第五章梁弯曲时的位移S5-1梁的位移一挠度及转角B桥式吊梁在自重及重量作用下发生弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核：②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）
第五章 梁弯曲时的位移 §5-1 梁的位移—挠度及转角 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）
一、度量梁变形的两个基本位移量1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与y同向为正，反之为负。K2.转角：横截面绕其中性轴转X动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f (x)三、转角与挠曲线的关系：θ~tanQ=w=f'(x)小变形
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 F x w C C1 y tan = w = f (x) 小变形
S5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程M(x)1p(x)EIw"1+p(x)(1 + w2 )因为在小变形情况下：w<<11+w2~11M(x)~±"所以：w"~p(x)EI
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 ( ) ( ) EI M x x = 1 ( ) ( ) 2 3 2 1 1 w w x + = 因为在小变形情况下： wl 1 1 2 + w 所以： ( ) w x 1 ⇒ ( ) EI M x w
对于本书采用的坐标系，由下图可见：XVVM>0, w"0yM(x)即：hEI对等直梁：EIw" =-M(x)此即为挠曲线的近似微分方程
( ) EI M x 即： w = − EIw = −M(x) 对于本书采用的坐标系，由下图可见： M M>0, w″0 x y 对等直梁： 此即为挠曲线的近似微分方程
二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分Elw"(x) = -M(x)EIw'(x)= [(-M(x)dx +C)EIw(x) = f (-M(x)dx Jix + C;x + D,C、D,为常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。常数CI、D,确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和度
二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIw"(x) = −M (x) d 1 EIw'(x) = (−M (x)) x +C d d 1 1 EIw(x) = (−M (x)) x x +C x + D 1.微分方程的积分 C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约 束和连续条件）确定。 常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的 转角和挠度
2、积分常数确定0位移边界条件：BWA =0, WB =08Wp =0, O,=0②连续条件：DWc左=Wo右③光滑条件：0c在=0c右
2、积分常数确定 F A C B F D wA = 0, wB = 0 wD = 0, D = 0 位移边界条件： 连续条件： 光滑条件： 左 右 C C = 左 右 wC wC =
例5-1由积分法求图示梁的wA、0。解：1、弯矩方程M(x)=-Fx2、微分方程及积分BAElw"=FxF2+CElw'=r2FElw=+Cx+ Dr.一6
例5-1 由积分法求图示梁的wA、A。 F A B l 解：1、弯矩方程 y x x M (x) = −Fx 2、微分方程及积分 x Cx D F EIw x C F EIw EIw Fx = + + = + = 3 2 6 2 '
3、确定积分常数FI?F13W=0,=D=x=l,w=0=C=234、转角方程，弯矩方程F2E(13-t)w=F(x3 - 31’x+21)W6EI5、最大转角和最大挠度FI?（逆时针）W.A=2EIF13（向下）WA3EI
3、确定积分常数 3 ; 0, 2 , ' 0 2 3 Fl w D Fl x = l w = C = − = = 4、转角方程，弯矩方程 ( 3 2 ) 6 ( ) 2 ' 3 2 3 2 2 x l x l EI F w l x EI F w = − + = − 5、最大转角和最大挠度 （向下） （逆时针） EI Fl w EI Fl w A A 3 2 ' 3 2 = = −
积分法求解梁位移的思路：①建立合适的坐标系；②求弯矩方程M(x）：Elw"=-M(x)③建立近似微分方程：根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。积分求Elw'和Elw;③用约束条件或连续条件，确定积分常数；③一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别
EIw = −M(x) 积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ； ③ 建立近似微分方程： ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接 判别。 根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。 ④ 积分求 EIw 和 EIw;
例5-2图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角方程及最大挠度和转角，EI为常数。解：1、弯矩方程为：qlx-qx?M(x)= 922L代入微分方程并积分得yql9Elw"-+x22gr2EI0(x) =一(2x -31)+C6#Elw(x)(x - 2)+ Cx+ D24
例5-2 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转 角方程及最大挠度和转角，EI为常数。 解：1、弯矩方程为： 2 2 2 ( ) x q x ql M x = − 代入微分方程并积分得 x l Cx D qx EIw x x l C qx EI x = − + + = − + ( 2 ) 24 ( ) (2 3 ) 6 ( ) 3 2 y 2 2 2 " x q x ql EIw = − +