第十二讲空间群国际表与空间群
第十二讲 空间群国际表与空间群
空间群的命名（国际符号） 主轴方向 非主轴方向 布拉菲点阵符号 方向、顺序和 同态点群一致 主轴的垂直方向 非主轴方向的垂直方向 同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号
空间群的命名（国际符号） 主轴的垂直方向 主轴方向 布拉菲点阵符号 非主轴方向 非主轴方向的垂直方向 方向、顺序和 同态点群一致 同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号
特征方向 在国际符号中的位置 晶系 2 3 三斜 只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或z沿a 2或2沿b 2或z沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或沿a±b 三方 3或3沿c 2或z沿a、b和a+b 2或2⊥a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或z沿a、b和a+b 2或z⊥a、b和a+b 立方 4、4、2或2 2或2沿 沿 3或3沿 保持晶系不变，加对称轴和（或)对称面，得到晶体学，点群
晶系 对称素及其排列 举例 三斜 P1 PI 单斜 主轴、垂直于主轴的对称面 P2 Pb C2/m 正交 三个方向依次排列 Pmma Pba2 C222 主轴、垂直于基面边的对称面或平行 四方 于基面边的对称轴、垂直于对角线的 P4,/mcm 14 对称面或平行于对角线的对称轴 三角 同上 六角 同上 立方 坐标轴方向、体对角线方向、基面对 角线方向 Fm3m P432 1→高次n→高次n→高次n。 原点选取顺序： 滑移面-2，←-m←-2
晶系 对称素及其排列 举例 三斜 单斜 主轴、垂直于主轴的对称面 正交 三个方向依次排列 四方 主轴、垂直于基面边的对称面或平行 于基面边的对称轴、垂直于对角线的 对称面或平行于对角线的对称轴 三角 同上 六角 同上 立方 坐标轴方向、体对角线方向、基面对 角线方向 P1 P1 P2 Pb C2 / m Pmma Pba2 C222 P42 / mcm 41 I Fm3m P432 原点选取顺序： 1 → 高次n → 高次n → 高次→ nq 滑移面← 21 ← m ← 2
去除了非本征转动中的平移分量，所有变换都化成了 本征转动： 61 平移 T->e 21→2 62 螺旋 ng>n◆ 3 4 6 6 a 43 6 65 得到一个同态点群，该点群 决定此空间群的晶系归属
去除了非本征转动中的平移分量，所有变换都化成了 本征转动： T e nq n 21 31 41 32 42 43 61 62 63 64 65 2 3 4 6 a b c n d m 得到一个同态点群，该点群 决定此空间群的晶系归属。 平移 螺旋
空间群国际符号告诉我们什么？ 可以由空间群的国际符号确定空间群的同态点群 > 由同态点群确定所在晶系、特征方向及特征对称要素 > 由空间群第一个大写字母和晶系确定平移群（布拉菲点阵） 由符号中是否包含螺旋轴和滑移面确定是点式空间群还是非点 式空间群 > 推出一个晶胞内的全部对称要素和一般等效点系 般来说，对于给定的一组等效位置， 等效位置数乘以 位置对称性点群的阶等于空间群点群的阶
可以由空间群的国际符号确定空间群的同态点群 由同态点群确定所在晶系、特征方向及特征对称要素 由空间群第一个大写字母和晶系确定平移群（布拉菲点阵） 由符号中是否包含螺旋轴和滑移面确定是点式空间群还是非点 式空间群 推出一个晶胞内的全部对称要素和一般等效点系 空间群国际符号告诉我们什么？ 一般来说，对于给定的一组等效位置，等效位置数乘以 位置对称性点群的阶等于空间群点群的阶
C222 D 222 Orthorhombic No.21 C222 Patterson symmetry Cmmm C222 B222 C心投影在ab面 A222 投影在ab面 88 88 +O -0 O+ +00 +O- -00+ -0 O 投影在bc面
C心投影在ab面 投影在ab面 投影在bc面
Origin at 222 Asymmetric unit 0≤x≤0≤y≤；0≤z≤1 Symmetry operations For (0,0,0)+set (1)1 (2)20,0,z (3)20,y,0 (4)2x,0,0 For(,0)+set (1)t(3,0) (2)2,2 (3)2(0,0),y,0 (4)2(,0,0)x,0 螺旋轴的平移分量 不对称单位：是当应用全部空间群的对称 操作（平移+点对称操作）后可以填充整个 空间的最小空间区域。在结晶学里，不 对称单位以包含一个原子或一组原子( 或分子)
螺旋轴的平移分量 不对称单位：是当应用全部空间群的对称 操作(平移+点对称操作) 后可以填充整个 空间的最小空间区域。 在结晶学里，不 对称单 位以包含一个原子或一组原子（ 或分子）
CONTINUED No.21 C222 Generators selected(1):t(1,0,0:t(0,l,0:t(0,0,1):1(3,0):(2;(3) Positions Multiplicity. Coordinates Reflection conditions Wyckoff letter. Site symmetry (0,0,0)+(,0)+ General: (1)x,y,z (2)元，z (3)元，八，元 (4)x,V,5 hkl h+k=2n hk0:h+k=2n 0k1:k=2n 00:h=2n 般位置等价点系 hol h=2n 0k0:k=2n 特殊位置等价点系 Special:as above,plus ,2 ,2 hko:h=2n .2 0,2 0,克，2 no extra conditions 2 0,0,3 0,0,乏 no extra conditions 4 h .2. 0,y 0,正 no extra conditions 48 2 0y0 0,0 no extra conditions 2. x,0 元，0,1 C222 点群： 222,h=4 no extra conditions 4 e 2 x,0,0 元，0,0 格子阵点数：n=2(C) no extra conditions 2 d 222 0,0, h'=4×2=8 no extra conditions C222 2 c 222 ,0, 点群222位置的点hie=4 no extra conditions 2 b 222 0,0 n。=8/4=2 no extra conditions 222 00.0 点系对称性等于点群的对称性 no extra conditions
一般位置等价点系 特殊位置等价点系 点系对称性等于点群的对称性
Vyckoff位置(Wyckoff Positions.) 用来表示晶胞中等价原子的对称性。包括 多重度(Multiplicity) 字母Wyckoff Letter), 位置的对称性(Site Symmetry) 该位置的分数坐标。 Wyckoff-字母：一般由a开始，b、c、d、.一直到最大的字母，如“1a2b3c 16f.”。 一般位置：最大的一个字母所代表的那个位置上的多重度最大。这些位置 上如果有原子，那么就会由对称操作转出最多数目的其他等价原子。 特殊位置：其他多重度小的位置用较小序号的字母表示，这些位置往往是 对称要素所在的位置（其分数坐标的一个或多个分量是特定值）
用来表示晶胞中等价原子的对称性。包括 多重度(Multiplicity) 字母(Wyckoff Letter), 位置的对称性(Site Symmetry) 该位置的分数坐标。 Wyckoff字母：一般由a开始，b、c、d、.一直到最大的字母，如“1a 2b 3c 16f.”。 一般位置：最大的一个字母所代表的那个位置上的多重度最大。这些位置 上如果有原子，那么就会由对称操作转出最多数目的其他等价原子。 特殊位置：其他多重度小的位置用较小序号的字母表示，这些位置往往是 对称要素所在的位置(其分数坐标的一个或多个分量是特定值)。 Wyckoff位置（Wyckoff Positions）