半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解

工程科学学报，第40卷，第7期：783-792,2018年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.7:783-792,July 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.07.003;http://journals.ustb.edu.cn 半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解 胡亚元区 浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心，杭州310058 ☒通信作者，E-mail:huyayuan@(zju.cdu.cm 摘要把砂井地基上下边界视为半透水边界，以研究顶部垫层和底部下卧层透水特性对砂井地基固结过程的影响.根据轴 对称固结方程和等应变假定，利用Hansbo法获得了真空联合堆载预压下半透水边界砂井地基的固结解答，分析了上下边界透 水系数对真空和堆载预压固结度和沉降的影响，比较了真空单独预压下本文解与ndraratna等解答和周琦等解答的联系和差 别.研究表明，(1)不管真空预压还是堆载预压，固结时间因子相同时地基固结度随边界透水系数增大而增大.(2)对于真空 预压，下边界透水系数越大，地基的最终沉降越小，固结期间时间因子相同时的沉降也越小：上边界透水系数越大，固结期间 时间因子相同时的沉降越大.(3)对于堆载预压，不管上边界还是下边界，边界透水系数越大，最终沉降不变，而固结期间时间 因子相同时的沉降越大.(4)当真空预压上边界透水时，周琦等解答的固结度大于本文解答的固结度大于ndraratna等解答的 固结度.为了提高真空预压的最终沉降，需减少地基下边界的透水性 关键词砂井地基：半透水边界：真空联合堆载预压：固结度：沉降 分类号TU472.33 A Hansbo's consolidation solution of sand-drained ground with impeded boundaries under vacuum and surcharge preloading HU Ya-yuan Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China Corresponding author,E-mail:huyayuan@zju.cdu.cn ABSTRACT The top and bottom boundaries of sand-drained ground were visualized as impeded boundaries to investigate the effects of the pervious behaviors of the cushion above the top and the substratum below the bottom during the consolidation process of sand- drained ground.Based on the axisymmetric consolidation equations and the equal strain assumption,the consolidation solution of sand- drained ground with impeded boundaries was obtained using Hansbo's method for vacuum and surcharge preloading.The effects of the pervious coefficients of top and bottom boundaries on the consolidation degrees and settlements of vacuum preloading and surcharge pre- loading were analyzed.The similarities and differences between the solution and Indraratna et al.,'s solution and Zhou et al.,'s solu- tion were compared under vacuum preloading alone.The results reveal the following:(1)for either vacuum or surcharge preloading, the consolidation degree of the ground increases with the increasing pervious coefficients of the boundaries when the consolidation time factor is the same;(2)for vacuum preloading,the larger the pervious coefficient of the bottom boundary is,the smaller the final settle- ment of the ground is,and the smaller is the settlement at the same time factor during the consolidation process;the larger the pervious coefficient of the top boundary is,the greater is the settlement at the same time factor during the consolidation process;(3)for sur- charge preloading,the larger the pervious coefficient of the bottom or top boundary is,the larger is the settlement at the same time fac- tor during the consolidation process while the final settlement remains constant;(4)when the top boundary is permeable during vacu- um preloading,the consolidation degree of Zhou et al's solution is higher than the consolidation degree of the proposed solution,and 收稿日期：2017-08-14 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51178419)

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期:783鄄鄄792,2018 年 7 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 7: 783鄄鄄792, July 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 07. 003; http: / / journals. ustb. edu. cn 半透水边界砂井真空联合堆载预压 Hansbo 固结解 胡亚元苣 浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心, 杭州 310058 苣通信作者, E鄄mail: huyayuan@ zju. edu. cn 摘 要 把砂井地基上下边界视为半透水边界,以研究顶部垫层和底部下卧层透水特性对砂井地基固结过程的影响. 根据轴 对称固结方程和等应变假定,利用 Hansbo 法获得了真空联合堆载预压下半透水边界砂井地基的固结解答,分析了上下边界透 水系数对真空和堆载预压固结度和沉降的影响,比较了真空单独预压下本文解与 Indraratna 等解答和周琦等解答的联系和差 别. 研究表明,(1)不管真空预压还是堆载预压,固结时间因子相同时地基固结度随边界透水系数增大而增大. (2)对于真空 预压,下边界透水系数越大,地基的最终沉降越小,固结期间时间因子相同时的沉降也越小;上边界透水系数越大,固结期间 时间因子相同时的沉降越大. (3)对于堆载预压,不管上边界还是下边界,边界透水系数越大,最终沉降不变,而固结期间时间 因子相同时的沉降越大. (4)当真空预压上边界透水时,周琦等解答的固结度大于本文解答的固结度大于 Indraratna 等解答的 固结度. 为了提高真空预压的最终沉降,需减少地基下边界的透水性. 关键词 砂井地基; 半透水边界; 真空联合堆载预压; 固结度; 沉降 分类号 TU472郾 33 收稿日期: 2017鄄鄄08鄄鄄14 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51178419) A Hansbo爷 s consolidation solution of sand鄄drained ground with impeded boundaries under vacuum and surcharge preloading HU Ya鄄yuan 苣 Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China 苣Corresponding author, E鄄mail: huyayuan@ zju. edu. cn ABSTRACT The top and bottom boundaries of sand鄄drained ground were visualized as impeded boundaries to investigate the effects of the pervious behaviors of the cushion above the top and the substratum below the bottom during the consolidation process of sand鄄 drained ground. Based on the axisymmetric consolidation equations and the equal strain assumption, the consolidation solution of sand鄄 drained ground with impeded boundaries was obtained using Hansbo爷s method for vacuum and surcharge preloading. The effects of the pervious coefficients of top and bottom boundaries on the consolidation degrees and settlements of vacuum preloading and surcharge pre鄄 loading were analyzed. The similarities and differences between the solution and Indraratna et al. ,爷s solution and Zhou et al. ,爷s solu鄄 tion were compared under vacuum preloading alone. The results reveal the following: (1) for either vacuum or surcharge preloading, the consolidation degree of the ground increases with the increasing pervious coefficients of the boundaries when the consolidation time factor is the same; (2) for vacuum preloading, the larger the pervious coefficient of the bottom boundary is, the smaller the final settle鄄 ment of the ground is, and the smaller is the settlement at the same time factor during the consolidation process; the larger the pervious coefficient of the top boundary is, the greater is the settlement at the same time factor during the consolidation process; (3) for sur鄄 charge preloading, the larger the pervious coefficient of the bottom or top boundary is, the larger is the settlement at the same time fac鄄 tor during the consolidation process while the final settlement remains constant; (4) when the top boundary is permeable during vacu鄄 um preloading, the consolidation degree of Zhou et al 爷s solution is higher than the consolidation degree of the proposed solution, and

·784. 工程科学学报，第40卷，第7期 the consolidation degree of the solution is higher than the consolidation degree of Indraratna et al's solution.The level of perviousness of the bottom boundary of ground should be reduced to increase the final consolidation settlement under vacuum preloading. KEY WORDS sand-drained ground;impeded boundary;vacuum and surcharge preloading;consolidation degree;settlement 为了提高砂井地基预压法加固效果，往往采用 径向和竖向坐标，t为时间.T为砂井半径，d.为砂 真空联合堆载的加荷方法来提高地基处理的预压固 井直径，T.为砂井影响区半径，d为砂井影响区直 结压力[1-6].许多地基处理专家理论探讨了真空联 径，为涂抹区半径，d,为涂抹区直径，s=Tr,H为 合堆载预压下砂井地基的固结机理-i2).Indrarant- 软土层层厚，Y.为水容重.假定堆载是骤然施加到 na等[]、Tran和Mitachi1o]借鉴Hansbo固结理 地基上的，堆载附加应力沿地基深度按P。(z)变化； 论[)]，假定真空度沿砂井线性衰减和砂井下边界水 真空预压荷载以负孔隙压力-，作用在地基顶部 头梯度恒定，获得了真空联合堆载预压下砂井地基 边界 的Hansbo型固结解析解.然而刘佳有等的实测 直空孔压-4 数据表明，下边界水头梯度随时间逐步增加.为了 堆截 理论模型与工程实际相符合，周琦等山假定下边界 附加应力 负孔压随时间增大，其他条件与Indrarantna等o)相 半透水边要 Px 同，获得了真空预压下砂井地基的Hansbo固结解析 解.鲍树峰等]假定负孔压沿径向不均匀分布，获 ：涂 饱和 得了真空预压下砂井地基的Hansbo固结解析解. B. 井抹 层 但上述研究没有对真空度沿砂井衰减的力学机理进 行理论研究，从数学物理方法看，固结方程属于抛物 半透水边界 线偏微分方程，边界条件决定孔压的最终分布[ d 只要合理确定砂井的边界条件，就可以理论解释最 终真空度沿砂井深度线性衰减分布这一从现场实测 获得的真空预压固结规律. 在经典砂井固结理论中，通常把砂井地基顶面 视为完全透水，底面视为完全不透水[-⑧，1.然而在 砂井地基实际工程中，地基底部下卧层具有一定的 图1单井固结分析简图 透水性，顶部砂垫层（或横向排水体）也并非透水系 Fig.I Analysis schematic of a unit cell 数无穷大，能够完全无阻碍透水6]，因此将它们视 为半透水边界更为合适7-1).谢康和]、李西斌 本文理论求解砂井地基固结问题的基本假 等[8]和刘加才[]研究了半透水边界对堆载预压地 设为： 基固结特性的影响，但对真空预压地基固结特性的 (1)与Hansbo一样，假定竖向固结可以忽略， 研究目前却很少有文献报道.实际上只要把真空预 只需要考虑砂井地基的径向固结. 压砂井地基的下边界按照实际情况修改为半透水边 (2)Terzaghi有效应力原理成立，饱和土的应力 界，就可以理论揭示最终真空度随砂井深度线性衰 应变关系符合线弹性本构模型，压缩模量E为 减的分布规律，从而更深刻地展现真空预压砂井地 常数 基固结加固的力学机理.为此，把砂井地基上下边 (3)达西定理成立.砂井井料的渗透系数为 界视为半透水边界，借鉴Hansbo固结解析理论[)， k;涂抹区土体的水平向渗透系数为k,;未扰动原状 获得了真空联合堆载预压下砂井地基的固结解析 土的渗透系数为k,δ=kk· 解，揭示了上下边界透水特性对真空联合堆载预压 (4)等应变假定成立.地基无侧向变形而只有 下地基固结度和沉降的影响规律 竖向变形，同一深度平面上任意一点的竖向变形 相等. 1等应变条件下的固结解析解 (5)由于砂井的直径很小，故假定砂井内孔压 1.1固结方程 沿径向的变化可以忽略不计，砂井中任一深度处向 砂井地基单井计算简图如图1所示.τ和z为 上水流的增量等于土中渗入砂井的流量

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期 the consolidation degree of the solution is higher than the consolidation degree of Indraratna et al 爷s solution. The level of perviousness of the bottom boundary of ground should be reduced to increase the final consolidation settlement under vacuum preloading. KEY WORDS sand鄄drained ground; impeded boundary; vacuum and surcharge preloading; consolidation degree; settlement 为了提高砂井地基预压法加固效果,往往采用 真空联合堆载的加荷方法来提高地基处理的预压固 结压力[1鄄鄄6] . 许多地基处理专家理论探讨了真空联 合堆载预压下砂井地基的固结机理[7鄄鄄12] . Indrarant鄄 na 等[9] 、 Tran 和 Mitachi [10] 借 鉴 Hansbo 固 结 理 论[13] ,假定真空度沿砂井线性衰减和砂井下边界水 头梯度恒定,获得了真空联合堆载预压下砂井地基 的 Hansbo 型固结解析解. 然而刘佳有等[14] 的实测 数据表明,下边界水头梯度随时间逐步增加. 为了 理论模型与工程实际相符合,周琦等[11]假定下边界 负孔压随时间增大,其他条件与 Indrarantna 等[9] 相 同,获得了真空预压下砂井地基的 Hansbo 固结解析 解. 鲍树峰等[12]假定负孔压沿径向不均匀分布,获 得了真空预压下砂井地基的 Hansbo 固结解析解. 但上述研究没有对真空度沿砂井衰减的力学机理进 行理论研究,从数学物理方法看,固结方程属于抛物 线偏微分方程,边界条件决定孔压的最终分布[10] . 只要合理确定砂井的边界条件,就可以理论解释最 终真空度沿砂井深度线性衰减分布这一从现场实测 获得的真空预压固结规律. 在经典砂井固结理论中,通常把砂井地基顶面 视为完全透水,底面视为完全不透水[7鄄鄄8,15] . 然而在 砂井地基实际工程中,地基底部下卧层具有一定的 透水性,顶部砂垫层(或横向排水体)也并非透水系 数无穷大,能够完全无阻碍透水[16] ,因此将它们视 为半透水边界更为合适[17鄄鄄19] . 谢康和[17] 、李西斌 等[18]和刘加才[19]研究了半透水边界对堆载预压地 基固结特性的影响,但对真空预压地基固结特性的 研究目前却很少有文献报道. 实际上只要把真空预 压砂井地基的下边界按照实际情况修改为半透水边 界,就可以理论揭示最终真空度随砂井深度线性衰 减的分布规律,从而更深刻地展现真空预压砂井地 基固结加固的力学机理. 为此,把砂井地基上下边 界视为半透水边界,借鉴 Hansbo 固结解析理论[13] , 获得了真空联合堆载预压下砂井地基的固结解析 解,揭示了上下边界透水特性对真空联合堆载预压 下地基固结度和沉降的影响规律. 1 等应变条件下的固结解析解 1郾 1 固结方程 砂井地基单井计算简图如图 1 所示. r 和 z 为 径向和竖向坐标,t 为时间. rw为砂井半径,dw为砂 井直径,re 为砂井影响区半径,dw 为砂井影响区直 径,rs为涂抹区半径,ds为涂抹区直径,s = rs / rw ,H 为 软土层层厚,酌w为水容重. 假定堆载是骤然施加到 地基上的,堆载附加应力沿地基深度按 p0 ( z)变化; 真空预压荷载以负孔隙压力 - u0 作用在地基顶部 边界. 图 1 单井固结分析简图 Fig. 1 Analysis schematic of a unit cell 本文理论求解砂井地基固结问题的基本假 设为: (1)与 Hansbo 一样,假定竖向固结可以忽略, 只需要考虑砂井地基的径向固结. (2)Terzaghi 有效应力原理成立,饱和土的应力 应变关系符合线弹性本构模型, 压缩模量 Es 为 常数. (3)达西定理成立. 砂井井料的渗透系数为 kw ;涂抹区土体的水平向渗透系数为 ks;未扰动原状 土的渗透系数为 kh ,啄 = ks / kh . (4)等应变假定成立. 地基无侧向变形而只有 竖向变形,同一深度平面上任意一点的竖向变形 相等. (5)由于砂井的直径很小,故假定砂井内孔压 沿径向的变化可以忽略不计,砂井中任一深度处向 上水流的增量等于土中渗入砂井的流量. ·784·

胡亚元：半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解 ·785· 设u为土体部分的孔压，E为土体体应变，根据 得： 假设(1)~(4)，可获得砂井地基土体部分的固结方 程为-： -rd8. 2k,r Tn≤r≤I; (8) 06.=-1 au or (1) Y.-r06 E.at 2ky r dt’ r≤r≤re du]ds Tw≤r≤T; 把r=r代入式(8)后再代人到式(4)得： (2) a业=-m(2-)ye (9) r ar ly. =t, T≤r≤Ie 与Hansbo和Indraratna等一样，假定ae,/分 式(1)中的“为砂井地基土体部分的径向平均孔 t不随深度z发生变化，式(9)的通解为： 压，其公式为： u.=atr) (10) 1 π(-)J 2wrudr (3) gw at 2 度： 设u.为砂井部分的孔压，9为单位梯度的砂井 流量(q。=Ak.,A为砂井的截面积)，根据前文基 n=t (11) 本假设(3)和假设(5)可获得砂井渗流连续方程 (1+RL)RU 为7-1： a=1+RL)Ru+R (12a) d'u RRU e2s、 2Trk,du qw or r=m (4) B.=R+1)Rv+Rat (12b) 1.2边界和初值条件 (E±+1)Re (1)假定在r=r.处沿径向为不透水边界，有： 2 (12c) ou (R+1)Ro+R =0 ar r=re (5) 把式(10)代入式(6a)和(6b)后，利用式(11)和式 (2)假定砂井地基的上下边界为半透水边界， (12a)~(12c)求解得： 砂井排水体上边界（顶部边界）条件为： a=(m-1)Y,fe-a,(13a) R.at 2n=日(u.+o) (6a) 6=mr(m-1)ymas+尽 下边界（底部边界）条件为： Γt+日。(13b) 把(13a)和(13b)代入到式(10)得： ou. R 0z:=H (6h) &=-(a-R言)+.-)fex 式(6a)~(6b)中，R.u和RL分别为砂井上下边界的 gw 透水系数，Ru=kuH/(kLu)和RL=kH/(k.L), k和k分别为砂垫层和下卧层的渗透系数，L,和L (是+n.后20 22 (14) 分别为砂垫层和下卧层的等效厚度s-).当Ru= 根据假定(5)忽略砂井内孔压沿径向的变化，根据 砂井壁上的孔压连续条件得： R=∞时是透水边界，当RL=0时下边界为不透 ul=.=山 (15) 水边界 对式(8)从r.到r积分并利用式(14)~(15)后按式 (3)由于载荷是骤然施加的，根据有效应力原 (3)平均得： 理可知增加的超孔压值等于附加应力值P。(z).另 外，抽真空形成的负孔压在初始时刻只作用在边界 a=y②e-(-R.言) 2kp at ,(16) 上，土体内部的负孔压为零，故初始时刻土体的孔压 式中： 值为7-8)： g(z)=F.+ ul:=o=po(z) (7) 1.3固结方程Hansbo法求解 由于砂井地基满足等应变条件，故aε/t不随 半径发生变化，对式(2)从t.到，积分并利用式(5) E.血n+(合-1)（s+

胡亚元: 半透水边界砂井真空联合堆载预压 Hansbo 固结解 设 u 为土体部分的孔压,着自为土体体应变,根据 假设(1) ~ (4),可获得砂井地基土体部分的固结方 程为[7鄄鄄13] : 鄣着自 鄣t = - 1 Es 鄣 ( u 鄣t (1) - 1 r 鄣 鄣 [ r ks 酌w r 鄣u 鄣 ] r = 鄣着自 鄣t , rw臆r臆rs; - 1 r 鄣 鄣 [ r kh 酌w r 鄣u 鄣 ] r = 鄣着自 鄣t , rs臆r臆re ì î í ï ï ï ï . (2) 式(1)中的 ( u 为砂井地基土体部分的径向平均孔 压,其公式为: ( u = 1 仔(r 2 e - r 2 w ) 乙 re rw 2仔rudr (3) 设 uw为砂井部分的孔压,qw为单位梯度的砂井 流量( qw = Aw kw ,Aw为砂井的截面积),根据前文基 本假设(3) 和假设(5) 可获得砂井渗流连续方程 为[7鄄鄄13] : 鄣 2 uw 鄣z 2 = - 2仔rw ks qw 鄣u 鄣r r = rw (4) 1郾 2 边界和初值条件 (1)假定在 r = re处沿径向为不透水边界,有: 鄣u 鄣r r = re = 0 (5) (2)假定砂井地基的上下边界为半透水边界, 砂井排水体上边界(顶部边界)条件为: 鄣uw 鄣z z = 0 = RwU H (uw + u0 ) (6a) 下边界(底部边界)条件为: 鄣uw 鄣z z = H = - RwL H uw (6b) 式(6a) ~ (6b)中,RwU和 RwL分别为砂井上下边界的 透水系数,RwU = kUH/ ( kw LU ) 和 RwL = kLH/ ( kw LL ), kU和 kL分别为砂垫层和下卧层的渗透系数,LU和 LL 分别为砂垫层和下卧层的等效厚度[18鄄鄄19] . 当 RwU = RwL = 肄 时是透水边界,当 RwL = 0 时下边界为不透 水边界. (3)由于载荷是骤然施加的,根据有效应力原 理可知增加的超孔压值等于附加应力值 p0 ( z). 另 外,抽真空形成的负孔压在初始时刻只作用在边界 上,土体内部的负孔压为零,故初始时刻土体的孔压 值为[7鄄鄄8] : u | t = 0 = p0 (z) (7) 1郾 3 固结方程 Hansbo 法求解 由于砂井地基满足等应变条件,故鄣着自 / 鄣t 不随 半径发生变化,对式(2)从 re到 r 积分并利用式(5) 得: 鄣u 鄣r = 酌w 2ks r 2 e - r 2 r 鄣着自 鄣t , rw臆r臆rs; 酌w 2kh r 2 e - r 2 r 鄣着自 鄣t , rs臆r臆re ì î í ï ï ï ï . (8) 把 r = rw代入式(8)后再代入到式(4)得: 鄣 2 uw 鄣z 2 = - 仔(r 2 e - r 2 w )酌w qw 鄣着自 鄣t (9) 与 Hansbo [13]和 Indraratna 等[9]一样,假定鄣着自 / 鄣 t 不随深度 z 发生变化,式(9)的通解为: uw = a + bz - 仔(r 2 e - r 2 w )酌w qw 鄣着自 鄣t z 2 2 (10) 令: n = re rw (11) 琢w = (1 + RwL )RwU (1 + RwL )RwU + RwL (12a) 茁w = RwLRwU (RwL + 1)RwU + RwL (12b) 浊w ( = RwL 2 + 1 ) RwU (RwL + 1)RwU + RwL (12c) 把式(10)代入式(6a) 和(6b) 后,利用式(11) 和式 (12a) ~ (12c)求解得: a = 仔r 2 w (n 2 - 1)酌wH 2 qw 浊w RwU 鄣着自 鄣t - 琢w u0 (13a) b = 仔r 2 w (n 2 - 1)酌wH浊w qw 鄣着自 鄣t + 茁w H u0 (13b) 把(13a)和(13b)代入到式(10)得: uw = - ( 琢w - 茁w z ) H u0 + 仔r 2 w 酌w (n 2 - 1)H 2 qw 鄣着自 鄣t ( 伊 浊w RwU + 浊w z H - z 2 2H 2 ) (14) 根据假定(5)忽略砂井内孔压沿径向的变化,根据 砂井壁上的孔压连续条件得: u | r = rw = uw (15) 对式(8)从 rw到 r 积分并利用式(14) ~ (15)后按式 (3)平均得: ( u = 酌w r 2 e 灼a(z) 2kh 鄣着自 鄣t - ( 琢w - 茁w z ) H u0 (16) 式中: 灼a(z) = Fa + 8RJ (1 - 1 n 2 ) ( 浊w RwU + 浊w z H - z 2 2H 2 ) (17a) Fa = n 2 n 2 [ - 1 ln n + ( 1 啄 - 1 ) (ln s + ·785·

·786· 工程科学学报，第40卷，第7期 3n2-1 4n 4n2 (17b) k R=4q。 (17c) 签警- (26) 式中的R,称为井阻因子.把式(1)代入式(16)得： 对式(1)等式两边按深度z求平均值后代入式 e品- (26)得： 2E,kn at ,(18) (27) 令： x说 对初始条件式(7)也按整个地基求平均值得： =7. (19) al=0= 1 对式(18)求解并利用式(7)和式(19)得： 2p(z)drd:=Po (-2)HJ0J (28) a=【(a.-R.音)4+o()] 对式(27)求解并利用式(28)得： 即【船】--a小 (20) =a号)m(-)- 深度z横截面上固结增加的平均有效应力为： (a-是) 29) G(,)=po(e)-i()=(a.-B月)+ 整个地基的平均有效应力为： )-a-.音+ne小ep【] G'=P0-M= (21) I.号+元-e卿(-买川 由式(21)可得深度z横截面上的最终平均有效应 30) 力为： 整个地基的平均最终有效应力为： G.(=)=limg'(z)=(a.-B.)uo+po(=) a(e)=im(e)=(a.-是)+。(31) (22) 故整个地基总的固结度为： 深度z横截面上的固结度为： G'(z.t)=1-exp (32) u(,0=G.(a） 8T 23) 八w哥-1-m 从式(30)可得真空预压固结增加的平均有效应 总所周知，砂井地基的Hansbo固结解只是一个 力为： 近似解答)，因此按照不同思路获得的总固结度可 能有所不同.例如，一些学者采用式(23)来计算整 0=0a-是) (33) 个砂井地基的总固结度可)，其公式为： 堆载固结增加的平均有效应力为： 01-a卿【-l止 (34) (24) s(t)=U(t)Po 由式(33)和式(34)可得真空预压固结引起的沉降 用式(24)作为近似公式来计算砂井地基固结 Sv(t)和堆载引起的沉降S(t)为 度当然也是可以的.但由于式(24)无法表示成初等 函数表达式，因此本文按照Indraratna等推荐的 s00n-.-号层 (35) 近似方法来推求整个地基的固结度公式 HPo (36) 令： 5e)e=-iu E. 即： (37) R.+风8-是)（经+受-石） (25) 00-w号) 对式(16)按深度求平均值可得整个地基的平均孔 s.0=i(t0） s,()=Hp/E. (38) 压u为： 式(37)~(38)中的Sv(t)和S(t)分别称为真空预

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期 1 - s 2 n 2 + s 4 - 1 4n 4 ) ] - 3n 2 - 1 4n 2 (17b) RJ = 仔H 2 kh 4qw (17c) 式中的 RJ称为井阻因子. 把式(1)代入式(16)得: ( u = - 酌w r 2 e 灼a(z) 2Es kh 鄣 ( u 鄣t - ( 琢w - 茁w z ) H u0 (18) 令: ch = khEs 酌w ,Th = ch t d 2 e = ch t 4r 2 e (19) 对式(18)求解并利用式(7)和式(19)得: ( u = [ ( 琢w - 茁w z ) H u0 + p0 (z) ]· exp [ - 8Th 灼a(z ] ) - ( 琢w - 茁w z ) H u0 (20) 深度 z 横截面上固结增加的平均有效应力为: ( 滓忆(z,t) = p0 (z) - ( u(z) = ( 琢w - 茁w z ) H u0 + p0 (z) - [ ( 琢w - 茁w z ) H u0 + p0 (z) ] exp [ - 8Th 灼a(z ] ) (21) 由式(21) 可得深度 z 横截面上的最终平均有效应 力为: ( 滓忆肄 (z) = lim t寅肄 ( 滓忆(z) = ( 琢w - 茁w z ) H u0 + p0 (z) (22) 深度 z 横截面上的固结度为: U(z,t) = ( 滓忆(z,t) ( 滓忆肄 (z) = 1 - exp [ - 8Th 灼a(z ] ) (23) 总所周知,砂井地基的 Hansbo 固结解只是一个 近似解答[11] ,因此按照不同思路获得的总固结度可 能有所不同. 例如,一些学者采用式(23)来计算整 个砂井地基的总固结度 Ue [13] ,其公式为: Ue(t) = 1 - 1 H 乙 H 0 exp [ - 8Th 灼a(z ] ) dz (24) 用式(24)作为近似公式来计算砂井地基固结 度当然也是可以的. 但由于式(24)无法表示成初等 函数表达式,因此本文按照 Indraratna 等[9] 推荐的 近似方法来推求整个地基的固结度公式. 令: 灼a = 1 H 乙 H 0 灼a(z)dz = Fa + RJ (8 - 8 n 2 ) ( 浊w RwU + 浊w 2 - ) 1 6 (25) 对式(16)按深度求平均值可得整个地基的平均孔 压 u 为: u = 1 H 乙 H 0 ( udz = 酌w r 2 e 灼a 2kh 鄣着自 鄣t - ( 琢w - 茁w ) 2 u0 (26) 对式(1 ) 等式两边按深度 z 求平均值后代入式 (26)得: u = - 酌w r 2 e 灼a 2Es kh 鄣u 鄣t - ( 琢w - 茁w ) 2 u0 (27) 对初始条件式(7)也按整个地基求平均值得: u | t = 0 = 1 仔(r 2 e - r 2 w )H 乙 H 0 乙 re rw 2仔rp0 (z)drdz = p0 (28) 对式(27)求解并利用式(28)得: u = [ ( 琢w - 茁w ) 2 u0 + p0 ] exp ( - 8Th 灼 ) a ( - 琢w - 茁w ) 2 u0 (29) 整个地基的平均有效应力为: 滓忆 = p0 - u [ ( = 琢w - 茁w ) 2 u0 + p0 ] [1 - exp ( - 8Th 灼 ) ] a (30) 整个地基的平均最终有效应力为: 滓忆肄 (z) = lim t寅肄 滓忆(z) = ( 琢w - 茁w ) 2 u0 + p0 (31) 故整个地基总的固结度为: U(t) = 滓忆 滓忆肄 = 1 - exp ( - 8Th 灼 ) a (32) 从式(30) 可得真空预压固结增加的平均有效应 力为: 滓忆V(t) = U(t) ( 琢w - 茁w ) 2 u0 (33) 堆载固结增加的平均有效应力为: 滓忆S (t) = U(t)p0 (34) 由式(33)和式(34)可得真空预压固结引起的沉降 SV(t)和堆载引起的沉降 SS (t)为 SV(t) = 滓忆V(t) Es H = U(t) ( 琢w - 茁w ) 2 Hu0 Es (35) SS (t) = 滓S (t) Es H = U(t) Hp0 Es (36) 即: SV(t) = SV(t) Hu0 / Es = U(t) ( 琢w - 茁w ) 2 (37) SS (t) = SS (t) Hp0 / Es = U(t) (38) 式(37) ~ (38)中的 SV (t)和 SS (t)分别称为真空预 ·786·

胡亚元：半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解 ·787· 压和堆载预压引起的量纲为一的沉降. 0 1.4最终有效应力分析 根据式(20)可得固结完成后（即T.→∞）深度 z处沿径向平均的最终孔压分布为： a()=-(a-g.音)4 (39) 根据式(14)、式(17)和式(39)可得固结完成后砂井 内深度：处的最终孔压分布为： R u.(a)=-(a.-) (40) 根据式(39)~(40)可知，真空联合堆载预压下 0 3 1.0 砂井地基的最终孔压为负孔压，其分布特性与真空 可a 预压施加在上边界上的负孔压数值以及a.和B. 相关.根据式(12a)~(12b)可知.和B.的数值取 图2R=x时RL对=/o随：分布特性的影响 决于砂井上下边界的透水系数Ru和RL:由于o Fig.2 Effect of Ron the distribution characteristics of /uo as a function of z at R= 为真空预压压力，故真空联合堆载预压下砂井地基 的最终负孔压只与真空预压压力有关而与堆载预压 331.0 547 压力无关.上下边界的透水系数会影响最终负孔压 的大小和沿深度的线性衰减率.从式(22)可以看 出，不管上下边界的透水系数如何变化，堆载预压引 起的最终有效应力沿深度变化函数始终为P。(z), 因此上下边界的透水特性不会影响堆载预压固结引 起的最终有效应力，因而不会影响堆载预压引起的 竞 R 最终沉降量.但上下边界的透水系数会通过式 (12a)~(12b)改变a.和B.值，影响真空预压u,引 起的最终有效压力的大小和沿深度的线性衰减率， 从而影响真空预压固结引起的地基最终沉降.这说 0 导 明半透水边界对真空预压的影响规律与堆载预压相 v.(ayun 比具有较大的不同， 图3RL=0.5时R.u对./o随：分布特性的影响 令σ{(z)为真空预压引起的最终有效应力，图 Fig.3 Effect of R on the distribution characteristics of v/uo as 2给出了Ru=时不同R对σz(z)/uo随深度z a function of z at R=0.5 分布特性的影响.图3给出了RL=0.5时不同Ru 对σ.(z)/。随深度z分布特性的影响. 孔压沿深度分布也是不均匀的.堆载预压固结完成 从图2和图3可以看出，边界透水系数对真空 的渗透条件是超孔压等于零，砂井和周围环境之间 预压引起的最终有效应力沿深度分布特性具有明显 因孔压重新恢复平衡而导致渗流量等于零，固结沉 影响.造成这一影响的原因是真空预压造成砂井地 降也因此不再增加.由于真空预压固结完成条件与 基区域内的孔压即使在固结完成时也小于地基底部 堆载预压的不同，因此在半透水边界砂井地基一维 土体中的孔压.在半透水边界条件下，部分孔隙水 固结中，真空预压引起的土体有效应力会随深度发 在负压作用下始终从砂井底部土体流入砂井地基， 生衰减变化，而堆载预压引起的有效应力不会随深 造成真空预压固结完成时的渗透条件与堆载预压固 度发生衰减变化. 结完成时的渗透条件完全不一样真空预压固结完 现在分析一种特殊的边界条件，即下边界透水 成的渗流条件是砂井中任意深度孔隙水的上部排水 系数R.=0.把这一条件代入式(12a)~(12b)得 量等于下部流入量，土体的孔隙比保持不变，相应地 a.=1和B=0,此时式(39)退化为u(z)=-,预 土体也不再增加沉降变形而导致固结结束.真空预 压固结引起的最终有效应力由式(22)可知σ(z)= 压固结完成时孔隙水渗流量是不等于零的，相应地 o这一结果表明，当R=0时，不管上边界透水

胡亚元: 半透水边界砂井真空联合堆载预压 Hansbo 固结解 压和堆载预压引起的量纲为一的沉降. 1郾 4 最终有效应力分析 根据式(20)可得固结完成后(即 Th寅肄 )深度 z 处沿径向平均的最终孔压分布为: ( u(z) = - ( 琢w - 茁w z ) H u0 (39) 根据式(14)、式(17)和式(39)可得固结完成后砂井 内深度 z 处的最终孔压分布为: uw (z) = - ( 琢w - 茁w z ) H u0 (40) 根据式(39) ~ (40)可知,真空联合堆载预压下 砂井地基的最终孔压为负孔压,其分布特性与真空 预压施加在上边界上的负孔压数值 u0以及 琢w和 茁w 相关. 根据式(12a) ~ (12b)可知 琢w和 茁w的数值取 决于砂井上下边界的透水系数 RwU和 RwL . 由于 u0 为真空预压压力,故真空联合堆载预压下砂井地基 的最终负孔压只与真空预压压力有关而与堆载预压 压力无关. 上下边界的透水系数会影响最终负孔压 的大小和沿深度的线性衰减率. 从式(22) 可以看 出,不管上下边界的透水系数如何变化,堆载预压引 起的最终有效应力沿深度变化函数始终为 p0 ( z), 因此上下边界的透水特性不会影响堆载预压固结引 起的最终有效应力,因而不会影响堆载预压引起的 最终沉降量. 但上下边界的透水系数会通过式 (12a) ~ (12b)改变 琢w和 茁w值,影响真空预压 u0引 起的最终有效压力的大小和沿深度的线性衰减率, 从而影响真空预压固结引起的地基最终沉降. 这说 明半透水边界对真空预压的影响规律与堆载预压相 比具有较大的不同. 令 滓忆V肄 (z)为真空预压引起的最终有效应力,图 2 给出了 RwU = 肄 时不同 RwL对 滓忆V肄 (z) / u0 随深度 z 分布特性的影响. 图 3 给出了 RwL = 0郾 5 时不同 RwU 对 滓忆V肄 (z) / u0 随深度 z 分布特性的影响. 从图 2 和图 3 可以看出,边界透水系数对真空 预压引起的最终有效应力沿深度分布特性具有明显 影响. 造成这一影响的原因是真空预压造成砂井地 基区域内的孔压即使在固结完成时也小于地基底部 土体中的孔压. 在半透水边界条件下,部分孔隙水 在负压作用下始终从砂井底部土体流入砂井地基, 造成真空预压固结完成时的渗透条件与堆载预压固 结完成时的渗透条件完全不一样. 真空预压固结完 成的渗流条件是砂井中任意深度孔隙水的上部排水 量等于下部流入量,土体的孔隙比保持不变,相应地 土体也不再增加沉降变形而导致固结结束. 真空预 压固结完成时孔隙水渗流量是不等于零的,相应地 图 2 RwU = 肄 时 RwL对 滓忆V肄 / u0 随 z 分布特性的影响 Fig. 2 Effect of RwL on the distribution characteristics of 滓忆V肄 / u0 as a function of z at RwU = 肄 图 3 RwL = 0郾 5 时 RwU对 滓忆V肄 / u0 随 z 分布特性的影响 Fig. 3 Effect of RwU on the distribution characteristics of 滓忆V肄 / u0 as a function of z at RwL = 0郾 5 孔压沿深度分布也是不均匀的. 堆载预压固结完成 的渗透条件是超孔压等于零,砂井和周围环境之间 因孔压重新恢复平衡而导致渗流量等于零,固结沉 降也因此不再增加. 由于真空预压固结完成条件与 堆载预压的不同,因此在半透水边界砂井地基一维 固结中,真空预压引起的土体有效应力会随深度发 生衰减变化,而堆载预压引起的有效应力不会随深 度发生衰减变化. 现在分析一种特殊的边界条件,即下边界透水 系数 RwL = 0. 把这一条件代入式(12a) ~ (12b)得 琢w = 1 和 茁w = 0,此时式(39)退化为 ( u(z) = - u0 ,预 压固结引起的最终有效应力由式(22)可知 滓忆V肄 (z) = u0 . 这一结果表明,当 RwL = 0 时,不管上边界透水 ·787·

·788· 工程科学学报，第40卷，第7期 系数如何变化，真空预压引起的最终有效应力均等 T 于u。,最终沉降均等于Hu,/E.这说明下边界透水 10-2 10- 10 10 102 T 特性对真空预压最终负孔压分布、最终有效应力分 0.2 布和最终沉降的影响比上边界明显 ·—R,=0 1.5 Hanbso固结解的退化 0.4 R=1 一R=3 当R.u=o、R=0和u=0时式(21)变为： 0.6 (e)=na1-ep【-]} (41) 0.8 式(41)与单纯堆载预压条件下Hanbso固结解相 1.0H 华甲停导带●季一季●神到 同) 图6R=0.5时RL对堆载预压S的影响 2透水系数对固结度与沉降的影响分析 Fig.6 Effect of R on Ss of surcharge preloading at R=0.5 2.1上边界完全透水下边界半透水情形 100: ●带带一参一●带到 —R=0 取n=18,s=2,8=0.25,R=0.5~5,Ru= 一R=1 80 R1-3 .根据式(32)、式(37)和式(38)可得砂井地基下 +R=0 60 边界R对固结度U、真空预压量纲一沉降Sv和堆 载预压量纲一沉降S、的影响规律，如图4~9所示. 40 100 20 —R=0 80 一R=3 10-1 109 10 102 +R= 60 T 图7R=5时RL对固结度U的影响 40 Fig.7 Effect of R on consolidation degree U at R=5 T 102 101 10P 10 102 0- 10 10P 10 R=0 0.2 图4R=0.5时R,对固结度0的影响 —R=3 0.4 R= Fig.4 Effect of R.L on the consolidation degree U at R=0.5 0.6 T 10-2 10- 109 10 10 0.8 —R,=0 1.0叶 0.2 -R=1 R-3 R=0 图8R=5时RL对真空预压S,的影响 0.4 ◆+中4一◆◆++中t料 Fig.8 Effect of RL on Sy of vacuum preloading at R=5 0.6 较小，可以忽略不计.但当R=5时，R变化明显 0.8 影响固结度的大小，此时当井阻较大时R.,变化对 1.0 量一中一号利 固结度的影响不可忽略.从图5和图8可以看出， 图5R,=0.5时RL对真空预压Sv的影响 固结时间因子相同时，真空预压的量纲一沉降S,随 Fig.5 Effect of RL on Sy of vacuum preloading at R=0.5 着R增大却明显减小.造成这一现象的原因是S、 等于固结度与真空预压量纲一最终沉降之间的乘 从图4和图7可以看出，无论R,=0.5还是 积.从式(12a)~(12)和式(35)可以看出R.L越 R,=5,随着砂井下边界透水系数R逐渐增大，砂 大，真空预压的最终沉降越小，相应地量纲一最终沉 井地基的固结度也逐渐增大.对比图4和图7还可 降也小.由于R对真空预压最终沉降的影响比对 以看出，当R,=0.5时R,的变化对固结度的影响比 固结度的影响更加明显，因此，同一固结时间因子

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期 系数如何变化,真空预压引起的最终有效应力均等 于 u0 ,最终沉降均等于 Hu0 / Es . 这说明下边界透水 特性对真空预压最终负孔压分布、最终有效应力分 布和最终沉降的影响比上边界明显. 1郾 5 Hanbso 固结解的退化 当 RwU = 肄 、RwL = 0 和 u0 = 0 时式(21)变为: ( 滓忆(z) = p0 (z) { 1 - exp [ - 8Th 灼a(z ] } ) (41) 式(41) 与单纯堆载预压条件下 Hanbso 固结解相 同[13] . 2 透水系数对固结度与沉降的影响分析 2郾 1 上边界完全透水下边界半透水情形 取 n = 18,s = 2, 啄 = 0郾 25,RJ = 0郾 5 ~ 5,RwU = 肄 . 根据式(32)、式(37)和式(38)可得砂井地基下 边界 RwL对固结度 U、真空预压量纲一沉降 SV 和堆 载预压量纲一沉降 SS 的影响规律,如图 4 ~ 9 所示. 图 4 RJ = 0郾 5 时 RwL对固结度 U 的影响 Fig. 4 Effect of RwL on the consolidation degree U at RJ = 0郾 5 图 5 RJ = 0郾 5 时 RwL对真空预压 SV 的影响 Fig. 5 Effect of RwL on SV of vacuum preloading at RJ = 0郾 5 从图 4 和图 7 可以看出,无论 RJ = 0郾 5 还是 RJ = 5,随着砂井下边界透水系数 RwL逐渐增大,砂 井地基的固结度也逐渐增大. 对比图 4 和图 7 还可 以看出,当 RJ = 0郾 5 时 RwL的变化对固结度的影响比 图 6 RJ = 0郾 5 时 RwL对堆载预压 SS 的影响 Fig. 6 Effect of RwL on SS of surcharge preloading at RJ = 0郾 5 图 7 RJ = 5 时 RwL对固结度 U 的影响 Fig. 7 Effect of RwL on consolidation degree U at RJ = 5 图 8 RJ = 5 时 RwL对真空预压 SV 的影响 Fig. 8 Effect of RwL on SV of vacuum preloading at RJ = 5 较小,可以忽略不计. 但当 RJ = 5 时,RwL变化明显 影响固结度的大小,此时当井阻较大时 RwL变化对 固结度的影响不可忽略. 从图 5 和图 8 可以看出, 固结时间因子相同时,真空预压的量纲一沉降 SV 随 着 RwL增大却明显减小. 造成这一现象的原因是 SV 等于固结度与真空预压量纲一最终沉降之间的乘 积. 从式(12a) ~ (12b) 和式(35) 可以看出 RwL 越 大,真空预压的最终沉降越小,相应地量纲一最终沉 降也小. 由于 RwL对真空预压最终沉降的影响比对 固结度的影响更加明显, 因此,同一固结时间因子 ·788·

胡亚元：半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解 ·789. T 102 10-1 10P 10 102 102 101 10 10 102 0.1 —R=0 0.2 一R=0 9—R=1 一R=1 0.2 R=3 -R-3 0.3 0.4 R= 0.4 0.6 0.5 0.6 一—。中年年4科 0.8 0.7 0.8 1.0 0002￥ 0.9 图9R,=5时RL对堆载预压S的影响 图11R=0.5时R.u对真空预压Sv的形响 Fig.9 Effect of Rt on Ss of surcharge preloading at R=5 Fig.11 Effect of R.u on Sy of vacuum preloading at R=0.5 下S,呈现出随着下边界透水系数的增加逐渐减小 的规律.故在真空预压工程实践中，当砂井地基底 102 10 10 10 102 部存在贯通砂土层时，砂井不能贯穿到砂土层，而应 保留一定的密封间距.从图6和图9可以看出R 0.2 ·-R=0 R=1 越大堆载预压的固结沉降越大.主要原因是下边界 R=3 0.4 +一R= 透水条件变化不会对堆载预压的最终沉降产生影 响，而下边界透水系数越大，同一固结时间因子下堆 0.6 载预压引起的固结度也越大，故下边界透水系数增 0.8 大时同一固结时间因子下堆载预压引起的固结沉降 1.0 也增大.上述分析表明下边界透水条件对真空预压 的影响与堆载预压相比两者有较大的差别. 图12R=0.5时Ru对堆载预压S的影响 2.2下边界透水系数恒定上边界半透水情形 Fig.12 Effect of Ru on Ss of surcharge preloading at R=0.5 取n=18,s=2,8=0.25,R=0.5,RL=0.5. 沉降与固结度之乘积.从式(12a)~(12b)和式 根据式(32)、式(37)和式(38)可得砂井上边界Rw (36)可以看出R越大，真空预压的最终沉降或保 对固结度U、真空预压量纲一沉降S,和堆载预压量 持不变(R.L=0)或逐渐增大(R.L≠0)，同时固结时 纲一沉降S、的影响规律，如图10~12所示. 间因子相同时R越大固结度也越大，因此在图11 100r 中同一固结时间因子下S、呈现出随着上边界透水 -R=0 -R=1 系数增加逐渐增大的规律.从图12可以看出R越 80 R1-3 一R= 大堆载预压的固结沉降越大.主要原因是边界透水 60 条件的变化不会对堆载预压的最终沉降产生影响， 40 而上边界透水系数越大，相同固结时间因子时堆载 预压引起的固结度也越大，故同一固结时间因子下 20 堆载预压引起的量纲一固结沉降呈现出随着上边界 L L 10-2 101 透水系数增加而增加的变化规律. 10 109 102 T 3 与几种固结度经典解的比较 图10R1=0.5时R.u对固结度U的影响 Fig.10 Effect of R.u on consolidation degree Uat R =0.5 在实际工程中，可以通过现场监测获得固结完 成时真空度沿深度分布图，假定固结完成时砂井地 从图10可以看出，随着砂井上边界透水系数 基顶部（砂垫层下）真空压力与膜下压力的比值为 R逐渐增大，固结时间因子相同时真空预压的固结 ,底部真空压力与膜下压力的比值为专，则根据式 度也逐渐增大.从图11可以看出，固结时间因子相 (39)有： 同时真空预压的量纲一沉降S,随着Ru增大而明 Q=5TB.=5T-58 (42) 显增大.造成这一现象的原因是固结沉降等于最终 利用式(12a)和(12b)可得：

胡亚元: 半透水边界砂井真空联合堆载预压 Hansbo 固结解 图 9 RJ = 5 时 RwL对堆载预压 SS 的影响 Fig. 9 Effect of RwL on SS of surcharge preloading at RJ = 5 下 SV 呈现出随着下边界透水系数的增加逐渐减小 的规律. 故在真空预压工程实践中,当砂井地基底 部存在贯通砂土层时,砂井不能贯穿到砂土层,而应 保留一定的密封间距. 从图 6 和图 9 可以看出 RwL 越大堆载预压的固结沉降越大. 主要原因是下边界 透水条件变化不会对堆载预压的最终沉降产生影 响,而下边界透水系数越大,同一固结时间因子下堆 载预压引起的固结度也越大,故下边界透水系数增 大时同一固结时间因子下堆载预压引起的固结沉降 也增大. 上述分析表明下边界透水条件对真空预压 的影响与堆载预压相比两者有较大的差别. 2郾 2 下边界透水系数恒定上边界半透水情形 取 n = 18,s = 2, 啄 = 0郾 25, RJ = 0郾 5,RwL = 0郾 5. 根据式(32)、式(37)和式(38)可得砂井上边界 RwU 对固结度 U、真空预压量纲一沉降 SV 和堆载预压量 纲一沉降 SS 的影响规律,如图 10 ~ 12 所示. 图 10 RJ = 0郾 5 时 RwU对固结度 U 的影响 Fig. 10 Effect of RwU on consolidation degree U at RJ = 0郾 5 从图 10 可以看出,随着砂井上边界透水系数 RwU逐渐增大,固结时间因子相同时真空预压的固结 度也逐渐增大. 从图 11 可以看出,固结时间因子相 同时真空预压的量纲一沉降 SV 随着 RwU增大而明 显增大. 造成这一现象的原因是固结沉降等于最终 图 11 RJ = 0郾 5 时 RwU对真空预压 SV 的影响 Fig. 11 Effect of RwU on SV of vacuum preloading at RJ = 0郾 5 图 12 RJ = 0郾 5 时 RwU对堆载预压 SS 的影响 Fig. 12 Effect of RwU on SS of surcharge preloading at RJ = 0郾 5 沉降与固结度之乘积. 从式(12a) ~ (12b) 和式 (36)可以看出 RwU越大,真空预压的最终沉降或保 持不变(RwL = 0)或逐渐增大(RwL屹0),同时固结时 间因子相同时 RwU越大固结度也越大,因此在图 11 中同一固结时间因子下 SV 呈现出随着上边界透水 系数增加逐渐增大的规律. 从图 12 可以看出 RwU越 大堆载预压的固结沉降越大. 主要原因是边界透水 条件的变化不会对堆载预压的最终沉降产生影响, 而上边界透水系数越大,相同固结时间因子时堆载 预压引起的固结度也越大,故同一固结时间因子下 堆载预压引起的量纲一固结沉降呈现出随着上边界 透水系数增加而增加的变化规律. 3 与几种固结度经典解的比较 在实际工程中,可以通过现场监测获得固结完 成时真空度沿深度分布图,假定固结完成时砂井地 基顶部(砂垫层下)真空压力与膜下压力的比值为 孜T ,底部真空压力与膜下压力的比值为 孜B ,则根据式 (39)有: 琢w = 孜T ,茁w = 孜T - 孜B (42) 利用式(12a)和(12b)可得: ·789·

·790. 工程科学学报，第40卷，第7期 5-8:R= 100 R.0=1-51 51-58 (43) ★一周琦等解 一本文解 80 把式(43)代入到式(25)得： 。一Indraratna等解四 玉=R+风-是川+-拉2引 60 5r-5B 3 40 (44) 式(44)是用，和：表示的.计算公式，根据式 20 (44)和式(32)可以利用，和.直接计算真空预压 10-1 10-1 10P 10 102 固结度 T 假定砂井地基顶部完全排水和负孔压随深度线 图13几种固结度经典解的比较 性衰减，indraratna等]和周琦等获得了真空预 Fig.13 Comparison among several classical solutions of the consoli- 压固结过程中的负孔压解为： dation degree (45) 土的径向渗透系数为k。=2×10-9m·s1,涂抹区 单纯考虑真空预压时P。=0,根据式(43)可知当 渗透系数为k,2,水平向固结系数C,为0.019m2· Ru=∞时r=1,故当Ru=o时本文真空预压过 d1.塑料排水板等效砂井渗透系数为5×105m· 程中的负孔压解根据式(29)、式(32)和式(42)也可 s1.真空预压的膜下真空度为-80kPa,图14是根 表示成与式(45)完全相同的形式.同时，Indraratna 据现场实测资料绘制的固结完成时真空度随深度分 等[9)和周琦等)和本文获得的固结度U(t)公式在 布图].根据图14中的线性回归线可得砂井上边 形式上也均可表示为： 界的真空度为-75kPa,下边界为-21.5kPa. 竖向真空度kPa U(t)=1-exp (46) 20 30 -40 -50 -60 -70 -80 子■ 但Indraratna等)、周琦等和本文获得的i.公式 不一样，Indraratna等求得的i.公式为： 6 .=E.+-) (47) 8 然 ◆ 周琦等四求得的计算公式为： 10 ■实测数据 一O一拟合曲线 5.=F. 12 (48) 14F ■ 本文获得的5.公式根据式(44)和R=∞得： ■ 16 .=R.+(号+2)R-) (49) 图14排水板中真空度实测值与它的回归直线图 由于0≤5.≤1，故通过对比式(47)~(49)可得，周 Fig.14 Field observations of vacuum pressure in the drained board and its regression line diagram 琦等]的固结度解大于本文固结度解大于n- draratna等[1的固结度解.取n=l8,s=2,8= 根据上述地基处理技术资料可知n=18.2,s= 0.25,R=2,Ru=o,RL=0.5,图13给出了n- 3,8=0.5,R1=2.0,5r=75/80≈0.938和g=21.5/ draratna等o)、周琦等)和本文获得的固结度随固 80≈0.269.从式(43)可知Ru=10.7和RL= 结时间因子变化图，数值分析和理论分析一致，当 2.49.从式(44)和式(32)可绘制本文理论解获得 Ru=时，周琦等山固结度解答大于本文固结度 的固结度随时间变化曲线，见图15，同时图15中还 解答大于Indraratna等[)的固结度解答 绘制了根据indraratna等f]和周琦等f理论解获得 的固结度随时间变化图，并与现场实测值进行对比， 4算例 结果表明，周琦等)获得的固结度偏大，Indraratna 浙能嘉兴港拟采用真空预压法结合塑料排水板 等9)的解答偏小，本文固结度与实测值较为吻合. 加固地基20).塑料排水板深15m,截面尺寸为100 5结论 mm×6mm,等效半径为r.=0.033m.影响半径为 T.=0.60m.涂抹区半径为砂井半径r,的3倍，原状 本文把砂井地基上下边界视为半透水边界，获

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期 RwU = 孜T - 孜B 1 - 孜T ;RwL = 孜T - 孜B 孜B (43) 把式(43)代入到式(25)得: 灼a = Fa + RJ (2 - 2 n 2 ) [ (孜T + 孜B )(2 - 孜T - 孜B ) 孜T - 孜B - ] 2 3 (44) 式(44) 是用 孜T 和 孜B 表示的 灼a 计算公式,根据式 (44)和式(32)可以利用 孜T 和 孜B 直接计算真空预压 固结度. 假定砂井地基顶部完全排水和负孔压随深度线 性衰减,Indraratna 等[9] 和周琦等[11] 获得了真空预 压固结过程中的负孔压解为: u = - U(t) ( 1 + 孜B ) 2 u0 (45) 单纯考虑真空预压时 p0 = 0,根据式(43) 可知当 RwU = 肄 时 孜T = 1,故当 RwU = 肄 时本文真空预压过 程中的负孔压解根据式(29)、式(32)和式(42)也可 表示成与式(45)完全相同的形式. 同时,Indraratna 等[9]和周琦等[11]和本文获得的固结度 U(t)公式在 形式上也均可表示为: U(t) = 1 - exp ( - 8Th 灼 ) a (46) 但 Indraratna 等[9] 、周琦等[11]和本文获得的 灼a 公式 不一样,Indraratna 等[9]求得的 灼a 公式为: 灼a = Fa + 8 3 RJ (1 - 1 n 2 ) (47) 周琦等[11]求得的 灼a1计算公式为: 灼a = Fa (48) 本文获得的 灼a 公式根据式(44)和 RwU = 肄 得: 灼a = Fa + ( 2 3 + 2孜B ) RJ (1 - 1 n 2 ) (49) 由于 0臆孜B臆1,故通过对比式(47) ~ (49)可得,周 琦等[11] 的固结度解大于本文固结度解大于 In鄄 draratna 等[9] 的固结度解. 取 n = 18, s = 2, 啄 = 0郾 25,RJ = 2,RwU = 肄 ,RwL = 0郾 5,图 13 给出了 In鄄 draratna 等[9] 、周琦等[11] 和本文获得的固结度随固 结时间因子变化图,数值分析和理论分析一致,当 RwU = 肄 时,周琦等[11] 固结度解答大于本文固结度 解答大于 Indraratna 等[9]的固结度解答. 4 算例 浙能嘉兴港拟采用真空预压法结合塑料排水板 加固地基[20] . 塑料排水板深 15 m,截面尺寸为 100 mm 伊 6 mm,等效半径为 rw = 0郾 033 m. 影响半径为 re = 0郾 60 m. 涂抹区半径为砂井半径 rw的 3 倍,原状 图 13 几种固结度经典解的比较 Fig. 13 Comparison among several classical solutions of the consoli鄄 dation degree 土的径向渗透系数为 kh = 2 伊 10 - 9 m·s - 1 ,涂抹区 渗透系数为 kh / 2, 水平向固结系数 Ch为 0郾 019 m 2· d - 1 . 塑料排水板等效砂井渗透系数为 5 伊 10 - 5 m· s - 1 . 真空预压的膜下真空度为 - 80 kPa,图 14 是根 据现场实测资料绘制的固结完成时真空度随深度分 布图[22] . 根据图 14 中的线性回归线可得砂井上边 界的真空度为 - 75 kPa,下边界为 - 21郾 5 kPa. 图 14 排水板中真空度实测值与它的回归直线图 Fig. 14 Field observations of vacuum pressure in the drained board and its regression line diagram 根据上述地基处理技术资料可知 n = 18郾 2,s = 3,啄 = 0郾 5,RJ = 2郾 0,孜T = 75 / 80抑0郾 938 和 孜B = 21郾 5 / 80抑0郾 269. 从式 (43 ) 可知 RwU = 10郾 7 和 RwL = 2郾 49. 从式(44) 和式(32) 可绘制本文理论解获得 的固结度随时间变化曲线,见图 15,同时图 15 中还 绘制了根据 Indraratna 等[9]和周琦等[11]理论解获得 的固结度随时间变化图,并与现场实测值进行对比, 结果表明,周琦等[11] 获得的固结度偏大,Indraratna 等[9]的解答偏小,本文固结度与实测值较为吻合. 5 结论 本文把砂井地基上下边界视为半透水边界,获 ·790·

胡亚元：半透水边界砂井真空联合堆载预压Hansbo固结解 .791· 100 (尹培林，王新.真空联合堆载预压软基监测.水运工程 2015(3):61) 80 [5]Indraratna B,Rujikiatkamjorn C,Ameratunga J,et al.Perform- ance and prediction of vacuum combined surcharge consolidation at Port of Brisbane.J Geotech Geoenviron Eng,2011,137 11): ·一测试数据 40 一Indraratna等解网 1009 一一周琦等解】 [6]Mohamedelhassan E,Shang JQ.Vacuum and surcharge combined 20 +一本文解 one-dimensional consolidation of clay soils.Can Geotech /2002 39(5):1126 50 100 150 200250 [7]Dong ZL.Consolidation theory on heaped load vacuum preload- 时间/d ing of sand drain foundation.Port Waterway Eng,1992(9):I 图15实测固结度与理论预测值对比图 (董志良.堆载及真空预压砂井地基固结解析理论.水运工 Fig.15 Comparison diagram of the measured consolidation degree 程，1992(9)：1) and the theoretical predicting solution [8]Guo B,Gong X N.Lu MM,et al.Analytical solution for consoli- 得了真空联合堆载预压下砂井地基的Hansbo固结 dation of vertical drains by vacuum-surcharge preloading.Chin J Geotech Eng,2013,35(6):1045 解析解.理论分析了边界透水系数对真空预压和堆 (郭彪，龚晓南，卢萌盟，等.真空联合堆载预压下竖井地基 载预压沉降和固结度的影响，获得如下结论： 固结解析解.岩土工程学报，2013,35(6)：1045) (1)边界透水条件会影响真空预压的最终孔压 [9] Indraratna B,Rujikiatkamjorn C.Sathananthan I.Analytical and 分布，从而对真空预压的最终沉降产生影响.当下 numerical solutions for a single vertical drain including the effects 边界透水系数越大时，真空预压的最终沉降越小 of vacuum preloading.Can Geotech 2005,42(4):994 [10]Tran TA,Mitachi T.Equivalent plane strain modeling of vertical 下边界不透水时，上边界透水系数不会改变真空预 drains in soft ground under embankment combined with vacuum 压的最终沉降：下边界透水或半透水时，上边界透水 preloading.Comput Geotech,2008.35(5):655 系数越大，真空预压的最终沉降越大.边界透水条 [11]Zhou Q,Zhang C X,Wang YY,et al.Hansbo's consolidation 件不会对堆载预压的最终孔压和最终有效应力产生 solution for sand-drained ground under vacuum preloading.Chin 影响，因此也不会对堆载预压的最终沉降产生影响. J Rock Mech Eng.2010,29(Suppl 2):3994 (周琦，张功新，王友元，等.真空预压条件下的砂井地基 (2)不管是真空预压还是堆载预压，固结时间 Hansbo固结解.岩石力学与工程学报，2010,29（增刊2）： 因子相同时边界透水系数越大固结度越大 3994) (3)对于固结期间的地基沉降，当固结时间因 [12]Bao S F,Zhou Q,Chen PS,et al.Consolidation analysis for 子相同时，对于真空预压，下边界的透水系数越大， sand drains foundations with non-uniform distribution of negative 固结期间的沉降越小：上边界透水系数越大，固结期 pressure boundary condition.Port Waterway Eng,2015(3):12 间的沉降越大：对于堆载预压，不管是下边界还是上 (鲍树峰，周琦，陈平山，等.负压非均匀分布边界条件下砂 井地基固结解析.水运工程，2015(3)：12) 边界，透水系数越大，固结期间的沉降均越大 [13]Hansbo S.Consolidation of fine-grained soils by prefabricated drains /Proceedings of the 10th International Conference on Soil 参考文献 Mechanics and Foundation Engineering.Stockholm,1981:677 [14]Liu J Y,Wu Z Y,Xi P.In-situ test study on performance of vac- [1]Gong X N.Ground Improvement Handbook.3rd Ed.Beijing:Ar- uum degree diffusion in SPB-1 PVD and GEODRAINL PVD. chitecture Building Press,2008 Port Waterway Eng,1990(12):1 (龚晓南.地基处理手册.3版.北京：中国建筑出版社， (刘佳有，吴正友，席平.国产SPB-1型和日本丸红GEOD- 2008) RAN-L型塑板真空度传递性能的现场试验研究.水运工 [2]Ming J P,Sun Z Y.Experimental study on deformation of soil un- 程，1990(12)：1) der vacuum unloading.Chin J Geotech Eng,2016,38(6):1081 [15]Xie K H,Zeng G X.Consolidation theories for drain wells under (明经平，孙振远。真空预压地基卸荷变形特性试验研究.。岩 equal strain condition.Chin J Geotech Eng,1989,11(2):3 土工程学报，2016,38(6)：1081) (谢康和，曾国熙。等应变条件下的砂井地基固结解析理论 [3]Kianfar K,Indraratna B.Rujikiatkamjom C,et al.Radial consol- 岩土工程学报，1989,11(2)：3) idation response upon the application and removal of vacuum and [16]Gao X,Wang C,Zhou X C,et al.Experiment of plane-strain fill loading.Can Geotech J,2015,52(12):2156 ground consolidation with drainage sand cushion.Nanjing Tech [4]Yin P L,Wang X.Analysis of observed data for soft soil founda- Univ Nat Sci Ed,2017,39(2):102 tion treatment by vacuum surcharge preloading method.Port Wa- (高翔，王创，周星辰，等.含排水砂垫层地基平面应变固结 tencay Eng,2015(3):61 试验.南京工业大学学报（自然科学版），2017,39(2)：

胡亚元: 半透水边界砂井真空联合堆载预压 Hansbo 固结解 图 15 实测固结度与理论预测值对比图 Fig. 15 Comparison diagram of the measured consolidation degree and the theoretical predicting solution 得了真空联合堆载预压下砂井地基的 Hansbo 固结 解析解. 理论分析了边界透水系数对真空预压和堆 载预压沉降和固结度的影响,获得如下结论: (1) 边界透水条件会影响真空预压的最终孔压 分布,从而对真空预压的最终沉降产生影响. 当下 边界透水系数越大时,真空预压的最终沉降越小. 下边界不透水时,上边界透水系数不会改变真空预 压的最终沉降;下边界透水或半透水时,上边界透水 系数越大,真空预压的最终沉降越大. 边界透水条 件不会对堆载预压的最终孔压和最终有效应力产生 影响,因此也不会对堆载预压的最终沉降产生影响. (2) 不管是真空预压还是堆载预压,固结时间 因子相同时边界透水系数越大固结度越大. (3)对于固结期间的地基沉降,当固结时间因 子相同时,对于真空预压,下边界的透水系数越大, 固结期间的沉降越小;上边界透水系数越大,固结期 间的沉降越大;对于堆载预压,不管是下边界还是上 边界,透水系数越大,固结期间的沉降均越大. 参 考 文 献 [1] Gong X N. Ground Improvement Handbook. 3rd Ed. Beijing: Ar鄄 chitecture & Building Press, 2008 (龚晓南. 地基处理手册. 3 版. 北京: 中国建筑出版社, 2008) [2] Ming J P, Sun Z Y. Experimental study on deformation of soil un鄄 der vacuum unloading. Chin J Geotech Eng, 2016, 38(6): 1081 (明经平, 孙振远. 真空预压地基卸荷变形特性试验研究. 岩 土工程学报, 2016, 38(6): 1081) [3] Kianfar K, Indraratna B, Rujikiatkamjorn C, et al. Radial consol鄄 idation response upon the application and removal of vacuum and fill loading. Can Geotech J, 2015, 52(12): 2156 [4] Yin P L, Wang X. Analysis of observed data for soft soil founda鄄 tion treatment by vacuum surcharge preloading method. Port Wa鄄 terway Eng, 2015(3): 61 (尹培林, 王新. 真空联合堆载预压软基监测. 水运工程, 2015(3): 61) [5] Indraratna B, Rujikiatkamjorn C, Ameratunga J, et al. Perform鄄 ance and prediction of vacuum combined surcharge consolidation at Port of Brisbane. J Geotech Geoenviron Eng, 2011, 137 ( 11 ): 1009 [6] Mohamedelhassan E, Shang J Q. Vacuum and surcharge combined one鄄dimensional consolidation of clay soils. Can Geotech J, 2002, 39(5): 1126 [7] Dong Z L. Consolidation theory on heaped load & vacuum preload鄄 ing of sand drain foundation. Port Waterway Eng, 1992(9): 1 (董志良. 堆载及真空预压砂井地基固结解析理论. 水运工 程, 1992(9): 1) [8] Guo B, Gong X N, Lu M M, et al. Analytical solution for consoli鄄 dation of vertical drains by vacuum鄄surcharge preloading. Chin J Geotech Eng, 2013, 35(6): 1045 (郭彪, 龚晓南, 卢萌盟, 等. 真空联合堆载预压下竖井地基 固结解析解. 岩土工程学报, 2013, 35(6): 1045) [9] Indraratna B, Rujikiatkamjorn C, Sathananthan I. Analytical and numerical solutions for a single vertical drain including the effects of vacuum preloading. Can Geotech J, 2005, 42(4): 994 [10] Tran T A, Mitachi T. Equivalent plane strain modeling of vertical drains in soft ground under embankment combined with vacuum preloading. Comput Geotech, 2008, 35(5): 655 [11] Zhou Q, Zhang G X, Wang Y Y, et al. Hansbo蒺s consolidation solution for sand鄄drained ground under vacuum preloading. Chin J Rock Mech Eng, 2010, 29(Suppl 2): 3994 (周琦, 张功新, 王友元, 等. 真空预压条件下的砂井地基 Hansbo 固结解. 岩石力学与工程学报, 2010, 29 (增刊 2): 3994) [12] Bao S F, Zhou Q, Chen P S, et al. Consolidation analysis for sand drains foundations with non鄄uniform distribution of negative pressure boundary condition. Port Waterway Eng, 2015(3): 12 (鲍树峰, 周琦, 陈平山, 等. 负压非均匀分布边界条件下砂 井地基固结解析. 水运工程, 2015(3): 12) [13] Hansbo S. Consolidation of fine鄄grained soils by prefabricated drains / / Proceedings of the 10th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. Stockholm, 1981: 677 [14] Liu J Y, Wu Z Y, Xi P. In鄄situ test study on performance of vac鄄 uum degree diffusion in SPB鄄鄄 1 PVD and GEODRAINL PVD. Port Waterway Eng, 1990(12): 1 (刘佳有, 吴正友, 席平. 国产 SPB鄄鄄1 型和日本丸红 GEOD鄄 RAIN鄄鄄L 型塑板真空度传递性能的现场试验研究. 水运工 程, 1990(12): 1) [15] Xie K H, Zeng G X. Consolidation theories for drain wells under equal strain condition. Chin J Geotech Eng, 1989, 11(2): 3 (谢康和, 曾国熙. 等应变条件下的砂井地基固结解析理论. 岩土工程学报, 1989, 11(2): 3) [16] Gao X, Wang C, Zhou X C, et al. Experiment of plane鄄strain ground consolidation with drainage sand cushion. J Nanjing Tech Univ Nat Sci Ed, 2017, 39(2): 102 (高翔, 王创, 周星辰, 等. 含排水砂垫层地基平面应变固结 试验. 南京工业大学学报( 自然科学版), 2017, 39 ( 2 ): ·791·

·792. 工程科学学报，第40卷，第7期 102) [19]Liu JC.Consolidation Analysis for Layered-Ground Improved by [17]Xie K H.One dimensional consolidation analysis of layered soils Sand Wells and Its Engineering Application [Dissertation].Nan- with impeded boundaries.J Zhejiang Unir Nat Sci,1996,30 jing:Hohai University,2004 (5):567 (刘加才.层状砂井地基固结分析及其工程应用【学位论 (谢康和.层状土半透水边界一维固结分析.浙江大学学报 文].南京：河海大学，2004) (自然科学版)，1996,30(5)：567) [20]Wu Y D,Wu HS.Luo R P,et al.Analytical solutions for vacu- [18]Li X B,Xie K H,Wang K H,et al.Analytical solution of 1-D um preloading consolidation considering vacuum degree attenua- visco-elastic consolidation consolidation of soils with impeded tion and change of permeability coefficient in smear zones.Ho- boundaries under cyclic loadings.Eng Mech,2004.21(5):103 hai Univ Nat Sci,2016,44(2):122 (李西斌，谢康和，王奎华，等。双面半透水边界饱和土层在 (吴跃东，吴鸿昇，罗如平，等.考虑真空度衰减及涂抹区渗 循环荷载作用下的一维粘弹性固结解析解.工程力学， 透系数变化的真空预压固结解析解.河海大学学报（自然科 2004,21(5):103) 学版)，2016,44(2)：122)

工程科学学报,第 40 卷,第 7 期 102) [17] Xie K H. One dimensional consolidation analysis of layered soils with impeded boundaries. J Zhejiang Univ Nat Sci, 1996, 30 (5): 567 (谢康和. 层状土半透水边界一维固结分析. 浙江大学学报 (自然科学版), 1996, 30(5): 567) [18] Li X B, Xie K H, Wang K H, et al. Analytical solution of 1鄄D visco鄄elastic consolidation consolidation of soils with impeded boundaries under cyclic loadings. Eng Mech, 2004, 21(5): 103 (李西斌, 谢康和, 王奎华, 等. 双面半透水边界饱和土层在 循环荷载作用下的一维粘弹性固结解析解. 工程力学, 2004, 21(5): 103) [19] Liu J C. Consolidation Analysis for Layered鄄Ground Improved by Sand Wells and Its Engineering Application [Dissertation]. Nan鄄 jing: Hohai University, 2004 (刘加才. 层状砂井地基固结分析及其工程应用 [学位论 文]. 南京: 河海大学, 2004) [20] Wu Y D, Wu H S, Luo R P, et al. Analytical solutions for vacu鄄 um preloading consolidation considering vacuum degree attenua鄄 tion and change of permeability coefficient in smear zones. J Ho鄄 hai Univ Nat Sci, 2016, 44(2): 122 (吴跃东, 吴鸿昇, 罗如平, 等. 考虑真空度衰减及涂抹区渗 透系数变化的真空预压固结解析解. 河海大学学报(自然科 学版), 2016, 44(2): 122) ·792·