第一章 第四予乘波公式 条件概率 二、乘法公式 三、独立性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 二 、乘法公式 三 、独立性 一、条件概率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 乘法公式
条件概率 条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念。所考虑的 是在事件B已发生的条件下事件A发生的概率。先看下面的例子。 例1:考虑掷一颗骰子的试验。 基础条件:骰子必须为均匀的正六面体投掷要有足够的高度。 这些不作为附加条件。样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。考虑 个事件:A={掷出素数点}B={掷出奇数点}C={掷出偶数点}, 则有A={2,3,5},B={1,3,5},C={2,4,6}。事件A发生的(无条 件)的概率为P(A)=3/6-=12。现若附加上“已知事件B发生”, 有了这一信息,即知“2”、“4”、“6”不可能发生,即试验 结果所组成的集合就是B。B中共有3个元素,其中只有 HIGH EDUCATION PRESS 刘徽目录上页下页返回结束
件)的概率为P(A)=3/6=1/2。现若附加上“已知事件B发生”, 一 、条件概率 条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念。所考虑的 是在事件B已发生的条件下事件A发生的概率。先看下面的例子。 基础条件:骰子必须为均匀的正六面体,投掷要有足够的高度。 这些不作为附加条件。样本空间为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。考虑 三个事件:A={掷出素数点},B={掷出奇数点},C={掷出偶数点}, 则有A={2,3,5}， B={1,3,5} ，C={2,4,6}。事件A发生的(无条 有了这一信息，即知“2” ﹑“4”﹑ “6”不可能发生，即试验 例1 : 考虑掷一颗骰子的试验。 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 结果所组成的集合就是B。B中共有3个元素，其中只有
“3”、“5”有利于事件A发生。于是,在B发生的条件下A发生 的概率为P(4B)=2/3.同样可得:P(∠()=13 定义1:在事件B发生的前提下事件A发生的概率称为条件概率 定理1:在事件B发生的前提下,事件A发生的条件概率等于事件 A与B同时发生的概率与事件B发生的概率之比(P(B>0),即 P(4B)= P(AB) P(B) 证明:按古典概型证明如下: B 设试验的样本空间S包含n个等概基本事S 件,而事件A,B,AB分别包含其中的m4个,m2个,m4B个基本 事件。当事件B发生时,样本空间由n个缩减为m个等概基本 事件组。此时,若事件A要发生就只能是m2个等概基本事件中 HIGH EDUCATION PRESS
“3” ﹑“5”有利于事件A发生。于是，在B发生的条件下A发生 的概率为 同样可得： 定理1 : 在事件B发生的前提下,事件A发生的条件概率等于事件 A与B同时发生的概率与事件B发生的概率之比（P(B)>0),即 证明: 按古典概型证明如下： 事件。当事件B发生时，样本空间由n个缩减为mB个等概基本 事件组。此时，若事件A要发生就只能是mB个等概基本事件中 定义1: 在事件B发生的前提下事件A发生的概率称为条件概率. B A 设试验的样本空间S包含n个等概基本事 S 件，而事件A，B，AB分别包含其中的mA 个, mB个，mAB个基本
属于A的那一部分基本事件发生,即仅有mAB个 于是得: P(4B) AB AB n P(AB) B B/1 P(B) 般计算条件概率有两种方法 1直接用条件概率的定义利用等概基本事件的个数 来进行计算(缩小(扩大)样本空间)。 2利用定理1的公式进行计算。 HIGH EDUCATION PRESS
属于A的那一部分基本事件发生，即仅有mAB个。 一般计算条件概率有两种方法: 1.直接用条件概率的定义,利用等概基本事件的个数 来进行计算(缩小（扩大）样本空间)。 2.利用定理1的公式进行计算。 于是得：
例2:在美国某大学高血压研究中心就诊的306名末端器 损害的高血压病人,按严重程度和有无心绞痛分类,各组 病人数如下表。求一名重型病人无心绞痛的概率? 轻型至中型重型 合计 有心绞痛史 18 7 25 无心绞痛史 243 38 281 合计 261 45 306 解法一:设A={无心绞痛史},B={重型患者}。由于事件 B已经发生,即他肯定属于45个重型病人中的一个,在这 45个重型的病人中,无心绞痛史占38人,所以 P(C4B)=38/45 解法二:根据数据表易得P(B)=45306,P(AB)=38/306则 (AB)、PAB)_38/30638 P P(B)45/30645 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2: 在美国某大学高血压研究中心就诊的306名末端器 解法一：设A={无心绞痛史}，B={重型患者}。由于事件 B已经发生，即他肯定属于45个重型病人中的一个，在这 45个重型的病人中，无心绞痛史占38人，所以 P(B)=45/306 , P(AB)=38/306则 . 45 38 = ( ) ( ) ( ) P B P AB P A B = 45/ 306 38/ 306 = 解法二：根据数据表易得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 损害的高血压病人，按严重程度和有无心绞痛分类，各组 病人数如下表。求一名重型病人无心绞痛的概率？ 轻型至中型 重型 合计 有心绞痛史 18 7 25 无心绞痛史 243 38 281 合计 261 45 306
例3:人活到不同年龄段的死亡率(%)如下: 年龄段|~10~20~30~40-5060~7080 80 死亡率3.230651.211.844319.69182127,283358 试求一个60岁的人在70岁前死亡的概率。 解:这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。 因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是 60岁以后死亡,所以一个活到60岁的人在70岁前死亡的概率 就是在60岁以后死亡的前提条件下,70岁前死亡的概率。 设B=(60岁以后死亡},A={70岁前死亡}。则 P(B)=01821+0.2728+0.3358=0.7907, 而在60岁至70岁之间死亡(AB)的概率为P(AB)=01821。所以 P(AB) P(AB)0.1821 =0.2303 P(B)0.7907 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3 : 人活到不同年龄段的死亡率(%)如下: 试求一个60岁的人在70岁前死亡的概率。 解: 这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。 因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是 60岁以后死亡，所以一个活到60岁的人在70岁前死亡的概率 就是在60岁以后死亡的前提条件下，70岁前死亡的概率。 设B={60岁以后死亡}，A={70岁前死亡}。则 P(B)=0.1821+0.2728+0.3358=0.7907, 而在60岁至70岁之间死亡(AB)的概率为P(AB)=0.1821。所以 ( ) ( ) ( ) P B P AB P A B = 0.2303 0.7907 0.1821 = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 年龄段 ~10 ~20 ~30 ~40 ~50 ~60 ~70 ~80 >80 死亡率 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58
二、乘法公式 由条件概率的定义,立即可以得到乘法公式: P(AB)=P(A)P(BA)(P(4)>0) P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) 乘法公式可以推广: 设A1,A2,…,A1,为n个事件,n≥2 且P(442…41)>0,则有 P(42…A)=P(4)P(AA) P(A1AA2…A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 乘法公式 由条件概率的定义，立即可以得到乘法公式： P(AB) = P(A)P(B A) P(AB) = P(B)P(AB) ( P(B) 0） 乘法公式可以推广： 设 A A An , , , 1 2 为 n 个事件， 且 ( ) 0 , P A1 A2 An 则有 ( ) P A1 A2 An ( ) 2 1 P A A n 2, ( ) P An A1 A2 An−1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4:设袋中装有r只红球t只白球每次自袋中任取 一只球,观察其颜色后放回并再放入a只与所取出的 那只球同色的球。若在袋中连续取球四次试求第 次第二次取到红球且第三次第四次取到白球的概率。 解:以A(i=12,3,4)表示事件“第次取到红球 则A3,A4 分别表示事件第三、四次取到白球。所求概率为 P(AA2AA)=P(4)P(1|4)P(442)P(4444 r+a t+a r+t r+tta r+t+2a r+t+3a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4 :设袋中装有r只红球,t只白球,每次自袋中任取 一只球，观察其颜色后放回,并再放入a只与所取出的 解：以Ai (i = 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球” 则 A3 , A4 分别表示事件第三﹑四次取到白球。所求概率为 + = r t r + + + r t a r a r t a t a r t a t 2 + + 3 + + + ( ) ( 3 ) 1 2 4 2 1 P A3 A A P A A A A 那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一 机动 目录 上页 下页 返回 结束 次,第二次取到红球且第三次,第四次取到白球的概率
例5:设甲盒中装有m只黑球乙盒中装有m只白球, 从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地 地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换 求m次交换后,甲中有m只白球的概率 解:令A={经过m次交换后甲中有m个白球 Ak={在第k次交换中从乙中取出一个白球放入甲中 然后从甲中取出一个黑球放入乙中},k=1,2 ●●●号 则 P(A)=P(A42…An)=P(4)P(41A1)P(4144)…P(Am|A1,42…4m1 mm(m-1)(m-1)(m-2)(m-2)11 m(m+ m(+1 m(m+1)m(m+1) m1"(m+1) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5: 设甲盒中装有m只黑球,乙盒中装有m只白球, 地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换. 解: 令 A={经过m 次交换后,甲中有m 个白球} , {在第k 次交换中,从乙中取出一个白球放入甲中, 然后从甲中取出一个黑球放入乙中}, k =1,2, …,m , 则 ( +1) = m m mm ( ) ( ) P A = P A1 A2 Am 从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地 求 m 次交换后,甲中有m只白球的概率. ( 1) 1 1 ( 1) ( 2)( 2) + + − − m m m m m m m m m m m ( 1) ! 2 + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、独立性 设A,B是试验E的两事件,若P(A)>0,可定义P(B|A)。 般,A的发生对B发生的概率是有影响的(如例1), 这时P(B4)≠P(B) 只有在这种影响不存在时才会有P(B|A)=P(B)。 定义:如果事件A发生与否不影响事件B的发生,即P(B|A) =P(B)且P(A)>0,则称事件B独立于事件A。 注意:两事件独立总是相互的。因为P(BA)=P(B), P(AB) P(A)P(BA=P( 则P(AB)=P(B) P(B) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、独立性 设A，B是试验E的两事件，若P(A)>0，可定义P(B︱A) 。 一般，A的发生对B发生的概率是有影响的（如例1）， 这时 P(B A) P(B) , 只有在这种影响不存在时才会有P (B︱A)= P (B) 。 定义 : 如果事件A 发生与否不影响事件B 的发生,即 P ( B | A ) = P ( B )且P ( A ) > 0,则称事件B 独立于事件 A。 注意：两事件独立总是相互的。因为 P(B A) = P(B) , 则 ( ) ( ) ( ) P B P AB P A B = ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P A P B A = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束