含有自校正模型的加权多模型自适应控制.pdf_大学文库

工程科学学报，第40卷，第11期：1389-1401,2018年11月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.11:1389-1401,November 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.11.013;http://journals.ustb.edu.cn 含有自校正模型的加权多模型自适应控制张玉振，李擎四，张维存北京科技大学自动化学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:liqing@ics.usth.cu.cm 摘要研究了含有大范围参数不确定性离散时间被控对象的加权多模型自适应控制问题（包括模型集构建和加权算法分析).通过构建含有自校正模型和多个固定模型的模型集覆盖并逼近被控对象，在模型输出误差可分的前提下，采用基于模型输出误差性能指标的加权算法，并依据固定模型中是否包含真实被控对象模型的不同情形分析加权算法的收敛性.在权值收敛的前提下，利用虚拟等价系统理论，分析了参数未知线性时不变和参数跳变的情形，在不依赖于特定局部控制算法的基础上，证明了此种模型集构建下的加权多模型自适应控制系统的稳定性和收敛性，放宽了先期加权多模型自适应控制系统稳定性分析中关于模型集构建的约束条件.最终，通过计算机MATLAB仿真，验证了此类加权多模型自适应控制系统的收敛性和闭环稳定性. 关键词离散系统：多模型自适应控制：加权算法：稳定性：收敛性分类号TP301.6 Weighted multiple model adaptive control with self-tuning model ZHANG Yu-zhen,LI Qing,ZHANG Wei-cun School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:liqing@ies.ustb.edu.cn ABSTRACT The issues of model set construction and weighting algorithm analysis in multiple model adaptive control of discrete-time systems with large parameter uncertainty are considered in this paper.First,to improve system performance by reducing the calculation burden and relaxing the convergence conditions for the classical weighting algorithm,a new weighting algorithm is adopted,which is based on the model output errors of the multi-model adaptive control system with a self-tuning model.Second,the weighting algorithm convergence is analyzed in two cases:when the model set contains the true model of plant and it tends to the fixed model,and when the model set does not contain the true model of plant and it tends to the self-tuning model.Third,according to the virtual equivalent sys- tem (VES)concept and methodology,the stability of weighted multiple model adaptive control (WMMAC)with a self-tuning model is presented under a unified framework.The analysis procedures for linear time-invariant (LTI)and parameter jump plants are independ- ent of specific local control methods and weighting algorithm,which only require that each local controller stabilizes the corresponding local model,the output of the formed closed-loop system tracks the reference signal,and the weighting algorithm is convergent.The principal contributions of the paper are the analysis of global stability and the convergence of the overall system with a self-tuning mod- el.Compared with the stability results of WMMAC in the early stage,the constraint condition that the model set only has fixed models is relaxed,which can enlarge the application range of the stability results in theory.In addition,because of the introduction of a self- tuning controller,the control performance of the system is significantly improved when the real model of the plant is not included in the model set.Finally,computer simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed method. KEY WORDS discrete-time system;multiple model adaptive control;weighting algorithm;stability;convergence 收稿日期：2017-11-07 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61520106010,61741302)

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期:1389鄄鄄1401,2018 年 11 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 11: 1389鄄鄄1401, November 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 11. 013; http: / / journals. ustb. edu. cn 含有自校正模型的加权多模型自适应控制张玉振, 李擎苣 , 张维存北京科技大学自动化学院, 北京 100083 苣通信作者, E鄄mail: liqing@ ies. ustb. edu. cn 摘要研究了含有大范围参数不确定性离散时间被控对象的加权多模型自适应控制问题(包括模型集构建和加权算法分析). 通过构建含有自校正模型和多个固定模型的模型集覆盖并逼近被控对象,在模型输出误差可分的前提下,采用基于模型输出误差性能指标的加权算法,并依据固定模型中是否包含真实被控对象模型的不同情形分析加权算法的收敛性. 在权值收敛的前提下,利用虚拟等价系统理论,分析了参数未知线性时不变和参数跳变的情形,在不依赖于特定局部控制算法的基础上,证明了此种模型集构建下的加权多模型自适应控制系统的稳定性和收敛性,放宽了先期加权多模型自适应控制系统稳定性分析中关于模型集构建的约束条件. 最终,通过计算机 MATLAB 仿真,验证了此类加权多模型自适应控制系统的收敛性和闭环稳定性. 关键词离散系统; 多模型自适应控制; 加权算法; 稳定性; 收敛性分类号 TP301郾 6 收稿日期: 2017鄄鄄11鄄鄄07 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61520106010, 61741302) Weighted multiple model adaptive control with self鄄tuning model ZHANG Yu鄄zhen, LI Qing 苣 , ZHANG Wei鄄cun School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E鄄mail: liqing@ ies. ustb. edu. cn ABSTRACT The issues of model set construction and weighting algorithm analysis in multiple model adaptive control of discrete鄄time systems with large parameter uncertainty are considered in this paper. First, to improve system performance by reducing the calculation burden and relaxing the convergence conditions for the classical weighting algorithm, a new weighting algorithm is adopted, which is based on the model output errors of the multi鄄model adaptive control system with a self鄄tuning model. Second, the weighting algorithm convergence is analyzed in two cases: when the model set contains the true model of plant and it tends to the fixed model, and when the model set does not contain the true model of plant and it tends to the self鄄tuning model. Third, according to the virtual equivalent sys鄄 tem (VES) concept and methodology, the stability of weighted multiple model adaptive control (WMMAC) with a self鄄tuning model is presented under a unified framework. The analysis procedures for linear time鄄invariant (LTI) and parameter jump plants are independ鄄 ent of specific local control methods and weighting algorithm, which only require that each local controller stabilizes the corresponding local model, the output of the formed closed鄄loop system tracks the reference signal, and the weighting algorithm is convergent. The principal contributions of the paper are the analysis of global stability and the convergence of the overall system with a self鄄tuning mod鄄 el. Compared with the stability results of WMMAC in the early stage, the constraint condition that the model set only has fixed models is relaxed, which can enlarge the application range of the stability results in theory. In addition, because of the introduction of a self鄄 tuning controller, the control performance of the system is significantly improved when the real model of the plant is not included in the model set. Finally, computer simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed method. KEY WORDS discrete鄄time system; multiple model adaptive control; weighting algorithm; stability; convergence

.1390. 工程科学学报，第40卷，第11期近年来，带有大范围参数不确定性的动态系统近些年，类似文献[32,34]等相关文献给出了基于控制正在受到越来越多的关注.由于系统的参数存虚拟等价系统理论的加权多模型自适应控制系统的在大范围不确定性等因素，使得系统变化复杂.在稳定性和收敛性证明.但是，其中的加权多模型自这种背景下，用多模型来覆盖系统动态特性的多模适应控制仅是针对模型集由固定模型构成且包含真型自适应控制得到发展.基于选定的系统性能指实对象模型的情形，并且其相应的稳定性分析也是标，使得最合适的控制器来实时控制系统) 基于此情形而言，当模型集中不包含真实对象模型多模型的思想最初于20世纪60年代由时，该控制系统则难以满足控制要求 Mag2]提出并被应用于含不确定参数的随机系统为了解决上述问题，本文在文献「32,34基础的状态估计，即多模型自适应估计(multiple model 上，构建了含有自校正模型的加权多模型自适应控 adaptive estimation,MMAE).20世纪70年代由制系统，并相应地给出了所采用的加权算法的收敛 Lainiotis等[3-)和Athans等s)提出多模型自适应控性证明.之后，基于由固定模型和自校正模型所构制(multiple model adaptive control,MMAC),是一种成模型集的控制系统，在被控对象参数未知线性时基于后验概率加权的多模型控制算法[6-].随后不变和参数跳变的情形下，基于虚拟等价系统理论 Badr等将每个控制器采用二次型最优指标进行设证明了控制系统的稳定性和收敛性，放宽了文献计，构成加权多模型控制器[1].其在飞行器的控制 [32,34]加权多模型自适应控制系统稳定性分析中中)和血流动力学变量的调节中-2]得到应用. 关于模型集仅为固定模型所组成的约束，扩大了保 Chaudhuri等Is]利用该方法控制电力系统中的低频证加权多模型自适应控制系统稳定的理论应用振荡的阻尼.之后，Narendra等[4-i6]提出切换多模范围型自适应控制，基本思想为离线构建多个固定模型需要指出，鉴于大部分实际系统是通过计算机来覆盖被控对象的不确定空间，另加自适应模型来施加控制1,3]，故本文中针对离散系统进行阐述. 提高系统动态性能[)] 随着预测控制18】、鲁棒自适应控制[)、模糊 1被控系统描述 PD控制[20]等控制器设计的发展，采用加权多模型考虑如下单输入单输出的不确定性离散时间随方法与之结合的控制策略提高了系统的控制性能. 机被控对象P 近几年，文献[21-23]提出了可在控制器间实 A(z1)y(k)=z4B(z-1)u(k)+w(k)(1) 现平滑过渡的多模型自适应混合控制，依据被控对其中，k=1,2,…为离散时间序号，且象的参数估计值产生多个控制器的输出的加权值， A(z1)=1+a,21+a222+…+an2(2) 文献[24-25]把上述结果推广到离散时间系统.曹 B(z-1)=b。+b1z1+b2z-2+…+bn2"(3) 叙风等26-2]结合切换和混合控制的优点，进一步提其中：u(k)为被控对象的输人变量，亦即控制器的高系统的暂态性能.此外，为了减少模型集数量、充分利用模型提供的系统信息，Han和Narendra28-2】输出：y(k)为系统输出变量；系统结构参数n。≥1，提出了多模型二阶段自适应方法(multiple models n6≥1；d为系统输出延迟且满足d≥1；z是d步后 with second level adaptation,MMSLA),这实际上是在移算子，即z4y(k)=y(k-d);a1,…,an,bo,…,bs 参数估计的层面上引进了加权思想.同时，该方法为系统参数；ω(k)为系统噪声，且满足在高速列车0]和化工过程]等多个领域均有 Iw(i)‖2=R<∞ (4) i=1 应用. 其中，R为常数相较于基于切换的多模型自适应控制来说，加权多模型自适应控制(weighted multiple model adap- 注1：系统结构参数n。,ns和d均已知，且系统 tive control,WMMAC)可以看作是一种基于“软切噪声为白噪声换”的多模型控制系统[2].实际上，对于含有不确同时，被控对象P也可以表述为如下形式定参数的随机控制系统，都可以考虑应用该方 y(k)=p(k)0+w(k) (5) 法[32] 其中，然而，因为采用了控制器加权和形式，使得尽管 p(k)=[-y(k-1),…,-y(k-n.), 经过几十年的理论和试验性研究，加权多模型自适 u(k-d),…,u(k-d-ns)] (6) 应控制系统的稳定性证明依然是非常困难的3]. 0=[a1,…,an.,bo,…,bn] (7)

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期近年来,带有大范围参数不确定性的动态系统控制正在受到越来越多的关注. 由于系统的参数存在大范围不确定性等因素,使得系统变化复杂. 在这种背景下,用多模型来覆盖系统动态特性的多模型自适应控制得到发展. 基于选定的系统性能指标,使得最合适的控制器来实时控制系统[1] . 多模型的思想最初于 20 世纪 60 年代由 Magill [2]提出并被应用于含不确定参数的随机系统的状态估计, 即多模型自适应估计(multiple model adaptive estimation, MMAE). 20 世纪 70 年代由 Lainiotis 等[3鄄鄄4]和 Athans 等[5] 提出多模型自适应控制(multiple model adaptive control, MMAC),是一种基于后验概率加权的多模型控制算法[6鄄鄄9] . 随后 Badr 等将每个控制器采用二次型最优指标进行设计,构成加权多模型控制器[10] . 其在飞行器的控制中[5]和血流动力学变量的调节中[11鄄鄄12] 得到应用. Chaudhuri 等[13]利用该方法控制电力系统中的低频振荡的阻尼. 之后,Narendra 等[14鄄鄄16] 提出切换多模型自适应控制,基本思想为离线构建多个固定模型来覆盖被控对象的不确定空间,另加自适应模型来提高系统动态性能[17] . 随着预测控制[18] 、鲁棒自适应控制[19] 、模糊 PID 控制[20]等控制器设计的发展,采用加权多模型方法与之结合的控制策略提高了系统的控制性能. 近几年,文献[21鄄鄄23]提出了可在控制器间实现平滑过渡的多模型自适应混合控制,依据被控对象的参数估计值产生多个控制器的输出的加权值, 文献[24鄄鄄25]把上述结果推广到离散时间系统. 曹叙风等[26鄄鄄27]结合切换和混合控制的优点,进一步提高系统的暂态性能. 此外,为了减少模型集数量、充分利用模型提供的系统信息,Han 和 Narendra [28鄄鄄29] 提出了多模型二阶段自适应方法( multiple models with second level adaptation,MMSLA),这实际上是在参数估计的层面上引进了加权思想. 同时,该方法在高速列车[30] 和化工过程[31] 等多个领域均有应用. 相较于基于切换的多模型自适应控制来说,加权多模型自适应控制(weighted multiple model adap鄄 tive control, WMMAC) 可以看作是一种基于“软切换冶的多模型控制系统[32] . 实际上,对于含有不确定参数的随机控制系统, 都可以考虑应用该方法[32] . 然而,因为采用了控制器加权和形式,使得尽管经过几十年的理论和试验性研究,加权多模型自适应控制系统的稳定性证明依然是非常困难的[33] . 近些年,类似文献[32,34] 等相关文献给出了基于虚拟等价系统理论的加权多模型自适应控制系统的稳定性和收敛性证明. 但是,其中的加权多模型自适应控制仅是针对模型集由固定模型构成且包含真实对象模型的情形,并且其相应的稳定性分析也是基于此情形而言,当模型集中不包含真实对象模型时,该控制系统则难以满足控制要求. 为了解决上述问题,本文在文献[32,34] 基础上,构建了含有自校正模型的加权多模型自适应控制系统,并相应地给出了所采用的加权算法的收敛性证明. 之后,基于由固定模型和自校正模型所构成模型集的控制系统,在被控对象参数未知线性时不变和参数跳变的情形下,基于虚拟等价系统理论证明了控制系统的稳定性和收敛性,放宽了文献 [32,34]加权多模型自适应控制系统稳定性分析中关于模型集仅为固定模型所组成的约束,扩大了保证加权多模型自适应控制系统稳定的理论应用范围. 需要指出,鉴于大部分实际系统是通过计算机施加控制[1,34] ,故本文中针对离散系统进行阐述. 1 被控系统描述考虑如下单输入单输出的不确定性离散时间随机被控对象 P A(z - 1 )y(k) = z - dB(z - 1 )u(k) + 棕(k) (1) 其中,k = 1,2,…为离散时间序号,且 A(z - 1 ) = 1 + a1 z - 1 + a2 z - 2 + … + ana z - na (2) B(z - 1 ) = b0 + b1 z - 1 + b2 z - 2 + … + bnb z - n b (3) 其中:u(k)为被控对象的输入变量,亦即控制器的输出;y(k)为系统输出变量;系统结构参数 na逸1, nb逸1;d 为系统输出延迟且满足 d逸1;z - d是 d 步后移算子,即 z - d y(k) = y(k - d);a1 ,…,ana ,b0 ,…,bnb 为系统参数;棕(k)为系统噪声,且满足 lim k寅肄 1 k 移 k i = 1 椰棕(i)椰2 = R < 肄 (4) 其中,R 为常数. 注 1:系统结构参数 na ,nb 和 d 均已知,且系统噪声为白噪声. 同时,被控对象 P 也可以表述为如下形式 y(k) = 渍 T (k)兹 + 棕(k) (5) 其中, 渍(k) = [ - y(k - 1),…, - y(k - na ), u(k - d),…,u(k - d - nb)] (6) 兹 = [a1 ,…,ana ,b0 ,…,bnb ] (7) ·1390·

张玉振等：含有自校正模型的加权多模型自适应控制 ·1391· 2 含有自校正模型的WMMAC 定的被控对象：控制器集C={C:,i=1,2,…,n或 6}是由正整数n个与固定的局部模型相对应的局部 M={M,i=1,2,…,n或8}是系统的模型集，控制器C:,i=1,…,n以及与自校正模型相对应的由正整数n个固定模型Mi=1,2,…,n和1个自局部控制器C:,i=δ即Cs构成；P:(k),i=1,…,n或校正模型M,i=δ，即M。构成.针对每一个局部模 δ是局部控制器的权重，实际上代表对被控对象的型分别设计具有一定鲁棒性的局部控制器，构成局 “辨识”[.根据性能指标可以得出各权重值，然后部控制器集.对于每个固定模型的控制器设计，文通过加权和可以给出控制器的输出u(k) 献[35]提出了μ综合的方法.实际上，多模型自适2.2加权算法应控制中的局部控制器可以采用任何可行的具有一对于每个局部模型，当然包括其中的自校正模定鲁棒性的控制策略.为了控制系统的简单易实型，各模型输出ym(k),i=1,2,…,n或8用于定义现，本文中对n个固定模型M,i=1,2,…,n分别采输出误差，即用极点配置的方法设计其局部控制器，具体过程不 ei(k)=y(k)-y(k) (10) 做赘述以其为基础计算局部控制器的对应权值.正如 2.1极点配置间接自校正控制图1所示，控制器输出可表述如下针对自校正模型M。可以采用极点配置间接自 P:(k)u:(k)+Ps(k)s(k)(11) 校正控制，则参数估计可采用递推最小二乘法[6] 即其中，u,(k),i=1,…,n为固定模型控制器输出； (k)=0(k-1)+K(k)[y(k)-e'(k)0(k-1)] us(k)为自校正控制器输出. 本文基于文献[34,38]中加权算法给出如下算 =1+e品ee西 H(k-1)(k) 法，具体为式(12)~(16)： H(k)=[I-K(k)e(k)]H(k-1) 初始化设置.在加权算法初始时，各局部控制 (8) 器的权值P:(0)以及权值计算指标L,(0)初值均相式中等，i=1,…,n或6，即 p(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na), P:(0)=4,(0)=1 (12) n+1 u(k-d),…,u(k-d-ns)] 9 计算误差性能指标(k),i=1,…,n或8.误差 ak)=[a1,…,an,6o,…,6]r 性能指标需根据实际应用的控制要求进行设计，本且($)表示参数(*)的估计值.在启动上述递推文中为 k 公式时，需确定初值H(0),0(0).取法如下： (k)=a+本名 +1∑e.)2 (13) H(0)=a·I,式中，a为充分大的正实数(10~ 100)[36],本文后续仿真中取为10；1为n。+n。+1 式中，α>0，取值为较小的常数，本文后续仿真中取维单位矩阵：(0)取为固定模型系统参数的均值. 为0.001，从而避免(k)=0的情况出现. 为了更加清晰地分析系统，图1给出了离散时误差性能指标的比较.从各局部控制器对应的间的加权多模型控制系统的简化框图，其中的局部误差性能指标中选取最小值(k) 控制器和加权算法的详细内容已略去. n(k)=minl(k),i=1,…,n或8(14) 计算权值计算指标l,(k),i=1,…,n或8.依据当前误差性能指标，通过与上一时刻权值计算指标的迭代相乘，得到当前时刻权值计算指标，即 4()=(, (4(k-1) (15) P 计算局部控制器对应的权值.根据权值计算指标所对应的比重得到各局部控制器所对应的权图1加权多模型自适应控制系统结构图值，即 Fig.1 Block diagram of a general WMMAC structure P:(k)= L(k) (16) 图1中，y,(k)为系统参考输入；P是含有不确 ()+() j=1

张玉振等: 含有自校正模型的加权多模型自适应控制 2 含有自校正模型的 WMMAC M = {Mi,i = 1,2,…,n 或啄}是系统的模型集, 由正整数 n 个固定模型 Mi,i = 1,2,…,n 和 1 个自校正模型 Mi,i = 啄,即 M啄构成. 针对每一个局部模型分别设计具有一定鲁棒性的局部控制器,构成局部控制器集. 对于每个固定模型的控制器设计,文献[35]提出了滋综合的方法. 实际上,多模型自适应控制中的局部控制器可以采用任何可行的具有一定鲁棒性的控制策略. 为了控制系统的简单易实现,本文中对 n 个固定模型 Mi,i = 1,2,…,n 分别采用极点配置的方法设计其局部控制器,具体过程不做赘述. 2郾 1 极点配置间接自校正控制针对自校正模型 M啄可以采用极点配置间接自校正控制,则参数估计可采用递推最小二乘法[36] , 即 ^ 兹(k) = ^ 兹(k - 1) + K(k)[y(k) - 渍 T (k) ^ 兹(k - 1)] K(k) = H(k - 1)渍(k) 1 + 渍 T (k)H(k - 1)渍(k) H(k) = [I - K(k)渍 T (k)]H(k - 1 ì î í ï ï ï ï ) (8) 式中渍(k) = [ - y(k - 1),…, - y(k - na ), u(k - d),…,u(k - d - nb)] ^ 兹(k) = [a^ 1 ,…,a^ na , ^ b0 ,…, ^ bnb ] ì î í ïï ïï T (9) 且(*^ )表示参数(*)的估计值. 在启动上述递推公式时, 需确定初值 H ( 0 ), ^ 兹 ( 0 ). 取法如下: H(0) = a·I, 式中, a 为充分大的正实数 ( 10 4 ~ 10 10 ) [36] ,本文后续仿真中取为 10 6 ;I 为 na + nb + 1 维单位矩阵; ^ 兹(0)取为固定模型系统参数的均值. 为了更加清晰地分析系统,图 1 给出了离散时间的加权多模型控制系统的简化框图,其中的局部控制器和加权算法的详细内容已略去. 图 1 加权多模型自适应控制系统结构图 Fig. 1 Block diagram of a general WMMAC structure 图 1 中,yr ( k)为系统参考输入;P 是含有不确定的被控对象;控制器集 C = {Ci,i = 1,2,…,n 或啄}是由正整数 n 个与固定的局部模型相对应的局部控制器 Ci,i = 1,…,n 以及与自校正模型相对应的局部控制器 Ci,i = 啄即 C啄构成;pi(k),i = 1,…,n 或啄是局部控制器的权重,实际上代表对被控对象的 “辨识冶 [37] . 根据性能指标可以得出各权重值,然后通过加权和可以给出控制器的输出 u(k). 2郾 2 加权算法对于每个局部模型,当然包括其中的自校正模型,各模型输出 ymi(k),i = 1,2,…,n 或啄用于定义输出误差,即 ei(k) = y(k) - ymi(k) (10) 以其为基础计算局部控制器的对应权值. 正如图 1 所示,控制器输出可表述如下 u(k) = 移 n i = 1 pi(k)ui(k) + p啄(k)u啄(k) (11) 其中,ui ( k),i = 1,…,n 为固定模型控制器输出; u啄(k)为自校正控制器输出. 本文基于文献[34, 38]中加权算法给出如下算法,具体为式(12) ~ (16): 初始化设置. 在加权算法初始时,各局部控制器的权值 pi (0)以及权值计算指标 l i (0)初值均相等,i = 1,…,n 或啄,即 pi(0) = l i(0) = 1 n + 1 (12) 计算误差性能指标 l忆i(k),i = 1,…,n 或啄. 误差性能指标需根据实际应用的控制要求进行设计,本文中为 l忆i(k) = 琢 + 1 k 移 k j = 1 ei(j) 2 (13) 式中,琢 > 0,取值为较小的常数,本文后续仿真中取为 0郾 001,从而避免 l忆i(k) = 0 的情况出现. 误差性能指标的比较. 从各局部控制器对应的误差性能指标中选取最小值 l忆min (k) l忆min (k) = minl忆i(k),i = 1,…,n 或啄 (14) 计算权值计算指标 l i(k),i = 1,…,n 或啄. 依据当前误差性能指标,通过与上一时刻权值计算指标的迭代相乘,得到当前时刻权值计算指标,即 l i(k) = l忆min (k) l忆i(k) l i(k - 1) (15) 计算局部控制器对应的权值. 根据权值计算指标所对应的比重得到各局部控制器所对应的权值,即 pi(k) = l i(k) 移 n j = 1 l j(k) + l 啄(k) (16) ·1391·

.1392 工程科学学报，第40卷，第11期本文中加权算法直接依据模型的在线“表现” M。初值非真实对象参数值的情形，易知计算权值，在每一次计算时，都强制将各模型的输出误差指标分出大小，以利于权值收敛吉豆)% (19) 2.3加权算法的实现其中，r=1,2,…,「6故而在r6<k的前提下可得，在加权算法中，被选定的模型依概率收敛到1，同时，其他的将收敛至0.当被控对象的参数发生跳言)s三 e(r)+rR(20) 变时，该算法须能依据误差性能指标继续计算，得到则有R<R,ij,j≠8 新权值.而上述算法使得局部模型收敛到0后难以考虑固定模型中包含真实对象模型，即为M, 满足要求.为此，可以通过限定权值收敛的阈值，确 M。初值为真实对象参数值的情形，由在线估计参数保未被选定模型的权值不为零，从而能够重新收敛的性质易知根据式(15)和(16)可知，各局部控制器的权值 (21) 在0和1之间，其中l:(k)由累乘得出.故，保证各 (r) 局部控制器对应的权值p:(k),i=1,…,n或8均不则有R<R,i≠j,j≠6. 小于0.001，需要限定条件：当P:(k)<0.001时，由式(14)可得到 l,(k)=0.001· ∑l,(h),其中i=1,,n或8 智出 Vrin(k) <1,i=1,2,…,n或6，i≠jj≠8 3主要结论及分析 (22) 其中，(k)为模型M对应的误差性能指标. 3.1加权算法收敛性证明因系统输出延迟d步，导致前d步输出误差不在含有自校正模型的加权多模型自适应控制系可区分.故有式(22)中，k≥d+1,i≠j,j≠8. 统中，关于加权算法的收敛性，有以下定理. 由式(13)、(14)和(17)知定理1假设满足如下情形：模型集M={M,i (k) =1,2,…,n或6}中M是固定模型中与真实对象相上mgk) <1,i≠jj≠8 (23) 同的一个（固定模型中包含真实对象模型），或者为综合式(15)、(22)和(23)可以得到自校正模型M。,即M,=Ms,(固定模型中不包含真 liml,(k)=l,(d+1);liml,(k)=0,i≠j,j≠δ 实对象模型)，则依概率1有 (24) 进而由式(16)得 limp,(k)=1:liml,(k)=0,i≠jJ≠8(25) (17) 考虑固定模型中不包含真实对象模型，自校正 m1∑e(r）=R: 模型经有限步T。辨识到系统参数后，M=M。的情 lim k台形，易得其中，k≥d+1,i≠j,e,(r)为模型M的输出误差，r= 1,2,…,k,d为系统输出延迟，R为常数或为无穷上（八衡大，R<R为常数.则式(12)~(16)给出的加权算与上述同理，可得到法依概率1收敛，即Iimp,(k)=l;limp:(k)=0,i≠方 0<limla(k)s(d+1);liml,(k)=0 (27) 证明首先根据加权算法中局部模型的输出误其中，lim-mls(k)=ls(d+rs),i≠δ. 差，见式(10)，可以实时得到各模型的输出误差指由式(16)得标.由Ms经有限步rs(r6为正整数)辨识出系统参 limps((k)=1;liml,(k)=0,i≠δ (28) 数模型，则可给出辨识过程前6步的均方误差，此时Ps(k)亦为p(k). 2do-k 综上，加权算法收敛性得证 (18) 注2文献[32,34]中加权算法及其收敛性分其中，e(r)为自校正模型前r。步辨识过程中的输出析是基于模型集，仅由固定模型构成，本文针对含有误差，r=1,2,…,6,R为常数. 自校正模型的多模型情形给出了加权算法的收敛性考虑固定模型中包含真实对象模型，即为M, 分析

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期本文中加权算法直接依据模型的在线“表现冶计算权值,在每一次计算时,都强制将各模型的输出误差指标分出大小,以利于权值收敛. 2郾 3 加权算法的实现在加权算法中,被选定的模型依概率收敛到 1, 同时,其他的将收敛至 0. 当被控对象的参数发生跳变时,该算法须能依据误差性能指标继续计算,得到新权值. 而上述算法使得局部模型收敛到 0 后难以满足要求. 为此,可以通过限定权值收敛的阈值,确保未被选定模型的权值不为零,从而能够重新收敛. 根据式(15)和(16)可知,各局部控制器的权值在 0 和 1 之间,其中 l i ( k)由累乘得出. 故,保证各局部控制器对应的权值 pi(k),i = 1,…,n 或啄均不小于 0郾 001,需要限定条件:当 pi ( k) < 0郾 001 时, l i(k) = 0郾 001·移 n+1 i = 1 l i(k),其中 i = 1,…,n 或啄. 3 主要结论及分析 3郾 1 加权算法收敛性证明在含有自校正模型的加权多模型自适应控制系统中,关于加权算法的收敛性,有以下定理. 定理 1 假设满足如下情形:模型集 M = {Mi,i = 1,2,…,n 或啄}中 Mj 是固定模型中与真实对象相同的一个(固定模型中包含真实对象模型),或者为自校正模型 M啄,即 Mj = M啄,(固定模型中不包含真实对象模型),则依概率 1 有 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) = Rj lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) = R ì î í ï ï ïï ï ï ïï i (17) 其中,k逸d + 1,i屹j,ej(r)为模型 Mj 的输出误差,r = 1,2,…,k,d 为系统输出延迟,Ri 为常数或为无穷大,Rj < Ri 为常数. 则式(12) ~ (16)给出的加权算法依概率 1 收敛,即lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 pi(k) = 0,i屹j. 证明首先根据加权算法中局部模型的输出误差,见式(10),可以实时得到各模型的输出误差指标. 由 M啄经有限步 r啄(r啄为正整数)辨识出系统参数模型,则可给出辨识过程前 r啄步的均方误差, 1 r啄移 r啄 r = 1 e 2 啄(r) = R啄 (18) 其中,e啄(r)为自校正模型前 r啄步辨识过程中的输出误差,r = 1,2,…,r啄,R啄为常数. 考虑固定模型中包含真实对象模型,即为 Mj, M啄初值非真实对象参数值的情形,易知 1 r啄移 r啄 r = 1 e 2 j (r) < R啄 (19) 其中,r = 1,2,…,r啄 . 故而在 r啄 < k 的前提下可得, 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 [ k 移 k r = r啄+1 e 2 啄(r) + r啄·R啄 ] (20) 则有 Rj < Ri,i屹j,j屹啄. 考虑固定模型中包含真实对象模型,即为 Mj, M啄初值为真实对象参数值的情形,由在线估计参数的性质易知 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 啄(r) (21) 则有 Rj < Ri,i屹j,j屹啄. 由式(14)可得到 l忆min (k) l忆j(k) = 1; l忆min (k) l忆i(k) < 1,i = 1,2,…,n 或啄,i屹j,j屹啄 (22) 其中,l忆j(k)为模型 Mj 对应的误差性能指标. 因系统输出延迟 d 步,导致前 d 步输出误差不可区分. 故有式(22)中,k逸d + 1,i屹j,j屹啄. 由式(13)、(14)和(17)知 lim k寅肄 l忆min (k) l忆i(k) < 1,i屹j,j屹啄 (23) 综合式(15)、(22)和(23)可以得到 lim k寅肄 l j(k) = l j(d + 1);lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹j,j屹啄 (24) 进而由式(16)得 lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹j,j屹啄 (25) 考虑固定模型中不包含真实对象模型,自校正模型经有限步 r啄辨识到系统参数后,Mj = M啄的情形,易得 1 [ k 移 k r = r啄+1 e 2 啄(r) + r啄·R啄 ] < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) (26) 与上述同理,可得到 0 < lim k寅肄 l 啄(k)臆l 啄(d + 1);lim k寅肄 l i(k) = 0 (27) 其中,limk寅肄 l 啄(k) = l 啄(d + r啄),i屹啄. 由式(16)得 lim k寅肄 p啄(k) = 1;lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹啄 (28) 此时 p啄(k)亦为 pj(k). 综上,加权算法收敛性得证. 注 2 文献[32,34]中加权算法及其收敛性分析是基于模型集,仅由固定模型构成,本文针对含有自校正模型的多模型情形给出了加权算法的收敛性分析. ·1392·

张玉振等：含有自校正模型的加权多模型自适应控制 ·1393· 注3本文中讨论的多模型自适应控制稳定性指的是加权多模型自适应控制系统的输入输出信号有界，多模型自适应控制收敛性是输入输出信号收敛至相应的非自适应控制系统的输人输出信号[2]. 3.2参数未知线性时不变对象的加权多模型自适图2线性时不变对象的WMMAC虚拟等价系统I 应控制 Fig.2 Virtual equivalent system-I for WMMAC-LTI plant 定理2若满足 (1)每个固定参数的局部控制器与模型集中的对应模型构成稳定的闭环系统，且跟踪参考输入信号； (2)自校正模型所对应的自校正控制系统稳定图3虚拟等价系统I(图2)的分解子系统a 且收敛； Fig.3 Decomposed subsystem a of the virtual equivalent system-I (3)模型输出误差可分，即依概率1有 (Fig.2) △u( (29 0☒ 四套0=R 图4虚拟等价系统I(图2)的分解子系统b Fig.4 Decomposed subsystem b of the virtual equivalent system-I 其中，k≥d+1,i≠j,d为系统输出延迟，R,为常数或 Fig.2) 为无穷大，R<R:为常数易知则加权多模型自适应控制系统稳定且收敛 u(k)=u'(k)+u"(k) (31) 注4关于定理2中的条件(1)，由于本文中加 y(k)=y'(k)+y"(k) (32) 权多模型自适应控制策略不依赖于特定局部控制算其中，w'(k)、y'(k)和"(k)、y"(k)分别为子系统a 法而设计，只需保证由局部模型及相应局部控制器和b中被控对象P的输入和输出.由定理条件(1) 构成的系统是闭环稳定的，其模型集中每个固定模和系统闭环特征多项式可知，虚拟等价系统I的分型都为参数已知的线性时不变系统模型，故假设对解子系统皆为闭环稳定系统.分解子系统b中于每个固定模型在控制理论中都可设计控制器来确 △u(k)为保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号：定理2中 △u(k)=u(k)-4(k)=[P(k)-1]u(k)+ 的条件(2)，即随机自校正控制系统的稳定性问题，可根据文献[39]中定理3的相关条件保证成立. 立n()4,()+p()w,)(33） i=lir 证明考虑模型集中的固定模型包含真实对象其中，山(k)为固定局部控制器C的输出.考虑到局模型M。的情形，根据定理1知，该固定模型M 部控制率u:(k)=p(k)0。中0是局部控制器的参 (M=M)对应的权值收敛于1，即数向量，(k)是计算局部控制器输出的回归向量， limp()=1;limp:(k)=0, 一般表达形式为9.(k)=[y(k),y(k-1),…, i≠j,j≠8，i=1,…,n或8 (30) u(k-1),…,y,（k),…].进而可以得出△u(k)= 分析模型集中的固定模型包含真实被控对象的 o(I9(k)I). 情形，通过权值收敛情况易知，控制系统在权值收敛可以知道上述情形中自校正模型和算法收敛过后等效为固定局部控制器C:控制定常系统模型程对系统的影响被记入△u(k)中，根据文献[34]中 M·因此根据虚拟等价系统理论[34]，给出此种情形定理4.1，结合本定理条件(1)和(3)，可证得模型下的线性时不变对象的WMMAC虚拟等价系统I, 集中固定模型包含真实模型时，控制系统稳定且如图2所示.更进一步地，为后文能清晰地证明控收敛. 制系统的稳定性，可将WMMAC虚拟等价系统I分现考虑模型集中固定模型不包含真实模型的情解为子系统a(“理想系统”)和子系统b分别予以分形，同样根据定理1可知，自校正模型M。对应的权析，分解后的系统框图分别见图3和图4. 值收敛于1，即

张玉振等: 含有自校正模型的加权多模型自适应控制注 3 本文中讨论的多模型自适应控制稳定性指的是加权多模型自适应控制系统的输入输出信号有界,多模型自适应控制收敛性是输入输出信号收敛至相应的非自适应控制系统的输入输出信号[32] . 3郾 2 参数未知线性时不变对象的加权多模型自适应控制定理 2 若满足 (1) 每个固定参数的局部控制器与模型集中的对应模型构成稳定的闭环系统,且跟踪参考输入信号; (2) 自校正模型所对应的自校正控制系统稳定且收敛; (3) 模型输出误差可分,即依概率 1 有 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) = Rj lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) = R ì î í ï ï ïï ï ï ïï i (29) 其中,k逸d + 1,i屹j,d 为系统输出延迟,Ri 为常数或为无穷大,Rj < Ri 为常数. 则加权多模型自适应控制系统稳定且收敛. 注 4 关于定理 2 中的条件(1),由于本文中加权多模型自适应控制策略不依赖于特定局部控制算法而设计,只需保证由局部模型及相应局部控制器构成的系统是闭环稳定的,其模型集中每个固定模型都为参数已知的线性时不变系统模型,故假设对于每个固定模型在控制理论中都可设计控制器来确保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号;定理 2 中的条件(2),即随机自校正控制系统的稳定性问题, 可根据文献[39]中定理 3 的相关条件保证成立. 证明考虑模型集中的固定模型包含真实对象模型 Mv 的情形,根据定理 1 知, 该固定模型 Mj (Mj = Mv)对应的权值收敛于 1,即 lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 pi(k) = 0, i屹j,j屹啄,i = 1,…,n 或啄 (30) 分析模型集中的固定模型包含真实被控对象的情形,通过权值收敛情况易知,控制系统在权值收敛后等效为固定局部控制器 Cj 控制定常系统模型 Mj . 因此根据虚拟等价系统理论[34] ,给出此种情形下的线性时不变对象的 WMMAC 虚拟等价系统玉, 如图 2 所示. 更进一步地,为后文能清晰地证明控制系统的稳定性,可将 WMMAC 虚拟等价系统玉分解为子系统 a(“理想系统冶)和子系统 b 分别予以分析,分解后的系统框图分别见图 3 和图 4. 图 2 线性时不变对象的 WMMAC 虚拟等价系统玉 Fig. 2 Virtual equivalent system鄄玉 for WMMAC鄄LTI plant 图 3 虚拟等价系统玉(图 2)的分解子系统 a Fig. 3 Decomposed subsystem a of the virtual equivalent system鄄玉 (Fig. 2) 图 4 虚拟等价系统玉(图 2)的分解子系统 b Fig. 4 Decomposed subsystem b of the virtual equivalent system鄄玉 (Fig. 2) 易知 u(k) = u忆(k) + u义(k) (31) y(k) = y忆(k) + y义(k) (32) 其中,u忆(k)、y忆(k)和 u义( k)、y义( k)分别为子系统 a 和 b 中被控对象 P 的输入和输出. 由定理条件(1) 和系统闭环特征多项式可知,虚拟等价系统玉的分解子系统皆为闭环稳定系统. 分解子系统 b 中驻u(k)为驻u(k) = u(k) - uj(k) = [pj(k) - 1]·uj(k) + 移 n i = 1,i屹j pi(k)·ui(k) + p啄(k)·u啄(k) (33) 其中,uj(k)为固定局部控制器 Cj 的输出. 考虑到局部控制率 ui(k) = 渍 T c (k)兹ci中兹ci是局部控制器的参数向量,渍c(k)是计算局部控制器输出的回归向量, 一般表达形式为渍c ( k) = [ y ( k), y ( k - 1 ),…, u(k - 1),…,yr ( k),…]. 进而可以得出驻u(k) = o(椰渍c(k)椰). 可以知道上述情形中自校正模型和算法收敛过程对系统的影响被记入驻u(k)中,根据文献[34]中定理 4郾 1,结合本定理条件(1) 和(3),可证得模型集中固定模型包含真实模型时,控制系统稳定且收敛. 现考虑模型集中固定模型不包含真实模型的情形,同样根据定理 1 可知,自校正模型 M啄对应的权值收敛于 1,即 ·1393·

.1394. 工程科学学报，第40卷，第11期 mPs(k)=1mp(k)=0,i=l,…,n(34) o(‖9.(k)I) (38) 此时自校正模型经辨识参数后，距离真实对象最进而根据本定理条件(2)和(3)，由文献[39]中接近. 定理3可知自校正模型经辨识参数后，距离真实对首先分析给出此情形下的WMMAC虚拟等价象最接近.由文献[34]中构建⊙(k)=[y(k),…, 系统Ⅱ.通过权值收敛情况易知，控制系统在权值 y(k-n.),u(k-1),…,u(k-d-n6),y,(k),…]可收敛后等效为控制器集中自校正控制器控制系统模知，其与真实模型的偏差为Ip(k-d)‖的高阶无型M。,即真实对象模型M。=Ms根据定理中条件穷小.之后根据文献[34]中定理4.2，结合本定理 (2),则可由文献[39]中定理3的条件(1)知参数估条件(2)和(3)，可证得模型集中固定模型不包含真计满足I0(k)‖≤M<∞；im‖0(k)-0(k-)‖= 实模型时，控制系统稳定且收敛 0,M为常数，1为有限值.故而能构造此情形下“软综上情形，结论得证切换”的虚拟等价系统[0-4)，如图5所示 3.3参数跳变被控对象的加权多模型自适应控制定理3针对参数跳变对象的加权多模型自适 △' e"(k) 应控制，若满足 + (1)被控对象参数跳变间隔足够长，且都是k 的分段常值函数；图5 WMMAC虚拟等价系统Ⅱ (2)每个固定参数的局部控制器与模型集合中 Fig.5 Virtual equivalent system-lI for WMMAC plant 的对应模型构成稳定闭环系统，且跟踪参考输入其中，时间的选取是为了形成“软切换”的需要，信号； C(t)和P(t4)分别为形成“软切换”后的控制器和 (3)自校正模型所对应的自校正控制系统稳定被控对象.仿照上述虚拟等价系统的分解，不难得且收敛：出图5所对应的分解系统.并且可知等效输出误差 (4)模型输出误差可分，即依照概率1存在 e'(k)为 e'(k)=y(k)-p'(k-d)0(t)-w(k)= y(k)-(k-d)·0(k)-a(k)+ (39) p(k-d)[0(k)-0(t)]= e(k)+p(k-d)[0(k)-0(t)](35) 式中，e(k)=y(k)-p(k-d)0(k)-ω(k),p(k- 四去三T.+R d)为回归向量. 其中，k≥d+1,i≠j,d为系统输出延迟，R:为常数或在系统结构参数n。,n,和d均已知的前提下，为无穷大，R<R:为常数，Tm为系统参数跳变时间根据文献[42]中引理1的性质2，考虑到序列，m为自然数且T。=0. gr=lim 则加权多模型自适应控制系统是稳定的和收 lim- d(logr.)d()=lim gT。。d(rn)/d(rn）rn 敛的. 注6假定系统参数是时间k的分段常值函 (36) 数，参数跳变间隔是指从参数在某时刻发生跳变到即log.=o(),知∑(r)=o(.),其中，即为再次检测到临近的跳变所需要的时间，亦即分段常值函数中每段恒定值的保持时长.参数跳变可分为本文中∑Ie(r-d)?. 两种情形：系统参数经有限次跳变后停止在某个定注5此处只考虑r。→.在rn有界的情形常参数模型：参数处于无限循环跳变且跳变间隔满下，I(r-d)‖2趋于0. 足要求.对于系统被控对象参数跳变间隔时长能够再根据定理中条件(2)，则可由文献[39]中定满足控制系统实现“软切换”，即能够满足加权算法理3的条件(2)和(4)进一步得到收敛且控制器产生适宜控制信号的时间需求，其间会)=（片会1-）3）隔时长可参照文献[43]中引理A1和定理5.4分析.因此系统参数跳变的间隔时长不应小于下限要另外，可知等效控制扰动△'(k)为求，在某种程度上要求系统为慢时变被控对象 △u'(k)=p(k)·[0s(k)-0s(t)]= 注7关于定理3中的条件(2)，本文中的加权

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期 lim k寅肄 p啄(k) = 1;lim k寅肄 pi(k) = 0,i = 1,…,n (34) 此时自校正模型经辨识参数后,距离真实对象最接近. 首先分析给出此情形下的 WMMAC 虚拟等价系统域. 通过权值收敛情况易知,控制系统在权值收敛后等效为控制器集中自校正控制器控制系统模型 M啄,即真实对象模型 Mv = M啄 . 根据定理中条件 (2),则可由文献[39]中定理 3 的条件(1)知参数估计满足椰 ^ 兹(k)椰臆M < 肄 ;lim k寅肄椰 ^ 兹(k) - ^ 兹(k - l)椰 = 0,M 为常数,l 为有限值. 故而能构造此情形下“软切换冶的虚拟等价系统[40鄄鄄41] ,如图 5 所示. 图 5 WMMAC 虚拟等价系统域 Fig. 5 Virtual equivalent system鄄域 for WMMAC plant 其中,时间 t k 的选取是为了形成“软切换冶的需要, C(t k)和 P(t k)分别为形成“软切换冶后的控制器和被控对象. 仿照上述虚拟等价系统的分解,不难得出图 5 所对应的分解系统. 并且可知等效输出误差 e忆(k)为 e忆(k) = y(k) - 渍 T (k - d)·^ 兹(t k) - 棕(k) = y(k) - 渍 T (k - d)·^ 兹(k) - 棕(k) + 渍 T (k - d)[ ^ 兹(k) - ^ 兹(t k)] = e(k) + 渍 T (k - d)[ ^ 兹(k) - ^ 兹(t k)] (35) 式中,e(k) = y(k) - 渍 T (k - d) ^ 兹(k) - 棕(k),渍(k - d)为回归向量. 在系统结构参数 na ,nb 和 d 均已知的前提下, 根据文献[42]中引理 1 的性质 2,考虑到 lim rn寅肄 logrn rn = lim rn寅肄 d(logrn ) / d(rn ) d(rn ) / d(rn ) = lim rn寅肄 1 rn = 0 (36) 即 logrn = o(rn ),知移 k r = 1 e 2 i ( r) = o( rn ),其中 rn 即为本文中移 k r = 1 椰渍(r - d)椰2 . 注 5 此处只考虑 rn 寅肄 . 在 rn 有界的情形下,椰渍(r - d)椰2 趋于 0. 再根据定理中条件(2),则可由文献[39]中定理 3 的条件(2)和(4)进一步得到 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) = o ( 1 k 移 k r = 1 椰渍(r - d)椰 ) 2 (37) 另外,可知等效控制扰动驻u忆(k)为驻u忆(k) = 渍 T c (k)·[兹c啄(k) - 兹c啄(t k)] = o(椰渍c(k)椰) (38) 进而根据本定理条件(2)和(3),由文献[39]中定理 3 可知自校正模型经辨识参数后,距离真实对象最接近. 由文献[34]中构建渍寛( k) = [ y( k),…, y(k - na ),u(k - 1),…,u(k - d - nb),yr(k),…]可知,其与真实模型的偏差为椰渍( k - d)椰的高阶无穷小. 之后根据文献[34]中定理 4郾 2,结合本定理条件(2)和(3),可证得模型集中固定模型不包含真实模型时,控制系统稳定且收敛. 综上情形,结论得证. 3郾 3 参数跳变被控对象的加权多模型自适应控制定理 3 针对参数跳变对象的加权多模型自适应控制,若满足 (1)被控对象参数跳变间隔足够长,且都是 k 的分段常值函数; (2)每个固定参数的局部控制器与模型集合中的对应模型构成稳定闭环系统,且跟踪参考输入信号; (3)自校正模型所对应的自校正控制系统稳定且收敛; (4)模型输出误差可分,即依照概率 1 存在 1 k 移 k r = 1 e 2 j (Tm + r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (Tm + r) lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 j (Tm + r) = Rj lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 i (Tm + r) = R ì î í ï ï ïï ï ï ïï i (39) 其中,k逸d + 1,i屹j,d 为系统输出延迟,Ri 为常数或为无穷大,Rj < Ri 为常数,Tm 为系统参数跳变时间序列,m 为自然数且 T0 = 0. 则加权多模型自适应控制系统是稳定的和收敛的. 注 6 假定系统参数是时间 k 的分段常值函数,参数跳变间隔是指从参数在某时刻发生跳变到再次检测到临近的跳变所需要的时间,亦即分段常值函数中每段恒定值的保持时长. 参数跳变可分为两种情形:系统参数经有限次跳变后停止在某个定常参数模型;参数处于无限循环跳变且跳变间隔满足要求. 对于系统被控对象参数跳变间隔时长能够满足控制系统实现“软切换冶,即能够满足加权算法收敛且控制器产生适宜控制信号的时间需求,其间隔时长可参照文献[43] 中引理 A1 和定理 5郾 4 分析. 因此系统参数跳变的间隔时长不应小于下限要求,在某种程度上要求系统为慢时变被控对象. 注 7 关于定理 3 中的条件(2),本文中的加权 ·1394·

张玉振等：含有自校正模型的加权多模型自适应控制 ·1395· 多模型自适应控制策略是不依赖于特定局部控制算模型1：此子模型中，不确定参数h取值为法而设计的，但是该控制策略是建立在已保证由局 0.7,则部模型及相应局部控制器能构成闭环稳定系统的基 (1-4.3670z-1+4.4817z-2)y(k)= 础上的，具体针对模型集中的每个固定模型而言，其 z-1(0.1473+0.2428z-1)u(k)+w(k)(42) 都为参数已知的线性时不变系统模型，鉴于控制系模型2：此子模型中，不确定参数h取值为统设计的基本要求是保证系统的闭环稳定性，故可 0.8.则以假设对于每个固定模型在控制理论中都可设计控 (1-4.3670z-+4.4817z2)y(k)= 制器来确保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号； z-1(0.1683+0.2775z-1)u(k)+w(k)(43) 定理3中的条件(3)，即随机自校正控制系统的稳模型3：此子模型中，不确定参数h取值为定性问题，可根据文献[39]中定理3的相关条件保 1.2,则证成立. (1-4.3670z-1+4.4817z-2)y(k)= 证明考虑有限次参数跳变后，被控对象参数 z-1(0.2525+0.4163z-1)u(k)+w(k)(44) 为某个常值.此情形可将有限次的参数跳变视为动模型4：此子模型中，不确定参数h取值为态扰动，其对系统性能的影响记人△u(k),与定理2 1.3,则分析过程一致，不再赘述 (1-4.3670z-1+4.4817z-2)y(k)= 考虑被控对象参数无限跳变情形，根据本定理 z-1(0.2735+0.4510z1)(k)+w(k)(45) 3各条件知，参数跳变间隔足够长，且各阶段的参数另外，自校正模型采用极点配置间接自校正控皆为常值，保证各阶段的参数构成线性时不变对象制，参数估计可采用递推最小二乘法.P的初始值的加权多模型自适应控制，易知总体的加权多模型取10·eye(na+nb+1).详细的计算过程见式(8) 自适应控制为各个阶段的稳定系统间的“软切换”，和式(9). 故可以根据切换系统理论[]，保证多模型自适应控期望的闭环特征多项式与如下式(46)所示的制是稳定的和收敛的. 连续时间二阶系统[34的特征多项式相一致注8文献[32,34]等中加权多模型自适应控 w s2+2iw.s+ω。 (46) 制系统稳定性分析是基于模型集仅由固定模型构成的情况，本文针对含有自校正模型的多模型情形给式中，{为0.7,0n为1. 出了控制系统的稳定性证明，放宽了对模型集构建仿真一：设定固定模型中不包括被控对象的真形式的约束，扩大了保证系统稳定性的理论应用实模型，取h为0.64,0的初始值取四个固定模型系范围. 统参数的平均值(01+02+03+04)/4.仿真结果如 4仿真结果图6至图8所示.如图6所示，自校正模型能够通过参数辨识给出估计参数.图7可知，加权算法能现考虑如下被控对象[3)，其s域传递函数够迅速地将自校正模型选择出来，并且能够稳定的 G(s)为运行.图8则给出了系统的输出信号，参考输入信 h 号，以及控制信号. G(s)=2-3s+2 (40) 若模型集中只包含4个固定模型时，此情形下其中，h为不确定参数，其不确定范围是h∈ 的权值收敛和控制效果曲线分别见图9和图10. [0.5,1.5].将此不确定范围划分为4个小区间，在由图7和图9可知，在含有自校正模型的控制这4个小区间各取一个h值，即h1=0.7,h2=0.8, 系统中，权值收敛到自校正模型，而在只含固定模型 h3=1.2,h,=1.3.然后将线性系统传递函数离散的系统中，权值则收敛到与之相近的固定模型，因化，采用零阶保持器，取采样时间t,=0.5s.然后针此，最终影响到系统的控制性能.通过图8和图10 对离散化后的4个模型，按极点配置方法设计控制系统输出曲线的对比，进一步清晰地说明了含有自器，并在系统中加入噪声sqrt(0.01)·randn(1). 校正模型的系统控制效果明显好于只有固定模型的根据不确定离散时间方程控制系统 (1+a1z1+a2z2)y(k)= 仿真二：设固定模型中包括被控对象的真实模 2(bo+b2)u(k)+o(k) (41) 型，取h为1.2，且自校正模型参数初值不是该固定可以知道，4个固定模型的局部控制器分别为模型的参数值，0的初始值取四个固定模型系统参

张玉振等: 含有自校正模型的加权多模型自适应控制多模型自适应控制策略是不依赖于特定局部控制算法而设计的,但是该控制策略是建立在已保证由局部模型及相应局部控制器能构成闭环稳定系统的基础上的,具体针对模型集中的每个固定模型而言,其都为参数已知的线性时不变系统模型,鉴于控制系统设计的基本要求是保证系统的闭环稳定性,故可以假设对于每个固定模型在控制理论中都可设计控制器来确保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号; 定理 3 中的条件(3),即随机自校正控制系统的稳定性问题,可根据文献[39]中定理 3 的相关条件保证成立. 证明考虑有限次参数跳变后,被控对象参数为某个常值. 此情形可将有限次的参数跳变视为动态扰动,其对系统性能的影响记入驻u(k),与定理 2 分析过程一致,不再赘述. 考虑被控对象参数无限跳变情形,根据本定理 3 各条件知,参数跳变间隔足够长,且各阶段的参数皆为常值,保证各阶段的参数构成线性时不变对象的加权多模型自适应控制,易知总体的加权多模型自适应控制为各个阶段的稳定系统间的“软切换冶, 故可以根据切换系统理论[44] ,保证多模型自适应控制是稳定的和收敛的. 注 8 文献[32,34]等中加权多模型自适应控制系统稳定性分析是基于模型集仅由固定模型构成的情况,本文针对含有自校正模型的多模型情形给出了控制系统的稳定性证明,放宽了对模型集构建形式的约束,扩大了保证系统稳定性的理论应用范围. 4 仿真结果现考虑如下被控对象[34] , 其 s 域传递函数 G(s)为 G(s) = h s 2 - 3s + 2 (40) 其中,h 为不确定参数,其不确定范围是 h沂 [0郾 5,1郾 5]. 将此不确定范围划分为 4 个小区间,在这 4 个小区间各取一个 h 值,即 h1 = 0郾 7,h2 = 0郾 8, h3 = 1郾 2,h4 = 1郾 3. 然后将线性系统传递函数离散化,采用零阶保持器,取采样时间 t s = 0郾 5 s. 然后针对离散化后的 4 个模型,按极点配置方法设计控制器,并在系统中加入噪声 sqrt(0郾 01)·randn(1). 根据不确定离散时间方程 (1 + a1 z - 1 + a2 z - 2 )y(k) = z - 1 (b0 + b1 z - 1 )u(k) + 棕(k) (41) 可以知道,4 个固定模型的局部控制器分别为模型 1: 此子模型中, 不确定参数 h 取值为 0郾 7,则 (1 - 4郾 3670z - 1 + 4郾 4817z - 2 )y(k) = z - 1 (0郾 1473 + 0郾 2428z - 1 )u(k) + 棕(k) (42) 模型 2: 此子模型中, 不确定参数 h 取值为 0郾 8,则 (1 - 4郾 3670z - 1 + 4郾 4817z - 2 )y(k) = z - 1 (0郾 1683 + 0郾 2775z - 1 )u(k) + 棕(k) (43) 模型 3: 此子模型中, 不确定参数 h 取值为 1郾 2,则 (1 - 4郾 3670z - 1 + 4郾 4817z - 2 )y(k) = z - 1 (0郾 2525 + 0郾 4163z - 1 )u(k) + 棕(k) (44) 模型 4: 此子模型中, 不确定参数 h 取值为 1郾 3,则 (1 - 4郾 3670z - 1 + 4郾 4817z - 2 )y(k) = z - 1 (0郾 2735 + 0郾 4510z - 1 )u(k) + 棕(k) (45) 另外,自校正模型采用极点配置间接自校正控制,参数估计可采用递推最小二乘法. P 的初始值取 10 6·eye(na + nb + 1). 详细的计算过程见式(8) 和式(9). 期望的闭环特征多项式与如下式(46) 所示的连续时间二阶系统[34]的特征多项式相一致. 棕 2 n s 2 + 2灼棕n s + 棕 2 n (46) 式中,灼为 0郾 7,棕n 为 1. 仿真一:设定固定模型中不包括被控对象的真实模型,取 h 为 0郾 64,兹的初始值取四个固定模型系统参数的平均值(兹1 + 兹2 + 兹3 + 兹4 ) / 4. 仿真结果如图 6 至图 8 所示. 如图 6 所示,自校正模型能够通过参数辨识给出估计参数. 图 7 可知,加权算法能够迅速地将自校正模型选择出来,并且能够稳定的运行. 图 8 则给出了系统的输出信号,参考输入信号,以及控制信号. 若模型集中只包含 4 个固定模型时,此情形下的权值收敛和控制效果曲线分别见图 9 和图 10. 由图 7 和图 9 可知,在含有自校正模型的控制系统中,权值收敛到自校正模型,而在只含固定模型的系统中,权值则收敛到与之相近的固定模型,因此,最终影响到系统的控制性能. 通过图 8 和图 10 系统输出曲线的对比,进一步清晰地说明了含有自校正模型的系统控制效果明显好于只有固定模型的控制系统. 仿真二:设固定模型中包括被控对象的真实模型,取 h 为 1郾 2,且自校正模型参数初值不是该固定模型的参数值,兹的初始值取四个固定模型系统参 ·1395·