第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 21引言 2,2维纳滤波器的离散形式—时域解 23离散维纳滤波器的z域解 24维纳预测 25卡尔曼( Kalman)滤波 BACK
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 21引言 在生产实践中,我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如 何最大限度地抑制噪声,并将有用信号分离出来,是信号处理 中经常遇到的问题。换句话说,信号处理的目的就是要得到不 受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里, 我们只考虑加性噪声的影响,即观测数据x(m)是信号s(n)与噪声 (n)之和(如图2.1.1所示),即 x(n=s(n)+v(n) (2.1.1)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引 言 在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如 何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理 中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不 受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里， 我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声 v(n)之和（如图2.1.1所示）, 即 x(n)=s(n)+v(n) （2.1.1）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 我们的目的是为了得到不含噪声的信号S(n),也称为期望 信号,若滤波系统的单位脉冲响应为hn)(如图2.1.2所示), 系统的期望输出用κln)表示,yl(m)应等于信号的真值s(m);系 统的实际输出用y(n)表示,y(m)是s(n)的逼近或估计,用公式表 示为vd(n)=s(n),y(m)=s(m)。因此对信号x(n)进行处理,可以 看成是对期望信号的估计,这样可以将hn)看作是一个估计器, 也就是说,信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么, 采用不同的最佳准则,估计得到的结果可能不同。所得到的估 计,在通信中称为波形估计;在自动控制中,称为动态估计
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望 信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)（如图2.1.2所示）， 系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系 统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表 示为yd(n)=s(n)， y(n) = 。因此对信号x(n)进行处理，可以 看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器， 也就是说, 信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么， 采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估 计， 在通信中称为波形估计; 在自动控制中，称为动态估计。 s ˆ(n)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 s(n 图2.1.1观测信号的组成
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.1 观测信号的组成 s(n) x(n) v(n)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 x(n) h(n) y(n) sInton 图2.1.2信号处理的一般模型
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.2 信号处理的一般模型 h(n) x(n) s(n)＋v(n) y(n)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m),要估计当前及以后时刻 的信号值sn+M,N≌0,这样的估计问题称为预测问题;若已知 x(n1),x(n-2),灬,x(n-m),要估计当前的信号值s(n),称为过滤 或滤波;根据过去的观测值x(n-1),x(m2),…,x(n-m),估计过去 的信号值s(n-N,N≌1,称为平滑或内插。维纳( Wiener)滤波与卡 尔曼( Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的 过滤或预测问题,并以估计的结果与信号真值之间的误差的均 方值最小作为最佳准则
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，要估计当前及以后时刻 的信号值s(n+N), N≥0，这样的估计问题称为预测问题；若已知 x(n-1), x(n-2), …, x(n-m) ，要估计当前的信号值s(n)，称为过滤 或滤波； 根据过去的观测值x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，估计过去 的信号值s(n-N), N≥1，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡 尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的 过滤或预测问题, 并以估计的结果与信号真值之间的误差的均 方值最小作为最佳准则。 ^ ^
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间,由于军事的需要由维 纳提出的。1950年,伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理 谱时,由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。维 纳滤波器的求解,要求知道随机信号的统计分布规律(自相关 函数或功率谱密度),得到的结果是封闭公式。采用谱分解的 方法求解,简单易行,具有一定的工程实用价值,并且物理概 念清楚,但不能实时处理;维纳滤波的最大缺点是仅适用于 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的,因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维 纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理 谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 维 纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关 函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的 方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概 念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 22维纳滤波器的离散形式时域解 221维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论,并考虑到系统的因果性,可以 得到滤波器的输出y(m y(n)=x(n)*h(n) ∑h(m)x(n-m)m=0,1,2,(2.22) 设期望信号为d(n),误差信号e(n)及其均方值E[ke(n)2]分别为 e(n)=(n)y(n)=S(n)-(n) (22.3 Ele(n)P]=E[ld( n)-y(n)]=Eld(n)-2h(m)x(n-m) (2.2.4
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n), + = = = − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m y n x n h n h m x n m n=0, 1, 2, … （2.2.2） 设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为 e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n) （2.2.３） = − = − − + = 2 0 2 2 [| ( ) | ] [| ( ) ( ) | ] ( ) ( ) ( ) m E e n E d n y n E d n h m x n m （2.2.４）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小,须满足 dETe(n) 0 (2.2.5) ah 这里,h表示(,同理,可以用a,b分别表示a(0),b0)。由于误 差的均方值是一标量,因此(2.2.5)式是一个标量对复函数的求 导问题,它等价于 aElle(n)ll.oEle(n2I J 0产=0,1,2, a (22.6) 户0,1,2 ab 2.2.7)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小，须满足 0 [| ( ) | ] 2 = hj E e n （2.2.5） 这里，hj表示h(j); 同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误 差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求 导问题， 它等价于 0 [| ( ) | ] [| ( ) | ] 2 2 = + j bj E e n j a E e n j=0, 1, 2, … （2.2.6） 记 j j j b j a + = j=0, 1, 2, … （2.2.７）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 则(226)式可以写为 VElle(n]=0 (2.2.8) 将(22.8)式展开 V, Elle(n)P]=el de(n) ce(n ye(n oe e(n)+je(n)+ je(n a C ab ab (2.2.9) 又根据(2.2.1)~(22.3)式
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为 [| ( )| ] 0 2 j E e n = （2.2.8） 将（2.2.8）式展开 + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [| ( ) | ] * * * 2 * j e n b e n j e n b e n e n a e n e n a e n E e n E j j j j j （2.2.9） 又根据（2.2.1）~(2.2.3)式