第二章 连续型随机变量画数的分布 离散型 连续型 HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束
一、离散型 二、连续型 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续型随机变量函数的分布 第二章
在实际中,我们常常对某些随机变量的函数更感兴趣。如 在一些试验中所关心的随机变量往往不能直接测量得到而 它却是某个能直接测量的随机变量的函数。例如我们能测量 圆轴截面的直径d,而关心的却是截面面积A=xd2/4 因此掌握从已知简单随机变量X的分布去求其函数Y=g(X分布 方法是十分有用的。 (1)如果X是离散型随机变量,它的概率分布为 P{X=x}=p,(=1,2,…) 则Y=g(X)仍是离散型随机变量,它的概率分布为 Pr=g(x)=p 如果不同的x有相同的g(x),则Y=g(x,)的概率 应把有相同g(x1)的p相加。 学 HIGH EDUCATION PRESS O6-
在实际中,我们常常对某些随机变量的函数更感兴趣。如, 在一些试验中,所关心的随机变量往往不能直接测量得到,而 因此,掌握从已知简单随机变量X的分布去求其函数Y=g(X)分布 P{X x } p (i 1, 2,) i i 则Y g(X )仍是离散型随机变量,它的概率分布为 i pi P{Y g(x )} 如果不同的 xi 有相同的g(xi)，则Y g(xi)的概率 应把有相同g(xi)的 pi 相加。 / 4. 2 圆轴截面的直径d,而关心的却是截面面积 A d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它却是某个能直接测量的随机变量的函数。例如我们能测量 方法是十分有用的。 （1）如果X是离散型随机变量,它的概率分布为
例1:设X具有以下的分布律,试求F=(X-1)2的分布律 0 P 0.2 0.3 0.1 0.4 解:Y的所有可能取的值为0,1,4。由 P{Y=0}=P(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1 P{Y=1}=P{(X-1)2=1}=P(X=0}+P{X=2}=0.7 P{Y=4}=P{(X-1)2=4}=P{X=-1}=0.2 即得Y的分布律为y014 p0.10.702 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例1:设X具有以下的分布律,试求Y =(X -1) 2的分布律。 解: Y的所有可能取的值为0，1，4。由 { 0} {( 1) 0} { 1} 0.1 2 P Y P X P X 即得Y的分布律为 { 1} {( 1) 1} { 0} { 2} 0.7 2 P Y P X P X P X { 4} {( 1) 4} { 1} 0.2 2 P Y P X P X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 0.1 0.7 0.2 0 1 4 p Y
(2)如果X是连续型随机变量X有密度函数(x) 般当g()是连续可导函数时,则Y=g(X)仍是连续型 随机变量此时Y的分布函数为 Fr()=P(<yi=PXeBr)= f(x)dx 即By={xg(x)≤y} 是X值域上的一个集合,它通常是区间或者区间 的并集。而Y的密度函数为: f(sd Fu HIGH EDUCATION PRESS
F ( y) Y P{Y y} { } P X BY BY f (x)dx 一般当g(·)是连续可导函数时,则Y=g(X)仍是连续型 随机变量.此时Y的分布函数为 即 B {x g(x) y} Y 是X值域上的一个集合,它通常是区间或者区间 的并集。而 Y的密度函数为: f ( y) F( y) . dy d （2）如果X是连续型随机变量,X有密度函数f(x)
例2:设随机变量X具有概率密度 f(=/80<x<4 10其它 求随机变量Y=2X+8的概率密度。 解:先求F(y)F(y)=P{Y≤y P2X+8≤y=PHs少~8 =门 8 f(x)dx 2 关于y求导数,得到Y=2X+8的概率密度 4 f(y)=182 8<y<16 32 其它 其它 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 : 设随机变量X具有概率密度 0 其它 / 8 0 4 ( ) x x f x X 求随机变量Y=2X+8的概率密度。 解: 先求 F ( y) Y F ( y) P{Y y} Y P{2X 8 y} 2 y 8 P X 2 8 ( ) y f X x dx 关于y求导数，得到Y=2X+8的概率密度 fY ( y) 4 2 8 0 2 1 2 8 8 1 y y 0 其它 0 其它 8 16 32 8 y y
例3:设XN(0,1),求F=X2的概率密度。 解:从y=x2的函数图形可以看出,当y>0时,Ysy等价于 0 y≤0 此时称Y服从自由度为的x2分布 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例3: 设X~N(0,1),求 Y=X 2 的概率密度。 解：从 y = x 2的函数图形可以看出，当y>0时，Y≤y等价于 y X y . F ( y) P{Y y} Y P{ y X y} y y f X (x)dx Y的概率密度为f ( y) F ( y) Y Y f y y f y y X X ( ) / 2 ( ) / 2 y e y 1 2 1 2 2 2 1 2 1 y y e 当y≤0时， “ Y = X 2 ≤ y ”是不可能事件，所以 fY (y)=0 ， fY ( y) 0 0 0 2 1 2 2 1 y y e y y 1 . 此时称Y 服从自由度为 的 2 分布 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这样, Y=X 2 的概率密度为
定理设随机变量X具有概率密度函数∫x(x),-00(或恒有g(x)0,此时g(x)在(-∞,∞)严格单调增加,它的 反函数h()存在,且在(,β严格单调增加,可导。分别记X, F的分布函数为F(x),Fyy) 因为Fg(X在(,阝)上取值,故当ya时Fy()=PYsy}=0 当y少β时,F()=P{Ysy}=1 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
定理:设随机变量X具有概率密度函数 f X (x) , x 则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度函数为 0 其它 [ ( )] ( ) ( ) f h y h y y f y X Y 其中 g (x) 0 (或恒有 g (x) 0) min(g(), g()), max(g(), g()), h( y ) 是 g( x ) 的反函数。 证：只证 g ’(x)>0 , 此时g(x)在(-∞, ∞)严格单调增加，它的 反函数h(y)存在，且在(α , β)严格单调增加，可导。分别记X， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又设函数g(x)处处可导恒有 Y的分布函数为FX(x) , FY (y)。 因为Y=g(X)在(α , β)上取值，故当y≤ α 时FY (y)=P{Y ≤y}=0 当y≥ β 时， FY (y)=P{Y ≤y}=1
当a0(或恒有g(x)<0), 此时a=min{g(a),g(b)},B=max{g(a),g(b)} 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
当 y 时, F ( y) P{Y y} Y P{g(X ) y} P{X h( y)} F [h( y)] X 将FY (y)关于y 求导数，即得Y 的概率密度函数 0 其它 [ ( )] ( ) ( ) f h y h y y f y X Y 对于g (x) 0的情况可以同样地证明,此时有 0 其它 [ ( )] [ ( )] ( ) f h y h y y f y X Y 合并上面两式即得所证。 g (x) 0(或恒有g (x) 0), 此时 min{g(a), g(b)}, max{g(a), g(b)}. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若f(x)在有限区间[a,b]以外为零，则只需假设在[a,b]上恒有
例4:设随机变量X~N(μ,2.试证明X的线性函数Y=aX+b(a不 等于零)也服从正态分布 解:X的概率密度为fx(x)= <x<O0 √2 兀O 现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得x=h(y) 且有h(y) 由公式得Y=aX+b的概率密度为 b fy(=uif 00<y<0 fy(y) al√2 y-(a+b)]2 √2z(aa) o0<y<0 即有Y=a￥+b~N(a+b,(a) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
例4:设随机变量X~N(μ,σ2).试证明X的线性函数Y=aX+b (a不 等于零)也服从正态分布. 解: X 的概率密度为 , . 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) f x e x x X a y b x h y ( ) a h y 1 且有 ( ) 由公式得 Y = a X + b 的概率密度为 , . 1 ( ) y a y b f a f y Y X 即 2 2 2 2 1 1 ( ) a y b Y e a f y , . 2 ( ) 1 2 2 2( ) [ ( )] e y a a y a b 即有 ~ ( ,( ) ) . 2 Y aX b N a b a 现在 y g(x) ax b,由这一式子解得 机动 目录 上页 下页 返回 结束