冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析

第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 张清东，卢兴福，戴杰涛，秦剑 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:me818@me.usth.edu.cn 摘要针对冷轧带钢生产现场常见的板形翘曲缺陷，应用辛弹性力学方法对因材料纵向延伸在厚度方向上出现不均匀而 导致带钢翘曲变形的现象及过程进行了解析研究，通过建立和求解带钢翘曲变形力学模型，推导获得带钢翘曲度大小和不均 匀纵向延伸的关系。在选择通用有限元软件验证了基于辛弹性力学方法的带钢翘曲变形力学模型及计算结果的正确性的基 础上，计算得到了各个影响因素对翘曲变形的影响规律.计算结果表明，带钢翘曲度大小随着带钢上下表面纵向延伸差和横 向与纵向延伸差比值的增大而线性地增大，随着带钢厚度增大而减小，随着带钢宽度增大而呈二次关系增大.最后，应用辛弹 性力学方法带钢翘曲变形模型，研究了C翘向L翘的转化现象，建立了C翘转化为L翘的力学模型，获得其转化关系公式，并 通过现场实验验证了转化公式的准确性. 关键词冷轧：带钢：翘曲：解析模型 分类号TG335.5 Analysis of warping deformation for cold-rolled strips ZHANG Qing-dong,LU Xing fu,DAl Jie-tao,QIN Jian School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:me818@me.ustb.edu.cn ABSTRACT The common shape defect of warping deformation,which is caused by the uneven vertical elongation of strips in the thickness direction,was studied by applying symplectic elasticity method.The relationship between the warping value and the distribu- tion of vertical elongation was obtained through establishing and solving a mechanical model of warping deformation.Based on the cor- rectness of the mechanical model and calculated results which were verified by general finite element method,the influence laws of fac- tors on warping deformation were gotten by deduction and calculation.It is shown that the warping value increases linearly with the in- creasing elongation difference between the top and bottom surfaces and the increasing ratio of the transverse to vertical elongation differ- ence,decreases with increasing strip thickness,but increases quadratically with increasing strip width.Finally,the phenomenon of C- warping converting to Lwarping was studied by using the symplectic elasticity model of warping deformation,a mechanical model of C- warping converting to Lwarping was established,and the formula for this converting was obtained,which was verified by field experi- ment. KEY WORDS cold rolling:strip steel:warping:analytical models 板形是板带钢产品的主要质量指标，板形缺陷 得到较为有效的控制.但是，关于板形翘曲方面的 在生产流程中普遍存在且形式多种多样.课题组通 研究相对较少，且随着板带钢产品的高强度化，以及 过对板形缺陷的深入研究，认为板形缺陷主要分为 用户对板形质量的进一步提高，翘曲缺陷正日益成 瓢曲和翘曲两大类.目前，关于板形瓢曲缺陷，国 为困扰企业生产的严重技术质量问题. 内外学者已进行了大量研究工作-，揭示了带钢 板形翘曲缺陷主要表现为沿轧制方向的纵向翘 瓢曲的本质是薄板屈曲变形的结果，并且在生产中 曲（工厂称之为L翘），沿带钢宽度方向的横向翘曲 收稿日期：201306-24 基金项目：国家科技支撑计划项目(2011BAE13B05):国家自然科学基金资助项目(51075031) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.016:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 张清东，卢兴福，戴杰涛，秦 剑 北京科技大学机械工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: me818@ me． ustb． edu． cn 摘 要 针对冷轧带钢生产现场常见的板形翘曲缺陷，应用辛弹性力学方法对因材料纵向延伸在厚度方向上出现不均匀而 导致带钢翘曲变形的现象及过程进行了解析研究，通过建立和求解带钢翘曲变形力学模型，推导获得带钢翘曲度大小和不均 匀纵向延伸的关系． 在选择通用有限元软件验证了基于辛弹性力学方法的带钢翘曲变形力学模型及计算结果的正确性的基 础上，计算得到了各个影响因素对翘曲变形的影响规律． 计算结果表明，带钢翘曲度大小随着带钢上下表面纵向延伸差和横 向与纵向延伸差比值的增大而线性地增大，随着带钢厚度增大而减小，随着带钢宽度增大而呈二次关系增大． 最后，应用辛弹 性力学方法带钢翘曲变形模型，研究了 C 翘向 L 翘的转化现象，建立了 C 翘转化为 L 翘的力学模型，获得其转化关系公式，并 通过现场实验验证了转化公式的准确性． 关键词 冷轧; 带钢; 翘曲; 解析模型 分类号 TG 335. 5 Analysis of warping deformation for cold-rolled strips ZHANG Qing-dong，LU Xing-fu ，DAI Jie-tao，QIN Jian School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: me818@ me． ustb． edu． cn ABSTＲACT The common shape defect of warping deformation，which is caused by the uneven vertical elongation of strips in the thickness direction，was studied by applying symplectic elasticity method． The relationship between the warping value and the distribu￾tion of vertical elongation was obtained through establishing and solving a mechanical model of warping deformation． Based on the cor￾rectness of the mechanical model and calculated results which were verified by general finite element method，the influence laws of fac￾tors on warping deformation were gotten by deduction and calculation． It is shown that the warping value increases linearly with the in￾creasing elongation difference between the top and bottom surfaces and the increasing ratio of the transverse to vertical elongation differ￾ence，decreases with increasing strip thickness，but increases quadratically with increasing strip width． Finally，the phenomenon of C￾warping converting to L-warping was studied by using the symplectic elasticity model of warping deformation，a mechanical model of C￾warping converting to L-warping was established，and the formula for this converting was obtained，which was verified by field experi￾ment． KEY WOＲDS cold rolling; strip steel; warping; analytical models 收稿日期: 2013--06--24 基金项目: 国家科技支撑计划项目( 2011BAE13B05) ; 国家自然科学基金资助项目( 51075031) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 016; http: / /journals． ustb． edu． cn 板形是板带钢产品的主要质量指标，板形缺陷 在生产流程中普遍存在且形式多种多样． 课题组通 过对板形缺陷的深入研究，认为板形缺陷主要分为 瓢曲和翘曲两大类［1］． 目前，关于板形瓢曲缺陷，国 内外学者已进行了大量研究工作［2--7］，揭示了带钢 瓢曲的本质是薄板屈曲变形的结果，并且在生产中 得到较为有效的控制． 但是，关于板形翘曲方面的 研究相对较少，且随着板带钢产品的高强度化，以及 用户对板形质量的进一步提高，翘曲缺陷正日益成 为困扰企业生产的严重技术质量问题． 板形翘曲缺陷主要表现为沿轧制方向的纵向翘 曲( 工厂称之为 L 翘) ，沿带钢宽度方向的横向翘曲

第3期 张清东等：冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 ·379· (工厂称之为C翘)，以及两个方向翘曲共存的四角 带钢C翘力学模型如图1，此时边界条件为： 翘（也有文献称之为扭翘圆）.文献]采用轧制实 验的方法分析了辊径差对L翘的影响，文献0]阐 g.=(a+41 Eieoz Eicoui h(1-)1- (x=b): 述了退火炉内C翘产生的机理并指出了产生C翘 的影响因素，文献01-12]对现场产生L翘和C翘 E (1+a)eocF=0 (h)i 1- 1- 的原因进行分析，文献3]应用有限元仿真分析了 平整轧制过程翘曲的产生机理和变形规律.上述研 F2=- E:(1 +a)eou Eicou 1-少 1- ,F2=0(z=-h). 究成果取得的共识是带钢上下表面的纵向延伸不相 (5) 等是引起带钢翘曲变形的主要原因. E 本文根据翘曲变形的产生原因，应用辛弹性力 μ为泊松比：E 式中=1-μ 1-2 学方法，从带钢厚度方向不均匀纵向延伸（初应变） 体力为： 出发建立C翘解析计算力学模型，获得翘曲与不均 rF=0, 匀延伸之间的定量关系：分析C翘与L翘的内在联 E,(1+a)eo1 (6) 系，建立C翘与L翘的转化关系公式，为翘曲的实 F,=- h(1-u) 际测量及控制提供依据 1翘曲问题的力学模型 +↑↑个↑↑ 带钢发生翘曲是由于纵向延伸差在厚度方向上 的不均匀分布诱导了横向不均匀分布，从而产生了 C翘.此时，由于每个横截面上的应力应变均一致， 且带钢长度方向的尺寸要远远大于厚度方向和宽度 方向，因此可以将带钢C翘问题简化为一个二维的 a 平面应变问题进行求解. 图1带钢C翘力学模型 根据翘曲产生原因，采用初应变方法分析不均 Fig.1 Mechanical model for C-warping 匀延伸对翘曲的影响，给定带钢纵向初应变为2ε0， 2辛弹性力学方法的翘曲问题求解 eo 0=2. (1) 在弹性力学中，传统的解法是采用提高微分方 式中：2eo为上下表面应变差；2h为带钢厚度，mm;z 程阶次的半逆解法，这有时使人难以适从；而在 为带钢厚向坐标 Hamilton体系下，则可采用分离变量法，从而使一些 由于是对在线的带钢进行解析计算，此时的带 问题可以直接求解（与半逆解法相比）.在文献 钢是无限长的，即带钢的每个横截面都不发生转动， 5]中，给出了齐次边界条件分离变量法的主要思 因此每个横截面上总的纵向应变为常数.设在张力 想和方法 为T时其总应变为c。,则沿厚度方向带钢的纵向应 引入矩形域哈密顿体系，将x坐标模拟成时间 变为e,: 坐标，并用点“”代表对x的微商，则本问题可以从 Ey=Co-80 (2) 弹性力学的平衡方程、几何方程和本构关系可以推 此时，张力T的大小为 出下式： T=2b E(co-so)dz. (3) 2 h 0 1- 0 式中：2b为带钢宽度，mm;E为弹性模量. E u 考虑到实际轧制过程中带钢的宽展总是存在 d 0 21+ 的，因此设带钢宽展与纵向延伸成一个固定的比值 α1，则带钢横向初应变与纵向初应变存在以下 0 0 0 关系： eo 8n=a~e0=a方：(0≤a≤1). (4) 0 0 根据应力应变关系和平衡微分方程，可以得到 H+∫ (7)

第 3 期 张清东等: 冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 ( 工厂称之为 C 翘) ，以及两个方向翘曲共存的四角 翘( 也有文献称之为扭翘［8］) ． 文献［9］采用轧制实 验的方法分析了辊径差对 L 翘的影响，文献［10］阐 述了退火炉内 C 翘产生的机理并指出了产生 C 翘 的影响因素，文献［11--12］对现场产生 L 翘和 C 翘 的原因进行分析，文献［13］应用有限元仿真分析了 平整轧制过程翘曲的产生机理和变形规律． 上述研 究成果取得的共识是带钢上下表面的纵向延伸不相 等是引起带钢翘曲变形的主要原因． 本文根据翘曲变形的产生原因，应用辛弹性力 学方法，从带钢厚度方向不均匀纵向延伸( 初应变) 出发建立 C 翘解析计算力学模型，获得翘曲与不均 匀延伸之间的定量关系; 分析 C 翘与 L 翘的内在联 系，建立 C 翘与 L 翘的转化关系公式，为翘曲的实 际测量及控制提供依据． 1 翘曲问题的力学模型 带钢发生翘曲是由于纵向延伸差在厚度方向上 的不均匀分布诱导了横向不均匀分布，从而产生了 C 翘． 此时，由于每个横截面上的应力应变均一致， 且带钢长度方向的尺寸要远远大于厚度方向和宽度 方向，因此可以将带钢 C 翘问题简化为一个二维的 平面应变问题进行求解． 根据翘曲产生原因，采用初应变方法分析不均 匀延伸对翘曲的影响，给定带钢纵向初应变为 2εy0， εy0 = e0 h z． ( 1) 式中: 2e0 为上下表面应变差; 2h 为带钢厚度，mm; z 为带钢厚向坐标． 由于是对在线的带钢进行解析计算，此时的带 钢是无限长的，即带钢的每个横截面都不发生转动， 因此每个横截面上总的纵向应变为常数． 设在张力 为 T 时其总应变为 c0，则沿厚度方向带钢的纵向应 变为 εy : εy = c0 － εy0 ． ( 2) 此时，张力 T 的大小为 T = 2b ∫ h －h E( c0 － εy0 ) dz． ( 3) 式中: 2b 为带钢宽度，mm; E 为弹性模量． 考虑到实际轧制过程中带钢的宽展总是存在 的，因此设带钢宽展与纵向延伸成一个固定的比值 α ［1，13--14］，则带钢横向初应变与纵向初应变存在以下 关系: εx0 = α·εy0 = α e0 h z ( 0≤α≤1) ． ( 4) 根据应力应变关系和平衡微分方程，可以得到 带钢 C 翘力学模型如图 1，此时边界条件为: σx = ( α + μ1 ) E1 e0 z h( 1 － μ2 1 ) － E1 c0μ1 1 － μ2 1 ( x = b) ; Fz1 = E1 ( 1 + α) e0μ1 1 － μ2 1 － E1 c0μ1 1 － μ2 1 ，Fx1 = 0 ( z = h) ; Fz2 = － E1 ( 1 + α) e0μ1 1 － μ2 1 － E1 c0μ1 1 － μ2 1 ，Fx2 = 0 ( z = － h)          ． ( 5) 式中: μ1 = μ 1 － μ ，μ 为泊松比; E1 = E 1 － μ2 ． 体力为: Fx = 0， Fz = － E1 ( 1 + α) e0μ1 h( 1 － μ2 1 ) { ． ( 6) 图 1 带钢 C 翘力学模型 Fig． 1 Mechanical model for C-warping 2 辛弹性力学方法的翘曲问题求解 在弹性力学中，传统的解法是采用提高微分方 程阶次的半逆解法，这有时使人难以适从; 而 在 Hamilton 体系下，则可采用分离变量法，从而使一些 问题可 以 直 接 求 解( 与 半 逆 解 法 相 比) ． 在 文 献 ［15］中，给出了齐次边界条件分离变量法的主要思 想和方法． 引入矩形域哈密顿体系，将 x 坐标模拟成时间 坐标，并用点“·”代表对 x 的微商，则本问题可以从 弹性力学的平衡方程、几何方程和本构关系可以推 出下式: u · w · σ · x τ ·             xz = 0 － μ1  z 1 － μ 2 1 E1 0 －  z 0 0 2( 1 + μ1 ) E1 0 0 0 －  z 0 － E1  2 z 2 － μ1  z                       0 u w σx τ             xz + 0 0 － Fx － F            z = Hv + f． ( 7) · 973 ·

·380 北京科技大学学报 第36卷 对于此问题的齐次边界条件的解可以通过分离 伸率比值α=0.1时，当假定上下表面的延伸差为 变量法表示为 30U(即e为15×10-5,1IU表示延伸差为10-) 时，取带钢的中心层(z=0)的挠度曲线与有限元计 w(x,)=∑ a;e (8) 算获得的中心层挠度曲线对比如图2所示. 式中，：为特征方程H妙：=u,的特征函数向量，a: 3.5 为待求未知数 3.0 当系数a:根据边界条件确定后即可求出问题 2.5 一口一有限元计算结果 的解 20 ▲·解析计算结果 在本文研究冷轧薄带钢翘曲问题时，本文简化 后的矩形域问题存在有6>h(其比值一般为片≥ 1.0 0.5 300),因此可以应用圣维南原理（两端的自相平衡 清汤。e年。年年◆ 的力系的影响仅在两端附近)，即可以理解为对于 100150200250300350400450 本文翘曲问题的研究可以忽略非零本征值的本 距中心点的位置/mm 图2带钢翘曲辛弹性力学计算结果和有限元计算结果对比 征解. Fig.2 Comparison of C-warping values between symplectic elasticity 根据H妙：=妙：可以获得其零本征解如下： method and finite element method 41=(1,0,0,0)T, 通过图2可以看出，应用辛弹性力学获得的带 42=(0,1,0,0)T, 钢翘曲中心层的挠度曲线与有限元计算的结果完全 4=(0,-4z+G1,E1,0)T, 重合，证明应用辛弹性力学方法求解带钢翘曲问题 4=(-x,0,0,0)T, 的正确性 4=(024-(子+)，-E0)', 3.2各影响因素对薄带钢翘曲的影响分析 在获得给定初应变的翘曲问题的解析解以后， =(-(传+片)品：2g00e-的)小 通过式(11)可以得到带钢翘曲量和其主要影响因 素之间的关系曲线.取带钢弹性模量E=210GPa, (9) 泊松比4=0.3时，获得翘曲带钢各个影响因素与翘 此时，翘曲问题的通解为： 曲度大小的关系如图3~图6所示.工况分析过程 w(x,z）=∑a, (10) 中，以带钢宽度2b=800mm,厚度2h=3mm,纵向和 横向延伸率比值α=0.1，上下表面的延伸差为30 因此，对于本文翘曲问题的求解只需要根据其边界 U为基准，当选择其中一个影响因素变化时，其他 条件定出系数a1,a2,,a6和c1就可求出问题解， 三个因数均按基准取值. 其具体表达式如下： 12 9 icoi co()(at)+5(1-)(a +au) 6 10h(1-) 102030405060 h1- 上下表面延伸差U (11) 图3上下表面延伸差和翘曲度大小的关系 Fig.3 Relationship between the warping value and the elongation 3 算例及带钢翘曲问题影响因素分析 difference of the top and bottom surfaces 3.1计算结果的有限元对比 从图3~图6中可以看出，带钢翘曲度大小随 取带钢宽度为2b=800mm(现场测量带钢C 着带钢上下表面纵向延伸差和横向与纵向延伸差比 翘所取的带钢长度)，厚度为2h=3mm,带钢弹性模 值的增大而线性地增大，随着带钢厚度的增大而减 量E=210GPa,泊松比μ=0.3，带钢纵向和横向延 小，随着带钢宽度的增大而呈二次关系增大

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 对于此问题的齐次边界条件的解可以通过分离 变量法表示为 w( x，z) = ∑ n i = 0 aieμi x ψi ． ( 8) 式中，ψi 为特征方程 Hψi = μψi 的特征函数向量，ai 为待求未知数． 当系数 ai 根据边界条件确定后即可求出问题 的解． 在本文研究冷轧薄带钢翘曲问题时，本文简化 后的矩形域问题存在有 bh( 其比值一般为 b h ≥ 300) ，因此可以应用圣维南原理( 两端的自相平衡 的力系的影响仅在两端附近) ，即可以理解为对于 本文翘曲问题的研究可以忽略非零本征值的本 征解． 根据 Hψi = μψi 可以获得其零本征解如下: ψ1 = ( 1，0，0，0) T ， ψ2 = ( 0，1，0，0) T ， ψ3 = ( 0，－ μ1 z + c1，E1，0) T ， ψ4 = ( － x，0，0，0) T ， ψ5 = 0( ，1 2 μ1 z 2 － ( 2 5 + μ1 ) 2 h2 ，－ E1 z，) 0 T ， ψ6 = － ( ( 3 5 + μ1 ) 2 h2 z + 2 + μ1 6 z 3 ，0，0，1 2 E1 ( z 2 － h2 ) ) T              ． ( 9) 此时，翘曲问题的通解为: w( x，z) = ∑ 6 i = 1 aiψi ． ( 10) 因此，对于本文翘曲问题的求解只需要根据其边界 条件定出系数 a1，a2，…，a6 和 c1 就可求出问题解， 其具体表达式如下: u = － μ1c0 1 － μ2 1 x [ + e0 h αx + e0xμ1 h( 1 － μ1 ] ) z， w = － μ2 1c0z 1 － μ2 1 － e0 ［4h2 ( 1 + μ1) ( α + μ1) + 5( 1 － μ1) ( α + μ1 + αμ1) x 2 ］ 10h( 1 － μ2 1) + e0( μ1 + α) h( 1 － μ2 1 ( ) 4 + 5μ1 10 h2 － μ1 2 z ) 2          ． ( 11) 3 算例及带钢翘曲问题影响因素分析 3. 1 计算结果的有限元对比 取带钢宽度为 2b = 800 mm ( 现场测量带钢 C 翘所取的带钢长度) ，厚度为 2h = 3 mm，带钢弹性模 量 E = 210 GPa，泊松比 μ = 0. 3，带钢纵向和横向延 伸率比值 α = 0. 1 时，当假定上下表面的延伸差为 30 IU ( 即 e0为 15 × 10 － 5，1 IU 表示延伸差为 10 － 5 ) 时，取带钢的中心层( z = 0) 的挠度曲线与有限元计 算获得的中心层挠度曲线对比如图 2 所示． 图 2 带钢翘曲辛弹性力学计算结果和有限元计算结果对比 Fig． 2 Comparison of C-warping values between symplectic elasticity method and finite element method 通过图 2 可以看出，应用辛弹性力学获得的带 钢翘曲中心层的挠度曲线与有限元计算的结果完全 重合，证明应用辛弹性力学方法求解带钢翘曲问题 的正确性． 3. 2 各影响因素对薄带钢翘曲的影响分析 在获得给定初应变的翘曲问题的解析解以后， 通过式( 11) 可以得到带钢翘曲量和其主要影响因 素之间的关系曲线． 取带钢弹性模量 E = 210 GPa， 泊松比 μ = 0. 3 时，获得翘曲带钢各个影响因素与翘 曲度大小的关系如图 3 ～ 图 6 所示． 工况分析过程 中，以带钢宽度 2b = 800 mm，厚度 2h = 3 mm，纵向和 横向延伸率比值 α = 0. 1，上下表面的延伸差为 30 IU 为基准，当选择其中一个影响因素变化时，其他 三个因数均按基准取值． 图 3 上下表面延伸差和翘曲度大小的关系 Fig． 3 Ｒelationship between the warping value and the elongation difference of the top and bottom surfaces 从图 3 ～ 图 6 中可以看出，带钢翘曲度大小随 着带钢上下表面纵向延伸差和横向与纵向延伸差比 值的增大而线性地增大，随着带钢厚度的增大而减 小，随着带钢宽度的增大而呈二次关系增大． · 083 ·

第3期 张清东等：冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 ·381· 2 型的圆弧形状，设圆弧的半径为，L翘对应的圆弧 角度为0，带钢初始长度为L,上表面的初应变为 以 e,o=△L/L,因此带钢的下表面及下表面的长度可以 以 表示为 4 2 L=r0,L+△L=(r+2h)8. (12) 0 由此可以解出翘曲半径为 0.20.4 0.60.8 1.0 带钢横向和纵向延伸差比值 r=2h/sx (13) 图4带钢横向和纵向延伸差比值和翘曲度大小的关系 定义C翘的翘曲度为边部高度减去中心高度，即 Fig.4 Relationship between the warping value and the ratio of the 0.=w(b)-o(0), (14) transverse to vertical elongation difference 将式(13)和(14)代入(11)，可以得到C翘翘曲度 50 与L翘翘曲半径之间的关系： 40 30 w'r=- +1+41b2 1+1 (15) 要20 如果考虑到带钢重力对翘曲的影响，初应变o 10 沿厚度及宽度方向的非均匀性，以及剪切带钢产生 0.8 16 2.4 32 4.0 的边界应力，需要对式(15)进行修正，修正系数k 带钢厚度mm 并随着材料系数而变化，一般由实验获得. 图5 带钢厚度和翘曲度大小的关系 Fig.5 Relationship between the warping value and the strip thick- wkoi (16) 1+μ1 ness 5翘曲实验 15 12 在现场，截取的带钢L翘的翘曲半径r是容易 9叶 在实验平台上测量的，而C翘的翘曲度则因截取后 的翘曲形式转化而无法测量，可以根据转化公式 (16),通过测量L翘的翘曲半径r得到C翘的翘曲 500 700 9001100130015001700 度及初应变结果 板宽/mm 为了测量翘曲半径，将裁剪下的带钢平放于刚 图6带钢宽度和翘曲度大小的关系 性平台上，如图8所示，测量截取带钢长度L和端部 Fig.6 Relationship between the warping value and the strip width (x=L/2)翘曲高度w,得到如下翘曲半径公式 L =2sin =2arctan 20L 4C翘向L翘的转化 L (17) 当带钢处于生产过程中时，由于两端存在张力 表1显示了某生产线上带钢C翘检测处得到 T,带钢会始终保持C翘状态；但当截取下的带钢放 的测量值与理论计算值（忽略宽展）的比较结果，实 于测量平台上（如图7)时，带钢会表现为L翘形式 验测得修正系数k=0.4,泊松比u=0.28.从表中 可以看出，计算值要比测量值稍大一些，但精度可以 满足实际需要 表1C翘测量值与计算值的对比 Table 1 Comparison between measured data and calculated values for C-warping mm 翘曲 取样参数 翘曲计算 带钢编号 测量值 L WL 宽度，2b 结果，g B146336 26.31104.0105.3 1250 29.17 图7C翘向L翘转化示意图 Fig.7 Transformation from C-warping to Lwarping B146337 30.8 835.0 81.61250 39.45 B05928 12.5440.07.421250 13.40 本文中不考虑带钢的重力作用，认为L翘是典

第 3 期 张清东等: 冷轧带钢板形翘曲变形过程及规律的解析 图 4 带钢横向和纵向延伸差比值和翘曲度大小的关系 Fig． 4 Ｒelationship between the warping value and the ratio of the transverse to vertical elongation difference 图 5 带钢厚度和翘曲度大小的关系 Fig． 5 Ｒelationship between the warping value and the strip thick￾ness 图 6 带钢宽度和翘曲度大小的关系 Fig． 6 Ｒelationship between the warping value and the strip width 4 C 翘向 L 翘的转化 当带钢处于生产过程中时，由于两端存在张力 T，带钢会始终保持 C 翘状态; 但当截取下的带钢放 于测量平台上( 如图 7) 时，带钢会表现为 L 翘形式． 图 7 C 翘向 L 翘转化示意图 Fig． 7 Transformation from C-warping to L-warping 本文中不考虑带钢的重力作用，认为 L 翘是典 型的圆弧形状，设圆弧的半径为 r，L 翘对应的圆弧 角度为 θ，带钢初始长度为 L，上表面的初应变为 εy0 = ΔL / L，因此带钢的下表面及下表面的长度可以 表示为 L = rθ，L + ΔL = ( r + 2h) θ． ( 12) 由此可以解出翘曲半径为 r = 2h /εy0 ． ( 13) 定义 C 翘的翘曲度为边部高度减去中心高度，即 wg = w( b) － w( 0) ， ( 14) 将式( 13) 和( 14) 代入( 11) ，可以得到 C 翘翘曲度 与 L 翘翘曲半径之间的关系: wg ·r = α + μ1 + αμ1 1 + μ1 b 2 ． ( 15) 如果考虑到带钢重力对翘曲的影响，初应变 εy0 沿厚度及宽度方向的非均匀性，以及剪切带钢产生 的边界应力，需要对式( 15) 进行修正，修正系数 k 并随着材料系数而变化，一般由实验获得． wg ·r = k α + μ1 + αμ1 1 + μ1 b 2 ． ( 16) 5 翘曲实验 在现场，截取的带钢 L 翘的翘曲半径 r 是容易 在实验平台上测量的，而 C 翘的翘曲度则因截取后 的翘曲形式转化而无法测量，可以根据转化公式 ( 16) ，通过测量 L 翘的翘曲半径 r 得到 C 翘的翘曲 度及初应变结果． 为了测量翘曲半径，将裁剪下的带钢平放于刚 性平台上，如图 8 所示，测量截取带钢长度 L 和端部 ( x = L /2) 翘曲高度 wL，得到如下翘曲半径公式 r = L 2sin θ ，θ = 2arctan 2wL L ． ( 17) 表 1 显示了某生产线上带钢 C 翘检测处得到 的测量值与理论计算值( 忽略宽展) 的比较结果，实 验测得修正系数 k = 0. 4，泊松比 μ = 0. 28． 从表中 可以看出，计算值要比测量值稍大一些，但精度可以 满足实际需要． 表 1 C 翘测量值与计算值的对比 Table 1 Comparison between measured data and calculated values for C-warping mm 带钢编号 翘曲 测量值 取样参数 L wL 宽度，2b 翘曲计算 结果，wg B146336 26. 3 1104. 0 105. 3 1250 29. 17 B146337 30. 8 835. 0 81. 6 1250 39. 45 B05928 12. 5 440. 0 7. 42 1250 13. 40 · 183 ·

·382· 北京科技大学学报 第36卷 图8平台上截取的带钢(a)及坐标图(b) Fig.8 Strip on the flat table (a)and its coordinate graph (b) 6结论 30(Suppl):21 (边宇虹，刘宏民.求解带材轧后大挠度屈曲变形的一个通用 (1)应用辛弹性力学方法对薄带钢翘曲问题进 方法.机械工程学报，1994,30（增刊）：21) 行了解析研究，建立和求解了翘曲变形力学模型，获 [6]Komori K.Analysis of herring-bone mechanism in sheet rolling. 得了薄带钢翘曲度大小与厚度方向纵向延伸的 Mater Process Technol,1996,60(1-4):377 关系. 7]Tarnopolskaya T,Gates D J.Analysis of the effect of strip buck- ling on stability of strip lateral motion with application to cold roll- (2)将辛弹性力学计算结果与通用有限元计算 ing of steel.J Dyn Syst Meas Control,2008,130(1)1 结果进行对比，验证了带钢翘曲变形力学模型和计 8] Mucke G,Karhausen K F,Putz P D.Methods of describing and 算结果的正确性，在此基础上分析了各个因素对翘 assessing shape deviation in strips.Metall Plant Technol Int, 曲变形影响的规律.计算结果表明，带钢翘曲度大 2002,25(3):58 小随着带钢上下表面纵向延伸差和横向与纵向延伸 Fujwara T,Matoba T,Itazuri Y,et al.Improvement of high- strength steel sheet mechanical properties by rolling with small-di- 差比值的增大而线性地增大，随着带钢厚度的增大 ameter rolls.J Jpn Soc Technol Plast,1997,38(9):45 而减小，随着带钢宽度的增大而呈二次关系增大. [10]Masui T,Kaseda Y,Ando K.Warp control in strip processing (3)建立了带钢C翘转化为L翘的力学模型， plant..Slnt,1991,31(3):262 获得了转化关系公式，并通过现场实验验证了转化 [11]He JF.Cause analysis of tinplate warp and our countermeasures. 关系公式的准确性. Baosteel Technol,2004(1):36 (何建峰.宝钢镀锡板翘曲原因分析与对策。宝钢技术， 参考文献 2004(1):36) 02] Wei L Q,Liu M Y,Zhang X Y,et al.Analysis of the causes of DaiJT.Deformation of Warping and Longitudinal Buckling for L camber of strip in skin passing and its countermeasures.Steel Thin and Wide Strip [Dissertation].Beijing:University of Science Rolling,2003,20(2):20 and Technology Beijing,2011 (魏立群，柳谋渊，张杏耀，等.平整轧制中轧件L弯成因分 (戴杰涛.薄宽带钢板形翘曲与纵向瓢曲变形行为研究[学位 析与及对策.轧钢，2003,20(2)：20) 论文].北京：北京科技大学，2011) [13]Zhang QD,Dai J T.Simulation of warping deformation in thin 2]Poplawski J V,Seccombe D A.Bethlehem's contribution to the steel strips.J Unig Sci Technol Beijing,2011,33(8):1006 mathematical modeling of cold rolling in tandem mills.Iron Steel (张清东，戴杰涛.带钢板形翘曲变形行为研究.北京科技 Eng,1980,57(9):47 大学学报，2011,33(8)：1006) B]Fisher F D,Rammerstorfer F G,Friedl N,et al.Buckling phe- 14]Liu H M.Theory of the Three-dimensional Rolling and Its Appli- nomena related to rolling and levelling of sheet metal.Int I Mech cation:Strip Element Method in Simulation of Rolling Process Sci,1999,42(10):1887 Beijing:Science Press,1999:19 4]Yang Q,Chen X L.The deforming route of buckled waves of (刘宏民.三维轧制理论及其应用：模拟轧制过程的条元法 rolled strip.J Univ Sci Technol Beijing,1994,16(1):53 北京：科学出版社，1999：19) (杨荃，陈先霖.轧制带材的瓢曲生成路径.北京科技大学学 [15]Yao WA,Zhong W X.Symplectic Elasticity.Beijing:Higher 报，1994,16(1)：53) Education Press,2002:86 [5]Bian Y H,Liu H M.Universal method analysing the large deflec- (姚伟岸，钟万勰.辛弹性力学.北京：高等教有出版社， tion buckling deformation of rolled strip.Chin J Mech Eng,1994, 2002:86)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 8 平台上截取的带钢( a) 及坐标图( b) Fig． 8 Strip on the flat table ( a) and its coordinate graph ( b) 6 结论 ( 1) 应用辛弹性力学方法对薄带钢翘曲问题进 行了解析研究，建立和求解了翘曲变形力学模型，获 得了薄带钢翘曲度大小与厚度方向纵向延伸的 关系． ( 2) 将辛弹性力学计算结果与通用有限元计算 结果进行对比，验证了带钢翘曲变形力学模型和计 算结果的正确性，在此基础上分析了各个因素对翘 曲变形影响的规律． 计算结果表明，带钢翘曲度大 小随着带钢上下表面纵向延伸差和横向与纵向延伸 差比值的增大而线性地增大，随着带钢厚度的增大 而减小，随着带钢宽度的增大而呈二次关系增大． ( 3) 建立了带钢 C 翘转化为 L 翘的力学模型， 获得了转化关系公式，并通过现场实验验证了转化 关系公式的准确性． 参 考 文 献 ［1］ Dai J T． Deformation of Warping and Longitudinal Buckling for Thin and Wide Strip［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing，2011 ( 戴杰涛． 薄宽带钢板形翘曲与纵向瓢曲变形行为研究［学位 论文］． 北京: 北京科技大学，2011) ［2］ Poplawski J V，Seccombe D A． Bethlehem's contribution to the mathematical modeling of cold rolling in tandem mills． Iron Steel Eng，1980，57( 9) : 47 ［3］ Fisher F D，Ｒammerstorfer F G，Friedl N，et al． Buckling phe￾nomena related to rolling and levelling of sheet metal． Int J Mech Sci，1999，42( 10) : 1887 ［4］ Yang Q，Chen X L． The deforming route of buckled waves of rolled strip． J Univ Sci Technol Beijing，1994，16( 1) : 53 ( 杨荃，陈先霖． 轧制带材的瓢曲生成路径． 北京科技大学学 报，1994，16( 1) : 53) ［5］ Bian Y H，Liu H M． Universal method analysing the large deflec￾tion buckling deformation of rolled strip． Chin J Mech Eng，1994， 30( Suppl) : 21 ( 边宇虹，刘宏民． 求解带材轧后大挠度屈曲变形的一个通用 方法． 机械工程学报，1994，30( 增刊) : 21) ［6］ Komori K． Analysis of herring-bone mechanism in sheet rolling． J Mater Process Technol，1996，60( 1-4) : 377 ［7］ Tarnopolskaya T，Gates D J． Analysis of the effect of strip buck￾ling on stability of strip lateral motion with application to cold roll￾ing of steel． J Dyn Syst Meas Control，2008，130( 1) : 1 ［8］ Mücke G，Karhausen K F，Putz P D． Methods of describing and assessing shape deviation in strips． Metall Plant Technol Int， 2002，25( 3) : 58 ［9］ Fujwara T，Matoba T，Itazuri Y，et al． Improvement of high￾strength steel sheet mechanical properties by rolling with small-di￾ameter rolls． J Jpn Soc Technol Plast，1997，38( 9) : 45 ［10］ Masui T，Kaseda Y，Ando K． Warp control in strip processing plant． ISIJ Int，1991，31( 3) : 262 ［11］ He J F． Cause analysis of tinplate warp and our countermeasures． Baosteel Technol，2004( 1) : 36 ( 何建峰． 宝钢镀锡板翘曲原因分析与对策． 宝 钢 技 术， 2004( 1) : 36) ［12］ Wei L Q，Liu M Y，Zhang X Y，et al． Analysis of the causes of L camber of strip in skin passing and its countermeasures． Steel Ｒolling，2003，20( 2) : 20 ( 魏立群，柳谋渊，张杏耀，等． 平整轧制中轧件 L 弯成因分 析与及对策． 轧钢，2003，20( 2) : 20) ［13］ Zhang Q D，Dai J T． Simulation of warping deformation in thin steel strips． J Univ Sci Technol Beijing，2011，33( 8) : 1006 ( 张清东，戴杰涛． 带钢板形翘曲变形行为研究． 北京科技 大学学报，2011，33( 8) : 1006) ［14］ Liu H M． Theory of the Three-dimensional Ｒolling and Its Appli￾cation: Strip Element Method in Simulation of Ｒolling Process． Beijing: Science Press，1999: 19 ( 刘宏民． 三维轧制理论及其应用: 模拟轧制过程的条元法． 北京: 科学出版社，1999: 19) ［15］ Yao W A，Zhong W X． Symplectic Elasticity． Beijing: Higher Education Press，2002: 86 ( 姚伟岸，钟万勰． 辛弹性力学． 北京: 高等教育出版社， 2002: 86) · 283 ·