目录 第一讲 晶体学基础. 1 第二讲 晶体中的点线面 3 第三讲 晶体投影 第四讲 点对称操作. 第五讲 群论基础 11 第六讲 13 第七讲 分子点群 15 第八讲 晶体点群 第九讲 Bravais格子 1923 第十讲 非点对称操作 25 第十一讲三维空间群. 第十二讲 二维空间群 33 第十三讲国际空间群表. 35 习题与参考答案
目 录 第一讲 晶体学基础 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 第二讲 晶体中的点线面 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 第三讲 晶体投影 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 第四讲 点对称操作 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 第五讲 群论基础 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 第六讲 晶系 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 第七讲 分子点群 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 第八讲 晶体点群 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 第九讲 Bravais 格子 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 第十讲 非点对称操作 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25 第十一讲 三维空间群 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29 第十二讲 二维空间群 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 33 第十三讲 国际空间群表 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 习题与参考答案 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 37
第一讲 晶体学基础 1.物质结晶状态的特征：原子在空间中不随时间变化的、规则的三维周期性排列。 2.晶体(crystal)和晶态物质 (1)晶体：内部原子或分子呈周期性排列（长程有序）的固体物质。晶体的外部具 有规则的几何形状，内部原子具有周期性的排列结构。 (2)非晶体(amorphous solid):短程有序但长程无序的固体，玻璃体是典型的非 晶体，所以非晶态又称为玻璃态(glass)。 (3)液晶((liquid crystal):一维长程有序的液体，比晶体无序，比液体有序。 (4)准晶(quasicrystal):长程取向有序但不具有长程平移有序结构的固体，准晶 体具有的二十面体对称性中的五重转动轴和经典对称性点阵理论不相容，这种短程的 二十面体对称性禁止空间的周期性，但确定了一种特殊的空间准周期性，长程取向序仍 旧保留。 表1.1晶体与非晶体的比较 晶体 非晶体 自范性 有 各向异性 无 固定熔点 有 无 X射线衍射可看到分立的斑点或明锐的谱线不可看到分立的斑点或明锐的谱线 举例 NaCl、I、Cu等 玻璃、石蜡、沥青、橡胶等 *自范性：在适宜的条件下，晶体能够自发地呈现封闭的规则和凸面体外形的性质。 3.空间点阵(space lattice) 微观粒子具有多面体或其他“形状”对阐明几何学晶体学定律是非本质的，重要的 是这些粒子是按照三维空间的周期性规则排列的，因此可以从U几何上用最简单的三维 周期性的点的阵列表示，即空间点阵（图1.1），简称点阵(1 attice)。构成空间点阵的 几何点称为阵点(lattice point),或结点。空间点阵是一个抽象的几何概念，每一个阵 点具有完全相同的周围环境。 点阵中的具体内容称为结构基元(structural motif),简称基元(basis)。基元是周 期重复的最小单位。晶体结构即为点阵和基元的组合，即“晶体结构=点阵十基元”。 4.空间点阵的实验测定 存在空间，点阵的第一个直接的实验证明是Laue、Friedrich和Knipping在l9l2年
第一讲 晶体学基础 1. 物质结晶状态的特征：原子在空间中不随时间变化的、规则的三维周期性排列。 2. 晶体（crystal）和晶态物质 （1）晶体：内部原子或分子呈周期性排列（长程有序）的固体物质。晶体的外部具 有规则的几何形状，内部原子具有周期性的排列结构。 （2）非晶体（amorphous solid）：短程有序但长程无序的固体，玻璃体是典型的非 晶体，所以非晶态又称为玻璃态（glass）。 （3）液晶（liquid crystal）：一维长程有序的液体，比晶体无序，比液体有序。 （4）准晶（quasicrystal）：长程取向有序但不具有长程平移有序结构的固体，准晶 体具有的二十面体对称性中的五重转动轴和经典对称性点阵理论不相容，这种短程的 二十面体对称性禁止空间的周期性，但确定了一种特殊的空间准周期性，长程取向序仍 旧保留。 表 1.1 晶体与非晶体的比较 晶体 非晶体 自范性 * 有 无 各向异性 有 无 固定熔点 有 无 X 射线衍射 可看到分立的斑点或明锐的谱线 不可看到分立的斑点或明锐的谱线 举例 NaCl、I、Cu 等 玻璃、石蜡、沥青、橡胶等 * 自范性：在适宜的条件下，晶体能够自发地呈现封闭的规则和凸面体外形的性质。 3. 空间点阵（space lattice） 微观粒子具有多面体或其他“形状”对阐明几何学晶体学定律是非本质的，重要的 是这些粒子是按照三维空间的周期性规则排列的，因此可以从几何上用最简单的三维 周期性的点的阵列表示，即空间点阵（图 1.1），简称点阵（lattice）。构成空间点阵的 几何点称为阵点（lattice point），或结点。空间点阵是一个抽象的几何概念，每一个阵 点具有完全相同的周围环境。 点阵中的具体内容称为结构基元（structural motif），简称基元（basis）。基元是周 期重复的最小单位。晶体结构即为点阵和基元的组合，即“晶体结构 = 点阵 + 基元”。 4. 空间点阵的实验测定 存在空间点阵的第一个直接的实验证明是 Laue、Friedrich 和 Knipping 在 1912 年
-2 第一讲品体学基础 图1.1空间点阵 用X射线衍射得到的。目前，使用X射线结构分析、电子衍射、中子衍射和场离子显 微镜等方法均可以实现材料结构的测定。 5.晶胞(unit cell) 空间点阵可以看成一定形式的重复单元在空间无限重复而得，这种重复单元称为 单位晶胞，简称晶胞。一般地，重复单元的选取方式有无限种，且不一定是平行六面体 但通常选取平行六面体作为晶胞。 (1)简单晶胞(simple cell):只含有一个阵点的晶胞。 (2)复杂晶胞(multiple cell):含有一个以上阵点的晶胞。简单晶胞和复杂晶胞都 是单位晶胞。 (3)初基晶胞(primitive cell):晶胞的最小重复单元，又称原胞。二维点阵的原胞 是平行四边形，三维点阵的原胞是平行六面体。将原胞按照一定比例扩展可以得到相对 应的超胞(supercel)。 (4)惯用晶胞(conventional cel):是人们约定的能够反映点阵对称性特点的单位 它可能是点阵的一种原胞，也可能是非初基晶胞，但体积一定是原胞的整数倍。 (5)晶胞参数(cell parameters):a、b、c、a、y。 B 图1.2晶胞参数 (6)选取晶胞的一般原则： (a)尽可能选取高次轴为晶轴方向： (b)晶胞应尽可能反映出点阵的最高对称性： (©)独立的晶胞参数最少并尽可能使晶轴的夹角为直角； ()在满足上述原则的前提下尽可能选取体积最小的原胞
− 2 − 第一讲 晶体学基础 图 1.1 空间点阵 用 X 射线衍射得到的。目前，使用 X 射线结构分析、电子衍射、中子衍射和场离子显 微镜等方法均可以实现材料结构的测定。 5. 晶胞（unit cell） 空间点阵可以看成一定形式的重复单元在空间无限重复而得，这种重复单元称为 单位晶胞，简称晶胞。一般地，重复单元的选取方式有无限种，且不一定是平行六面体， 但通常选取平行六面体作为晶胞。 （1）简单晶胞（simple cell）：只含有一个阵点的晶胞。 （2）复杂晶胞（multiple cell）：含有一个以上阵点的晶胞。简单晶胞和复杂晶胞都 是单位晶胞。 （3）初基晶胞（primitive cell）：晶胞的最小重复单元，又称原胞。二维点阵的原胞 是平行四边形，三维点阵的原胞是平行六面体。将原胞按照一定比例扩展可以得到相对 应的超胞（supercell）。 （4）惯用晶胞（conventional cell）：是人们约定的能够反映点阵对称性特点的单位， 它可能是点阵的一种原胞，也可能是非初基晶胞，但体积一定是原胞的整数倍。 （5）晶胞参数（cell parameters）：a、b、c、α、β、γ。 图 1.2 晶胞参数 （6）选取晶胞的一般原则： （a）尽可能选取高次轴为晶轴方向； （b）晶胞应尽可能反映出点阵的最高对称性； （c）独立的晶胞参数最少并尽可能使晶轴的夹角为直角； （d）在满足上述原则的前提下尽可能选取体积最小的原胞
第二讲 晶体中的点线面 l.位置矢量(position vector)和结点指数(point index) 空间点阵中任意一个结点的位置矢量，简称为位矢，可以表示为 Rim.n.p ma+nb+pc (2.1) 其中，m、n、P当取原始晶胞为单位晶胞时为整数，当取复杂晶胞为单位晶胞时则为整 数或简单分数。结点的位置可以由m、n、p完全确定，称其为结点指数，记为mnp。 2.线指数(line index) (1)定义：经过原点的直线上的某结点为[uw】,、w的互质整数为u、" w,则用[uww表示这一结点的直线族，称其为线指数或方向指数。 (2)等同周期：在简单晶胞中，由线指数[u四可得到等同周期J为 J=Rvel lua+vb+wcl (2.2) 当单位晶胞为简单立方晶胞时， J=avu2+v2+w2 (2.3) 可见，指数越大，该方向的等同周期也越大。 复杂晶胞的等同指数要额外加一个因子。例如NaC的晶格中，由于面心也有结点， 110方向的J要加上因子号 3.面指数(plane index) 不过原点的平面在三个轴矢方向上的截距分别为m、n、P,它们的倒数的互质整 数为h、k、1,即 =h:k:1 (2.4) 则用(k)表示这一平面族，称其为面指数。若面于某一个坐标轴平行，则该轴对应的 截距为∞，对应的指数为0。例如，与c轴平行的面p=0,1=0。 4.晶带 (1)定义：所有平行于同一直线的晶面构成一个晶带，该直线称为该晶带的晶带轴。 (2)晶带定律：每一个晶面至少同时属于两个晶带。 (3)晶带方程：晶面(hk)与晶带[uwd满足 hu+kv+lw =0 (2.5) 称为晶带方程
第二讲 晶体中的点线面 1. 位置矢量（position vector）和结点指数（point index） 空间点阵中任意一个结点的位置矢量，简称为位矢，可以表示为 Rm,n,p = ma + nb + pc (2.1) 其中，m、n、p 当取原始晶胞为单位晶胞时为整数，当取复杂晶胞为单位晶胞时则为整 数或简单分数。结点的位置可以由 m、n、p 完全确定，称其为结点指数，记为 [[mnp]]。 2. 线指数（line index） （1）定义：经过原点的直线上的某结点为 [[u ′ v ′w ′ ]]，u ′、v ′、w ′ 的互质整数为 u、v、 w，则用 [uvw] 表示这一结点的直线族，称其为线指数或方向指数。 （2）等同周期：在简单晶胞中，由线指数 [uvw] 可得到等同周期 J 为 J = |Ruvw| = |ua + vb + wc| (2.2) 当单位晶胞为简单立方晶胞时， J = a √ u 2 + v 2 + w2 (2.3) 可见，指数越大，该方向的等同周期也越大。 复杂晶胞的等同指数要额外加一个因子。例如 NaCl 的晶格中，由于面心也有结点， [110] 方向的 J 要加上因子 1 2 。 3. 面指数（plane index） 不过原点的平面在三个轴矢方向上的截距分别为 m、n、p，它们的倒数的互质整 数为 h、k、l，即 1 m : 1 n : 1 p = h : k : l (2.4) 则用 (hkl) 表示这一平面族，称其为面指数。若面于某一个坐标轴平行，则该轴对应的 截距为 ∞，对应的指数为 0。例如，与 c 轴平行的面 p = ∞，l = 0。 4. 晶带 （1）定义：所有平行于同一直线的晶面构成一个晶带，该直线称为该晶带的晶带轴。 （2）晶带定律：每一个晶面至少同时属于两个晶带。 （3）晶带方程：晶面 (hkl) 与晶带 [uvw] 满足 hu + kv + lw = 0 (2.5) 称为晶带方程
二4 第二讲品体中的点线面 (4)晶带计算 (a)由两个不平行的晶带[u1心]和[u2求晶面(hk)。 h:k:I= .11.41 (2.6) 222 (b)由两个不平行的晶面(h1l)和(h2l2)求晶面uv四. u:v:w- k1 h t hh ke (2.7) k2 la 12 h2h2 k2 (c)两个品面(h1l)和(h222)在同一个晶带，若第三个品面(hgs)满足 h1&4 h2a2=0 (2.8) h3点la 则这三个晶面属于同一个晶带。 ()一个晶面上的两个晶带山心小和[u22],若第三个晶带[g】满足 西h1 422=0 (2.9) 则这三个晶带在同一个晶面上。 5.晶面间距 晶面的位向由法线表示，法线由余弦表示，即 h:k I=cosa cosB cos (2.10) cos2 a cos2 B+cos2=1 (2.11) 因此，晶面间距dk1满足 (2.12) =cos2 a cos2 B+cos2=1 (2.13) 通常情况下，晶面指数越大，晶面间距越小。 6.品面族 在晶体内部晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向的晶面可归为 同一晶面族，用{k}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。在一个 晶胞中属于某一晶面族的等效晶面数目称为该晶面族的多重性因子
− 4 − 第二讲 晶体中的点线面 （4）晶带计算 （a）由两个不平行的晶带 [u1v1w1] 和 [u2v2w2] 求晶面 (hkl)。 h : k : l = v1 w1 v2 w2 : w1 u1 w2 u2 : u1 v1 u2 v2 (2.6) （b）由两个不平行的晶面 (h1k1l1) 和 (h2k2l2) 求晶面 [uvw]。 u : v : w = k1 l1 k2 l2 : l1 h1 l2 h2 : h1 k1 h2 k2 (2.7) （c）两个晶面 (h1k1l1) 和 (h2k2l2) 在同一个晶带，若第三个晶面 (h3k3l3) 满足 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h3 k3 l3 = 0 (2.8) 则这三个晶面属于同一个晶带。 （d）一个晶面上的两个晶带 [u1v1w1] 和 [u2v2w2]，若第三个晶带 [u3v3w3] 满足 u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 = 0 (2.9) 则这三个晶带在同一个晶面上。 5. 晶面间距 晶面的位向由法线表示，法线由余弦表示，即 h : k : l = cos α : cos β : cos γ (2.10) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 (2.11) 因此，晶面间距 dhkl 满足 dhkl = a h cos α = b k cos β = c l cos γ (2.12) d 2 hkl h a !2 + k b !2 + l c !2 = cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 (2.13) 通常情况下，晶面指数越大，晶面间距越小。 6. 晶面族 在晶体内部晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向的晶面可归为 同一晶面族，用 {hkl} 表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。在一个 晶胞中属于某一晶面族的等效晶面数目称为该晶面族的多重性因子
第三讲 晶体投影 1.意义 (1)投影是研究晶体外形和结构的有用工具。 (2)极射赤面投影能清楚地表达晶体点群中对称要素的空间分布。 2.面角守恒定律：在相同温度和相同压力下，成分上和构造上均相同的同种晶体，其对 应晶面之间的夹角是守恒的 3.球面投影 (1)以晶体的中心为球心，任意合适长度为半径，作一个大圆球面包围整个晶体， 称为参考球或极球： (2)由球心引各个晶面的法线，对应每一晶面的一条发现和参考球相交一点，称为 极点； (3)任意二面角可以直接通过过该二晶面极点的大圆来度量。 4.极射赤面投影(stereographic projection) 以赤道平面为投影面，以南极S(或北极)为视点进行投影，投影面与参考球相 交成赤道大圆，称为基圆。S点和极点P交投影面于P点，即为极点P的极射赤面 投影。可以计算得到 0P=rtan (3.1) 100 1104 -/ 070 110 100 图3.1极射赤面投影 5.极式网和吴式网 极式网是将参考球上经纬线投影到赤道面上得到的图网，吴式网是一组倾斜大圆 和直立小圆投影得到的网图
第三讲 晶体投影 1. 意义 （1）投影是研究晶体外形和结构的有用工具。 （2）极射赤面投影能清楚地表达晶体点群中对称要素的空间分布。 2. 面角守恒定律：在相同温度和相同压力下，成分上和构造上均相同的同种晶体，其对 应晶面之间的夹角是守恒的。 3. 球面投影 （1）以晶体的中心为球心，任意合适长度为半径，作一个大圆球面包围整个晶体， 称为参考球或极球； （2）由球心引各个晶面的法线，对应每一晶面的一条发现和参考球相交一点，称为 极点； （3）任意二面角可以直接通过过该二晶面极点的大圆来度量。 4. 极射赤面投影（stereographic projection） 以赤道平面为投影面，以南极 S（或北极 N）为视点进行投影，投影面与参考球相 交成赤道大圆，称为基圆。S 点和极点 P 交投影面于 P ′ 点，即为极点 P 的极射赤面 投影。可以计算得到 OP′ = r tan α 2 (3.1) 图 3.1 极射赤面投影 5. 极式网和吴式网 极式网是将参考球上经纬线投影到赤道面上得到的图网，吴式网是一组倾斜大圆 和直立小圆投影得到的网图
-6 第三讲品体投影 180 120 150 图3.2极式网（左）和吴式网（右）
− 6 − 第三讲 晶体投影 图 3.2 极式网（左）和吴式网（右）
第四讲 点对称操作 1.对称操作和点对称操作 (1)对称操作：对分子或晶体使其各个原子的位置发生变换的操作，结果是使分子 或晶体的状态与操作前的状态相同。 (2)点对称操作：在操作过程中保持空间有一个点不动的对称操作。 2.对称元素和对称操作 表4.1对称元素和对称操作 对称元素符号对称元素基本对称操作符号 基本对称操作 E 恒等操作 旋转轴 绕C.轴逆时针旋转2π/m 对无 S:= 绕S。轴旋转2π/m,接着按垂直于轴的平面反映 n 反轴 n=ic 绕In轴旋转2r/n,接若按中心点反演 (1)旋转轴(Cn)】 旋转操作是将分子或品体绕通过其中心的轴旋转一定角度使分子复原的操作，其 元素为旋转轴，用Cn表示。能使物体复原的最小正旋转角称为基转角（α），Cn轴的 基转角α=2π/n,旋转角度按逆时针方向计算。和Cn轴相应的基本旋转操作为C 当连续进行相同的基本旋转操作时可分别记为 C2=CiC.C8 =CCiCh. (4.1) 所有体系都有无限个C1轴，又称恒等操作或主操作，用E表示，相当于乘法中的1。 对于分子等有限物体，Cm的轴次并不受限，n可以为任意正整数；但在晶体等具有长 程平移对称性的物体，则只有1、2、3、4、6次轴，证明如下。 考虑一个具有n次旋转轴的空间点阵，结点A上有一个基转角为α的旋转轴，根 据点阵的平移性，平移点B点也有一个基转角为α的旋转轴，A点和B点分别以彼 此为轴旋转得到C点和D点，可见AB=AD=BC。根据平移对称性，CD=nAB, 其中n为正整数。由于 CD=AB+2AB cos(-a)=AB(1-2cosa) (4.2) n=1-2c0s0 (4.3) cosa=12E-1,1] 2 (4.4)
第四讲 点对称操作 1. 对称操作和点对称操作 （1）对称操作：对分子或晶体使其各个原子的位置发生变换的操作，结果是使分子 或晶体的状态与操作前的状态相同。 （2）点对称操作：在操作过程中保持空间有一个点不动的对称操作。 2. 对称元素和对称操作 表 4.1 对称元素和对称操作 对称元素符号 对称元素 基本对称操作符号 基本对称操作 E — E 恒等操作 Cn 旋转轴 C1 n 绕 Cn 轴逆时针旋转 2π/n σ 镜面 σ 通过镜面反映 i 对称中心 i 按对称中心反演 Sn 映轴 S 1 n = σC1 n 绕 Sn 轴旋转 2π/n，接着按垂直于轴的平面反映 In 反轴 I 1 n = iC1 n 绕 In 轴旋转 2π/n，接着按中心点反演 （1）旋转轴（Cn） 旋转操作是将分子或晶体绕通过其中心的轴旋转一定角度使分子复原的操作，其 元素为旋转轴，用 Cn 表示。能使物体复原的最小正旋转角称为基转角（α），Cn 轴的 基转角 α = 2π/n，旋转角度按逆时针方向计算。和 Cn 轴相应的基本旋转操作为 C1 n， 当连续进行相同的基本旋转操作时可分别记为 C 2 n = C 1 nC 1 n , C 3 n = C 1 nC 1 nC 1 n , . . . (4.1) 所有体系都有无限个 C1 轴，又称恒等操作或主操作，用 E 表示，相当于乘法中的 1。 对于分子等有限物体，Cn 的轴次并不受限，n 可以为任意正整数；但在晶体等具有长 程平移对称性的物体，则只有 1、2、3、4、6 次轴，证明如下。 考虑一个具有 n 次旋转轴的空间点阵，结点 A 上有一个基转角为 α 的旋转轴，根 据点阵的平移性，平移点 B 点也有一个基转角为 α 的旋转轴，A 点和 B 点分别以彼 此为轴旋转得到 C 点和 D 点，可见 AB = AD = BC。根据平移对称性，CD = nAB， 其中 n 为正整数。由于 CD = AB + 2AB cos(π − α) = AB(1 − 2 cos α) (4.2) n = 1 − 2 cos α (4.3) cos α = 1 − n 2 ∈ [−1, 1] (4.4)
-8 第四讲点对称操作 符合该条件的n=3,2,1,0,-1,对应的a只能为2m,π，2x/3.元/2，π/3，即1、2、3、4、 6次轴。 Oc 图4.1对称定律的证明 在分子和晶体中轴次最高的旋转轴通常被视为主轴，其它旋转轴视为副轴。各种对 称操作都可以用矩阵的形式表示。一般地，C操作可以表示为 cos-sin=0） cosk-sink0 C= sim经cos0 sin2k cos2 0 (4.5) 0 0 0 0 此外，C的逆操作C和C-相等。 (2)镜面（a) 镜面是平分物体的平面，通过反映操作可以复原。反映操作是使分子中的每一点 都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。若镜面在xOy平面上， 则。用矩阵可以表示为 -100 (4.6) 连续进行两次反映操作相当于主操作，反映操作和它的逆操作相等。 g”= 了E,n为偶数 (4.7) o,n为奇数 根据镜面和旋转轴的位置关系，镜面共分为三种。与主轴垂直的镜面称为0，通 过主轴的镜面称为σ。，通过主轴且平分垂直于主轴的两个副轴的镜面称为4。通常情 况下，副轴均为C2轴。 图4.2三种镜面
− 8 − 第四讲 点对称操作 符合该条件的 n = 3, 2, 1, 0, −1，对应的 α 只能为 2π, π, 2π/3, π/2, π/3，即 1、2、3、4、 6 次轴。 图 4.1 对称定律的证明 在分子和晶体中轴次最高的旋转轴通常被视为主轴，其它旋转轴视为副轴。各种对 称操作都可以用矩阵的形式表示。一般地，Ck n 操作可以表示为 C k n = cos 2π n − sin 2π n 0 sin 2π n cos 2π n 0 0 0 1 k = cos 2π n k − sin 2π n k 0 sin 2π n k cos 2π n k 0 0 0 1 (4.5) 此外，Ck n 的逆操作 C−k n 和 Cn−k n 相等。 （2）镜面（σ） 镜面是平分物体的平面，通过反映操作可以复原。反映操作是使分子中的每一点 都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。若镜面在 xOy 平面上， 则 σ 用矩阵可以表示为 σ = −1 0 0 0 −1 0 0 0 1 (4.6) 连续进行两次反映操作相当于主操作，反映操作和它的逆操作相等。 σ n = E, n为偶数 σ, n为奇数 (4.7) 根据镜面和旋转轴的位置关系，镜面共分为三种。与主轴垂直的镜面称为 σh，通 过主轴的镜面称为 σv，通过主轴且平分垂直于主轴的两个副轴的镜面称为 σd。通常情 况下，副轴均为 C2 轴。 图 4.2 三种镜面
第四讲点对称操作 -9 (3)对称中心() 当物体有对称中心时，从分子中任一原子至对称中心连一直线并延长，必可在和 对称中心等距离的另一侧找到另一相同的原子。和对称中心相应的对称操作称为反演。 若对称中心在原点，反演操作可以表示为 -100 i= 0-10 (4.8) 00-1 连续进行两次反演操作相当于主操作，反演操作和它的逆操作相等。 E,n为偶数 (4.9) i,n为奇数 (4)映轴(Sn) 映轴Sn所对应的基本操作为S,绕Sn轴旋转2r/n,接着按垂直于轴的平面反映， 即S=σC,它是一个联合操作。S1等于镜面，S等于对称中心，S=C3+,S4 是独立的对称元素，S5=C+h,S6=C3+i 对于映轴Sn,当n为奇数时，Sm=Cn+oh,有2n个操作；当n为偶数且不为 4的倍数时，Sn=C/2+i,有n个操作；当n为4的倍数时，Sn是独立的对称元素 且Sm和Cn2同时存在。 图4.3S4操作 (5)反轴(1n】 映轴Sm所对应的基本操作为S绕1n轴旋转2π/m,接着按中心点反演，即 -C,它是一个联合操作。1等于对称中心，2等于镜面，-C3+i-S,4 是独立的对称元素，15=C+i=S10,16=C3+=S3。 对于反轴In,当n为奇数时，In=Cn+i,有n个操作；当n为偶数且不为4的 倍数时，In=Cn/2+o,有n个操作；当n为4的倍数时，In是独立的对称元素，且 In和Cn2同时存在。 3.对称元素的组合 (1)两个旋转轴的组合 交角为2π/2的两个C2轴相组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个C2轴 的Cn轴，而垂直于Cn轴通过交点的平面内必有n个C2轴。反之，由旋转轴Cn与
第四讲 点对称操作 − 9 − （3）对称中心（i） 当物体有对称中心 i 时，从分子中任一原子至对称中心连一直线并延长，必可在和 对称中心等距离的另一侧找到另一相同的原子。和对称中心相应的对称操作称为反演。 若对称中心在原点，反演操作 i 可以表示为 i = −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 (4.8) 连续进行两次反演操作相当于主操作，反演操作和它的逆操作相等。 i n = E, n为偶数 i, n为奇数 (4.9) （4）映轴（Sn） 映轴 Sn 所对应的基本操作为 S 1 n 绕 Sn 轴旋转 2π/n，接着按垂直于轴的平面反映， 即 S 1 n = σC1 n，它是一个联合操作。S1 等于镜面，S2 等于对称中心，S3 = C3 + σh，S4 是独立的对称元素，S5 = C5 + σh，S6 = C3 + i。 对于映轴 Sn，当 n 为奇数时，Sn = Cn + σh，有 2n 个操作；当 n 为偶数且不为 4 的倍数时，Sn = Cn/2 + i，有 n 个操作；当 n 为 4 的倍数时，Sn 是独立的对称元素， 且 Sn 和 Cn/2 同时存在。 图 4.3 S4 操作 （5）反轴（In） 映轴 Sn 所对应的基本操作为 S 1 n 绕 In 轴旋转 2π/n，接着按中心点反演，即 I 1 n = iC1 n，它是一个联合操作。I1 等于对称中心，I2 等于镜面，I3 = C3 + i = S6，I4 是独立的对称元素，I5 = C5 + i = S10，I6 = C3 + σ = S3。 对于反轴 In，当 n 为奇数时，In = Cn + i，有 n 个操作；当 n 为偶数且不为 4 的 倍数时，In = Cn/2 + σ，有 n 个操作；当 n 为 4 的倍数时，In 是独立的对称元素，且 In 和 Cn/2 同时存在。 3. 对称元素的组合 （1）两个旋转轴的组合 交角为 2π/2n 的两个 C2 轴相组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个 C2 轴 的 Cn 轴，而垂直于 Cn 轴通过交点的平面内必有 n 个 C2 轴。反之，由旋转轴 Cn 与