第四章 随机变量的 数字特征 「数学期望 推广 方差 矩 协方差与相关系数
第四章 数学期望 方差 协方差与相关系数 矩 推广 随机变量的 数字特征
第一节 第四章 数学期望 定义 性质 、常见的随机变量的数学期望 四、应用 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、定义 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、性质 三、常见的随机变量的数学期望 数学期望 第四章 四、应用
分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机 变量概率性质最完整的刻划,然而在许多实际问题中,一方面 由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时 只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题, 这就有必要研究描述随机变量某种特征的数量,即随机变量的 数字特征,这些数字特征在理论和实际上都具有重要意义。 例如:考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的 概率分布,就可以知道寿命在任一指定界限内的元件百分率 有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面 将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命皿,m这个数 虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要 方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况, HIGH EDUCATION PRESS
变量概率性质最完整的刻划,然而在许多实际问题中,一方面 分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机 这就有必要研究描述随机变量某种特征的数量,即随机变量的 数字特征,这些数字特征在理论和实际上都具有重要意义。 例如:考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的 费马 目录 上页 下页 返回 结束 由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时 只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题, 概率分布,就可以知道寿命在任一指定界限内的元件百分率 有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面 将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命m,m这个数 虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要 方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在 了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均 收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊 的研究目的,倒反而不一定是最重要的。 那么,随机变量的平均值应怎样定义呢? 设随机变量X的所有可能的取值为x1,x2,…,xn,但预期 X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加 平均的每个值不能一视同仁。这是因为X取每个值的概率一般 不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求 平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓 的权重系数。 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在 了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均 收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊 的研究目的,倒反而不一定是最重要的。 那么，随机变量的平均值应怎样定义呢？ 设随机变量X的所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn ，但预期 X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加 平均的每个值不能一视同仁。这是因为X取每个值的概率一般 的权重系数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求 平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓
例如:甲乙两人赌技相同各出赌金100元,约定先胜三局者 为胜取得全部200元现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止,问 赌本该如何分? 设想继续赌两局则结果无非以下四种情况之 甲甲,甲乙,乙甲,乙乙 把已赌过的三局与以上四种结合(即甲,乙赌完五局),我们看出: 前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此 在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的 (概率)为3/4(这时甲得200元,乙胜的机会为1/4(这时甲得0元)。 所以在甲胜2局乙胜1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数 目, 应当确定为: 200×+0×=150(元) 4 4 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
例如:甲乙两人赌技相同,各出赌金100元,约定先胜三局者 为胜,取得全部200元.现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止,问 赌本该如何分? 设想继续赌两局.则结果无非以下四种情况之一: 把已赌过的三局与以上四种结合(即甲,乙赌完五局),我们看出: 前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此 在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的 甲甲 , 甲乙 , 乙甲 , 乙乙 150( ) 4 1 0 4 3 200 元 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (概率)为3/4(这时甲得200元),乙胜的机会为1/4(这时甲得0元)。 所以,在甲胜2局乙胜1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数 目, 应当确定为:
而乙能“期望”得到的数目,则为 200×+0×=50(元) 4 如果引进一个随机变量XX等于在上述局面(甲2胜乙1胜 之下继续赌下去甲的最终所得,则X有两个可能的值:200和0,其 概率分别为3/4和1/4而甲的期望所得即X的“期望”值,等于 X的可能值与其概率之积的累加 这就是“数学期望”(简称期望)这个名词的由来 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
概率分别为3/4和1/4.而甲的期望所得,即X的“期望”值,等于 而乙能“期望”得到的数目,则为: 50( ) 4 3 0 4 1 200 元 如果引进一个随机变量X,X等于在上述局面(甲2胜乙1胜), 之下继续赌下去甲的最终所得,则X有两个可能的值:200和0,其 X的可能值与其概率之积的累加 这就是“数学期望”(简称期望)这个名词的由来。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义 定义1:设离散型随机变量X的概率函数为 P{X=x}=P1i=1,2, 若级数∑是一个有限值则称级数∑xP 为X的数学期望或总体均数,记作 E(X)=∑xP HIGH EDUCATION PRESS
定义1 : 设离散型随机变量X的概率函数为 若级数 i i i x p 1 是一个有限值,则称级数 P{X x } p i 1,2,. i i i1 i i x p 为X的数学期望或总体均数,记作 1 ( ) i i pi E X x 一、定义
例1:一批产品中有 、三等品、等外品及废品5种, 相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04,若其产值 分别为6元、5.4元、5元、4元及0元。求产品的平均产值。 解:产品产值X是一个随机变量,它的分布律如下 5.4 4 0 0.7 0.1 0.1 006004 因此 E(X)=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+0×0.04=5.48(元) HIGH EDUCATION PRESS
例1: 一批产品中有一﹑二﹑三等品﹑等外品及废品5种, 相应的概率分别为0.7﹑0.1﹑0.1﹑0.06﹑0.04,若其产值 分别为6元﹑5.4元﹑5元﹑4元及0元。求产品的平均产值。 解: 产品产值X是一个随机变量，它的分布律如下 因此 E(X)=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+0×0.04=5.48(元） X P 6 0.7 5.4 0.1 5 0.1 4 0.06 0 0.04
例2.按规定,某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆 客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互 独立。其规律为到站时刻 8:108:308:50 9:109:309:50 概率|1/63/62/6 旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望。 解:设旅客的候车时间为X(以分计),X的分布律为 在右表中,例如 Ⅹ|103050 70 P{X=50} 32 k P(AB) 66666666 P(A)P(B)=×其中A为事件“第一班车在8:10到站 B为“第二班车在9:10到站”。候车时间的数学期望为 E(X)=10×32+30×2+50×1+70×3+90×2=2722(分) 6 6 36 36 36 HIGH EDUCATION PRESS
例2. 按规定，某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一辆 客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互 独立。其规律为 1/ 6 3/ 6 2 / 6 9 : 50 8: 50 9 : 30 8: 30 9 :10 8:10 概率 到站时刻 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。 解：设旅客的候车时间为X（以分计），X的分布律为 6 2 6 1 6 3 6 1 6 1 6 1 6 2 6 3 10 30 50 70 90 pk 在右表中，例如 X P{X 50} P(AB) 6 1 6 1 P(A)P(B) 其中A为事件“第一班车在8:10到站” ， B为“第二班车在9:10到站” 。候车时间的数学期望为 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 E(X ) 10 27.22(分)
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x), +oo 若积分 cf(x)dx 是一个有限值,则称积分 xf(x)d) 为X的数学期望,记作E(X),即 E(X)= xf(x)dx HIGH EDUCATION PRESS
定义2: 设连续型随机变量X的概率密度函数为 f(x), 若积分 x f (x)dx 是一个有限值,则称积分 xf (x)dx 为X的数学期望,记作E(X),即 E(X ) xf (x)dx