第五章 大嶽定理 及中心极限定理
第五章 大数定理 及中心极限定理
第一节 第五章 大数定理 切比谢夫定理 、贝努里大数定律 辛钦大数定律 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、切比谢夫定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、贝努里大数定律 三、辛钦大数定律 大数定理 第五章
大数定理的概念 例1:掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概率是 1/6。在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能与1/6相差 得很大。但是在掷的次数很多时,出现么点的频率接近1/6 几乎是必然的。 例2:测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数 很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的 这两个例子说明,在大量随机现象中,不仅看到了随机事件 频率的稳定性,而且还看到平均结果的稳定性。即无论个别 随机现象的结果如何,或者它们在进行过程中的个别特征 如何,大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象 的特征无关,并且几乎不再是随机的了。 HIGH EDUCATION PRESS
例1: 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概率是 一、大数定理的概念 得很大。但是在掷的次数很多时,出现么点的频率接近1/6 几乎是必然的。 例2: 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数 费马 目录 上页 下页 返回 结束 1/6。在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能与1/6相差 很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的。 这两个例子说明,在大量随机现象中,不仅看到了随机事件 频率的稳定性,而且还看到平均结果的稳定性。即无论个别 随机现象的结果如何,或者它们在进行过程中的个别特征 如何,大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象 的特征无关,并且几乎不再是随机的了
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象 呈现的规律性即稳定性。由于大数定理的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖 个别随机事件的结果 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件, 即从理论上阐述了 这种大量的﹑在一定条件下的﹑重复的随机现象 呈现的规律性即稳定性。由于大数定理的作用， 大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖 个别随机事件的结果． 机动 目录 上页 下页 返回 结束
大数定理 个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差,而方差 又是用来描述随机变量取值的分散程度的.下面研究随机变量 的离差与方差之间的关系式 定理:设随机变量X有期望值E(X)及方差V(X),则任给ε>0, 有(切比雪夫不等式) P{x-(2 P(x-B(X)<}21- 8 证明:就连续型随机变量证明 PX-川≥E} f(x)dx a-u f(x)ds x-u28 ≥E 「(x-)/(x)dk 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
二、大数定理 一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差 又是用来描述随机变量取值的分散程度的．下面研究随机变量 定理：设随机变量X有期望值E(X)及方差V(X)，则任给ε>0, 有(切比雪夫不等式） 2 2 P X 的离差与方差之间的关系式． 2 2 ( ) 1 P X E X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明：就连续型随机变量证明。 P{ X } x f (x)dx f x dx x x ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x f x dx
这个不等式给出了,在随机变量X的分布未知的情况下 事件{X-A2/3 E=2:V(X)/E2=(35/12)÷22=(35/48)>1/3 故满足切比雪夫不等式 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例3:设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定ε=1,2,实际 这个不等式给出了，在随机变量X的分布未知的情况下 { X } 概率的下限的估计。 P X E(X ) ,并验证切比谢夫不等式成立. 故满足切比雪夫不等式 . { 7 / 2 1} 2 / 3 P X p1 p2 p5 p6 P{ X 7 / 2 2} p1 p6 1/ 3 1: ( )/ (35 /12) 2 / 3 2 V X 2 : ( )/ (35/12) 2 (35/ 48) 1/ 3 2 2 V X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 事件 计算 解：因为Ｘ的概率函数是 P{X=k}=1/6 (k=1,2, …,6) 所以 E(X)=7/2 V(X)=35/12
定理一(切比谢夫定理的特殊情况)如果随机变量Ⅹ1,X2 是相互独立并且具有相同的数学期望和方差 E(Xk)=,V(Xk)=(k=1,2 作前n个随机变量的算术平均X=∑Xk 则对任意正数E,有 lim P(X-u00 n→0 1 解释:上式表明,当n→0时事件的概率趋于1.即对于任意 正数E,当n充分大时,不等式(事件) Xk-u<a 成立的概率很大。 HIGH EDUCATION PRESS
定理一（切比谢夫定理的特殊情况）如果随机变量X1 ,X2 ,… 是相互独立并且具有相同的数学期望和方差： 作前ｎ个随机变量的算术平均 n k Xk n X 1 1 则对任意正数 ε ，有 ( ) , ( ) ( 1,2, ) E Xk V Xk 2 k 1 1 lim { } lim 1 n k k n n X n P X P 解释: 上式表明, 当n→∞时事件的概率趋于1. 即对于任意 正数 ε , 当n 充分大时, 不等式(事件) n k Xk n 1 1 成立的概率很大
证明:由于E1 ∑E(Xk)=nH=H ∑(Xk) 由切比雪夫不等式可得P∑x4-A<E}21 0/n 在上式中令n→∞,并注意到概率不能大于1即得 imP∑X-<=1 定理一表明,当n很大时,随机变量X1,X2,,Xn的算术平 均 Xk接近于数学期望E(X=E(X2)=…=E(CXn)=H 这种接近是在概率意义下的接近.通俗地说在定理的条件下, n个随机变量的算术平均,当无限增加时将几乎变成常数 HIGH EDUCATION PRESS
证明: 由于 n n E X n X n E n k k n k k 1 ( ) 1 1 1 1 n n n V X n X n V n k k n k k 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 1 1 由切比雪夫不等式可得 2 2 1 / 1 1 n X n P n k k 在上式中令 n→∞, 并注意到概率不能大于1,即得 1 1 lim 1 n k k n X n P 定理一表明，当ｎ很大时，随机变量X1 ,X2 , …,Xn的算术平 均 n k Xk n X 1 1 接近于数学期望E(X1)=E(X2)= …=E(Xn )=μ 这种接近是在概率意义下的接近．通俗地说,在定理的条件下, n 个随机变量的算术平均,当无限增加时将几乎变成常数
设Y1,Y2…Yn…是一个随机变量序列,a 是一个常数.若对于任意正数,有 lim PlYn-aa 依概率收敛的序列还有以下性质: 设XPa.y.P>b 又设函数g(x,y)在点(a,b)连续,则 g(Xn, Yn) P →>g(a,b) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
设Y1 ,Y2 , …,Yn , …是一个随机变量序列，a lim { } 1 P Y a n n Y a P n X a,Y b, P n P n 是一个常数．若对于任意正数 ε ，有 则称序列Y1 ,Y2 , …,Yn , …依概率收敛于 a ．记为 依概率收敛的序列还有以下性质： 设 又设函数 g( x, y ) 在点 (a , b) 连续，则 g(X ,Y ) g(a,b) P n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
这样,上述定理一又可叙述为: 定理一:如果随机变量X1X2…是相互独立 并且具有相同的数学期望和方差: E(k)=,V(Xk)=2(k=1,2,…) 则序列y1 X k 依概率收敛于.即X HIGH EDUCATION PRESS
这样，上述定理一又可叙述为： 定理一：如果随机变量X1 ,X2 ,… 是相互独立 并且具有相同的数学期望和方差： ( ) , ( ) ( 1,2, ) E Xk V Xk 2 k 则序列 n k Xk n X 1 1 依概率收敛于 ．即 P X
