第三节 第二章 连续型随机变量的分布 连续型随机变量 、指数分布 连续型均匀分布 三、正态分布(标准正态分布)
第三节 连续型随机变量的分布 第二章 连续型随机变量: 一、指数分布 二、连续型均匀分布 三、正态分布(标准正态分布)
分布函数 对于非离散型随机变量X,由于其可能取的值不能一个一个 地列举出来,因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律 来描述它。另外,我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一 指定的实数值的概率都等于0。再者,在实际中,对于这样的 随机变量,例如误差￡,元件的寿命T等,我们并不会对误差 E=0.05(mm),寿命T=1251(h)的概率感兴趣,而是考虑误差 落在某个区间内的概率,寿命T大于某个数的概率。因而我们 转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率: P{x1<X≤x2}.但由于 P{x1<X≤x2}=P{Xsx2)}-P{X≤x} 所以我们只需知道P{X≤x} HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、分布函数 对于非离散型随机变量X，由于其可能取的值不能一个一个 地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律 来描述它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一 指定的实数值的概率都等于0。再者，在实际中，对于这样的 随机变量，例如误差 ε ，元件的寿命T 等，我们并不会对误差 ε = 0.05 (mm),寿命T=1251（h）的概率感兴趣，而是考虑误差 落在某个区间内的概率，寿命T大于某个数的概率。因而我们 转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率： { }. 1 2 P x X x 但由于 { } 1 2 P x X x { }2 P X x { }1 P X x 所以我们只需知道 P{X x}
1定义:设X是一个随机变量x是任意实数则函数F(x)=P(Xx) 称为X的分布函数。 对于任意实数x1,x2(x1<x2),有 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1 因此,若已知X的分布函数,我们就知道X落在任一区间(x1,x2l 上的概率,在这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量 的统计规律。 分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们将能用 数学分析的方法来研究随机变量 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数 F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x上的概率 HIGH EDUCATION PRESS O6-
1.定义: 设X是一个随机变量,x是任意实数,则函数 F(x) = P(X≤x) 称为X的分布函数。 因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间(x1 , x2 ] { } { } { } ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 P x X x P X x P X x F x F x 对于任意实数 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量 的统计规律。 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用 数学分析的方法来研究随机变量。 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞, x]上的概率
2.性质 (1)分布函数是一个不减函数:当x1∞),则“随机点X落在点x左边”这 一事件趋于必然事件,从而其概率趋于1,即有F(∞)=1 (3)F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
2. 性质 （1） 分布函数是一个不减函数：当 x1 < x2 时，有 F(x1) ≤ F(x2) 对于任意实数 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ，有 我们只从几何意义上加以说明。在下图中，将区间端点x (3) F(x 0) F(x) , 即 F(x) 是右连续的. F ( x2 ) -F ( x1 ) = P ( x1 < X≤ x2 ) (2) 0 ( ) 1, () lim ( ) 0 F x F F x x 且 () lim ( ) 1 F F x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿数轴无限向左移动（即x→－∞）,则“随机点X落在点x的左边” 这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有F(–∞)=0; 又若将点x无限右移（即x→∞)，则“随机点X落在点x左边”这 一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即有F(∞)=1
例1:设离散型随机变量X的概率函数为 2 0.16 0.48 0.36 求X的分布函数,并求PX X≤3},P≤X≤2 解:X仅在0,1,2三点处其概率不等于0,而Fx)的值是Kx 的累积概率值,由概率的有限可加性,知它即为小于或 等于x的那些xk处的概率pk之和,有 0 0 P{X=0} 0<x<1 F(x)= P{X=0}+P{X=1}1≤x<2 XX HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
解 : X仅在0，1，2三点处其概率不等于0，而F(x)的值是X≤ x 例1: 设离散型随机变量X的概率函数为 求X的分布函数，并求 , 1 2. 2 3 2 1 , 2 1 P X P X P X 的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或 等于 x 的那些 xk 处的概率 pk 之和，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(x) 0 x 0 P{X 0} 0 x 1 P{X 0} P{X 1} 1 x 2 1 x 2 X 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36
x<0 0.16 0<x<1 F(x 0.64 1<x<2 x≥2 F(x)的图形是一条阶梯形的曲线,在x=0,1,2处有 跳跃点,跳跃值分别为0.16,0.48,0.36。又 P{X≤12}=F(1/2)=0.16 P{1/2<X≤3/2}=F(3/2)-F(1/2)=0.64-0.16=048 P{1≤X≤2}=F(2)-F(1)+PX=1 1-0.64+048=0.84 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
即 1 2 0.64 1 2 0.16 0 1 0 0 ( ) x x x x F x F(x)的图形是一条阶梯形的曲线，在 x =0，1，2处有 P{X 1/ 2} F(1/ 2) 0.16 P{1/ 2 X 3/ 2} F(3/ 2) F(1/ 2) 0.64 0.16 0.48 P{1 X 2} F(2) F(1) P{X 1} 1 0.64 0.48 0.84 跳跃点，跳跃值分别为0.16,0.48,0.36。又 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 3 0.16 0.64 1 0 x F(x)
般,设离散型随机变量X的概率函数为 PX=Xk=pk, k=1, 2, 由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x)=P{X≤x}=∑PX=xk} 即F(x)=∑P HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
一般，设离散型随机变量X的概率函数为 P{X xk} pk , k 1, 2 , 由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x) P{X x} x x k k P{X x } 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x k k F(x) p
例2:一个靶子是半径为2的圆盘设击中靶上任一同心圆盘上 的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击能中靶,以X表示 弹着点与圆心的距离试求随机变量X的分布函数 解:若x2,由题意{Xx}是必然事件,于是F(x)=P{Xs}=1 综合上述,即得X的分布函数为 0 x<0 F(x)={x2/40≤x<2 它的图形是一条连续曲线 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例2 : 一个靶子是半径为2的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上 F(x) P{X x} 0 若0≤x≤2 ，由题意， P{0 X x} k x , k 2 是 为了确定k的值，取 x = 2，有 P {0≤X≤2}=4k , 但已知 于是 F(x) P{X x} P{X 0} P{0 X x} . 4 2 x 若 x > 2 ,由题意{ X≤x } 是必然事件，于是 F(x)=P{X≤x}=1 1 2 / 4 0 2 0 0 ( ) 2 x x x x F x 它的图形是一条连续曲线. 解:若 x < 0 , 则{ X≤x }是不可能事件，于是 P { 0≤X ≤2 }=1 , 故得 k = ¼ ，即 P { 0≤X ≤x }= x2 /4 . 某一常数， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击能中靶,以X表示 弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数. 综合上述，即得X 的分布函数为
说明:对于任意实数xF(x)可以写成形式 (x)=f(0 其中 /20<t<2 f(t)= 10其 这就是说,F(x)恰是非负函数f在区间(-∞,x 的积分,在这种情况我们称X为连续型随机变量 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
说明：对于任意实数x,F(x)可以写成形式 x F(x) f (t)dt 其中 这就是说，F(x) 恰是非负函数f(t) 在区间(-∞, x] 0 其它 / 2 0 2 ( ) t t f t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分，在这种情况我们称X为连续型随机变量
、连续型随机变量及其概率密度函数 定义:如果相应于随机变量X的分布F(x)存在着非负的 函数x),对于任意的实数x都有 F(x)= f(t)dt 则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数。 性质(1)f(x)≥0 (2)「f(x)d女=1 (3)对于任意实数x1,x2,(x1≤x2) P<X<x2)=F()-F()=f(x)dx (4)若f(x)在点x处连续,则有F(x)=f(x) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
二、连续型随机变量及其概率密度函数 定义 ： 如果相应于随机变量X的分布F(x)存在着非负的 x F(x) f (t)dt 性质 (1) f (x) 0 (2) ( ) 1 f x dx (3) , , ( ) , 1 2 1 2 对于任意实数 x x x x { } 1 2 P x X x ( ) ( ) 2 1 F x F x 2 1 ( ) x x f x dx (4) 若 f (x)在点x处连续，则有F(x) f (x). 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数f(x)，对于任意的实数x都有