《概率论数理统计》课程PPT教学课件：第二章 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布 离散型随机变量 随机变量连续型随机变量 混合型随机变量

第二章 离散型随机变量 连续型随机变量 混合型随机变量 随机变量及其分布 随机变量

第一节 第二章 随机变量 概率统计是从数量上来研究随机现象统计规律的,为了便于 数学上的推导和计算,必须把随机事件数量化,由于随机因素 的影响,使试验出现各种不同的结果,因而用来描述随机事件 量也随着以偶然的方式取不同的值,当把一个随机试验的不同 结果用一个变量来表示时,便得到随机变量。 引入随机变量之后,使我们有可能利用数学分析 的方法来研究随机试验。随机变量是研究随机试验 的有效工具。 HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束

第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量 第二章 概率统计是从数量上来研究随机现象统计规律的，为了便于 数学上的推导和计算，必须把随机事件数量化，由于随机因素 的影响，使试验出现各种不同的结果，因而用来描述随机事件 量也随着以偶然的方式取不同的值，当把一个随机试验的不同 结果用一个变量来表示时，便得到随机变量。 引入随机变量之后，使我们有可能利用数学分析 的方法来研究随机试验。随机变量是研究随机试验 的有效工具

在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结果本身,而是 对于试验结果联系着的某个数感兴趣。这个数我们称之为随机 变量。即随机变量就是“其值随机会而定”的变量,正如随机事 伟“其发生与否随机会而定”的事件。机会表现为试验结果 因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数。 例1:在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球在袋中任取 球放回,再取一只球记录它们的编号 3 我们对抽出的两只球的号码之和感兴趣 456 而不关心各只球的号码试验的样本空间 345 S={e}=(i,m},i,j=,2,3这里i,分别表234 示第一、第二次取到的球的号码。以X 123i 记两球号码之和,对于每一样本点e,X都有一个值与之对应。 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页 结束

在随机试验完成时，人们常常不是关心试验结果本身，而是 对于试验结果联系着的某个数感兴趣。这个数我们称之为随机 例1: 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球.在袋中任取一 i  1 j 变量。即随机变量就是“其值随机会而定”的变量,正如随机事 件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是“其发生与否随机会而定”的事件。机会表现为试验结果。 因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数。 2 3 4 5 6         1 2 2 3 3 3 4 4 5 球,放回,再取一只球,记录它们的编号. 我们对抽出的两只球的号码之和感兴趣 而不关心各只球的号码.试验的样本空间 S={e}={(i , j)}, i , j = 1,2,3.这里 i , j 分别表 示第一、第二次取到的球的号码。以X 记两球号码之和，对于每一样本点e ， X 都有一个值与之对应

例2:将一枚硬币抛掷3次观察正面H、反面T出现的情况。 其样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HT,THT,TTH,TT} 通常我们感兴趣的是三次投掷中,出现H的总次数,而对H,T 出现的顺序不关心。比如,我们仅关心出现H的总次数为2,而 不在乎出现的是“HHT”,”HTH还是“THH”。以X记三次投掷 串现H的总次数,那么,对于样本空间(中的每一个样本点, X都有一个值与之对应。即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值322 10 在例1、例2中X是一个实数,它的值依赖于样本点。因而 X是一个函数,它的定义域是样本空间S。我们有以下定义 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束

例2 ：将一枚硬币抛掷3次观察正面H﹑反面T出现的情况。 其样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。 通常我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H , T 在例1﹑例2中X是一个实数，它的值依赖于样本点。因而 X是一个函数，它的定义域是样本空间S。我们有以下定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 出现的顺序不关心。比如，我们仅关心出现H的总次数为2，而 不在乎出现的是“HHT” , ”HTH”还是“THH” 。以X记三次投掷 中出现H的总次数，那么，对于样本空间S={e}中的每一个样本点， X都有一个值与之对应。即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0

定义:设随机试验的样本空间为S={e},X=X(e)是定义在 样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 由定义知,随机变量的取值既具有可变性,同时随机变量的 取值又依赖于试验结果,而试验结果的出现具有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的概率。 例如,在例2中X取值为2, 记成{X=2},对应于样本点的 集合A={HHT,HTH,THH}, 这是一个事件,当且仅当事件S A发生时有{X=2}。我们称概率P(A=P{HHT,HTH,THH 为{X=2}的概率,即P{X=2}=P(A)=3/8。 随机变量既有取值的可变性,又具有取值的随机性。 这种双重性正是随机变量与普通变量(函数的本质区别。 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束

由定义知，随机变量的取值既具有可变性，同时随机变量的 定义 : 设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在 样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 取值又依赖于试验结果，而试验结果的出现具有一定的概率， 因而随机变量的取值有一定的概率。 例如，在例2中X取值为2， 集合A={HHT，HTH，THH}， A发生时有{X=2}。我们称概率P(A)=P{HHT,HTH,THH} 随机变量既有取值的可变性,又具有取值的随机性。 记成{X=2}，对应于样本点的 这是一个事件，当且仅当事件 为{X=2}的概率，即P{X=2}=P(A)=3/8。 这种双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 e 2 e 3 e  4 e  1 x 2 x 3 x 4 x X S

第二节 第二章 随机变量 超几何分布 二、二项分布(两点分布、退化分布) 三、泊松分布 四、几何分布 五六 HIGH EDUCATION PRESS

第二节 第二章 随机变量 一、超几何分布 二、二项分布（两点分布、退化分布） 三、泊松分布 四、几何分布 五、 六

常见的随机变量有三种类型,离散型、连续型与混合型。 离散型随机变量及其分布律 定义1:全部可能取值的数目是有限个或可列无限多个 的随机变量,称为离散型随机变量。 例如,投掷一枚骰子,掷出的点数的随机变量X(e)只有六个 可能取值,1,2,3,4,5,6。在显微镜下观察一张片子上某种细胞 个数的随机变量X(el)的全部可能取值为可列无限多个(0,1,2,3,…), 它们都是离散型随机变量。人的寿命也是一个随机变量,但是 它的取值充满一个区间,无法按一定顺序一一列举出来,故不 是离散型随机变量。 随机变量的特点在于它的取值有一定的概率意义,不是肯定 地取某一个值,而是以相应的概率取某一个值,所以必须用取值 及相应的概率才能完整地表达随机变量。 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

常见的随机变量有三种类型，离散型﹑连续型与混合型。 一、离散型随机变量及其分布律 可能取值，1,2,3,4,5,6。在显微镜下观察一张片子上某种细胞 个数的随机变量X(e)的全部可能取值为可列无限多个(0,1,2,3, …), 随机变量的特点在于它的取值有一定的概率意义,不是肯定 例如，投掷一枚骰子，掷出的点数的随机变量X(e)只有六个 的随机变量，称为离散型随机变量。 定义1 ： 全部可能取值的数目是有限个或可列无限多个 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它们都是离散型随机变量。人的寿命也是一个随机变量，但是 它的取值充满一个区间，无法按一定顺序一一列举出来，故不 是离散型随机变量。 地取某一个值,而是以相应的概率取某一个值,所以必须用取值 及相应的概率才能完整地表达随机变量

例如,若出生女性婴儿则X取值1,相应的概率约为0.483, 若出生男性婴儿则X取值0,相应的概率约为0.517 则随机变量X的取值规律为 P0.517 0.483 定义2:设离散型随机变量X所有可能取值为 x(i=1,2,),相应的概率P{X=x;}=p 称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。 分布律也可以用表格的形式来表示: PPIP2 七P HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

例如,若出生女性婴儿则X取值1,相应的概率约为0.483, 定义2 : 设离散型随机变量X所有可能取值为 分布律也可以用表格的形式来表示： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若出生男性婴儿则X取值0,相应的概率约为0.517, 则随机变量X的取值规律为 X 0 1 P 0.517 0.483 xi( i = 1, 2 , …) ,相应的概率 P {X = xi }= pi 称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。 X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi …

概率函数具有如下性质: (1)p1≥0,i=1,2 P 1 证明:(1)由概率的非负性即得。 (2)由于{X=x1}+{X=x2}+ 且{X=x1}∩{X=xk}=p,k≠j 故1=P2{x=x=∑P(X=x} 故∑P 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

概率函数具有如下性质： (1) pi  0，i 1, 2, 证明： (1)由概率的非负性即得。 (2) 由于 {X  x1}{X  x2} S 且 {X x } {X x } , k j .  j   k    故           1 1 { } i i P X x      1 { } i i P X x     1 1 i i 故 p 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 1. 1     i i p

例1:给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄。由以往 实验知,致死的概率为0.6,存活的概率为0.4。今给2只青蛙注 射,求死亡只数的概率函数。 解:死亡只数X的可能取值为0,1,2。设A1,A2分别表示第 第二只青蛙死亡的事件,则样本空间S={A1A2,AA2,A1A2,A1A2} 由题意得P(A1)=P(A2)=06,P(A1)=P(A2)=0.4 因为A1,A2相互独立,根据乘法公式与加法公式有 P{X=0}=P(A1A2)=P(A)P(A2)=0.4×0.4=0.16, P{X=1}=P(A1A2+A42)=P(A1A2)+P(AA2)=048 P{X=2}=P(A1A2)=P(A1P(A2)=0.6×0.6=0.36 所以概率函数为 0 0.16 0.48 0.36 容易看出,概率函数满足:(1)P≥0,(2)∑P=1 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

例1: 给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄。由以往 实验知,致死的概率为0.6,存活的概率为0.4。今给2只青蛙注 射,求死亡只数的概率函数。 解: 死亡只数X的可能取值为0,1,2。设 A1 ,A2 分别表示第一 { , , , } 2 1 2 2 1 1 S  A1 A2 A A A A A A , ( ) ( ) 0.6, ( 1) ( 2 ) 0.4. 由题意 得 P A1  P A2  P A  P A  因为A1 ,A2 相互独立，根据乘法公式与加法公式有 { 1} ( ) ( ) ( ) 0.48 2 2 1 2 1 2 1 P X   P A1 A  A A  P A A  P A A  P{X  0}  P(A1 A2 )  P(A1)P(A2 )  0.40.4  0.16, { 2} ( ) ( ) ( ) 0.6 0.6 0.36. P X   P A1A2  P A1 P A2    所以,概率函数为      1 1 0, (2) 1 i i i 容易看出，概率函数满足（：）p p 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二只青蛙死亡的事件，则样本空间 X 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36