基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制

工程科学学报，第40卷，第12期：1557-1568,2018年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.12:1557-1568,December 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.12.015;http://journals.ustb.edu.cn 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 孙丁山)，陈丽)四，温余彬)，段登平) 1)上海交通大学航空航天学院，上海2002402)上海工程技术大学航空运输学院，上海201620 ☒通信作者，E-mail:chen2006@sjtu.cdn.cn 摘要提出用嵌套饱和函数描述的控制律形式，可以同时解决速率和幅值约束的控制问题.建立浮空器的三自由度模型， 将除螺旋桨推力外的其他作用力作为扰动项，进而把该系统化为类积分链式系统：基于嵌套饱和控制理论，研究了类积分链 式系统的控制输入幅值及速率约束与控制器饱和函数参数的关系：以浮空器为研究对象，进行纵向和横向通道解耦控制器设 计，实现控制系统输人的幅值和速率有界.利用Lyapunov稳定性原理证明了系统的全局稳定性，分析了可调控制器参数对改 善系统的动态性能的影响，在考虑风扰动的情况下，仿真验证了控制器的有效性和鲁棒性. 关键词多螺旋桨组合浮空器：抗饱和控制器；嵌套饱和函数；幅值及速率约束；微分有界控制器 分类号V411 Nonlinear control of aerostat with input constraints based on nested saturation SUN Ding-shan),CHEN Li2),WEN Yu-bin),DUAN Deng-ping) 1)School of Acronautics and Astronautics,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China 2)School of Air Transportation,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China Corresponding author,E-mail:chen2006@sjtu.edu.cn ABSTRACT The propellers of an aerostat are prone to both amplitude and rate saturations during the movement of the aerostat,thus affecting the stability and movement of the system.Generally,the conventional method of processing saturation can only handle the am- plitude saturation of the system input,and the rate saturation problem is usually converted to an amplitude saturation problem,so it is a complex process.Therefore,it is worthwhile to study the control method that can simultaneously deal with amplitude and rate satura- tions.Some anti-windup compensator design methods can only be applied to linear systems,and some nonlinear anti-windup control methods for nonlinear systems require much online calculations to obtain the control law,which is not conducive to real-time control. Therefore,a novel control method was applied to the nonlinear research object.The nested saturation function could realize the bound- ed amplitude and differential of the input when used as a control law because of its specific form.Thus,it could be used to solve the amplitude and rate saturation problems in an aerostat system.This paper presented the design of an anti-windup controller for a nonlin- ear multi-propeller aerostat with amplitude and rate saturations of control input.First,the three-DOF model of the aerostat was estab- lished and transformed into two chain-like integral systems by taking forces other than propeller thrust as disturbances.Based on the theory of nested saturation control,the relationship between the amplitude and rate saturations of control inputs and the parameters of saturation function was obtained.Taking the aerostat as the research object,decoupled controller for longitudinal and lateral channels was designed to realize the bounded amplitude and rate of the system input.The global stability of the system was proved by the Lya- punov stability theorem,and the dynamic performance of the system was analyzed under different adjustable parameters.Considering the wind disturbance,the effectiveness and robustness of the controller was verified by simulations. KEY WORDS multi-propeller aerostat;anti-windup controller;nested saturation function;amplitude and rate constraints;differen- tial bounded controller 收稿日期：2017-11-13 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61733017)：上海浦江人才计划资助项目(18PD018)

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期:1557鄄鄄1568,2018 年 12 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 12: 1557鄄鄄1568, December 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 12. 015; http: / / journals. ustb. edu. cn 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 孙丁山1) , 陈 丽2) 苣 , 温余彬1) , 段登平1) 1)上海交通大学航空航天学院, 上海 200240 2)上海工程技术大学航空运输学院, 上海 201620 苣 通信作者,E鄄mail: chen2006@ sjtu. edu. cn 摘 要 提出用嵌套饱和函数描述的控制律形式,可以同时解决速率和幅值约束的控制问题. 建立浮空器的三自由度模型, 将除螺旋桨推力外的其他作用力作为扰动项,进而把该系统化为类积分链式系统;基于嵌套饱和控制理论,研究了类积分链 式系统的控制输入幅值及速率约束与控制器饱和函数参数的关系;以浮空器为研究对象,进行纵向和横向通道解耦控制器设 计,实现控制系统输入的幅值和速率有界. 利用 Lyapunov 稳定性原理证明了系统的全局稳定性,分析了可调控制器参数对改 善系统的动态性能的影响,在考虑风扰动的情况下,仿真验证了控制器的有效性和鲁棒性. 关键词 多螺旋桨组合浮空器; 抗饱和控制器; 嵌套饱和函数; 幅值及速率约束; 微分有界控制器 分类号 V411 收稿日期: 2017鄄鄄11鄄鄄13 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61733017);上海浦江人才计划资助项目(18PJD018) Nonlinear control of aerostat with input constraints based on nested saturation SUN Ding鄄shan 1) , CHEN Li 2) 苣 , WEN Yu鄄bin 1) , DUAN Deng鄄ping 1) 1) School of Aeronautics and Astronautics, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China 2) School of Air Transportation, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China 苣 Corresponding author, E鄄mail: chen2006@ sjtu. edu. cn ABSTRACT The propellers of an aerostat are prone to both amplitude and rate saturations during the movement of the aerostat, thus affecting the stability and movement of the system. Generally, the conventional method of processing saturation can only handle the am鄄 plitude saturation of the system input, and the rate saturation problem is usually converted to an amplitude saturation problem, so it is a complex process. Therefore, it is worthwhile to study the control method that can simultaneously deal with amplitude and rate satura鄄 tions. Some anti鄄windup compensator design methods can only be applied to linear systems, and some nonlinear anti鄄windup control methods for nonlinear systems require much online calculations to obtain the control law, which is not conducive to real鄄time control. Therefore, a novel control method was applied to the nonlinear research object. The nested saturation function could realize the bound鄄 ed amplitude and differential of the input when used as a control law because of its specific form. Thus, it could be used to solve the amplitude and rate saturation problems in an aerostat system. This paper presented the design of an anti鄄windup controller for a nonlin鄄 ear multi鄄propeller aerostat with amplitude and rate saturations of control input. First, the three鄄DOF model of the aerostat was estab鄄 lished and transformed into two chain鄄like integral systems by taking forces other than propeller thrust as disturbances. Based on the theory of nested saturation control, the relationship between the amplitude and rate saturations of control inputs and the parameters of saturation function was obtained. Taking the aerostat as the research object, decoupled controller for longitudinal and lateral channels was designed to realize the bounded amplitude and rate of the system input. The global stability of the system was proved by the Lya鄄 punov stability theorem, and the dynamic performance of the system was analyzed under different adjustable parameters. Considering the wind disturbance, the effectiveness and robustness of the controller was verified by simulations. KEY WORDS multi鄄propeller aerostat; anti鄄windup controller; nested saturation function; amplitude and rate constraints; differen鄄 tial bounded controller

·1558 工程科学学报，第40卷，第12期 常规的浮空器主要是指具有流线型外形的飞 定问题，但该方法只能实现输入幅值约束.Bateman 艇，这种飞艇一般被认为是兼顾空气动力学、静升力 等[9]在Teel8]的基础上，将嵌套饱和控制律应用 和结构要求的最佳折中，但是这种构型的浮空器容 于更一般的线性系统，使控制输入满足幅值及速率 易受到侧风扰的影响，并且在低空速情况下气动舵 约束，并利用线性矩阵不等式对系统的吸引域进行 面的效率较低).本文的研究对象为扁平外形的多 估计.但此方法不能保证系统全局稳定.以上两种 螺旋桨矢量推力浮空器，无空气舵面，配备4个轴对 方法中控制律饱和函数均有相同线性部分.Laporte 称分布的螺旋桨，使得该浮空器受侧风扰的影响更 等[20]针对标准积分链式系统，通过改变嵌套控制律 小，且具有空间全方位运动能力].此类浮空器控 最外层饱和函数的参数，使其具有不同的斜率从而 制中存在如下难点：系统具有冗余的多螺旋桨配置， 实现控制律多阶微分有界，并同时保证系统全局 因此需要复合控制分配优化)：浮空器具有大惯性 镇定. 大体积特点，由于螺旋桨执行能力有限，运动控制过 本文在文献「20的基础上，结合浮空器三自由 程中很容易发生推力幅值和速率的饱和.特别当受 度模型，建立输入约束与控制律饱和函数的解析关 外部载荷影响时，其速率性能和理想情况差别很大. 系：进一步改进嵌套饱和控制律，分析控制器可调参 目前关于矢量螺旋桨及其控制分配问题有了一些研 数与系统动态性能的关联，证明了闭环系统的稳定 究4-61，且考虑了矢量螺旋桨幅值饱和问题-o).刘 性，通过调节控制律参数改善了原有控制律下系统 芬等)针对上述浮空器考虑了执行机构受到幅值 动态性能较差的弱点：在此基础上研究了嵌套饱和 约束以及约束不对称的问题，通过线性变换方法将 轨迹跟踪控制律及其微分界限.仿真验证了控制律 不对称约束转换为对称约束，然后在抗饱和统一框 有效性和鲁棒性，为实际飞行验证提供了参考. 架下基于线性矩阵不等式(LMI)进行抗饱和补偿器 的设计：祝明等]针对四桨平流层飞艇提出了基于 1浮空器模型 模型预测控制的容错控制器，利用数值优化方法考 多螺旋桨组合浮空器艇身为偏平球状外形，执 虑执行机构的约束，但均未考虑速率约束 行机构为4个轴对称分布于赤道平面的矢量螺旋 关于幅值和速率饱和的处理有两类方法.一类 桨：吊舱位于艇身下方，如图1所示.本文研究浮空 为基于优化问题的抗饱和补偿器设计方法). 器水平面内的运动，根据Chen等2)提取其三自由 Hu等[]介绍了抗饱和补偿器设计的统一框架，将 度模型.由于螺旋桨的推力大小、推力的变化速率 抗饱和控制问题转化为通过线性矩阵不等式求解的 以及转角变化速率受到物理条件限制，因此在设计 凸优化问题，并对闭环系统进行了吸引域的估计，在 xoy平面位置控制器时要考虑纵向及横侧向通道的 一定的指标条件下获得保证系统稳定的可行解： 推力幅值及速率约束 Galeani等[2]在抗饱和统一框架中加入了速率饱和 螺旋桨4●@ 模块，将速率饱和与幅值饱和统一转换为幅值饱和 螺旋桨3 进行处理，得到使系统稳定的静态抗饱和补偿器，该 螺旋桨2 方法只适用于线性模型：另一类方法为非线性控制 方法[s-].Han等1s]基于两步法，通过自适应项的 调节避免幅值饱和，同时处理模型中的不确定气动 参数，增强系统的鲁棒性能.严路等]结合滑模及 自适应控制理论，提出了一种自适应滑模抗饱和控 制器，在处理输入受限的同时，能够有效消除控制器 吊舱 的抖振现象.然而，上述两类方法都需要大量的在 图1浮空器外形及螺旋桨分布 线计算来得到自适应项，在实际应用中容易造成延 Fig.1 Propeller configuration of the aerostat 时，不利于实时控制. 1.1浮空器动力学模型 近年来在非线性控制方法中，又有学者提出了 浮空器的三自由度动力学方程如下： 种基于状态反馈的嵌套饱和控制律以解决执行器 m +m 0 0 幅值和速率饱和问题，该控制律无需大量在线计算， 具有简洁的表达式[18-20].嵌套饱和控制律最早由 0 m+m22 0 Teel[8]提出，用于解决标准多阶积分链系统全局镇 0 .+m

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 常规的浮空器主要是指具有流线型外形的飞 艇,这种飞艇一般被认为是兼顾空气动力学、静升力 和结构要求的最佳折中,但是这种构型的浮空器容 易受到侧风扰的影响,并且在低空速情况下气动舵 面的效率较低[1] . 本文的研究对象为扁平外形的多 螺旋桨矢量推力浮空器,无空气舵面,配备 4 个轴对 称分布的螺旋桨,使得该浮空器受侧风扰的影响更 小,且具有空间全方位运动能力[2] . 此类浮空器控 制中存在如下难点:系统具有冗余的多螺旋桨配置, 因此需要复合控制分配优化[3] ;浮空器具有大惯性 大体积特点,由于螺旋桨执行能力有限,运动控制过 程中很容易发生推力幅值和速率的饱和. 特别当受 外部载荷影响时,其速率性能和理想情况差别很大. 目前关于矢量螺旋桨及其控制分配问题有了一些研 究[4鄄鄄6] ,且考虑了矢量螺旋桨幅值饱和问题[7鄄鄄10] . 刘 芬等[9]针对上述浮空器考虑了执行机构受到幅值 约束以及约束不对称的问题,通过线性变换方法将 不对称约束转换为对称约束,然后在抗饱和统一框 架下基于线性矩阵不等式(LMI)进行抗饱和补偿器 的设计;祝明等[10]针对四桨平流层飞艇提出了基于 模型预测控制的容错控制器,利用数值优化方法考 虑执行机构的约束,但均未考虑速率约束. 关于幅值和速率饱和的处理有两类方法. 一类 为基于优化问题的抗饱和补偿器设计方法[11鄄鄄14] . Hu 等[11]介绍了抗饱和补偿器设计的统一框架,将 抗饱和控制问题转化为通过线性矩阵不等式求解的 凸优化问题,并对闭环系统进行了吸引域的估计,在 一定的指标条件下获得保证系统稳定的可行解; Galeani 等[12]在抗饱和统一框架中加入了速率饱和 模块,将速率饱和与幅值饱和统一转换为幅值饱和 进行处理,得到使系统稳定的静态抗饱和补偿器,该 方法只适用于线性模型;另一类方法为非线性控制 方法[15鄄鄄17] . Han 等[15]基于两步法,通过自适应项的 调节避免幅值饱和,同时处理模型中的不确定气动 参数,增强系统的鲁棒性能. 严路等[17] 结合滑模及 自适应控制理论,提出了一种自适应滑模抗饱和控 制器,在处理输入受限的同时,能够有效消除控制器 的抖振现象. 然而,上述两类方法都需要大量的在 线计算来得到自适应项,在实际应用中容易造成延 时,不利于实时控制. 近年来在非线性控制方法中,又有学者提出了 一种基于状态反馈的嵌套饱和控制律以解决执行器 幅值和速率饱和问题,该控制律无需大量在线计算, 具有简洁的表达式[18鄄鄄20] . 嵌套饱和控制律最早由 Teel [18]提出,用于解决标准多阶积分链系统全局镇 定问题,但该方法只能实现输入幅值约束. Bateman 等[19]在 Teel [18]的基础上,将嵌套饱和控制律应用 于更一般的线性系统,使控制输入满足幅值及速率 约束,并利用线性矩阵不等式对系统的吸引域进行 估计. 但此方法不能保证系统全局稳定. 以上两种 方法中控制律饱和函数均有相同线性部分. Laporte 等[20]针对标准积分链式系统,通过改变嵌套控制律 最外层饱和函数的参数,使其具有不同的斜率从而 实现控制律多阶微分有界,并同时保证系统全局 镇定. 本文在文献[20]的基础上,结合浮空器三自由 度模型,建立输入约束与控制律饱和函数的解析关 系;进一步改进嵌套饱和控制律,分析控制器可调参 数与系统动态性能的关联,证明了闭环系统的稳定 性,通过调节控制律参数改善了原有控制律下系统 动态性能较差的弱点;在此基础上研究了嵌套饱和 轨迹跟踪控制律及其微分界限. 仿真验证了控制律 有效性和鲁棒性,为实际飞行验证提供了参考. 1 浮空器模型 多螺旋桨组合浮空器艇身为偏平球状外形,执 行机构为 4 个轴对称分布于赤道平面的矢量螺旋 桨;吊舱位于艇身下方,如图 1 所示. 本文研究浮空 器水平面内的运动,根据 Chen 等[21] 提取其三自由 度模型. 由于螺旋桨的推力大小、推力的变化速率 以及转角变化速率受到物理条件限制,因此在设计 xoy 平面位置控制器时要考虑纵向及横侧向通道的 推力幅值及速率约束. 图 1 浮空器外形及螺旋桨分布 Fig. 1 Propeller configuration of the aerostat 1郾 1 浮空器动力学模型 浮空器的三自由度动力学方程如下: m + m11 0 0 0 m + m22 0 0 0 Iz + m é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 33 u · v · r é ë ê ê ê ù û ú ú · ú = ·1558·

孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1559· 「Fk+F+F 动，产生的力方向为正，螺旋桨顺时针转动角度山， F+F+Fn (1) 0<u,<2π.将螺旋桨推力沿机体x0y平面和z轴 N +N+NT 分解： F F sin u,Fy=Fcos (6) 式中：u,i,i为u,v,r的微分，u,v,r为浮空器在机 螺旋桨推力对机体浮心产生推力及力矩为： 体坐标系下沿x轴y轴的飞行速度以及偏航角速 F Fasin u 度；m为浮空器质量；L.为浮空器沿z轴转动惯量； m1,m2分别为前向运动和侧向运动的附加质量， Fesin e =R m为绕z轴的附加转动惯量.浮空器分别受到沿x N Fasin As 轴y轴和绕：轴的气动力和力矩Fx,F,N4,螺旋 Fsin4」 桨在x、y方向的合推力和绕z轴的合力矩F,F, 0 1 0 N,以及分别沿x轴、y轴和绕z轴的科式力Fk,F, -1 0 1 0 (7) N,的作用.该浮空器外形上下对称且左右对称，浮 -Tp -rp -Tp -Tp 心位于其体心.假设浮心与重心重合，且重力等于 式中，「。为螺旋桨安装轴心到机体浮心的距离，R为 控制分配矩阵，使用其广义逆矩阵反求螺旋桨的推 浮力，则垂直方向不受重浮力及力矩作用. 浮空器的三自由度运动学关系如下： 力.由分配矩阵可知，螺旋桨推力垂直分量对xoy 平面位置控制没有作用，故只考虑其水平面内的推 sin t 力分量. sin t cos (2) 0 0 2控制器设计 式(2)表示惯性坐标系中的速度、角速度与机体坐 以浮空器的单通道模型式(4)为例进行分析， 标系中的速度、角速度间的变换关系.式中x,y,中 可将其看作一个控制输入受限的类积分链式系统， 分别为x,y,山的微分，x,y,中分别为惯性坐标系中 嵌套饱和控制方法是处理此类系统的一种行之有效 浮空器的位置与偏航角. 的方法[22-23] 2.1嵌套饱和控制律 本文只控制浮空器在水平面内x,y方向的位 移，假设偏航角始终为零，则浮空器在机体坐标系以 在控制系统的设计过程中，饱和函数经常被用 来描述执行机构的饱和特性2).为了完整地描述 及惯性坐标系下的位移及速度相同，有如下关系： 执行机构的幅值和速率饱和以及避免被动抗饱和给 (x=u (3) 闭环系统带来的负面影响，引入了嵌套饱和函数对 (y=v 幅值和速率进行描述.给出了嵌套饱和控制方法的 结合浮空器运动学方程(3)，将方程(1)中的前飞纵 具体形式及应用对象.首先定义饱和函数如下 向“及横侧向，通道分别表述为二阶类似积分链 定义120]：饱和函数σ(r)表达式： 系统： [ar Irl≤L。 x =u (4) (r)= H(r) L≤lrl≤S, (8) i=aFis+ sign(r）om Irl≥S. (y=0 (5) 式中，L,是饱和函数的线性域，a。是线性域内的斜 i=bFy +5y 率，一般情况下a。=1,S。是非饱和域，H是非饱和 式中，专.=a(F+F),5,=b(F+F)分别为两个 域内非线性函数部分，σ是函数饱和值. 通道中的阻力项，a=1/(m+m1),b=1/(m+ 为了使σ函数连续可微，在函数饱和处使用连 m22）. 续可微函数H(r)连接.由此产生的饱和函数既接 1.2浮空器螺旋桨输出 近于一般的sat(·)函数，又能够计算其微分，便于进 该浮空器有4个矢量螺旋桨，每个螺旋桨有2 行下一步速率约束的分析. 个控制自由度，分别为推力大小和方向.设螺旋桨4 形如式(9)所示的n阶积分链系统： 个推力大小分别为F,F2,Fa,F4,转角分别为1， 「X1=X2 2e4,螺旋桨垂直于xoy平面向上为初始位 (9) 置，桨叶顺时针旋转产生垂直螺旋桨面的力，桨叶转 。=u

孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 FIx + FAx + FTx FIy + FAy + FTy NI + NA + N é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú T (1) 式中:u · ,v · , r · 为 u,v,r 的微分,u,v,r 为浮空器在机 体坐标系下沿 x 轴 y 轴的飞行速度以及偏航角速 度;m 为浮空器质量;Iz 为浮空器沿 z 轴转动惯量; m11 ,m22分别为前向运动和侧向运动的附加质量, m33为绕 z 轴的附加转动惯量. 浮空器分别受到沿 x 轴、y 轴和绕 z 轴的气动力和力矩 FAx,FAy,NA ,螺旋 桨在 x、y 方向的合推力和绕 z 轴的合力矩 FTx,FTy, NT 以及分别沿 x 轴、y 轴和绕 z 轴的科式力 FIx,FIy, NI 的作用. 该浮空器外形上下对称且左右对称,浮 心位于其体心. 假设浮心与重心重合,且重力等于 浮力,则垂直方向不受重浮力及力矩作用. 浮空器的三自由度运动学关系如下: x · y · 鬃 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú · ú = cos 鬃 - sin 鬃 0 sin 鬃 cos 鬃 0 é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 1 u v é ë ê ê ê ù û ú ú ú r (2) 式(2)表示惯性坐标系中的速度、角速度与机体坐 标系中的速度、角速度间的变换关系. 式中 x · ,y · ,鬃 · 分别为 x,y,鬃 的微分,x,y,鬃 分别为惯性坐标系中 浮空器的位置与偏航角. 本文只控制浮空器在水平面内 x,y 方向的位 移,假设偏航角始终为零,则浮空器在机体坐标系以 及惯性坐标系下的位移及速度相同,有如下关系: x · = u y · = { v (3) 结合浮空器运动学方程(3),将方程(1)中的前飞纵 向 u 及横侧向 v 通道分别表述为二阶类似积分链 系统: x · = u u · = aFTx + 孜 { x (4) y · = v v · = bFTy + 孜 { y (5) 式中,孜x = a(FAx + FIx),孜y = b(FAy + FIy)分别为两个 通道中的阻力项, a = 1 / ( m + m11 ), b = 1 / ( m + m22 ). 1郾 2 浮空器螺旋桨输出 该浮空器有 4 个矢量螺旋桨,每个螺旋桨有 2 个控制自由度,分别为推力大小和方向. 设螺旋桨 4 个推力大小分别为 Ft1 ,Ft2 ,Ft3 ,Ft4 ,转角分别为 滋t1 , 滋t2 ,滋t3 ,滋t4 ,螺旋桨垂直于 xoy 平面向上为初始位 置,桨叶顺时针旋转产生垂直螺旋桨面的力,桨叶转 动,产生的力方向为正,螺旋桨顺时针转动角度 滋t, 0 < 滋t < 2仔. 将螺旋桨推力沿机体 xoy 平面和 z 轴 分解: Fth = Ft sin 滋t,Ftv = Ft cos 滋t . (6) 螺旋桨推力对机体浮心产生推力及力矩为: FTx FTy N é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú T = R Ft1 sin 滋t1 Ft2 sin 滋t2 Ft3 sin 滋t3 Ft4 sin 滋 é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú t4 , R = 0 1 0 - 1 - 1 0 1 0 - rp - rp - rp - r é ë ê ê ê ù û ú ú ú p (7) 式中,rp 为螺旋桨安装轴心到机体浮心的距离,R 为 控制分配矩阵,使用其广义逆矩阵反求螺旋桨的推 力. 由分配矩阵可知,螺旋桨推力垂直分量对 xoy 平面位置控制没有作用,故只考虑其水平面内的推 力分量. 2 控制器设计 以浮空器的单通道模型式(4) 为例进行分析, 可将其看作一个控制输入受限的类积分链式系统, 嵌套饱和控制方法是处理此类系统的一种行之有效 的方法[22鄄鄄23] . 2郾 1 嵌套饱和控制律 在控制系统的设计过程中,饱和函数经常被用 来描述执行机构的饱和特性[24] . 为了完整地描述 执行机构的幅值和速率饱和以及避免被动抗饱和给 闭环系统带来的负面影响,引入了嵌套饱和函数对 幅值和速率进行描述. 给出了嵌套饱和控制方法的 具体形式及应用对象. 首先定义饱和函数如下. 定义 1 [20] :饱和函数 滓(r)表达式: 滓(r) = 琢滓 r |r|臆L滓 H(r) L滓臆|r|臆S滓 sign(r)滓 max |r|逸S ì î í ï ï ï ï 滓 (8) 式中,L滓 是饱和函数的线性域,琢滓 是线性域内的斜 率,一般情况下 琢滓 = 1,S滓 是非饱和域,H 是非饱和 域内非线性函数部分,滓 max是函数饱和值. 为了使 滓 函数连续可微,在函数饱和处使用连 续可微函数 H( r)连接. 由此产生的饱和函数既接 近于一般的 sat(·)函数,又能够计算其微分,便于进 行下一步速率约束的分析. 形如式(9)所示的 n 阶积分链系统: x · 1 = x2 左 x · n = ì î í ïï ïï u (9) ·1559·

·1560. 工程科学学报，第40卷，第12期 为了证明系统的稳定性并便于表述，对状态变 根据定义1及定义2，饱和函数参数之间满足如下 量x进行变量替换[8)： 关系： -= j(i-j) 。=L.a=2i=1,…n(14 i=1,…,n-1 由此可见，控制律(12)与(10)都能使系统(9) 则系统(9)存在n阶嵌套饱和控制律 全局镇定，控制律(12)在传统嵌套饱和控制律(10) u=-0.（yn+0n-(ya-1+…+(y1))(10) 的基础之上进行了参数的设计与修改，使(12)在满 当L,≤，i=l,,n,且S,Ht∈F\E (16) 其中，F\E:={x∈F\E:x∈F,x生E}:S为饱和函数 u的非饱和域，如图2中所示.则区间F\E对应f(t) 的值域属于饱和函数以的饱和域，在此区域内饱和 函数值恒定，因此其微分恒为零，从而： d )=0,Vt∈FE (17) 图24函数与σ函数对比图例 故： Fig.2 Contrast graphics between function o and u 对于嵌套控制律(10)，用饱和函数4替代σ： $Ua)≤立E.R(Q,0..eF u=-.（yn+八n-1（ya-1+…+u1(y1))(12) (18) 同样的，状态变量替换为： 其中，lf(t)1≤Q:,teE,i=1,…,k-a+1;B.o il (Q,…,Q-a+1)是由Q,…,Q-a+1组成的贝尔多项 式(Fa'a Di Bruno's formula0);4:=maxlμo(s)l, 为了保证闭环系统的稳定性，要满足下式[8]： a∈【1，k】.特别的，当k=1时， 山≤ 24,a4=1,ie【1,n-1】(13) Ua)≤m,0,eE (19)

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 为了证明系统的稳定性并便于表述,对状态变 量 x 进行变量替换[18] : yn - i = 移 i j = 0 æi è ç ö ø ÷ j (琢滓n ) j xn - j, æi è ç ö ø ÷ j = i! j! (i - j)! i = 1,…,n - 1 则系统(9)存在 n 阶嵌套饱和控制律 u = - 滓n (yn + 滓n - 1 (yn - 1 + … + 滓1 (y1 ))) (10) 当 L滓i臆滓 max i ,i = 1,…,n,且 滓 max i S,坌t沂F \E (16) 其中,F \E: = {x沂F \E:x沂F,x埸E};S 为饱和函数 滋 的非饱和域,如图2 中所示. 则区间 F \E 对应f(t) 的值域属于饱和函数 滋 的饱和域,在此区域内饱和 函数 滋 值恒定,因此其微分恒为零,从而: d k dt k 滋(f(t)) = 0,坌t沂F \E (17) 故: d k dt k 滋(f(t)) 臆 移 k a =1 滋aBk,a (Q1 ,…,Qk - a +1 ),坌t沂F (18) 其中, | f (i) (t) | 臆Qi,坌t沂E,i = 1,…,k - a + 1;Bk,a (Q1 ,…,Qk - a + 1 )是由 Q1 ,…,Qk - a + 1组成的贝尔多项 式(Fa蒺a Di Bruno蒺s formula [20] );滋a : = max s沂迬 | 滋 (a) (s) |, a沂主1,k著. 特别的,当 k = 1 时, d dt 滋(f(t)) 臆滋1Q1 ,坌t沂E (19) ·1560·

孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1561· 上式表明执行机构速率约束界限，由定义可知： R+( Lb。- R1≤u1Q1 (20) mLr L 根据(19)可知，控制律(12)的一阶微分界限受最外 层饱和函数4，中线性部分斜率α的影响最大，因 此合理的选取饱和函数μ，能够实现将控制律(10) (28) 的幅值及其一阶微分限制在给定的值内.下面以二 因为饱和函数σ认为已知，故可认为参数σ，L, 阶系统(21)为例，给出控制律(22)的一阶微分界限 S。,1,b。,b。已知.所以需要设计饱和函数1，山2 R,的数值计算方法 的参数"，，L,L,其中代表了系统控制 x1=x2 输入的幅值约束，故不能作为可调参数，因此，控制 (21) 元2=u 输入的速率约束R,由其余参数确定 u=-2（y2+1(y1)) (22) 其中，y2=x2,为=x2+01 由(25)知B,有两种取值，以B,=3十24=为 定理1[20)：对于二阶饱和嵌套函数(22)，其一 例对R,进行化简： 阶微分的上限为： R=G1,21 (23) ((- 其中 Y:=4;Y:=(6,-B)(S,+24)+04; 2+兰)） Z1.1:=Y11;Z21:=Y21+41.1Z1;G1=Z21 A4L+A(u)户+B+ (24) CaLLa+CLLar 相关参数为： B3 ()D 8,74:-0L CLCL oLh 其中，参数A2,A,B2,B3,C2,C3,D2,D3均可视为常 4a:-可，：=☏o. 数，表达式如下所示： maL A2=L2Scm(2b。-()2), 相关概念的定义为： A3=2La()2(2bL+a) b:maxIr-u (r)I:Irs+2u; B2=L2S2b。(")2, b,:max (P0<i1<s} B3=可L2()2(2b.S。+aS。-2wm) =min (<r C2=S。(om)3,C3=2L。(σm)4 D2=2L2石1（σm)3()2, 25 D3=L.G1S。(σm)2(m)2 由以上讨论可知，当4，函数的参数确定之后， 通过上式可以计算控制律(22)的各项参数，以 得到满足幅值及速率约束的嵌套饱和控制律.将控 控制律的速率约束R,由L,确定.令=k.L,由 制律(22)用关于状态量以及σ函数的式子表示为： (13)式知0<k.<0.5,L,根据式(14)由及 确定 u=-a2c(k+a,σ(kT)) (26) 2.2嵌套饱和控制器设计 关于状态量的控制律参数计算公式如下： 2.2.1浮空器定点悬停控制器设计 a2=/m,a1=7 op 依据控制律(22)为浮空器模型(4)，(5)设计嵌 27) 套饱和控制器，将饱和函数1的参数用来调节改善 (+an) 闭环系统动态性能，包括k。和α，·依据前文的分 析，仿照积分链系统对纵向运动系统(4)进行全局 2.1.2二阶嵌套饱和控制律微分上界计算 镇定控制律设计，且条件(13)改为如下： 由(14)式及(23)~(25)式，可以得到如下表 达式： h≤斗，Vie【1,a-l】 (29)

孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 上式表明执行机构速率约束界限,由定义可知: R1臆滋1Q1 (20) 根据(19)可知,控制律(12)的一阶微分界限受最外 层饱和函数 滋n 中线性部分斜率 琢滋n的影响最大,因 此合理的选取饱和函数 滋n ,能够实现将控制律(10) 的幅值及其一阶微分限制在给定的值内. 下面以二 阶系统(21)为例,给出控制律(22)的一阶微分界限 R1 的数值计算方法. x · 1 = x2 x · 2 = { u (21) u = - 滋2 (y2 + 滋1 (y1 )) (22) 其中,y2 = x2 ,y1 = x2 + 琢滋2 x1 . 定理 1 [20] :对于二阶饱和嵌套函数(22),其一 阶微分的上限为: R1 = G1,1滋2,1 (23) 其中 Y2,1 : = 滋 max 2 ;Y1,1 : = (b滋2 - B滋2 )(S滋2 +2滋 max 1 ) + 琢滋2 滋 max 1 ; Z1,1 : = Y1,1 ;Z2,1 : = Y2,1 + 滋1,1Z1,1 ;G1,1 = Z2, { 1 (24) 相关参数为: b滋2 = 琢滋2 b滓 琢滓 滋2,1 : = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋2 , 滋1,1 : = 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋1 滓1 : = max r沂迬 { | 滓 (1) (r) | }. 相关概念的定义为: b滋2 : = max { |r - 滋2 (r) | : |r|臆S滋2 + 2滋 max 1 }; b滓 : = max { 滓(r) r :0 < |r| < S滓 } b滓 : = min { 滓(r) r :0 < |r| < S滓 } ; B滋2 : = min { b滋2 , 滋 max 2 S滋2 + 2滋 max } 1 (25) 通过上式可以计算控制律(22)的各项参数,以 得到满足幅值及速率约束的嵌套饱和控制律. 将控 制律(22)用关于状态量以及 滓 函数的式子表示为: u = - a2滓(k T 2 x寛 + a1滓(k T 1 x寛)) (26) 关于状态量的控制律参数计算公式如下: a2 = 滋 max 2 / 滓 max ,a1 = L滓2 滋 max 1 L滋2 滓 max , k T 2 x寛 = L滓 L滋2 x2 ,k T 1 x寛 = L滓 L滋1 (x2 + 琢滋2 x1 ) ì î í ï ï ï ï . (27) 2郾 1郾 2 二阶嵌套饱和控制律微分上界计算 由(14)式及(23) ~ (25) 式,可以得到如下表 达式: R1 = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋 ( 2 滋 max 2 + 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋 ( ( 1 滋 max 2 L滓 b滓 滓 max L滋2 - min { b滋2 , 滋 max 2 S滋2 +2滋 max } ) 1 (S滋2 +2滋 max 1 ) + 滋 max 1 滋 max 2 L滓琢滓 滓 max L滋 ) ) 2 (28) 因为饱和函数 滓 认为已知,故可认为参数 滓 max ,L滓 , S滓 ,滓1 ,b滓 ,b滓 已知. 所以需要设计饱和函数 滋1 ,滋2 的参数 滋 max 1 ,滋 max 2 ,L滋1 ,L滋2 ,其中 滋 max 2 代表了系统控制 输入的幅值约束,故不能作为可调参数,因此,控制 输入的速率约束 R1 由其余参数确定. 由(25)知 B滋2有两种取值,以 B滋2 = 滋 max 2 S滋2 + 2滋 max 1 为 例对 R1 进行化简: R1 = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋 ( 2 滋 max 2 + 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋 ( ( 1 滋 max 2 L滓 b滓 滓 max L滋2 - 1 L滋2 · 滋 max 2 S滓 / L滓 +2滓 max / L滋 ) 2 (S滋2 +2滋 max 1 ) + 滋 max 1 滋 max 2 L滓琢滓 滓 max L滋 ) ) 2 = A2滋 max 1 L滋2 + A3 (滋 max 1 ) 2 + B2滋 max 1 L 2 滋2 C2 L 3 滋2 L滋1 + C3 L 2 滋2 L滋1 + B3 (滋 max 1 ) 2 L滋2 + D2 L滋1 L滋2 + D3 L滋1 L 2 滋2 C2 L 3 滋2 L滋1 + C3 L 2 滋2 L滋1 其中,参数 A2 ,A3 ,B2 ,B3 ,C2 ,C3 ,D2 ,D3 均可视为常 数,表达式如下所示: A2 = 滓 2 1 L 2 滓 S滓 滓 max (2 b滓 - (滋 max 2 ) 2 ), A3 = 2 滓 2 1 L 3 滓 滓 max (滋 max 2 ) 2 (2 b滓 L滓 + 琢滓 ) B2 = 滓 2 1 L 2 滓 S 2 滓 b滓 (滋 max 2 ) 2 , B3 = 滓 2 1 L 3 滓 (滋 max 2 ) 2 (2 b滓 S滓 + 琢滓 S滓 - 2滓 max ) C2 = S滓 (滓 max ) 3 ,C3 = 2L滓 (滓 max ) 4 D2 = 2L 2 滓 滓1 (滓 max ) 3 (滋 max 2 ) 2 , D3 = L滓 滓1 S滓 (滓 max ) 2 (滋 max 2 ) ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 2 由以上讨论可知,当 滋1 函数的参数确定之后, 控制律的速率约束 R1 由 L滋2确定. 令 滋 max 1 = kaL滋2 ,由 (13)式知 0 < ka < 0郾 5,L滋1根据式(14)由 滋 max 1 及 琢滋1 确定. 2郾 2 嵌套饱和控制器设计 2郾 2郾 1 浮空器定点悬停控制器设计 依据控制律(22)为浮空器模型(4),(5)设计嵌 套饱和控制器,将饱和函数 滋1 的参数用来调节改善 闭环系统动态性能,包括 ka 和 琢滋1 . 依据前文的分 析,仿照积分链系统对纵向运动系统(4) 进行全局 镇定控制律设计,且条件(13)改为如下: 滋 max i 臆 1 2 L滋i + 1 ,坌i沂主1,n - 1著 (29) ·1561·

·1562. 工程科学学报，第40卷，第12期 由于模型的对称性，同样的控制方法也适用于 2.2.2浮空器轨迹跟踪控制器设计 横向通道(5).为便于分析，将系统(4)化为如下的 定理3[1)]：对于二阶积分链式系统(38)： 形式： (x1=X2 (38) (x1=x2 (30) (元2=u3(u) (元2=a时+专 若希望状态量跟踪特定的值x:及其微分x”,x2, 式中x1=x,x2=山f为前向推力，作变量替换： 令元1=x1一x,元=x2一x”,则在以下条件满足时： y1=x2+Cu21 (31) lx2(t)l≤Lg-e',t≥to:m≤e';0,=1; y2=x2 x和y分别表示浮空器在x,y轴方向的目标点，x 则原系统等价于： 和x2分别表示跟踪的目标值的一阶和二阶微分. y1=ay2+a时+5. (32) 存在跟踪控制律如下所示： 2=a时.+5 u=x2-42(2+4,() (39) 针对该系统，参照(22)给出如下所示的控制律： 使得系统全局镇定.其中2=x2,=x2+a,x 人=-经(3+4，（)》 (33) 对浮空器平面运动，根据式(3)可知，惯性坐标 根据系统(32)分析控制律f的一阶微分.式(32) 系下的跟踪目标位置与机体坐标系下目标的坐标相 中专，项包含风扰动引起的气动力，可根据飞行速度 同，均为(xaya) 及风速估计，并有1E1≤.根据定义，式(24)中第 定理4：对于浮空器纵向通道系统(30)，将原系 一个式子改为： 统的状态变量作如(38)，(39)的变量替换，当满足 Y2.1=max ly2(t)l=u2m+专， (34) 条件1x2+山1≤L,a,=1时，存在如下控制 a 因此一阶微分表达式(28)改为如下： 律使系统全局镇定： 42L.b 无=（-4（房+(）) (40) gLp 式中方=2，六=x,+a,无：则闭环系统如下： (35) 花1=X2 再依据推力的约束情况设计饱和函数以1,2的参数 元2=4)+5-x2) (41) a4,L2. . 定理2：对于浮空器的单通道模型(30)，存在控 -4(信+，(G》 制律式(33)能使系统全局镇定，将控制律写为关于 因为f的幅值可以通过设计饱和函数4，进行约 状态量和饱和函数σ的形式为： 束，所以饱和函数4没有限制，故只要L足够大，f f=-2a(好+a,() 将进入饱和函数4的线性域，系统(41)可简化为： (36) 元1=元2 则原闭环系统如下： (42) [x1=X2 元2=-山，（分+h1()+5 将饱和函数4用σ替换，则有： x2=af +5x (37) (x1=x2 =-2o(k5+a,u(k) (43) a 2=-a,c(k+a1c(k)+5. 其中，=[x12]T,a1,a2,k1,k依据式(27)进行 其中，下=[元]，元1=1-4，=2-x”,01,a2, 计算，稳定性证明将在后文给出.结合浮空器模型 k,k,是由饱和函数山1“2确定的参数，计算方法同 对控制律(12)进行了进一步改进，且控制律不必满 式(27)，此时系统(43)等价于系统(37)，因此定理 足条件(13)中的a,=1,因此可为设计参数，为改 4的证明等同于定理2. 善控制律性能提供了空间. 2.2.3跟踪控制律幅值及微分界限分析 本节给出的控制器能实现浮空器的定点悬停， 设计饱和函数41，山2的参数来使控制律(40)的 下面就轨迹跟踪情况进行讨论. 幅值及速率满足约束条件.下面对控制律(40)的幅

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 由于模型的对称性,同样的控制方法也适用于 横向通道(5). 为便于分析,将系统(4)化为如下的 形式: x · 1 = x2 x · 2 = af x + 孜 { x (30) 式中 x1 = x,x2 = u,f x 为前向推力,作变量替换: y1 = x2 + 琢滋2 x1 y2 = x { 2 (31) 则原系统等价于: y · 1 = 琢滋2 y2 + af x + 孜x y · 2 = af x + 孜 { x (32) 针对该系统,参照(22)给出如下所示的控制律: f x = - 滋2 a (y2 + 滋1 (y1 )) (33) 根据系统(32)分析控制律 f x 的一阶微分. 式(32) 中 孜x 项包含风扰动引起的气动力,可根据飞行速度 及风速估计,并有| 孜x | 臆孜x . 根据定义,式(24)中第 一个式子改为: Y2,1 = max | y · 2 (t) | = 滋 max 2 + 孜x (34) 因此一阶微分表达式(28)改为如下: R1 = 1 a · 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋 ( 2 滋 max 2 + 孜x + 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋 ( ( 1 滋 max 2 L滓 b滓 滓 max L滋2 - min { b滋2 , 滋 max 2 S滋2 +2滋 max } ) 1 (S滋2 +2滋 max 1 ) + 滋 max 1 滋 max 2 L滓琢滓 滓 max L滋 ) ) 2 (35) 再依据推力的约束情况设计饱和函数 滋1 ,滋2 的参数 琢滋1 ,滋 max 1 ,L滋2 ,滋 max 2 . 定理 2:对于浮空器的单通道模型(30),存在控 制律式(33)能使系统全局镇定,将控制律写为关于 状态量和饱和函数 滓 的形式为: f x = - a2 a 滓(k T 2 x寛 + a1滓(k T 1 x寛)) (36) 则原闭环系统如下: x · 1 = x2 x · 2 = af x + 孜x f x = - a2 a 滓(k T 2 x寛 + a1滓(k T 1 x寛 ì î í ï ï ï ï )) (37) 其中,x寛 = [ x1 x2 ] T ,a1 ,a2 ,k1 ,k2 依据式(27) 进行 计算,稳定性证明将在后文给出. 结合浮空器模型 对控制律(12)进行了进一步改进,且控制律不必满 足条件(13)中的 琢滋1 = 1,因此可为设计参数,为改 善控制律性能提供了空间. 本节给出的控制器能实现浮空器的定点悬停, 下面就轨迹跟踪情况进行讨论. 2郾 2郾 2 浮空器轨迹跟踪控制器设计 定理 3 [18] :对于二阶积分链式系统(38): x · 1 = x2 x · 2 = 滋3 (u { ) (38) 若希望状态量跟踪特定的值 xd 及其微分 x (1) d ,x (2) d , 令 x1 = x1 - xd ,x2 = x2 - x (1) d ,则在以下条件满足时: | x (2) d (t) |臆L滋3 - 着忆,坌t逸t 0 ;滋 max 2 臆着忆;琢滋3 = 1; xd和 yd分别表示浮空器在 x,y 轴方向的目标点,x (1) d 和 x (2) d 分别表示跟踪的目标值的一阶和二阶微分. 存在跟踪控制律如下所示: u = x (2) d - 滋2 (y寛2 + 滋1 (y寛1 )) (39) 使得系统全局镇定. 其中 y寛2 = x2 ,y寛1 = x2 + 琢滋2 x1 . 对浮空器平面运动,根据式(3)可知,惯性坐标 系下的跟踪目标位置与机体坐标系下目标的坐标相 同,均为(xd ,yd ). 定理 4:对于浮空器纵向通道系统(30),将原系 统的状态变量作如(38),(39)的变量替换,当满足 条件 1 a | x (2) d + 滋 max 2 | 臆L滋3 ,琢滋3 = 1 时,存在如下控制 律使系统全局镇定: f x = 1 a (x (2) d - 滋2 (y寛2 + 滋1 (y寛1 ))) (40) 式中 y寛2 = x2 ,y寛1 = x2 + 琢滋2 x1 . 则闭环系统如下: x · 1 = x2 x · 2 = a滋3 (f x) + 孜x - x (2) d f x = 1 a (x (2) d - 滋2 (y寛2 + 滋1 (y寛1 ì î í ï ï ï ï ))) (41) 因为 f x 的幅值可以通过设计饱和函数 滋2 进行约 束,所以饱和函数 滋3 没有限制,故只要 L滋3足够大,f x 将进入饱和函数 滋3 的线性域,系统(41)可简化为: x · 1 = x2 x · 2 = - 滋2 (y寛2 + 滋1 (y寛1 )) + 孜 { x (42) 将饱和函数 滋 用 滓 替换,则有: x · 1 = x2 x · 2 = - a2滓(k T 2 x + a1滓(k T 1 x)) + 孜 { x (43) 其中,x = [x1 x2 ],x1 = x1 - xd ,x2 = x2 - x (1) d ,a1 ,a2 , k1 ,k2 是由饱和函数 滋1 ,滋2 确定的参数,计算方法同 式(27),此时系统(43)等价于系统(37),因此定理 4 的证明等同于定理 2. 2郾 2郾 3 跟踪控制律幅值及微分界限分析 设计饱和函数 滋1 ,滋2 的参数来使控制律(40)的 幅值及速率满足约束条件. 下面对控制律(40)的幅 ·1562·

孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1563· 值及微分界限进行分析. y1=-a1(y）+5 设控制律(40)的幅值与速率约束分别为R,R. (47) 少2=-a2-a41(m）+5 首先考虑幅值约束，由(40)式有： 此时m的取值如果过小，控制律(46)的幅值将变 max If.I≤二(max Ix2|+2") 小，使得控制器控制能力变弱 则可令max Ix21+"=aR,因此饱和函数42的 推论1：对于为=x,+a,1,312>41以及任意 最大值参数取为： 小的正数e>0,使得|y1(t)|≤e,Ht≥t2: u2 aRo max Ix)1 (44) 证明：观察式(47)： 由上式可知，轨迹参数1x2)1应满足关系max Ix21 y1=-a（y）+5x 0,使得1y2(1)1≤，即 |x2(11)1≤u",且I|与速率1x21成正相关，故t≥t1 因此： 时，有|5|≤专，专为y1收敛性判断中的不确定因 R:=max I=max) 素，因此取其最大值进行分析，当下式中的y1收敛 时，原式中的y,一定收敛： mx|是（合（房+(》） 方=-sigm(y）a4+sigm(传)5 等式右边中的第二个式子等同于式(33)，其微分界 当y5.11， 限为R: 使得y,()川≤L4,t≥2；当y5.>0时，因为为= R:=max x2+a,x1,根据此时系统的位置与速度，存在两种 情况： 故令R,=R{-max ”即可，依据前文的(35) (a)5.>0,y1>0,则x20. a 因为x,x20且x111, 2.3稳定性分析 使得y(t)0时，则xx20,则y5.0时，y V2=-y2(2+4(y1)+y25.(45) 始终收敛，故312>11以及任意小的正数e>0使得 观察上式，y2与x,方向相同，均为前飞速度u方向， Iy(t)1≤e,Ht≥t2.推论1得证 专，则代表阻力，方向始终与速度方向相反，故y2um时，2(y2+41（y1))>0恒 域，且a,不一定为1，故式(46)可简化为： 成立，因此20，使得1y2(t1)1≤"； 人=-(a+a) (48) 又因为≤L,/2,故1y,()+4(y()1<L2, 结合式(32)与(48)，系统可以化简为： 外层饱和函数2内的变量进入线性域，因此，式 y1=-C4,4y1+5 (33)可去外层饱和非线性，简化表示为： (49) 人=-(+a4(） (y2=-amy2-amamy+5. (46) α，作为微分方程的系数，适当的增大将加快状态量 代入式(32)中有： 的衰减过程.由上文分析可知，y10,故在(49)第2

孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 值及微分界限进行分析. 设控制律(40)的幅值与速率约束分别为 R忆0 ,R忆1 . 首先考虑幅值约束,由(40)式有: max | f x |臆 1 a (max | x (2) d | + 滋 max 2 ) 则可令 max | x (2) d | + 滋 max 2 = aR忆0 ,因此饱和函数 滋2 的 最大值参数取为: 滋 max 2 = aR忆0 - max | x (2) d | (44) 由上式可知,轨迹参数| x (2) d | 应满足关系 max | x (2) d | 滋 max 1 时,y2 ( y2 + 滋1 ( y1 )) > 0 恒 成立,因此 V · 2 0,使得 | y2 ( t 1 ) | 臆滋 max 1 ; 又因为 滋 max 1 臆L滋2 / 2,故| y2 (t 1 ) + 滋1 (y1 (t 1 )) | t 1 以及任意 小的正数 着 > 0,使得| y1 (t) |臆着,坌t逸t 2 . 证明:观察式(47): y · 1 = - 琢滋2 滋1 (y1 ) + 孜x 当| y1 |逸滋 max 1 时,上式可以简化为: y · 1 = - sign(y1 )琢滋2 滋 max 1 + 孜x 由上文分析可知埚t 1 > 0,使得 | y2 ( t 1 ) | 臆滋 max 1 ,即 | x2 (t 1 ) |臆滋 max 1 ,且| 孜x |与速率| x2 |成正相关,故t逸t 1 时,有| 孜x | 臆孜x,孜x 为 y1 收敛性判断中的不确定因 素,因此取其最大值进行分析,当下式中的 y1 收敛 时,原式中的 y1 一定收敛: y · 1 = - sign(y1 )琢滋2 滋 max 1 + sign(孜x)孜x 当 y1 孜x t 1 , 使得| y1 (t) |臆L滋1 ,坌t逸t 2 ;当 y1 孜x > 0 时,因为 y1 = x2 + 琢滋2 x1 ,根据此时系统的位置与速度,存在两种 情况: (a)孜x > 0,y1 > 0,则 x2 0. 因为 x1 x2 0 且 x1 t 1 , 使得 y1 (t) 0 时,则 x1 x2 0,则 y1 孜x 0 时,y1 始终收敛,故埚t 2 > t 1 以及任意小的正数 着 > 0 使得 | y1 (t) |臆着,坌t逸t 2 . 推论 1 得证. 由推论 1 可知,y1 将进入饱和函数 滋1 的线性 域,且 琢滋1不一定为 1,故式(46)可简化为: f x = - 1 a (琢滋2 y2 + 琢滋2 琢滋1 y1 ) (48) 结合式(32)与(48),系统可以化简为: y · 1 = - 琢滋2 琢滋1 y1 + 孜x y · 2 = - 琢滋2 y2 - 琢滋2 琢滋1 y1 + 孜 { x (49) 琢滋1作为微分方程的系数,适当的增大将加快状态量 的衰减过程. 由上文分析可知,y1寅0,故在(49)第 2 ·1563·

·1564. 工程科学学报，第40卷，第12期 式中可将y,项忽略，简化如下： 则由(28)式可得到R,的表达式如下： 少2=-a2y2+5x 0.2186入+0.2004k.a,入+0.0364a入 R1= 由于y2<0恒成立，故y2将收敛于零，所以结合式 0.027(A2+2A) (31)可知，x10,x2→0，即原系统(37)稳定，闭环系 1.0565k.a+0.7286c1+0.4373 统全局稳定性得证 0.027(入2+2A) 在控制律(33)作用下浮空器单通道系统(30) 1 全局稳定，并且参数"，&不影响系统的全局稳 以k=2,=1为例，则有： 定性，能够作为可调参数用以改善闭环系统的动态 R=03553A+1.6941 性能. 0.027(λ2+2入) 由上式可知，当k,值确定时，速率约束值随饱和函 3浮空器输入约束控制仿真 数山2的线性域增大而减小，即函数山2的线性域斜 3.1控制器参数计算 率越小对控制律的变化速率约束越强. 浮空器动力学建模的各项详细参数如表1.执 下一步计算控制律参数.根据式(27)，可以得 行机构螺旋桨的推力上限为10N,浮空器在最大推 到如下参数： 力下的前飞速度约为3.5ms-1. a2=0.27, 表1浮空器的物理参数 Table 1 Physical parameters of the aerostat 会终贸小=灯 式中，入的计算需要依赖速率约束值R,及参数k。· 物理量 数值 此处取浮空器的前向推力变化速率上限为20N· 体积/m3 70 s1,因此R1=20. 质量，m/kg 72 附加质量/kg m:=10.8147,m2=10.8147 以点，=为例，可得入=1.23.结合上式，得 附加转动惯量/(kgm2) m3=0 到控制器参数如下： 质心位置0e(xcc,c)/m (0,0,1.9444) a2=0.27,a1=0.25,k1=[0.72203.2706]T, 绕ox,y,m的转动惯量(1,1，1.)/(409.4260,409.4482. k2=[00.8176]T (kg-m2) 34.59410) y,x0z,Jm平面惯性积(1，1.， 因此，控制律(36)为： (0.0.0) -)/(kgm2) f=-10o(0.8176u+0.25c(0.7220x+3.2706u). 螺旋桨的安装距离，R。/m 其中，x,“分别是前向位置坐标及速度.由于浮空 器的对称性，同样的设计方法也可用于侧向通道的 饱和函数σ： 控制器设计.此时各饱和函数的曲线随变量r变化 if Irl≤1， 如图3. h(r) if1≤lrl≤1.5， o(r):= (50) h2(r） if1.5≤lrl≤2. 2sigm(r)其他. 其中，h,和h2分别取如下函数： h(r):=sig(r)(-4+15lrl-182+10lr3-2r), h2(r）:=2sigm(r)(25-60lrl+54r-21lr3+3r). 此时，σ饱和函数的相关参数为G1=1.5,σmm=2, Ln=1,a。=1,b。=1.11,S。=2. -3-2-101234 浮空器的前飞推力上限为20N,a=0.027,故 图3饱和函数参数对比 "=aR。=0.54.据式(28)及上文的分析可知，在 Fig.3 Comparison of saturation functions 41参数，a,确定条件下，速率约束与L,相关. 令L,=入，L,=A,m=k.L,=kA,0<k<0.5.根 如图3,1,2都是在σ的基础上演变而来，具 有σ函数的特性.42函数决定了控制律幅值速率 据式(25)以及0函数的选取可知，6。=、 S+2 的约束，以1则包含两个可调节的参数k。,a

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 式中可将 y1 项忽略,简化如下: y · 2 = - 琢滋2 y2 + 孜x 由于 y2 孜x < 0 恒成立,故 y2 将收敛于零,所以结合式 (31)可知,x1寅0,x2寅0,即原系统(37)稳定,闭环系 统全局稳定性得证. 在控制律(33)作用下浮空器单通道系统(30) 全局稳定,并且参数 滋 max 1 ,琢滋1 不影响系统的全局稳 定性,能够作为可调参数用以改善闭环系统的动态 性能. 3 浮空器输入约束控制仿真 3郾 1 控制器参数计算 浮空器动力学建模的各项详细参数如表 1. 执 行机构螺旋桨的推力上限为 10 N,浮空器在最大推 力下的前飞速度约为 3郾 5 m·s - 1 . 表 1 浮空器的物理参数 Table 1 Physical parameters of the aerostat 物理量 数值 体积/ m 3 70 质量,m/ kg 72 附加质量/ kg m11 =10郾 8147,m22 =10郾 8147 附加转动惯量/ (kg·m 2 ) m33 = 0 质心位置 OG (xG ,yG ,zG ) / m (0,0,1郾 9444) 绕 ox,oy,oz 的转动惯量( Ix,Iy,Iz ) / (kg·m 2 ) (409郾 4260,409郾 4482, 34郾 59410) xoy, xoz, yoz 平面惯性积( Ixy, Ixz, Iyz) / (kg·m 2 ) (0,0,0) 螺旋桨的安装距离,Rp / m 3 饱和函数 滓: 滓(r): = r if |r|臆1, h1 (r) if 1臆|r|臆1郾 5, h2 (r) if 1郾 5臆|r|臆2, 2sign(r) 其他 ì î í ï ï ï ï . (50) 其中,h1 和 h2 分别取如下函数: h1 (r): = sign(r)( -4 +15|r| -18r 2 +10 |r| 3 -2r 4 ), h2 (r): =2sign(r)(25 -60|r| +54r 2 -21 |r| 3 +3r 4 ). 此时,滓 饱和函数的相关参数为 滓1 = 1郾 5,滓 max = 2, L滓 = 1,琢滓 = 1,b滓 = 1郾 11,S滓 = 2. 浮空器的前飞推力上限为 20 N,a = 0郾 027,故 滋 max 2 = aR0 = 0郾 54. 据式(28)及上文的分析可知,在 滋1 参数 滋 max 1 ,琢滋1确定条件下,速率约束与 L滋2相关. 令 L滋2 = 姿,L滋2 = 姿,滋 max 1 = kaL滋2 = ka姿,0 < ka < 0郾 5. 根 据式(25)以及 滓 函数的选取可知,B滋2 = 滋 max 2 S滋2 + 2滋 max 1 , 则由(28)式可得到 R1 的表达式如下: R1 = 0郾 2186姿 + 0郾 2004ka琢滋1 姿 + 0郾 0364琢滋1 姿 0郾 027(姿 2 + 2姿) + 1郾 0565ka琢滋1 + 0郾 7286琢滋1 + 0郾 4373 0郾 027(姿 2 + 2姿) 以 ka = 1 2 ,琢滋1 = 1 为例,则有: R1 = 0郾 3553姿 + 1郾 6941 0郾 027(姿 2 + 2姿) 由上式可知,当 ka 值确定时,速率约束值随饱和函 数 滋2 的线性域增大而减小,即函数 滋2 的线性域斜 率越小对控制律的变化速率约束越强. 下一步计算控制律参数. 根据式(27),可以得 到如下参数: a2 = 0郾 27, a1 = ka 2 ,k1 = 4琢滋1 姿 0郾 27 姿 [ 1 ] T ,k2 = 0 1 [ ] 姿 T . 式中,姿 的计算需要依赖速率约束值 R1 及参数 ka . 此处取浮空器的前向推力变化速率上限为 20 N· s - 1 ,因此 R1 = 20. 以 ka = 1 2 为例,可得 姿 = 1郾 223. 结合上式,得 到控制器参数如下: a2 = 0郾 27,a1 = 0郾 25,k1 = [0郾 7220 3郾 2706] T , k2 = [0 0郾 8176] T . 因此,控制律(36)为: f x = -10滓(0郾 8176u +0郾 25滓(0郾 7220x +3郾 2706u)). 其中,x,u 分别是前向位置坐标及速度. 由于浮空 器的对称性,同样的设计方法也可用于侧向通道的 控制器设计. 此时各饱和函数的曲线随变量 r 变化 如图 3. 图 3 饱和函数参数对比 Fig. 3 Comparison of saturation functions 如图 3,滋1 ,滋2 都是在 滓 的基础上演变而来,具 有 滓 函数的特性. 滋2 函数决定了控制律幅值速率 的约束,滋1 则包含两个可调节的参数 ka,琢滋1 . ·1564·

孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1565· 3.2抗扰动性能分析 (a) 将设计的控制器用于浮空器三自由度模型 -k=1/2 10 一k=12 =-=1/5 ==…k=1/5 (1),其中F,=[ff,0],给定初始状态为位置 a…k=1/10 :k-1/10 x=10m,y=10m,速度u=-2m·s,v=-1m· 6 y速度 s',令a=1,观察参数k,对系统动态性能的影 x速度 响，如图4所示.对于给定的初始扰动，控制器能够 使浮空器快速回到稳定状态，系统无稳态误差并且 超调较小.当k,=0.5时，系统的动态性能最佳，收 敛时间较短. ,前向速度 入侧向速度， 下面分析参数α，对系统的影响，初始条件不 20,40 60 20 20 40 60 变，且令k,=0.5,如图5所示.可以发现，系统超调 tis 随着a,取值减小而增大，过大的a,会使推力的抖 图4不同k下的干扰抑制.(a)x方向位移：(b)y方向位移 动增大. Fig.4 System responses in different:(a)state response in x di- rection;(b)state response in y direction 10r 10 20 9 a ,=0.5 b g,=0.5 -g=0.5 -1=0.5 -.-c=1 8 8 8 g1=5 15 -1=5 1 …=5 6 6 5 4 一x位移 一y位移 2 : 0 -前向速度u 不侧向速度： L 0 204060 0 204060 0 204060 20 4060 s s 图5不同a,下的系统响应.(a,b)状态响应；（©，d)推力变化 Fig.5 System responses in different (a,b)state response;(e,d)variation of aerostat thrust 为了体现嵌套饱和控制律的优点，将优化后的 嵌套饱和(nested saturation)控制器与饱和约束下的 PD控制器控制效果进行对比.初始条件设为x= 20m,y=15m,u=0ms-1,v=0ms-1,令嵌套饱和 控制律参数k,=0.5,a1=2,依据前文计算控制器 参数，此时各饱和函数形式如图6. --”2 闭环系统在控制器下的横向及纵向位移如图7 所示. 4-3-2-1012345 从图7可以看出，嵌套饱和控制律与PD控制 律下的系统响应速度相当.但PID控制器下系统状 图6改进后饱和函数参数对 态量易发生超调并且有一定的振荡，控制器的参数 Fig.6 Comparison of advanced saturation functions 调节比较繁琐，针对不同的环境需要选择不同的参 [4(t-50) 50s≤t<52s 数：嵌套饱和控制律相比之下超调较小，并且不会发 V=8 52s≤t≤58s 生振荡，对于不同的环境有较好的适应性.为验证 8-4(t-58)58s<t≤60s 控制器的鲁棒性，加入风场扰动进行仿真.初始状 仿真结果如图8和9所示.相比之下，嵌套饱 态为零速度，初始位置均为10m,在x方向加入下式 和控制系统在风扰下收敛时间更短，并且没有超调， 所示的风场. 推力的大小被限制在±20N的范围内，其变化速率

孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 3郾 2 抗扰动性能分析 将设计的控制器用于浮空器三自由度模型 (1),其中 FT = [ f x f y 0] T ,给定初始状态为位置 x = 10 m, y = 10 m,速度 u = - 2 m·s - 1 ,v = - 1 m· s - 1 ,令 琢滋1 = 1,观察参数 ka 对系统动态性能的影 响,如图 4 所示. 对于给定的初始扰动,控制器能够 使浮空器快速回到稳定状态,系统无稳态误差并且 超调较小. 当 ka = 0郾 5 时,系统的动态性能最佳,收 敛时间较短. 下面分析参数 琢滋1 对系统的影响,初始条件不 变,且令 ka = 0郾 5,如图 5 所示. 可以发现,系统超调 随着 琢滋1取值减小而增大,过大的 琢滋1会使推力的抖 动增大. 图 4 不同 ka 下的干扰抑制. (a) x 方向位移; (b) y 方向位移 Fig. 4 System responses in different ka: (a) state response in x di鄄 rection; (b) state response in y direction 图 5 不同 琢滋1下的系统响应. (a, b) 状态响应;(c, d) 推力变化 Fig. 5 System responses in different 琢滋1 : (a, b) state response; (c, d) variation of aerostat thrust 为了体现嵌套饱和控制律的优点,将优化后的 嵌套饱和(nested saturation)控制器与饱和约束下的 PID 控制器控制效果进行对比. 初始条件设为 x = 20 m, y = 15 m, u = 0 m·s - 1 ,v = 0 m·s - 1 ,令嵌套饱和 控制律参数 ka = 0郾 5,琢滋1 = 2,依据前文计算控制器 参数,此时各饱和函数形式如图 6. 闭环系统在控制器下的横向及纵向位移如图 7 所示. 从图 7 可以看出,嵌套饱和控制律与 PID 控制 律下的系统响应速度相当. 但 PID 控制器下系统状 态量易发生超调并且有一定的振荡,控制器的参数 调节比较繁琐,针对不同的环境需要选择不同的参 数;嵌套饱和控制律相比之下超调较小,并且不会发 生振荡,对于不同的环境有较好的适应性. 为验证 控制器的鲁棒性,加入风场扰动进行仿真. 初始状 态为零速度,初始位置均为 10 m,在 x 方向加入下式 所示的风场. 图 6 改进后饱和函数参数对 Fig. 6 Comparison of advanced saturation functions Vwx = 4(t - 50) 50 s臆t < 52 s 8 52 s臆t臆58 s 8 - 4(t - 58) 58 s < t臆 ì î í ïï ïï 60 s 仿真结果如图 8 和 9 所示. 相比之下,嵌套饱 和控制系统在风扰下收敛时间更短,并且没有超调, 推力的大小被限制在 依 20 N 的范围内,其变化速率 ·1565·

·1566· 工程科学学报，第40卷，第12期 20 16 10 d ~嵌套饱和 一嵌套饱和 ..---dFg -PID PID 10 8 ! 4 -10 -20 50 100 150 50100150 50 100 150 50 100150 s tis 图7嵌套饱和与PD控制效果对比.(a)x方向位移：(b)y方 图9嵌套饱和控制下推力及其变化速率.(a)推力：(b)推力 的变化速率 向位移 Fig.9 Thrust and the rate of change in the NS control:(a)thrust; Fig.7 Comparison of nested saturation with PID control:(a)state response inxdirection;(b)state response in y direction (b)change rate of thrust 同样被限制在±20N·s1范围内，即控制律对风扰 [xa =0.5t 进行了补偿：饱和约束PD控制器下的系统则因为 (ya=t+50 被限制了输入幅值及速率，执行机构容易发生饱和， 式中，t为时间，x,y:分别为纵向及横向目标位置. 在突变风场下产生更加强烈的振荡.另外在横侧向 以纵向通道为例对控制律进行设计.跟踪目标 通道上，嵌套饱和系统几乎没有受到纵向通道上风 函数为： 扰的影响，而PD控制系统则受到了一定的影响. x)=0.5,x2)=0 通过以上仿真结果可以发现，嵌套饱和控制律 根据式(40)设计控制律如下： 的鲁棒性较好，在不同初始状态和风扰情况下都能 够保证系统的稳定，同时能够避免执行机构发生幅 无=-（房+4，(G) 值及速率饱和，动态性能也有所改善 式中：2=名=2-x”,六=元2+元1，元1=名-x4 (a) ,嵌套饱和 10 此时控制律化为一般形式，故可以按照前文的设计 PID -嵌套饱和 --PID 方法，依据输人的幅值及速率约束对饱和函数参数 进行设计.假定此时输入幅值及速率约束不变，则 6 控制器依据前文的设计过程给出，参数不变，饱和函 数形式同图7，对于横侧向通道控制输入f,设计方 4 法相同.下面对系统在给定轨迹下的跟踪情况进行 仿真.给定的初始位移速度均为零，在x方向加入 下式所示的风场. 5(t-60) 60s≤t<62s 风扰 V=10 62s≤t≤70s -205010015020 2050100150200 tis 10-5(t-70)70s<t≤72s 图8风扰条件下嵌套饱和与PD控制效果对比.()x方向位 跟踪情况如图10~11所示，可以看出，嵌套饱 移：(b)y方向位移 和控制系统能迅速跟踪目标轨迹，跟踪误差较小且 Fig.8 Comparison of nested saturation and PID control effect under 受风扰的影响较小：PD控制系统在跟踪过程中存 wind disturbance condition:(a)state response in x direction;(b) 在一些误差，并且受风扰影响更大.嵌套饱和控制 state response in y direction 律在跟踪过程中推力及其变化速率均未超出约束 3.3模型轨迹跟踪仿真 值.由图11(b)可知，偏航角在未受控状态下稳定 根据前文分析，对嵌套饱和跟踪控制律进行设 且其值为零.由图12可见，螺旋桨的推力及转角均 计，给定惯性坐标系下的跟踪轨迹如下： 未发生剧烈的变化

工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 图 7 嵌套饱和与 PID 控制效果对比. (a) x 方向位移; (b) y 方 向位移 Fig. 7 Comparison of nested saturation with PID control: ( a) state response in x direction; (b) state response in y direction 同样被限制在 依 20 N·s - 1范围内,即控制律对风扰 进行了补偿;饱和约束 PID 控制器下的系统则因为 被限制了输入幅值及速率,执行机构容易发生饱和, 在突变风场下产生更加强烈的振荡. 另外在横侧向 通道上,嵌套饱和系统几乎没有受到纵向通道上风 扰的影响,而 PID 控制系统则受到了一定的影响. 通过以上仿真结果可以发现,嵌套饱和控制律 的鲁棒性较好,在不同初始状态和风扰情况下都能 够保证系统的稳定,同时能够避免执行机构发生幅 值及速率饱和,动态性能也有所改善. 图 8 风扰条件下嵌套饱和与 PID 控制效果对比. ( a) x 方向位 移; (b) y 方向位移 Fig. 8 Comparison of nested saturation and PID control effect under wind disturbance condition: ( a) state response in x direction; ( b) state response in y direction 3郾 3 模型轨迹跟踪仿真 根据前文分析,对嵌套饱和跟踪控制律进行设 计,给定惯性坐标系下的跟踪轨迹如下: 图 9 嵌套饱和控制下推力及其变化速率. ( a) 推力; ( b) 推力 的变化速率 Fig. 9 Thrust and the rate of change in the NS control: (a) thrust; (b) change rate of thrust xd = 0郾 5t yd = t { + 50 式中,t 为时间,xd ,yd 分别为纵向及横向目标位置. 以纵向通道为例对控制律进行设计. 跟踪目标 函数为: x (1) d = 0郾 5,x (2) d = 0 根据式(40)设计控制律如下: f x = - 1 a 滋2 (y寛2 + 滋1 (y寛1 )) 式中:y寛2 = x2 = x2 - x (1) d ,y寛1 = x2 + 琢滋1 x1 ,x1 = x1 - xd . 此时控制律化为一般形式,故可以按照前文的设计 方法,依据输入的幅值及速率约束对饱和函数参数 进行设计. 假定此时输入幅值及速率约束不变,则 控制器依据前文的设计过程给出,参数不变,饱和函 数形式同图 7,对于横侧向通道控制输入 f y 设计方 法相同. 下面对系统在给定轨迹下的跟踪情况进行 仿真. 给定的初始位移速度均为零,在 x 方向加入 下式所示的风场. Vwx = 5(t - 60) 60 s臆t < 62 s 10 62 s臆t臆70 s 10 - 5(t - 70) 70 s < t臆 ì î í ïï ïï 72 s 跟踪情况如图 10 ~ 11 所示,可以看出,嵌套饱 和控制系统能迅速跟踪目标轨迹,跟踪误差较小且 受风扰的影响较小;PID 控制系统在跟踪过程中存 在一些误差,并且受风扰影响更大. 嵌套饱和控制 律在跟踪过程中推力及其变化速率均未超出约束 值. 由图 11( b)可知,偏航角在未受控状态下稳定 且其值为零. 由图 12 可见,螺旋桨的推力及转角均 未发生剧烈的变化. ·1566·