 、铸和 的初始值和区问 计算 型钢变形区的速度场 利用高斯积分计算总的消耗功率 用 法优化找个未知参数 修改速度场 图 计算总功率的流程 图 计算结果与实验数据对 比 工业 生产 中每 个道 次腹板和翼缘 的延伸率不 一定满足本文模型的假设条件 为了对本文模 型进 行 多种 工况下 的验证 在此借助于万能轧制有 限元 仿真模 型数据和本文模型结果进行对 比前提是用 实测轧制力数据验证有 限元数据的正确性 本文 基于流 函数使用能量法建立的 型钢力能参数模 型属于理论解 析结果 而有 限元仿真结果属于数值 计算结果经过测试数据验证的有 限元结果可 以实 现多种工况从而对本文理论模型的解析结果进行对 验证有限元模型 材料为 的 规格 的 型钢 第 道次 轧机 的轧制条件如表 所示 轧制力测试数据如图 所示 凡 一、 一 和 分别为 轧机水平辊轧制力 、 轧机立辊轧制 力和 轧机轧制力 万能轧制有限元模型的轧制 条件按照表 设定并使模型中 型钢模型 的温度 场 与现场实测温度结果相符 有限元模型的轧制 力 和实测轧制力 曲线稳定段 的平均轧制力对 比如表 所示 凡 一 与实测轧制力的误差约为 凡 一 与实测轧制力 的误差约为 因此证明万能轧 制有 限元仿真模 型基本 正确 可用于验证本 文轧制 力模型的计算结果 表 轧机主要的轧制条件 丁一 材料 腹板厚度 。 腹板压下量△ 翼缘厚度 翼缘压下量 △ 轧制速度可 侣一‘ 模型计算结果与有限元结果对 比 本文模 型 中的一个重要 的假 设条件 是假定腹 板和翼缘之 间无金属交换 但是实际轧制过程 中 很难达到此假设条件 只有在腿腰延伸 比为 时才 较 为接近 图 为腿腰 延伸 比 入 范 围 内时 采 用模型计算的水平辊扭矩和有限元模型计算结果对 比其 中阴影部分为两者 的相对误 差 从 图中可 以
118 北京科技大学学报 第35卷 看出：当入在1.0心1.5范围内时，两者的误差不超 者在这几种工况条件下结果十分吻合，最大误差不 过10%，最低在λ=1.12时，误差为0.55%：但可以 超过1.53%. 看出入偏离1向左，两者误差越来越大 参照平板轧制的力臂系数1)的经验值为0.3 7000r 0.6,本文中腹板的最大单位应力偏向出口侧，所 6000F 没有张力 建立张力 ...FuE 5000 UF-H 以设定腹板变形区的等效力臂系数Qw=0.35；而翼 --PUF.V 三4000 缘变形区最大单位应力偏向入口侧，所以设定翼缘 53000 变形区的力臂系数为ar=0.7.通过式(29)和式(32) 20003377.8kN 2862.6kN 1000 计算表4中各个工况下的水平辊轧制力(y轴方向) 和立辊轧制力(x轴方向)，与有限元结果的对比如 12 16 20 24 t/s 图8和图9所示.可以看出当入=1时，模型计算的 图6实测轧制力 轧制力和有限元结果趋势相同，在合理的力臂系数 Fig.6 Measured rolling force 情况下，吻合较好 表3有限元模型的制力和实测轧制力对比 240 140 模型计算结果 Table 3 Comparison of rolling force calculated by FEM 月210 有限元计算结果 120 180 100 model and measured 轧制力 水平辊轧制力， 立辊轧制力， 60 FUF-H/kN FUF-v/kN 120 90 40 实测轧制力 3377.8 2862 60 20 有限元模型 3425.5 2526 30 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 设计一组工况，保持入=1不变，改变翼缘和腹 腿腰延伸比，入 板的压下量得到不同工况.各工况下模型计算和有 图7不同入值时模型和有限元计算的扭矩结果对比 Fig.7 Comparison of torque calculated by the model and 限元计算得出的扭矩如表4所示.由数据看出，两 FEM at different A values 表4不同分析工况下本文模型及有限元模型得出的扭矩 Table 4 Torque values calculated by the FEM and model in different conditions 工况h1/mm △h/mm t1/mm △t/mn: 模型扭矩/(kNm) 有限元扭矩/(kNm) 误差/% 1 7.25 1.62 24.52 5.48 219.44 221.17 0.78 2 7.35 1.52 24.86 5.14 202.52 202.36 -0.08 3 7.45 1.42 25.20 4.80 185.99 187.12 0.60 7.55 1.32 25.54 4.46 169.85 170.91 0.62 7.65 1.22 25.87 4.13 154.17 154.65 0.31 6 7.75 1.12 26.21 3.79 138.93 138.67 -0.19 7.85 1.02 26.55 3.45 124.15 123.95 -0.17 8 7.95 0.92 26.89 3.11 109.85 111.55 1.53 9 8.05 0.82 27.23 2.77 96.01 96.06 0.06 10 8.15 0.72 27.57 2.43 82.70 82.21 -0.59 三6000F 榄型计算结果 时，本文模型计算的扭矩与仿真结果有较大误差， 5500 “有限元计算结果 5000 这时应对本文模型结果进行修正，经回归，得修正 4500 每4000 公式如下： M'=ξ，L, (34) 3000 2500 2000 1 2345678910 5=-0.79入3+3.47入2-4.8入+3.13. (35) 分析工况 其中，M为修正后的扭矩，M为模型计算的扭矩，E 图8不同分析工况下模型和有限元计算得出的水平辊轧制 力结果对比 为修正系数 Fig.8 Comparison of the horizontal roller's rolling force cal 修正后的扭矩对比图如图10所示.由图10可 culated by the FEM and model under different conditions 以看出根据上述公式修正后的本文模型与有限元模 对于普通工况，当入偏离假设工况(A=1)较大 型数据吻合较好
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 看 出 当 入在 、 范围内时两者的误差不超 过 最低在 入二 时误差为 但可 以 看出 入偏离 向左 两者误差越来越大 受 甭 蕊年绷咄 图 实测轧制力 表 有限元模型的轧制力和实测轧制力对 比 勿 舫 一一凡没下附有引力一－ · 一卢桩飞下一” 一 户 一、 长 者在这几种工况条件下结果十分吻合 最大误差不 超过 参照平板轧制 的力臂系数 的经验值 为 、 本文中腹板的最大单位应力偏 向出口侧 所 以设定腹板变形区的等效力臂系数 。 而翼 缘变形区最大单位应力偏 向入 口侧 所 以设定翼缘 变形区的力臂系数为 一 通过式 和式 计算表 中各个工况下的水平辊轧制力 勿 轴方 向 和立辊轧制力 轴方向 与有限元结果的对比如 图 和 图 所示 可 以看 出当 入 时模型计算的 轧制力和有限元结果趋势相 同在合理的力臂系数 情况下 吻合较好 沐 轧制力 水平辊轧制力 凡 一 立辊轧制力 一 实测轧制力 有限元模型 设计一组工况 保持 入 不变 改变翼缘和腹 板 的压下量得到不 同工况 各工况下模型计算和有 限元计算得 出的扭矩如表 所示 由数据看 出两 腿腰延仲比 入 图 不同 入值时模型和有限元计算的扭矩结果对 比 毛 入 表 不同分析工况下本文模型及有限元模型得出的扭矩 丁 工况 △ △ 加 模型扭矩 · 有限元扭矩 · 一 滩 误差 一 一 一 曰里气白乙 … 人一上 一 － 模型计算结果 计算结果 时本文模型计算 的扭矩与仿真结果有较大误差 这时应对本文模型结果进行修正 经回归得修正 公式如下 对 石·几 解只宾骥除书么窗名备 分析 毛况 图 不同分析工况下模型和有限元计算得 出的水平辊轧制 力结果对 比 ’ 对于普通工况 当 入偏离假设工况 林 较大 石 一 入 入 一 其 中几尹为修正后的扭矩 几 为模型计算的扭矩 苟 为修正系数 修正后的扭矩对 比图如图 所示 由图 可 以看出根据上述公式修正后的本文模型与有限元模 型数据吻合较好
第1期 赵景云等：基于流函数的H型钢轧制力能参数模型 ·119· 1800 一模型计算结果 F,Translated.Heavy Mach Abroad,1983,1(3):20 ▲有限元计算结果 (中岛浩卫.H型钢的万能轧制特性.申光宪译.国外重型 1600 机械，19831(3)：20) 1400 2]Liang M,Zhao Z Y.Rolling load in the passes for H-beam 1200 in 4-high universal mill.fron steel 1986,21(7):10 (梁明，赵志业。四辊孔型中轧制H形件的轧制力.钢铁， 1 2345678910 分析工况 1986,21(7):10) 图9不同分析工况下模型和有限元计算得出的立辊轧制力 [3]Wang Z,Cao H D.On the use of the energy method for 结果对比 force and torque in H-beam rolling.Heavy Mach,1993(6): Fig.9 Comparison of the vertical roller's rolling force calcu- 2o lated by the FEM and model under different conditions (王哲，曹鸿德.用能量法求解H型钢万能轧制的力能参 240 数.重型机械，1993(6)：29) 模型计算结果 三210 4有限元计算结果 [4]Zhang W Z.Zhu CQ,Widera G E O.On the use of the 一一模型修正结果 upper-bound method for load determination in H-beam rolling.J Mater Process Technol,1996,56(1):820 [5 Jin X C,Liu Y L,Lian J C,et al.Three-dimensional anal- ysis of the universal beam tandem rolling process:Part 9 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 I.Deformation analysis.J Mater Process Technol,2000. 腿腰延仲比，入 102(1-3):59 图10不同入时模型修正前后和有限元计算的扭矩结果对 [6]Jin X G,Liu Y L,Lian J C,et al.Thrce-dimensional anal- 比 ysis of the universal beam tandem rolling process:Part II: Fig.10 Comparison of unmodified and modified torque cal- Stress analysis.J Mater Process Technol,2000,102(1-3): culated by the model and FEM at different A values 66 4结论 [7 Liu H M,Wang Y R.Stream surface strip element method (1)在基本假设条件下，本文基于流函数建立 for simulation of the three-dimensional deformation of 了满足体积不可压缩条件的H型钢轧件变形区的 plate and strip rolling.J Mech Eng,2003.39(7):94 (刘宏民，王英睿模拟板带轧制三维变形的流面条元法 速度场，根据上限定理对未知参数进行优化，建立 机械工程学报，2003.39(7)：94) 了实用的H型钢轧制力模型、 (8 Wang J C.Modern Principles of Mechanics during Metal (2)结合变形抗力实验数据以及现场温度测试， Pressure Processing.Beijing:Metallurgical Indnstry Pre- 回归出变形抗力模型公式，编程计算过程中利用高 s8,1991 斯积分的方法，使计算结果更加准确. (汪家才金属压力加工的现代力学原理.北京：治金工业 (3)当腿腰延伸比入=1时，基于本文模型 出版社，1991) 计算的扭矩和有限元计算结果的误差最大不超过 9]Wang Z F,Liu X H.Energy Principle and its Application 1.53%；在λ=0.91.5的范围内，二者的误差亦不 in Metal Forming.Beijing:Science Press,2009 超过10%.本文模型具有很好的精度和适用性.当 (王振范，刘相华.能量理论及其在金属塑性成形中的应 偏离假设工况较大时（如入<0.8）应对用本文模型 用.北京：科学出版社，2009) 结果进行适当修正. [10]Mao Y L,Zhang Q D,Sun C Y.Study on extrusion form- (4)根据受力分析，求出通过变形区消耗的功 ing of superalloy tubes by flow function method.J Univ Sci Technol Beijing,2011,33(4):449 率计算出轧制力的计算公式；在入=1附近时，模型 (毛艺伦，张清东，孙朝阳.高温合金管材挤压变形及挤 计算的轧制力与有限元结果变化趋势相同，在合理 压工艺的流函数法研究.北京科技大学学报，2011,33(4)： 的力臂系数情况下，两者结果吻合较好 449) [11]Zhou J H,Guan K Z.Plastic Deformation Resistance of 参考文献 Metal.Beijing:Mechanical Industry Press,1989 (周纪华，管克智。金属塑性变形阻力.北京：机械工业出 (1]The universal rolling characteristic of H-beams.Han M 版社，1989)
第 期 赵景云等 基于流函数的 型钢轧制力能参数模型 · · 模型计算结果 渊 飞 〔 盯 只 〔 幕 粼 鲜 一 〕 〔 分析 几况 图 不同分析工况下模型和有限元计算得出的立辊轧制力 结果对 比 模型计算结果 名 腿腰延伸比入 厂‘ 曰‘冲月曰自 冬裂年群除︵︶之国孚 图 不同 八时模型修正前后和有限元计算的扭矩结果对 比 、 、 入 结论 在基本假设条件下本文基于流函数建立 了满足体积不可压缩条件 的 型钢轧件变形区的 速度场 根据上 限定理对未知参数进行优化 建立 了实用 的 型钢轧制力模型 结合变形抗力实验数据 以及现场温度测试 回归出变形抗力模型公式 编程计算过程 中利用高 斯积分的方法 使计算结果更加准确 当腿腰 延伸 比 入二 时 基 于本 文模 型 计 算 的扭矩 和 有 限元计 算 结果 的误 差最 大 不超 过 在 人 的范 围内二者 的误差亦不 超过 本文模型具有很好 的精度和适用性 当 偏离假设工况较大 时 如 入 应对用本文模型 结果进行适 当修正 根据受力分析求出通过变形区消耗的功 率计算 出轧制力 的计算公式 在 入 附近时 模型 计算的轧制力与有 限元结果变化趋势相 同在合理 的力臂系数情况下 两者结果吻合较好 参 考 文 献 一 。几夕。 中岛浩卫 型钢 的万能轧制特性 申光宪译 国外重型 机械 〕 一 ‘ 一 二 亡。 梁 明赵志业四辊孔型中轧制 形件 的轧制 力 钢铁 台 、王 ‘ 一 万盯 ‘ 王哲曹鸿德 用能量法求解 型钢万能轧制的力能参 数 重型机械 【 飞 一 一 一 、 、 几 ‘ 一飞 了 占 几 几 一 【 · 卜 几 、 艺 二 一 一 五夕 。夕 刘宏 民王英睿 模拟板带轧制三维变形的流面条元法 机械工程学报 【 、叭 。二 二。叼 爬 二爬 乞夕 一 汪家才 金属压力加工的现代力学原理 北京 冶金工业 出版社 」认 · 。 代 甲 ” 亡 云坛“ 几 亡 附 坷 王振范 刘相华 能量理论及其在金属塑性成形 中的应 用 北京 科学 出版社 · ‘ 叮 们乞 砂乞。夕 毛艺伦 张清 东孙朝 阳 高温 合金管材挤压变形及挤 压工艺的流函数法研究 北京科技大学学报 【 · ‘￡ 二 “ ‘艺” 对 周纪华 管克智 金属塑性变形阻力 北京 机械工业 出 版社
