第三章 多维随机变量 及其分布
第三章 多维随机变量 及其分布
第三章 第一节 二维随机变量 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二维随机变量 第三章
前面我们只限于讨论一个随机变量的情况,但在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量 来描述。例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对 这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高H 和体重W。在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童} 而H(e)和w(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的 位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标 是定义在同一个样本空间的两个随机变量。 一般地,设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e},设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个随机向量(X,Y), ●e 叫做二维随机向量(变量)。 HIGH EDUCATION PRESS
对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量 前面我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中， 和体重W。在这里，样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童}， 一般地，设E是一个随机试验， 费马 目录 上页 下页 返回 结束 来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况， 对 这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高H 而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的 位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标 是定义在同一个样本空间的两个随机变量。 0 X (e) Y(e) X Y e 它的样本空间是S={e}，设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个随机向量(X,Y)， 叫做二维随机向量（变量）
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于 这两个随机变量的相互关系。因此,逐个地来研究X或Y的性质 是不够的,还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究 定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y, 二元函数:F(x,y)=P{(X≤x)n(YSy}=PX≤x,Ysy} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y 的联合分布函数 如果将二维随机变量(X,Y)看 是平菌上随机点的坐标,那么分 布函数F(xy)在(x2y)处的函数值 就是随机点X,Y)落在下图所示 以点(x,y为顶点而位于该点单下方的无穷矩形内的概率。 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于 这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质 是不够的，还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。 定义: 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y， 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y 如果将二维随机变量(X,Y)看 是平成面上随机点的坐标，那么分 布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值 就是随机点(X,Y)落在下图所示 以点(x,y)为顶点而位于该点左的下，方的无穷矩形内的概率。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的联合分布函数。 (x, y) x y o
依照上述解释,借助上图容易算出随机点(X,Y)落在矩形 域的概率为 P{x1x时,F(x2,y)>F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2>y1时,F(x,y2)>F(x,y1)。 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
依照上述解释，借助上图容易算出随机点(X,Y)落在矩形 域的概率为 { , } ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y 分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1） F(x,y)是变量x和y的不减函数， 即 对于任意固定的x ，当 y2 > y1 时， F( x , y2 ) > F( x , y1 ) 。 对于任意固定的y，当 x2 > x1时, F( x2 , y ) > F( x1 , y ) ； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y 1 x 2 x 1 y 2 y o
(2)0F(x,y)≤1 且对于任意固定的y, F(-∞,y)=0;对于任意固定的x,F(x,∞)=0, F(-∞,∞)=0 F(+∞,+∞)=1。 上式四个式子可以从几何上加以说明。例如,在图中将 无穷矩形的右面边界向左无限平移(即x→>-∞),则“随机点(X,Y) 落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件,故其概率趋于0, 即F(-∞,y)=0,又当x→∞,y→)∞,图中的无穷矩形扩展到全平面 随机点X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件,故其概率趋于 F(∞,∞)=1。 (3)F(xy)关于x右连续,关于y也右连续, 即 F(x+0,y)=F(x2y), F(x, y+O=F(x,y) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，故其概率趋于0， （2）0≤F(x,y) ≤1 , 且 对于任意固定的y , 上式四个式子可以从几何上加以说明。例如，在图中将 即F(-∞,y)=0,又当x→∞,y→∞，图中的无穷矩形扩展到全平面 （3）F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(-∞,y)=0 ; 对于任意固定的 x , F(x,-∞)=0 ， F(-∞,-∞)=0 , F(+∞,+∞)=1 。 无穷矩形的右面边界向左无限平移（即x→-∞),则“随机点(X,Y) 随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于 F(∞, ∞)=1。 即 F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)
(4)对于任意(x1,y)(x2,y2)2x1<x2,y<y2 下述不等式成立: F(x2,y2)-F(x2,y)+F(x1,y1)-F(x1,y2)≥0 这一性质由概率的非负性即可得。 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有联合分布函数F(x2y) 而X与Y都是随机变量,各自也有分布函数,它们分别为F(x) Fy(),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数,边缘分布函数可以由(X,Y)的联合分布函数F(x2y)所确定 事实上F3(x)=P{Xsx}=P{Xsx,K<o}=F(x,∞ 即Fx(x)=F(x,∞) 同理(y)=F(∞,y) HIGH EDUCATION PRESS
（4） 对于任意 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 x y x y x x y y 下述不等式成立： 这一性质由概率的非负性即可得。 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y1 F x1 y2 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数F(x,y)。 而X与Y都是随机变量，各自也有分布函数，它们分别为FX(x) , FY (y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数，边缘分布函数可以由(X,Y)的联合分布函数F(x,y)所确定， 事实上 FX(x) =P{X≤x}=P{X≤x ,Y<∞}=F(x , ∞) 即 FX(x) =F(x , ∞) 同理 FY (y) =F( ∞, y)
第二节 第三章 二维离散型随机变量 1、联合分布律 2、边缘分布律 HIGH EDUCATION PRESS
第二节 二维离散型随机变量 第三章 1、联合分布律 2、边缘分布律
定义:如果二元随机变量(X,Y)所有可能取的数对为有限 或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称(X,Y) 为二元离散型随机变量。 联合分布律把(XY)所有的可能取值及相应概率 列成表格称为(X,Y)的联合概率分布律 y2…y Pul p12 ●。 Pij p21 p P ●。● Pil pi2 P ●●● ●●● ●●● 学 HIGH EDUCATION PRESS
定义：如果二元随机变量(X,Y)所有可能取的数对为有限 或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称(X,Y) 为二元离散型随机变量。 联合分布律 把(X,Y)所有的可能取值及相应概率 列成表格,称为（X,Y) 的联合概率分布律。 y1 y2 … yj … x1 x2 … xi … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … pij … … … … … …
联合概率函数亦可用下式表示 P{X=x,Y=y}=P,,j=1,2,… 由定义不难看出,联合概率函数p;有如下性质 Pn≥0,∑∑P i=l j=l X的边缘概率函数(X的分布律)为 PX=x}=P.=∑P,i=1,2,… Y的边缘概率函数(Y的分布律)为 PY=y}=p.=∑Pn,j=1,2 HIGH EDUCATION PRESS
联合概率函数亦可用下式表示 P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1, 2, 由定义不难看出，联合概率函数 pij有如下性质 1 1 0, 1 i j ij ij p p X的边缘概率函数（X的分布律）为 1 { } , 1,2, j i i ij P X x p p i Y的边缘概率函数（Y的分布律）为 1 { } , 1,2, i j j ij P Y y p p j