第二节 第四章 方差、协方差和相关系数 方差 二、标准差与变异系数 三、协方差与相关系数 A四、矩 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
二、标准差与变异系数 第二节 一、方差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、协方差与相关系数 方差、协方差和相关系数 第四章 四、矩
数学期望反映了随机变量的主要特征(反映了随机变 量的集中趋势),但只是一个方面例如两个毕业班级中 甲班平均成绩为70分,乙班平均成绩为65分,甲班优于 乙班,但在乙班有5人成绩为优,而甲班却没有一个优。 问题出在甲班成绩都集中在6575分之间而乙班成绩 分散且不及格很多,也有5人高于85分。如果成绩优秀 分数线定在85分,那么,就会出现上述现象。 上例说明研究随机变量取值的分散程度也很重要, 而方差正是分散程度的一种量度,方差也是一个数 故也是随机变量的数字特征一刻画了随机变量 在其中心位置附近的散布程度。 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
问题出在甲班成绩都集中在65~75分之间,而乙班成绩 数学期望反映了随机变量的主要特征(反映了随机变 乙班,但在乙班有5人成绩为优,而甲班却没有一个优。 量的集中趋势),但只是一个方面,例如两个毕业班级中, 分散且不及格很多,也有5人高于85分。如果成绩优秀 分数线定在85分,那么，就会出现上述现象。 上例说明研究随机变量取值的分散程度也很重要, 甲班平均成绩为70分,乙班平均成绩为65分,甲班优于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而方差正是分散程度的一种量度,方差也是一个数, 故也是随机变量的数字特征—刻画了随机变量 在其中心位置附近的散布程度
设随机变量X有均值E(X)。试验中,X取的值当然不一定 恰好是E(X),而会有所偏离。偏离的量X-E(X)本身也是随机的 (因为X是随机的)。我们要取这个偏离X-E(X)的某种代表性 的数字来刻画这偏离即离散的程度大小如何。我们不能就取 X-E(X)的均值,因为E|XE(X)=E(X)-E(X)=0正负偏离彼此 抵消了。一种解决的方法是取XE(X)的绝对值X-E(X) 以消除符号,再取其均值E{X-E(X) 作为变量X取值的离散程度的数字特征。这个量叫做X的 “平均绝对差”,是常用于刻画离散程度的数字特征之一。 但是,由于绝对值在数学上处理很不方便,人们就考虑了 另一种作法:先把X-E(X)平方以消去符号,然后取其均值得 E{ⅨX-E(Ⅺ},把它作为X取值离散程度的衡量 这个量就叫做X的方差。 学 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 设随机变量X有均值E(X)。试验中，X取的值当然不一定 恰好是E(X)，而会有所偏离。偏离的量X-E(X)本身也是随机的 （因为X是随机的）。 我们要取这个偏离X-E(X)的某种代表性 的数字来刻画这偏离即离散的程度大小如何。我们不能就取 X-E(X)的均值，因为E[X-E(X)]=E(X)-E(X)=0—正负偏离彼此 抵消了。一种解决的方法是取X-E(X)的绝对值 以消除符号，再取其均值 E{ X − E(X)} 作为变量X取值的离散程度的数字特征。这个量叫做X的 “平均绝对差”，是常用于刻画离散程度的数字特征之一。 但是，由于绝对值在数学上处理很不方便，人们就考虑了 另一种作法：先把X-E(X)平方以消去符号，然后取其均值得 E { [X –E(X)]2 } , 把它作为X取值离散程度的衡量。 这个量就叫做X的方差
方差 设X是一个随机变量,若E{X-E(X存在,则称 E{[XE(X2为X的方差或总体方差.记作(X),即 V(=EX-E(X1 按定义,随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的 偏离程度。若X取值比较集中,则V()较小,反之,若X取值 比较分散,则(X)较大。因此,V(X)是刻画X取值分散程度 的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 由定义知,方差实际上就是随机变量X的函数g(X=X-E(X)2 的数学期望。 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
一. 方差 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2 } 存在，则称 E{[X-E(X)]2 }为X的方差或总体方差．记作V(X),即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 V(X)=E{[X-E(X)]2 } 按定义，随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的 偏离程度。若X取值比较集中，则V(V)较小，反之，若X取值 比较分散，则V(X)较大。因此，V(X)是刻画X取值分散程度 的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 由定义知，方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望
对于离散型随机变量X,若其概率函数为PX=x}=P1,则 (X)=∑x-B(X) 对于连续型随机变量X,若其概率密度函数为f(x),则 V(X)=Ex-E(XF/(x)do 随机变量X的方差可按下式计算:V(X)=E(X2)-E(X)2 证:由数学期望的性质得 V(X)=ELX-E(X]=E(X-2XE(X)+E(XI) E(X2)-2E(XE(X)+[E(X)=E(X2)-[E(X HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于离散型随机变量X，若其概率函数为P{X=xi }=pi ,则 对于连续型随机变量X，若其概率密度函数为f(x)，则 随机变量X的方差可按下式计算：V(X)=E(X2 )-[E(X)]2 ( ) {[ ( )] } 2 V X = E X − E X { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 = E X − XE X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X)E(X) +[E(X)] 2 2 = E(X ) −[E(X)]
X-101 例1:离散型随机变量X的分布律为 P0.10.30.50.1 计算V(X)。 解法一:直接利用定义式。 因E(X)=-1×0.1+0×0.3+1×0.5+2×0.1=0.6 所以 V(X)=[-1-0.6]2×0.1+[0-0.6]2×0.3+ +[1-0.6]2×0.5+[2-0.6]2×0.1=0.64 解法二:利用计算式 V(X)=E(X2)-[E(X) (-1)2×0.1+02×0.3+12×0.5+22×0.1-062 =1-0.36=0.64 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 泰勒 上页下页返回结味
例1: 离散型随机变量X的分布律为 计算V(X)。 2 2 V(X) = E(X ) −[E(X)] 2 2 2 2 2 = (−1) 0.1+ 0 0.3+1 0.5+ 2 0.1−0.6 =1−0.36 = 0.64 解法一：直接利用定义式。 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 因 E(X)=-1×0.1+0×0.3+1×0.5+2×0.1=0.6 所以 V(X)=[-1-0.6]2×0.1+[0-0.6]2×0.3+ +[1-0.6]2×0.5+[2-0.6]2×0.1=0.64
例2:X-E(0),E(X)=1,求指数分布的方差(X) 解:E(X2)=x2(xxx xe idx d(e Ax d(-x) 0 2-x+∞ xe dx 0 e 2xdx =2 2 dex 2·0 12 (X)=E(X2)-[E(X) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
解: 例2: X~E(λ) ，E(X)=1/λ, 求指数分布的方差V(X)。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3:X-U|ab],E(X)=(a+b)2,求均匀分布的方差 NF: E(X2)=xf(r)drscb3b-a44 x dx b-a b-a|3 1b b3-a31 (b2+ab+a2) V(X)=E(X2)-[E(X) (b2-2ba+a2)=(b HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
例3: X~U[a,b] , E(X)=(a+b)/2 ，求均匀分布的方差. 解: + − E(X ) = x f (x)dx 2 2 dx b a x b a − = 2 1 b a x b a − = 3 1 3 ( ) 3 1 3 1 2 2 3 3 b ab a b a b a = + + − − = − = b a x dx b a 1 2 2 2 V(X) = E(X ) −[E(X)] 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方差的性质 (1)设C是常数,则(C)=0。 iIE: V(X)=EIC-E(C)12)=ENIC-C]2)=0 (2)设X是随机变量,C是常数则有(CX)=C2V(X) iE: V(CX)=EI(CX)2-E(CX) E(C2X2)-CE(X) CZE(X2)-CZE(X) C2{E(X2)-E(X)2} =CV(X) HIGH EDUCATION PRESS 8 麦克劳林目录上页下页返回结束
（2） 设X是随机变量，C是常数,则有V(CX)=C2V(X)。 （1） 设C是常数，则 V( C )=0 。 二、方差的性质 = C2E(X2 ) - C2 [E(X)]2 = E(C2X2 ) - [CE(X)]2 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 证 : V(CX) = E[(CX)2 ] - [E(CX)]2 证 ： V(X) = E{[C-E(C)]2 } = E{[C-C]2 } = 0 = C2 {E(X2 ) - [E(X)]2 } = C2V(X)
(3)设X,Y是两个随机变量,则 V(X+Y=V(X)+V(Y+2EIX-E(XIIY-E(YI 特别,若X,Y相互独立,则有V(X+Y)=V(X)+V(Y)。 iE: V(X+Y)=EI(X+Y)-E(X+Y)12)=EI(X-E(X))+(Y-E(X)12) FETX-E(X+ETY-E(1+2ETX-EOXIIY-E(YI v(X)+V(Y+2ETX-E(XIY-E(YI 上式右端第三项:2E{X-E(X)IY-E(Y)} 2EXY-XE(Y)-YE(X)+E(XE(Y) 2E(XY)-E(XE(Y-E(YE(X)+E(E(Y) =2E(XY-E(XE(Y 若X,Y相互独立,由数学期望的性质5知道上式右端为0, 于是VxX+Y)=V(X)+V(Y)。 一般地,对于n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn有: V(X1+X2+-+Xn)=V(X1)+V(X2)+-+V(X HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
（3）设X，Y是两个随机变量，则 证 : V(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2 } 机动 目录 上页 下页 返回 结束 V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 特别，若X，Y相互独立，则有 V(X+Y)=V(X)+V(Y)。 =E{[(X-E(X))+(Y-E(X))]2 } =E{[X-E(X)]2 }+E{[Y-E(Y)]2 }+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =V(X)+V(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 上式右端第三项：2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =2E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)} =2{E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)} =2{E(XY)-E(X)E(Y)} 若X，Y相互独立，由数学期望的性质5知道上式右端为0， 于是 V(X+Y)=V(X)+V(Y) 。 一般地，对于n个相互独立的随机变量X1 ,X2 ,┄,Xn 有: V(X1+X2+┄+Xn ) = V(X1 ) + V(X2 ) + ┄ + V(Xn )