430不锈钢凝固显微组织模拟的3D CAFE模型

第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 430不锈钢凝固显微组织模拟的3 D CAFE模型 兰 鹏2)区，孙海波12，李阳12)，张家泉12 1)北京科技大学钢铁治金新技术国家重点实验室，北京1000832)北京科技大学治金与生态工程学院，北京100083 区通信作者，E-mail:lanpengwudi@(126.com 摘要在同时考虑传热、流动和溶质扩散基础上建立了预测铁素体不锈钢多元合金凝固组织的3 D CAFE模型，揭示了430 不锈钢凝固过程中温度、固相率及晶粒形貌的变化规律.模型中采用高斯分布描述形核密度与过冷度的关系，应用KGT模型 描述枝晶的生长过程.根据FC-17%Cr平衡相图确定了430不锈钢的凝固路径，在考虑凝固收缩的基础上预测了铸锭的疏 松和缩孔分布.组织模拟结果与实际铸锭基本一致，二者的温度变化和组织结构特征也基本吻合 关键词不锈钢；凝固：显微组织：元胞自动机：有限元法：计算机模拟 分类号TG142.1:TG142.71 3D CAFE model for simulating the solidification microstructure of 430 stainless steel LAN Peng,SUN Hai-bo,LI Yang,ZHANG Jia-quan! 1)State Key Laboratory of Advanced Metallurgy,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Metallurgical and Ecological Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:lanpengwudi@126.com ABSTRACT Taking heat transfer,flow of liquids,and solute diffusion into account,a three-dimensional cellular automata-finite element(3D CAFE)model was built to simulate the solidification microstructure of 430 stainless steel.Based on the model,the change laws of temperature,solidification fraction and grain morphology in the steel ingot were revealed during the solidification process.In the model,Gaussian distribution was employed to describe the relationship between the grain nucleation density and the degree of undercooling,and the KGT model was adopted to describe the dendrite growth.According to the Fe-C-7%Cr equilibrium phase diagram,the solidification path was determined,and the distribution of porosities and shrinkage cavities in the steel ingot was predicted.The temperature history and the final microstructure simulated by the model are in agreement with experimental results. KEY WORDS stainless steel;solidification:microstructure;cellular automata:finite element method;computer simulation 钢的凝固成型过程中，提高其等轴晶比例通常 量-.己有研究表明，当铸坯中等轴晶比例提高到 是浇铸工艺控制的重要目标.铸坯（或铸锭）中发达 50%以上时，褶皱缺陷基本消除.由此可见，基 的柱状晶结构容易导致力学性能各向异性，其在后 于铁素体不锈钢凝固特性准确地预测其晶粒形貌演 续锻造、轧制过程中很难彻底消除，直接影响最终产 变过程具有重要的理论与工艺价值. 品的使用性能.430铁素体不锈钢具有耐腐蚀性优 近年来，基于数值模拟方法计算、分析合金凝固 良、导热性能好、热膨胀系数小、强度高且不含镍等 组织结构日益受到关注.Saito等、Juric和Tryg- 优点，是一种广泛应用的经济型金属装饰材料.由 gvason利用凝固前沿跟踪法模拟了平胞转变和枝 于其凝固组织中柱状晶发达，加工时若应变量较大 晶尖端的稳态生长，但该方法需要在计算中跟踪固 容易产生皱褶缺陷，严重影响其成型性及表面质 液界面，难以处理枝晶分支等问题；Caginalp和 收稿日期：201304-一1 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.006:http:/journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 430 不锈钢凝固显微组织模拟的 3D CAFE 模型 兰 鹏1，2) ，孙海波1，2) ，李 阳1，2) ，张家泉1，2) 1) 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083 2) 北京科技大学冶金与生态工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: lanpengwudi@ 126． com 摘 要 在同时考虑传热、流动和溶质扩散基础上建立了预测铁素体不锈钢多元合金凝固组织的 3D CAFE 模型，揭示了 430 不锈钢凝固过程中温度、固相率及晶粒形貌的变化规律． 模型中采用高斯分布描述形核密度与过冷度的关系，应用 KGT 模型 描述枝晶的生长过程． 根据 Fe--C--17% Cr 平衡相图确定了 430 不锈钢的凝固路径，在考虑凝固收缩的基础上预测了铸锭的疏 松和缩孔分布． 组织模拟结果与实际铸锭基本一致，二者的温度变化和组织结构特征也基本吻合． 关键词 不锈钢; 凝固; 显微组织; 元胞自动机; 有限元法; 计算机模拟 分类号 TG 142. 1 + ; TG 142. 71 3D CAFE model for simulating the solidification microstructure of 430 stainless steel LAN Peng1，2)  ，SUN Hai-bo1，2) ，LI Yang1，2) ，ZHANG Jia-quan1，2) 1) State Key Laboratory of Advanced Metallurgy，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Metallurgical and Ecological Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: lanpengwudi@ 126． com ABSTＲACT Taking heat transfer，flow of liquids，and solute diffusion into account，a three-dimensional cellular automata-finite element ( 3D CAFE) model was built to simulate the solidification microstructure of 430 stainless steel． Based on the model，the change laws of temperature，solidification fraction and grain morphology in the steel ingot were revealed during the solidification process． In the model，Gaussian distribution was employed to describe the relationship between the grain nucleation density and the degree of undercooling，and the KGT model was adopted to describe the dendrite growth． According to the Fe-C-17% Cr equilibrium phase diagram，the solidification path was determined，and the distribution of porosities and shrinkage cavities in the steel ingot was predicted． The temperature history and the final microstructure simulated by the model are in agreement with experimental results． KEY WOＲDS stainless steel; solidification; microstructure; cellular automata; finite element method; computer simulation 收稿日期: 2013--04--11 DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 006; http: / /journals． ustb． edu． cn 钢的凝固成型过程中，提高其等轴晶比例通常 是浇铸工艺控制的重要目标． 铸坯( 或铸锭) 中发达 的柱状晶结构容易导致力学性能各向异性，其在后 续锻造、轧制过程中很难彻底消除，直接影响最终产 品的使用性能． 430 铁素体不锈钢具有耐腐蚀性优 良、导热性能好、热膨胀系数小、强度高且不含镍等 优点，是一种广泛应用的经济型金属装饰材料． 由 于其凝固组织中柱状晶发达，加工时若应变量较大 容易产生皱褶缺陷，严重影响其成型性及表面质 量［1--2］． 已有研究表明，当铸坯中等轴晶比例提高到 50% 以上时，褶皱缺陷基本消除［3--4］． 由此可见，基 于铁素体不锈钢凝固特性准确地预测其晶粒形貌演 变过程具有重要的理论与工艺价值． 近年来，基于数值模拟方法计算、分析合金凝固 组织结构日益受到关注． Saito 等［5］、Juric 和 Tryg￾gvason ［6］利用凝固前沿跟踪法模拟了平胞转变和枝 晶尖端的稳态生长，但该方法需要在计算中跟踪固 液界 面，难以处理枝晶分支等问题; Caginalp 和

·316 北京科技大学学报 第36卷 Fife、Kobayashi图建立了相场模型模拟金属熔体 9SMn28水冷钢锭凝固后的低倍结构，Jimg等n网和 中的枝晶形态，模型中充分考虑了温度场、溶质场和 Hou等分别建立了模拟连铸坯晶粒形貌与柱状 流场与其他外部场的耦合，但计算耗时巨大：Spittle 晶向等轴晶转变(columnar-to-equiaxed transition, 和Brown可、Zhu和Smith应用Monte-Carlo法计 CET)的CAFE模型，但模型中均未考虑钢水流动和 算了二维晶粒的形成过程，并进一步分析了相关参 由溶质传输而引起的成分过冷对晶粒形核和生长的 数对其的影响.Monte-Carlo法基于能量最小原理计 影响，而这在组织模拟中往往是不能忽略的. 算晶粒生长概率，缺乏对晶粒生长物理机制的考虑 430铁素体不锈钢中Cr含量较高，其凝固路径 Gandin等1-切将元胞自动机法(cellular automata, 不同于普碳钢，在组织模拟模型建立和参数选取上 CA)与有限元法(finite element method,FEM)结合， 均比较复杂.本研究基于对430不锈钢凝固特性的 基于凝固温度场解析金属的组织演变.该算法充分 认识，同时考虑传热、流动和溶质扩散条件下建立了 考虑了枝晶生长动力学和择优取向，实现了微观场 适合铁素体不锈钢多元合金凝固组织预测的CAFE 与宏观场的耦合，其Al-Cu、A-Si等二元合金的凝 模型，并根据其凝固收缩时的密度变化特征对铸锭 固组织模拟结果与实际比较接近.Nastac和Stefa- 疏松和缩孔进行了预测.组织模拟结果与实验铸锭 nescu3-w通过采用微潜热法(microlatent heat meth- 比较表明，二者在晶粒尺寸、形态与分布上基本接 od,MLHM)法实现了元胞自动机模型与有限元模 近，CET转变也比较吻合 型的同时求解，其结果在NCONEL718合金浇铸实 1模型建立 验中得到验证，该算法后被植入ProCAST软件模 块中. 1.1钢种及浇铸条件 钢的凝固组织模拟研究开展较晚，Yamazaki 430铁素体不锈钢主要化学成分如表1所示， 等的采用元胞自动机法模拟了连铸过程中钢的凝 浇铸条件如表2所示 固组织，模型中同时考虑了电磁搅拌的影响，但其将 表1430不锈钢主要成分（质量分数） 钢种简化为Fe-0.7%C二元合金.Wang等67 Table 1 Chemical compositions of 430 stainless steel 采用将元胞自动机和有限元模型相结合的方法 C Si Mn P Cr AI N (cellular automata-finite element,CAFE)预测了 0.060.470.440.010.002 17.000.0020.03 表2430不锈钢主要浇铸条件 Table 2 Casting conditions of 430 stainless steel 浇铸温度/℃ 浇铸方式 浇铸时间 目口 覆盖剂 冷却条件 铸型材质 型腔尺寸 1550 重力项注 瞬时 无 有 空冷 SiO2 d80mm×160mm 1.2CAFE模型 1.2.2对流处理 1.2.1传热模型 模型中采用全解N-S方程来描述凝固过程中 -引)++ 液相的流动行为： dy (1) pdi=uv-VptpF. (4) 模型中采用热焓法处理凝固潜热的释放： 式中，v为速度矢量，P和4分别为钢水密度和黏度， H(m=cdT+0(1-f). (2) P为压强，F为体积力 1.2.3溶质扩散 对上式求导可得 液相溶质方程： (3) iohc=(fip DV)+ 式中，p为密度，c为比热容，而cm为考虑凝固潜 热后的有效比热容，T为温度，为时间，k为导热 -c+0e-,s 系数，x、y和z分别是节点在计算域中的坐标， 固相溶质方程： H(T)为焓随温度的变化，Q为凝固潜热，f.为固 相率. .苦=d-[)+]o

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 Fife［7］、Kobayashi［8］建立了相场模型模拟金属熔体 中的枝晶形态，模型中充分考虑了温度场、溶质场和 流场与其他外部场的耦合，但计算耗时巨大; Spittle 和 Brown［9］、Zhu 和 Smith［10］ 应用 Monte-Carlo 法计 算了二维晶粒的形成过程，并进一步分析了相关参 数对其的影响． Monte-Carlo 法基于能量最小原理计 算晶粒生长概率，缺乏对晶粒生长物理机制的考虑． Gandin 等［11--12］将元胞自动机法( cellular automata， CA) 与有限元法( finite element method，FEM) 结合， 基于凝固温度场解析金属的组织演变． 该算法充分 考虑了枝晶生长动力学和择优取向，实现了微观场 与宏观场的耦合，其 Al--Cu、Al--Si 等二元合金的凝 固组织模拟结果与实际比较接近． Nastac 和 Stefa￾nescu［13--14］通过采用微潜热法( microlatent heat meth￾od，MLHM) 法实现了元胞自动机模型与有限元模 型的同时求解，其结果在 INCONEL 718 合金浇铸实 验中得到验证，该算法后被植入 ProCAST 软件模 块中． 钢的凝固组织模拟研究开展较晚，Yamazaki 等［15］采用元胞自动机法模拟了连铸过程中钢的凝 固组织，模型中同时考虑了电磁搅拌的影响，但其将 钢种简化为 Fe － 0. 7% C 二元合金． Wang 等［16--17］ 采用将元胞自动机和有限元模型相结合的方法 ( cellular automata-finite element，CAFE ) 预 测 了 9SMn28 水冷钢锭凝固后的低倍结构，Jing 等［18］和 Hou 等［19］分别建立了模拟连铸坯晶粒形貌与柱状 晶向 等 轴 晶 转 变 ( columnar-to-equiaxed transition， CET) 的 CAFE 模型，但模型中均未考虑钢水流动和 由溶质传输而引起的成分过冷对晶粒形核和生长的 影响，而这在组织模拟中往往是不能忽略的． 430 铁素体不锈钢中 Cr 含量较高，其凝固路径 不同于普碳钢，在组织模拟模型建立和参数选取上 均比较复杂． 本研究基于对 430 不锈钢凝固特性的 认识，同时考虑传热、流动和溶质扩散条件下建立了 适合铁素体不锈钢多元合金凝固组织预测的 CAFE 模型，并根据其凝固收缩时的密度变化特征对铸锭 疏松和缩孔进行了预测． 组织模拟结果与实验铸锭 比较表明，二者在晶粒尺寸、形态与分布上基本接 近，CET 转变也比较吻合． 1 模型建立 1. 1 钢种及浇铸条件 430 铁素体不锈钢主要化学成分如表 1 所示， 浇铸条件如表 2 所示． 表 1 430 不锈钢主要成分( 质量分数) Table 1 Chemical compositions of 430 stainless steel % C Si Mn P S Cr Al N 0. 06 0. 47 0. 44 0. 01 0. 002 17. 00 0. 002 0. 03 表 2 430 不锈钢主要浇铸条件 Table 2 Casting conditions of 430 stainless steel 浇铸温度/℃ 浇铸方式 浇铸时间 冒口 覆盖剂 冷却条件 铸型材质 型腔尺寸 1550 重力顶注 瞬时 无 有 空冷 SiO2 80 mm × 160 mm 1. 2 CAFE 模型 1. 2. 1 传热模型 ρceff T t =   ( x k T  ) x +   ( y k T  ) y +   ( z k T  ) z ． ( 1) 模型中采用热焓法处理凝固潜热的释放: H( T) = ∫ T 0 cdT + Q( 1 － fs) ． ( 2) 对上式求导可得 ceff = H T = c － Q dfs dT ． ( 3) 式中，ρ 为密度，c 为比热容，而 ceff为考虑凝固潜 热后的有效比热容，T 为温度，t 为时间，k 为导热 系数，x、y 和 z 分别是节点在计算域中的坐标， H( T) 为焓随温度的变化，Q 为凝固潜热，fs 为固 相率． 1. 2. 2 对流处理 模型中采用全解 N--S 方程来描述凝固过程中 液相的流动行为: ρ dv dt = μ 2 Δ v － Δ p + ρF． ( 4) 式中，v 为速度矢量，ρ 和 μ 分别为钢水密度和黏度， p 为压强，F 为体积力． 1. 2. 3 溶质扩散 液相溶质方程: flρl c M l t + flρlvl Δ c M l = Δ ( flρlDM l Δ c M l ) + ( c M l － c M sl )  t ( fsρs) + SslρsDM s l ( c M s － c M sl ) ， ( 5) 固相溶质方程: fsρs c M s t = ( c M sl － c M s [ )  t ( fsρs) + SslρsDM s ] l ． ( 6) · 613 ·

第3期 兰鹏等：430不锈钢凝固显微组织模拟的3 D CAFE模型 ·317· 其中，P.和p,分别为固、液相密度，f.和f分别为固、 2= CLi-Co. (11) 液相分数，c“、c”和c”分别为固相、液相和界面处组 c(1-k =Iv(Pe), 元M的质量分数，D和D分别为组元M的固、液 exp(-）dr, 相扩散系数，S,为界面比表面积，l为扩散距离 1.2.4形核模型 (12) Rappaz和Gandin提出的连续形核模型中晶 Rv 粒密度与过冷度关系如下式，其中忽略枝晶破碎和 Pe:=2D (13) 液相表面氧化等形成的核心，并忽略液相流动对形 核的影响： R=2mr(m6-6), (14) dn a(AT) .esp(- 2k (15) (7) 5=1-0+(2m/Pe,)门-1+2k: 在某一过冷度下晶粒密度可以用下式计算： 其中，m,为Fe相图中元素i液相线斜率，co.:为溶 a 质i的质量分数，k:为溶质i的平衡分配系数，2为 n(AT)= (8) 溶质i的过饱和度，c:为枝晶尖端液相中溶质i的 式中，n为晶粒密度，△T为过冷度，n为最大形核 质量分数，Pe,为溶质i的Peclet数，表示对流与扩 密度，or为标准偏差，△T为最大形核过冷度 散的相对比例，v(Pe:)为Pe,数的Ivantsov函数， 1.2.5枝晶生长模型 D:为液相中溶质i的扩散系数，T为Gibbs-Thomson 枝晶尖端过冷度通常由以下四部分组成： 系数，G。为枝晶前沿溶质i的浓度梯度，G,为温度 △T=△T.+△T,+△Tk+△T (9) 梯度，E为Pe:和k:的函数. 式中，△T。、△T△T和△T.分别表示成分过冷度、热 当考虑枝晶尖端溶质平衡时： 过冷度、动力学过冷度和曲率过冷度.一般情况下， -Ge.D:=vcii(1-k）. (16) △T,和△T,比△T。和△T小，计算中常加以忽 略00.Kuz四提出的二元合金KGT模型，将其 联立式(9)~(16)，即可得到枝晶生长速率与 推广到多元时，凝固前沿的枝晶尖端半径R,枝晶生 以上影响因素的关系.在数值计算中，常用三次多 长速率v满足以下关系： 项式拟合出心与△T: v=a2△T+a3△T3 (17) R 其中，a2和a3称为生长动力学系数，相关数据如表 (10) 3所示.根据表3计算出的a2=0,a3=3.78×10-5. 表3枝晶生长动力学系数的计算参数3网 Table 3 Calculation parameters of dendrite tip growth kinetics coefficients 平衡分 液相线斜 液相扩散系数/ 固相扩散系数/ Gibbs-Thomson系数/ 溶质膨胀系数/ 元素 配系数 率/（℃%1） (10-9m2s1) (10-3m2s1) (10-7Km) %1 0.19 -78.0 20.0 5600.0 3.0 1.100×10-2 少 0.77 -7.6 2.4 5.6 3.0 1.190×10-2 Mn 0.76 -4.9 2.4 1.2 3.0 0.192×10-2 P 0.23 -34.4 4.7 24.0 3.0 1.150×10-2 0.05 -38.0 4.5 330.0 3.0 1.230×10-2 Cr 0.95 -1.0 1.8 12.0 3.0 0.397×10-2 1.3缩松模型 过程中的缩松分为三类：()自由液面（冒口）处形 Pequet等四通过求解达西方程建立了预测二 成的缩管：()内部封闭区（热节）形成的二次缩孔： 元合金疏松、缩孔的数学模型.图1描述了一个简 ()凝固初期分散性疏松和热节周围的疏松.模型 单铸件凝固过程中缩松的形成机理.计算中将凝固 中考虑了固相、液相和两相区密度与温度的相关性

第 3 期 兰 鹏等: 430 不锈钢凝固显微组织模拟的 3D CAFE 模型 其中，ρs 和 ρl 分别为固、液相密度，fs 和 fl 分别为固、 液相分数，c M s 、c M l 和 c M sl 分别为固相、液相和界面处组 元 M 的质量分数，DM s 和 DM l 分别为组元 M 的固、液 相扩散系数，Ssl为界面比表面积，l 为扩散距离． 1. 2. 4 形核模型 Ｒappaz 和 Gandin［20］提出的连续形核模型中晶 粒密度与过冷度关系如下式，其中忽略枝晶破碎和 液相表面氧化等形成的核心，并忽略液相流动对形 核的影响: dn d( ΔT) = nmax 槡2π·σΔT [ exp － ( 1 2 ΔT － ΔTmax σΔ ) T ] 2 ． ( 7) 在某一过冷度下晶粒密度可以用下式计算: n( ΔT) = ∫ ΔT 0 dn d( ΔT) d( ΔT) ． ( 8) 式中，n 为晶粒密度，ΔT 为过冷度，nmax为最大形核 密度，σΔT为标准偏差，ΔTmax为最大形核过冷度． 1. 2. 5 枝晶生长模型 枝晶尖端过冷度通常由以下四部分组成: ΔT = ΔTc + ΔTt + ΔTk + ΔTr． ( 9) 式中，ΔTc、ΔTt、ΔTk 和 ΔTr 分别表示成分过冷度、热 过冷度、动力学过冷度和曲率过冷度． 一般情况下， ΔTt 和 ΔTk 比 ΔTc 和 ΔTr 小，计 算 中 常 加 以 忽 略［20--21］． Kurz［22］提出的二元合金 KGT 模型，将其 推广到多元时，凝固前沿的枝晶尖端半径 Ｒ，枝晶生 长速率 v 满足以下关系: ΔT = ∑ n i = 1 mic0，i [ 1 － 1 1 － Ωi ( 1 － ki ] ) + 2Γ Ｒ ， ( 10) Ωi = c * l，i － c0，i c * l，i ( 1 － ki ) = Iv( Pei ) ， ( 11) Iv( Pei ) = Pei ·exp( Pei )·∫ ∞ Pei exp( － τ) τ dτ， ( 12) Pei = Ｒv 2Di ， ( 13) Ｒ = 2π Γ ( ∑ n i = 1 槡 miGc，iξi － Gt ) ， ( 14) ξi = 1 － 2ki ［1 + ( 2π/Pei ) 2 ］1 /2 － 1 + 2ki ． ( 15) 其中，mi 为 Fe-i 相图中元素 i 液相线斜率，c0，i为溶 质 i 的质量分数，ki 为溶质 i 的平衡分配系数，Ωi 为 溶质 i 的过饱和度，c * l，i为枝晶尖端液相中溶质 i 的 质量分数，Pei 为溶质 i 的 Peclet 数，表示对流与扩 散的相对比例，Iv( Pei ) 为 Pei 数的 Ivantsov 函数［14］， Di 为液相中溶质 i 的扩散系数，Γ 为 Gibbs-Thomson 系数，Gc，i为枝晶前沿溶质 i 的浓度梯度，Gt 为温度 梯度，ξi 为 Pei 和 ki 的函数． 当考虑枝晶尖端溶质平衡时: － Gc，iDi = vc* l，i ( 1 － ki ) ． ( 16) 联立式( 9) ～ ( 16) ，即可得到枝晶生长速率与 以上影响因素的关系． 在数值计算中，常用三次多 项式拟合出 v 与 ΔT: v = a2ΔT2 + a3ΔT3 ． ( 17) 其中，a2 和 a3 称为生长动力学系数，相关数据如表 3 所示． 根据表 3 计算出的 a2 = 0，a3 = 3. 78 × 10 － 5 ． 表 3 枝晶生长动力学系数的计算参数［23--28］ Table 3 Calculation parameters of dendrite tip growth kinetics coefficients 元素 平衡分 配系数 液相线斜 率/( ℃·% － 1 ) 液相扩散系数/ ( 10 － 9 m2 ·s － 1 ) 固相扩散系数/ ( 10 － 13 m2 ·s － 1 ) Gibbs-Thomson 系数/ ( 10 － 7 K·m) 溶质膨胀系数/ % － 1 C 0. 19 － 78. 0 20. 0 5600. 0 3. 0 1. 100 × 10 － 2 Si 0. 77 － 7. 6 2. 4 5. 6 3. 0 1. 190 × 10 － 2 Mn 0. 76 － 4. 9 2. 4 1. 2 3. 0 0. 192 × 10 － 2 P 0. 23 － 34. 4 4. 7 24. 0 3. 0 1. 150 × 10 － 2 S 0. 05 － 38. 0 4. 5 330. 0 3. 0 1. 230 × 10 － 2 Cr 0. 95 － 1. 0 1. 8 12. 0 3. 0 0. 397 × 10 － 2 1. 3 缩松模型 Pequet 等［29］通过求解达西方程建立了预测二 元合金疏松、缩孔的数学模型． 图 1 描述了一个简 单铸件凝固过程中缩松的形成机理． 计算中将凝固 过程中的缩松分为三类: ( i) 自由液面( 冒口) 处形 成的缩管; ( ii) 内部封闭区( 热节) 形成的二次缩孔; ( iii) 凝固初期分散性疏松和热节周围的疏松． 模型 中考虑了固相、液相和两相区密度与温度的相关性， · 713 ·

·318 北京科技大学学报 第36卷 并对不同区域采用不同的边界处理方法 1500 L L+a 缩管开放液相区 液相线周相线 1400 Lta+y 1300 Q+Y 21200 局部有限元网格 Y+K. 1100 封闭液相区 +K Y+K 1000 图1铸件凝固缩松分布特征网 a+y+K Fig.I Distribution of porosities and shrinkage cavities in the cast- 900 ing a+K 800 0 0.5 1.0 1.4物性参数 碳的质量分数/% 1.4.1430不锈钢凝固路径 图2430不锈钢Fe-C-17Cr%相图 图2为Moustafa等Bo提出的Fe-C-17%Cr平 Fig.2 Fe-C-7Cr%phase diagram of 430 stainless steel 衡相图.由此，实验成分430不锈钢凝固路径为L→ 1.4.2热物性参数 L+aL+a+y→a+y→a+y+K一→a+K,其中 L为液相，K,相为M,C3,K2相为M3C6·钢水冷却 根据430不锈钢化学成分（表1)，假定铸锭凝 固时平均冷却速率为0.5℃s',在考虑固相有限扩散 时，液相中将析出大量铁素体和少量奥氏体.为了 保证计算效率，元胞自动机模型中统一选用铁素体 前提下，基于CompuTherm LLC数据库计算钢种热物性 的相关参数计算枝晶生长动力学系数，有限元模型 参数，如图3所示.液相黏度取为5.0×10-3Pas.两 将按实际相分率计算热物性参数. 相区的传输行为采用多孔介质模型来描述 a 70 7600 60 7400 7200 40 7000 30 6800 206 30060090012001500 1800 6600 300 600 9001200 1500 1800 温度/℃ 温度℃ 1.0 1400(c 1200 0.8 1000 0.6 · 800 600 400 0.2 200 90 300 600900120015001800 1440 1460 1480 1500 温度℃ 温度℃ 图3430不锈钢热物性参数 Fig.3 Thermo-physical perimeters of 430 stainless steel

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 并对不同区域采用不同的边界处理方法． 图 1 铸件凝固缩松分布特征［29］ Fig． 1 Distribution of porosities and shrinkage cavities in the cast￾ing［29］ 1. 4 物性参数 1. 4. 1 430 不锈钢凝固路径 图 3 430 不锈钢热物性参数 Fig． 3 Thermo-physical perimeters of 430 stainless steel 图 2 为 Moustafa 等［30］提出的 Fe--C--17% Cr 平 衡相图． 由此，实验成分 430 不锈钢凝固路径为 L→ L + α→L + α + γ→α + γ→α + γ + K1→α + K1，其中 L 为液相，K1 相为 M7C3，K2 相为 M23 C6 ． 钢水冷却 时，液相中将析出大量铁素体和少量奥氏体． 为了 保证计算效率，元胞自动机模型中统一选用铁素体 的相关参数计算枝晶生长动力学系数，有限元模型 将按实际相分率计算热物性参数． 图 2 430 不锈钢 Fe--C--17Cr% 相图 Fig． 2 Fe-C-17Cr% phase diagram of 430 stainless steel 1. 4. 2 热物性参数 根据 430 不锈钢化学成分( 表 1) ，假定铸锭凝 固时平均冷却速率为0. 5 ℃·s － 1，在考虑固相有限扩散 前提下，基于 CompuTherm LLC 数据库计算钢种热物性 参数，如图3 所示． 液相黏度取为 5. 0 × 10 － 3 Pa·s． 两 相区的传输行为采用多孔介质模型来描述． · 813 ·

第3期 兰鹏等：430不锈钢凝固显微组织模拟的3 D CAFE模型 ·319· 1.5初始条件和边界条件 表4模型初始条件及边界条件 由于浇注速度较快，假定钢水瞬时充满；铸型为 Table 4 Initial conditions and boundary conditions of the model 石英坩埚，其温度与室温一致：钢水液面覆盖保温材 初始条件与边界条件 数值或处理方法 料：铸型侧壁空冷，底部与底面接触；通过凝固收缩 钢水浇注温度/心℃ 1550 计算自行考虑铸锭与铸型间的气隙.各初始条件及 铸型初始温度/℃ 子 边界条件如表4所示.表中h。为铸锭与铸型之间 铸锭一铸型换热系数 h=1/(1/hg +Rc) 的初始换热系数，一般设定为1000W·m2· 钢水液面热流密度 9r=0 K1B1-):R。是由于凝固收缩而形成气隙热阻，该 铸型外壁热流密度 91=h (T..m -TR)+8(Tim-Ti) 铸型底部热流密度 参数在模型中实时计算：9r是钢水液面与外界的热 92=h2 (T...-Tc) 流密度，考虑到覆盖剂的保温作用，将其设定为零； h1是铸型外壁与空气的换热系数，可设定为l0W· 2 结果与讨论 m2,Kl;h2是铸型底部与地面的换热系数，设为 2.1温度和固相率 30W·m-2,K-1:Tm是铸型外表面温度；Tg和Tc分 图4描述了距底面1/4H、1/2H和3/4H(H= 别是环境温度和地面温度，设定为25℃：是黑度 160mm)截面上温度场及固相率随时间的变化.图 系数，一般为0.8,8是Stefan-Boltzmann常数，其等 中可见，铸锭上、中部的温度略高于下部，上、中部的 于5.67×10-8Wm-2.K-4 凝固进程也相对滞后，这不但与顶部覆盖剂的保温 温度℃ 212s 312s 412s 512 固相率 1502.0 ■1.000 1496.6 0.933 1491.2 0.867 1485.8 0.800 1480.4 0.733 1475.0 0.667 1469.6 0.600 1464.2 0.533 1458.8 0.467 1453.4 0.400 1448.0 0.333 1442.6 0.267 1437.2 0.200 1431.8 0.133 1426.4 0.067 1421.0 0 图4铸锭不同时刻温度与固相率分布 Fig.4 Temperature and solidification fraction of the steel ingot at different solidifying time 作用有关，也受到底部二维传热的影响.中、上截面 1.0 处温度及固相率的差异很小，在这种条件下钢水不 1500 能形成显著的自下而上顺序凝固，必然形成较深的 3/4H 0.8 -1/2H 缩孔 1/4H 1450 0.6 图4中各截面中心点处温度和固相率随时间变 化如图5所示.由图可见，各截面完全凝固时间并 , 不一致，1/4H截面约为512s,而1/2H和3/4H截面 1400 0.2 约为552s.此外，相同时刻1/4H截面中心温度略 低于12H和3/4H截面，其固相率也略高于后二 1350 200 400 6o8 时间 者，这与图4所得结论一致.图6为采用钨铼热电 图5各截面中心温度及固相率变化 偶测定的距液面约10mm处温度与模拟温度随时间 Fig.5 Temperature and solidification fraction at the center of the 变化曲线，二者吻合良好 cross section 2.2疏松和缩孔 图7(a)顶部区域疏松体积分数达到了9.0%以 上，这是由于凝固补缩而形成的缩管.铸锭底部边

第 3 期 兰 鹏等: 430 不锈钢凝固显微组织模拟的 3D CAFE 模型 1. 5 初始条件和边界条件 由于浇注速度较快，假定钢水瞬时充满; 铸型为 石英坩埚，其温度与室温一致; 钢水液面覆盖保温材 料; 铸型侧壁空冷，底部与底面接触; 通过凝固收缩 计算自行考虑铸锭与铸型间的气隙． 各初始条件及 边界条件如表 4 所示． 表中 h0 为铸锭与铸型之间 的初 始 换 热 系 数，一 般 设 定 为 1000 W·m － 2· K － 1［31--33］; ＲG 是由于凝固收缩而形成气隙热阻，该 参数在模型中实时计算; qT 是钢水液面与外界的热 流密度，考虑到覆盖剂的保温作用，将其设定为零; h1 是铸型外壁与空气的换热系数，可设定为 10 W· m － 2·K － 1 ; h2 是铸型底部与地面的换热系数，设为 30 W·m － 2·K － 1 ; Ts，m是铸型外表面温度; TＲ 和 TG 分 别是环境温度和地面温度，设定为 25 ℃ ; ε 是黑度 系数，一般为 0. 8，δ 是 Stefan-Boltzmann 常数，其等 于 5. 67 × 10 － 8 W·m － 2·K － 4 ． 表 4 模型初始条件及边界条件 Table 4 Initial conditions and boundary conditions of the model 初始条件与边界条件 数值或处理方法 钢水浇注温度/℃ 1550 铸型初始温度/℃ 25 铸锭--铸型换热系数 h = 1 /( 1 / h0 + ＲG ) 钢水液面热流密度 qT = 0 铸型外壁热流密度 q1 = h1 ( Ts，m － TＲ ) + δε( T4 s，m － T4 Ｒ ) 铸型底部热流密度 q2 = h2 ( Ts，m － TG ) 2 结果与讨论 2. 1 温度和固相率 图 4 描述了距底面 1 /4H、1 /2H 和 3 /4H( H = 160 mm) 截面上温度场及固相率随时间的变化． 图 中可见，铸锭上、中部的温度略高于下部，上、中部的 凝固进程也相对滞后，这不但与顶部覆盖剂的保温 图 4 铸锭不同时刻温度与固相率分布 Fig． 4 Temperature and solidification fraction of the steel ingot at different solidifying time 作用有关，也受到底部二维传热的影响． 中、上截面 处温度及固相率的差异很小，在这种条件下钢水不 能形成显著的自下而上顺序凝固，必然形成较深的 缩孔． 图 4 中各截面中心点处温度和固相率随时间变 化如图 5 所示． 由图可见，各截面完全凝固时间并 不一致，1 /4H 截面约为 512 s，而 1 /2H 和 3 /4H 截面 约为 552 s． 此外，相同时刻 1 /4H 截面中心温度略 低于 1 /2H 和 3 /4H 截面，其固相率也略高于后二 者，这与图 4 所得结论一致． 图 6 为采用钨铼热电 偶测定的距液面约 10 mm 处温度与模拟温度随时间 变化曲线，二者吻合良好． 2. 2 疏松和缩孔 图7( a) 顶部区域疏松体积分数达到了 9. 0% 以 图 5 各截面中心温度及固相率变化 Fig． 5 Temperature and solidification fraction at the center of the cross section 上，这是由于凝固补缩而形成的缩管． 铸锭底部边 · 913 ·

·320 北京科技大学学报 第36卷 缘处由于二维传热而形成微观缩孔，符合凝固规律. 20mm,2=15mm,T3=10mm,r4=5mm.整个铸锭 铸锭中下部区域沿轴线纵剖后如图7(b)所示.从 显微结构表现为中上部是发达柱状晶，中下部的圆 图中可以看出，模拟结果在位置、尺寸上均与实际比 锥区域内形成细小的等轴晶，而表层激冷层范围 较接近. 较小 图9为430铁素体不锈钢铸锭中下部微观组 1500 模拟值 织的模拟结果和实验结果.图中可见，铸锭柱状晶 发达，其生长方向与底面基本平行，一次枝晶间距 21450 约为1.5~2.0mm;沉积锥区距底面约为10mm, 实测值 其高度为70mm,底部半径为30mm,等轴晶尺寸 1400 约为l.0~1.5mm.对比发现，二者在晶粒尺寸、形 态和分布上均比较接近，尤其是中心等轴晶区范 围基本一致. 1350 0 200 400 600 时间s 3结论 图6距液面约10mm处温度变化 Fig.6 Temperature of the node 10 mm below the top level (1)在同时考虑传热、流动和溶质扩散条件下 2.3晶粒形貌 建立了预测铁素体不锈钢多元合金凝固组织的CA- 图8为不同时刻、距底面不同高度处1/4截面 FE模型，实现了宏观传热与微观结构的耦合求解 的显微结构.铸锭内部晶粒的形核、生长与其宏观 模型中采用高斯分布描述形核密度与过冷度的关 凝固进程完全一致.430不锈钢铸锭的显微结构与 系，并应用KGT模型描述枝晶的生长过程 其凝固时热状态密切相关.SiO2铸型蓄热能力较 (2)根据对FeC-17%Cr平衡相图的分析，确 小，其激冷效应较弱，铸锭表层细晶区不明显.凝固 定了430铁素体不锈钢铸锭的凝固路径，进而计算 初期，由于底部区域二维换热，其晶粒生长比中部 其枝晶生长动力学系数a2=0,a3=3.78×10-5.应 快；当铸锭中下部与铸型之间形成气隙后，底部温度 用CAFE模型对铸锭温度场、固相率和组织结构演 梯度减小，枝晶生长受到抑制：而此时铸锭中部温度 变进行了解析，模拟结果（包括温度、晶粒尺寸、形 梯度不变，枝晶将继续生长；凝固中后期时，中下部 态、分布和CET转变)与实验铸锭基本吻合. 由于深过冷而形成等轴晶.柱状晶向等轴晶的转变 (3)基于430铁素体不锈钢凝固过程中的密度 从下至上依次延后，甚至在中上部出现穿晶结构 变化，对430不锈钢铸锭疏松、缩孔分布进行预测， 图8中各截面上中心等轴晶区半径分别约为1= 缩管大小和位置均与实际比较接近. 缩松% a 9.0 8.4 7 缩孔深度 72 6 6 24 312 6 图7铸锭疏松和缩孔分布.(a)预测：(b)实验 Fig.7 Distribution of porosities and pipes:(a)prediction:(b)experiment

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 缘处由于二维传热而形成微观缩孔，符合凝固规律． 铸锭中下部区域沿轴线纵剖后如图 7( b) 所示． 从 图中可以看出，模拟结果在位置、尺寸上均与实际比 较接近． 图 6 距液面约 10 mm 处温度变化 Fig． 6 Temperature of the node 10 mm below the top level 图 7 铸锭疏松和缩孔分布． ( a) 预测; ( b) 实验 Fig． 7 Distribution of porosities and pipes: ( a) prediction; ( b) experiment 2. 3 晶粒形貌 图 8 为不同时刻、距底面不同高度处 1 /4 截面 的显微结构． 铸锭内部晶粒的形核、生长与其宏观 凝固进程完全一致． 430 不锈钢铸锭的显微结构与 其凝固时热状态密切相关． SiO2 铸型蓄热能力较 小，其激冷效应较弱，铸锭表层细晶区不明显． 凝固 初期，由于底部区域二维换热，其晶粒生长比中部 快; 当铸锭中下部与铸型之间形成气隙后，底部温度 梯度减小，枝晶生长受到抑制; 而此时铸锭中部温度 梯度不变，枝晶将继续生长; 凝固中后期时，中下部 由于深过冷而形成等轴晶． 柱状晶向等轴晶的转变 从下至上依次延后，甚至在中上部出现穿晶结构． 图 8 中各截面上中心等轴晶区半径分别约为r1 = 20 mm，r2 = 15 mm，r3 = 10 mm，r4 = 5 mm． 整个铸锭 显微结构表现为中上部是发达柱状晶，中下部的圆 锥区域内形成细小的等轴晶，而表层激冷层范围 较小． 图 9 为 430 铁素体不锈钢铸锭中下部微观组 织的模拟结果和实验结果． 图中可见，铸锭柱状晶 发达，其生长方向与底面基本平行，一次枝晶间距 约为 1. 5 ～ 2. 0 mm; 沉积锥区距底面约为 10 mm， 其高度为 70 mm，底部半径为 30 mm，等轴晶尺寸 约为1. 0 ～ 1. 5 mm． 对比发现，二者在晶粒尺寸、形 态和分布上均比较接近，尤其是中心等轴晶区范 围基本一致． 3 结论 ( 1) 在同时考虑传热、流动和溶质扩散条件下 建立了预测铁素体不锈钢多元合金凝固组织的 CA￾FE 模型，实现了宏观传热与微观结构的耦合求解． 模型中采用高斯分布描述形核密度与过冷度的关 系，并应用 KGT 模型描述枝晶的生长过程． ( 2) 根据对 Fe--C--17% Cr 平衡相图的分析，确 定了 430 铁素体不锈钢铸锭的凝固路径，进而计算 其枝晶生长动力学系数 a2 = 0，a3 = 3. 78 × 10 － 5 ． 应 用 CAFE 模型对铸锭温度场、固相率和组织结构演 变进行了解析，模拟结果( 包括温度、晶粒尺寸、形 态、分布和 CET 转变) 与实验铸锭基本吻合． ( 3) 基于 430 铁素体不锈钢凝固过程中的密度 变化，对 430 不锈钢铸锭疏松、缩孔分布进行预测， 缩管大小和位置均与实际比较接近． · 023 ·

第3期 兰鹏等：430不锈钢凝固显微组织模拟的3 D CAFE模型 ·321· (a） ( 2129 312s 412s 512s 图8距铸锭底面不同高度截面上的品粒形态.(a)18H:(b)1/4H:(c)3/8H:(d)12H Fig.8 Grains growth in different cross sections at various time:(a)1/8H:(b)1/4H:(c)3/8H;(d)1/2H sheet.Trans Iron Steel Inst Jpn,1983,23(9):731 Chao H C.The mechanism of ridging in ferritic stainless steels. Trans ASM,1967,60(1):37 B]Itoh Y,Okajima T,Maede H,et al.Refining of solidification structures of continuously cast type 430 stainless steel slabs by electromagnetic stirring.Trans /ron Steel Inst Jpn,1982,22(3): 223 4]Takeuchi H,Mori H,Ikehara Y,et al.The effects of electromag- netic stirring on solidification structure of continuously cast SUS430 stainless steel slabs.Trans Iron Steel Inst Jpn,1981,21(2):109 Saito Y,Goldbeck-Wood G,Muller-Krumbhaar H.Numerical simulation of dendritic growth.Phys Rev A,1988,38(4):2148 [6]Juric D.Tryggvason G.A front-racking method for dendritic so- lidification.J Comput Phys,1996,123 (1)127 图9铸锭低倍组织的模拟（左）与实验结果（右） Caginalp G,Fife P.Phase field methods for interfacial bounda- Fig.9 Grain distribution in the ingot by simulation (left)and exper- nies.Phys Rer B,1986,33(11):7792 iment (right) 8] Kobayashi R.Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth.Phys D.1993,63(3/4):410 参考文献 9]Spittle JA.Brown SG.Computer simulation of the effects of alloy [Suzuki K,Asami S,Suzuki K.Formation of ridging related to the variables on the grain structures of castings.Acta Metall,1989. banded segregation pattem of Cr and C on ferritic stainless steel 37(7):1803

第 3 期 兰 鹏等: 430 不锈钢凝固显微组织模拟的 3D CAFE 模型 图 8 距铸锭底面不同高度截面上的晶粒形态． ( a) 1 /8H; ( b) 1 /4H; ( c) 3 /8H; ( d) 1 /2H Fig． 8 Grains growth in different cross sections at various time: ( a) 1 /8H; ( b) 1 /4H; ( c) 3 /8H; ( d) 1 /2H 图 9 铸锭低倍组织的模拟( 左) 与实验结果( 右) Fig． 9 Grain distribution in the ingot by simulation ( left) and exper￾iment ( right) 参 考 文 献 ［1］ Suzuki K，Asami S，Suzuki K． Formation of ridging related to the banded segregation pattern of Cr and C on ferritic stainless steel sheet． Trans Iron Steel Inst Jpn，1983，23( 9) : 731 ［2］ Chao H C． The mechanism of ridging in ferritic stainless steels． Trans ASM，1967，60( 1) : 37 ［3］ Itoh Y，Okajima T，Maede H，et al． Ｒefining of solidification structures of continuously cast type 430 stainless steel slabs by electromagnetic stirring． Trans Iron Steel Inst Jpn，1982，22( 3) : 223 ［4］ Takeuchi H，Mori H，Ikehara Y，et al． The effects of electromag￾netic stirring on solidification structure of continuously cast SUS430 stainless steel slabs． Trans Iron Steel Inst Jpn，1981，21( 2) : 109 ［5］ Saito Y，Goldbeck-Wood G，Müller-Krumbhaar H． Numerical simulation of dendritic growth． Phys Ｒev A，1988，38( 4) : 2148 ［6］ Juric D，Tryggvason G． A front-tracking method for dendritic so￾lidification． J Comput Phys，1996，123( 1) : 127 ［7］ Caginalp G，Fife P． Phase field methods for interfacial bounda￾ries． Phys Ｒev B，1986，33( 11) : 7792 ［8］ Kobayashi Ｒ． Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth． Phys D，1993，63( 3 /4) : 410 ［9］ Spittle J A，Brown S G． Computer simulation of the effects of alloy variables on the grain structures of castings． Acta Metall，1989， 37( 7) : 1803 · 123 ·

·322· 北京科技大学学报 第36卷 [10]Zhu PP,Smith R W.Dynamic simulation of crystal growth by 41(2):345 Monte Carlo method:I.Model description and kinetics.Acta 21]Martorano M A,Beckermann C,Gandin C A.A solutal interac- Metall Mater,1992,40(4):683 tion mechanism for the columnar-o-quiaxed transition in alloy [11]Gandin C A,Rappaz M.A coupled finite element-cellular au- solidification.Metall Mater Trans A,2003,34(8):1657 tomaton model for the prediction of dendritic grain structures in D2]Kurz W,Fisher D J.Fundamentals of Solidification.Switzer- solidification processes.Acta Metall Mater,1994,42(7):2233 land:Trans Tech Publications,1989 12] Gandin C A,Desbiolles J L,Rappaz M,et al.A three-dimen- 3]Miettinen J.Thermodynamic-kinetic simulation of constrained sional cellular automation finite element model for the prediction dendrite growth in steels.Metall Mater Trans B,2000,31 (2): of solidification grain structures.Metall Mater Trans A,1999,30 365 (12):3153 D4]Ishida H,Natsume Y,Ohsasa K.Numerical simulation of solidi- [13]Nastac L,Stefanescu D M.Macrotransport-solidification kinetics fication structure formation in high Mn steel casting using cellular modeling of equiaxed dendritic growth:Part I.Model develop- automaton method.ISIJ Int,2008,48(12):1728 ment and discussion.Metall Mater Trans A,1996,27 (12): [25]Cornelissen M C M.Mathematical model for solidification of mul- 4061 ticomponent alloys.Ironmaking Steelmaking,1986,13:204 [4]Nastac L,Stefanescu D M.Macrotransport-solidification kinetics 226]Kubicek P,Peprica T.Diffusion in molten metals and melts:ap- modeling of equiaxed dendritic growth:Part II.Computation plication to diffusion in molten iron.Int Met Rer,1983,28(3): problems and validation on INCONEL 718 superalloy castings 131 Metall Mater Trans A,1996,27(12)4075 227]Meng Y,Thomas B G.Heat-transfer and solidification model of [15]Yamazaki M,Natsume Y,Harada H,et al.Numerical simula- continuous slab casting:CONID.Metall Mater Trans B,2003, tion of solidification structure formation during continuous casting 34(5):685 in Fe-4.7mass%C alloy using cellular automaton method.IS/ 8]Okane T,Umeda T.Eutectic growth of unidirectionally solidified nt,2006,46(6):903 Fe-Cr-Ni alloy.IS//Int,1998,38(5):454 [16]Wang J,Wang F,Zhao Y,et al.Numerical simulation of 3D- 229]Pequet C,Gremaud M,Rappaz M.Modeling of microporosity, microstructures in solidification processes based on the CAFE macroporosity,and pipeshrinkage formation during the solidifica- method.Int J Miner Metall Mater,2009,16(6):640 tion of alloys using a mushy-one refinement method:applications [17]Wang J,Wang F,Li C,et al.Simulation of 3D microstructure in to aluminum alloys.Metall Mater Trans A,2002,33(7):2095 free-cutting steel 9SMn28 under water cooling condition with con- B0] Moustafa I M,Moustafa M A,Nofal AA.Carbide formation vection and porosity.ISIJ Int,2010,50(2)222 mechanism during solidification and annealing of 17%Cr-ferritic [8]Jing C,Xu Z,Wang Y,et al.Simulation on solidification strue- steel.Mater Lett,2000,42(6):371 ture of 72A tire cord steel billet using CAFE method.China B1]Wang J,Fu P,Liu H,et al.Shrinkage porosity criteria and opti- Foundry,2012,9(1):53 mized design of a 100-on 30Cr2 Ni MoV forging ingot.Mater [9]Hou Z,Jiang F,Cheng G.Solidification structure and compact- De,2012,35:446 ness degree of central equiaxed grain zone in continuous casting B2]Li W S,Shen H F,Liu B C.Three-dimensional simulation of billet using cellular automaton-finite element method.IS//Int, thermosolutal convection and macrosegregation in Steel Ingots 2012,52(7):1301 Steel Res Int,2010,81(11):994 0]Rappaz M,Gandin CA.Probabilistic modelling of mierostructure B3]Lan P,Zhang J.Study on the mechanical behaviors of grey iron formation in solidification processes.Acta Metall Mater,1993, mould by simulation and experiment.Mater Des,2014,53:822

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 ［10］ Zhu P P，Smith Ｒ W． Dynamic simulation of crystal growth by Monte Carlo method: Ⅰ． Model description and kinetics． Acta Metall Mater，1992，40( 4) : 683 ［11］ Gandin C A，Ｒappaz M． A coupled finite element-cellular au￾tomaton model for the prediction of dendritic grain structures in solidification processes． Acta Metall Mater，1994，42( 7) : 2233 ［12］ Gandin C A，Desbiolles J L，Ｒappaz M，et al． A three-dimen￾sional cellular automation finite element model for the prediction of solidification grain structures． Metall Mater Trans A，1999，30 ( 12) : 3153 ［13］ Nastac L，Stefanescu D M． Macrotransport-solidification kinetics modeling of equiaxed dendritic growth: Part Ⅰ． Model develop￾ment and discussion． Metall Mater Trans A，1996，27 ( 12 ) : 4061 ［14］ Nastac L，Stefanescu D M． Macrotransport-solidification kinetics modeling of equiaxed dendritic growth: Part Ⅱ． Computation problems and validation on INCONEL 718 superalloy castings． Metall Mater Trans A，1996，27( 12) : 4075 ［15］ Yamazaki M，Natsume Y，Harada H，et al． Numerical simula￾tion of solidification structure formation during continuous casting in Fe-0. 7mass% C alloy using cellular automaton method． ISIJ Int，2006，46( 6) : 903 ［16］ Wang J，Wang F，Zhao Y，et al． Numerical simulation of 3D￾microstructures in solidification processes based on the CAFE method． Int J Miner Metall Mater，2009，16( 6) : 640 ［17］ Wang J，Wang F，Li C，et al． Simulation of 3D microstructure in free-cutting steel 9SMn28 under water cooling condition with con￾vection and porosity． ISIJ Int，2010，50( 2) : 222 ［18］ Jing C，Xu Z，Wang Y，et al． Simulation on solidification struc￾ture of 72A tire cord steel billet using CAFE method． China Foundry，2012，9( 1) : 53 ［19］ Hou Z，Jiang F，Cheng G． Solidification structure and compact￾ness degree of central equiaxed grain zone in continuous casting billet using cellular automaton-finite element method． ISIJ Int， 2012，52( 7) : 1301 ［20］ Ｒappaz M，Gandin C A． Probabilistic modelling of microstructure formation in solidification processes． Acta Metall Mater，1993， 41( 2) : 345 ［21］ Martorano M A，Beckermann C，Gandin C A． A solutal interac￾tion mechanism for the columnar-to-equiaxed transition in alloy solidification． Metall Mater Trans A，2003，34( 8) : 1657 ［22］ Kurz W，Fisher D J． Fundamentals of Solidification． Switzer￾land: Trans Tech Publications，1989 ［23］ Miettinen J． Thermodynamic-kinetic simulation of constrained dendrite growth in steels． Metall Mater Trans B，2000，31( 2) : 365 ［24］ Ishida H，Natsume Y，Ohsasa K． Numerical simulation of solidi￾fication structure formation in high Mn steel casting using cellular automaton method． ISIJ Int，2008，48( 12) : 1728 ［25］ Cornelissen M C M． Mathematical model for solidification of mul￾ticomponent alloys． Ironmaking Steelmaking，1986，13: 204 ［26］ Kubícek P ˇ ，Pepˇ rica T． Diffusion in molten metals and melts: ap￾plication to diffusion in molten iron． Int Met Ｒev，1983，28( 3) : 131 ［27］ Meng Y，Thomas B G． Heat-transfer and solidification model of continuous slab casting: CON1D． Metall Mater Trans B，2003， 34( 5) : 685 ［28］ Okane T，Umeda T． Eutectic growth of unidirectionally solidified Fe-Cr-Ni alloy． ISIJ Int，1998，38( 5) : 454 ［29］ Pequet C，Gremaud M，Ｒappaz M． Modeling of microporosity， macroporosity，and pipe-shrinkage formation during the solidifica￾tion of alloys using a mushy-zone refinement method: applications to aluminum alloys． Metall Mater Trans A，2002，33( 7) : 2095 ［30］ Moustafa I M，Moustafa M A，Nofal A A． Carbide formation mechanism during solidification and annealing of 17% Cr-ferritic steel． Mater Lett，2000，42( 6) : 371 ［31］ Wang J，Fu P，Liu H，et al． Shrinkage porosity criteria and opti￾mized design of a 100-ton 30Cr2Ni4MoV forging ingot． Mater Des，2012，35: 446 ［32］ Li W S，Shen H F，Liu B C． Three-dimensional simulation of thermosolutal convection and macrosegregation in Steel Ingots． Steel Ｒes Int，2010，81( 11) : 994 ［33］ Lan P，Zhang J． Study on the mechanical behaviors of grey iron mould by simulation and experiment． Mater Des，2014，53: 822 · 223 ·