第五章时频分析 第五章时频分析 5.1引言 52短时傅里叶变换 53维格纳变换wWD 5.4时域离散信号的维格纳变换 55时频分布的统一表示式 5.6时频分析在编队目标架次检测中的应用 BACI
第五章 时 频 分 析 第五章 时 频 分 析 5.1 引言 5.2 短时傅里叶变换 5.3 维格纳变换(WD) 5.4 时域离散信号的维格纳变换 5.5 时频分布的统一表示式 5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用
第五章时频分析 51引言 传统的信号分析与处理的数学工具是傅里叶变换,它的正 变换和逆变换分别用下面两式表示: X(e)=∑ x(n)e on (5.1.1) x(n)= 2r X(ejo ejond (5.1.2) 式中ω是一个连续变量,限制了用计算机在频域进行分析与处理, 而离散傅里叶变换(DFT)将频域离散化,使之借助计算机可以在 时域也可以在频域对信号进行分析与处理。由于傅里叶变换物 理概念清晰,同时也是正交变换,因此长期以来科技界及各工程 领域广泛使用傅里叶变換和离散傅里叶变换
第五章 时 频 分 析 5.1 引 言 传统的信号分析与处理的数学工具是傅里叶变换，它的正 变换和逆变换分别用下面两式表示： X(e )e d 2π 1 ( ) (e ) ( )e π -π j j j -j n ωn n x n X x n (5.1.1) (5.1.2) 式中ω是一个连续变量,限制了用计算机在频域进行分析与处理， 而离散傅里叶变换(DFT)将频域离散化, 使之借助计算机可以在 时域也可以在频域对信号进行分析与处理。由于傅里叶变换物 理概念清晰,同时也是正交变换, 因此长期以来科技界及各工程 领域广泛使用傅里叶变换和离散傅里叶变换
第五章时频分析 (ejo)称为信号x(n)的频谱,它表示了信号在频域的分布规 律。也可以用下面公式表示 e(o)=Y(e)2 (5.1.3) e(ω)称为信号x(n)的能量谱,它仅包含信号的幅度信息。但 对于能量无限信号,如周期信号、平稳随机信号等,傅里叶变 换不存在,可以用功率谱密度(简称功率谱)P(e)表示: Pe")=∑( Jam (51.4) 式中r3(m)是x(n)的自相关函数。频谱、能量谱以及功率谱都是 信号变换到频域的一种表示方法,对于频谱不随时间变化的确 定性信号以及平稳随机信号都可以用它们进行分析和处理
第五章 时 频 分 析 X(e jω)称为信号x(n)的频谱， 它表示了信号在频域的分布规 律。也可以用下面公式表示: j 2 ( ) | (e )| e X （5.1.3） e(ω)称为信号x(n)的能量谱，它仅包含信号的幅度信息。但 对于能量无限信号，如周期信号、平稳随机信号等，傅里叶变 换不存在， 可以用功率谱密度（简称功率谱）P(e jω)表示: m ωm P rxx m jω -j (e ) ( )e （5.1.4） 式中rxx(m)是x(n)的自相关函数。频谱、能量谱以及功率谱都是 信号变换到频域的一种表示方法，对于频谱不随时间变化的确 定性信号以及平稳随机信号都可以用它们进行分析和处理
第五章时频分析 52短时傅里叶变换 5.2.1短时傅里叶变换的定义及其物理解释 1.短时傅里叶变换的定义蕌 短时傅里叶变换的定义有两种形式,下面分别叙述。蕌 (1)定义 STFTX(n.o)=∑x(m)(n-mlm6521)老 式中(n)是一个窗函数,其作用是取出x(n)在n时刻附近的一小 段信号进行傅里叶变换,当n变化时,窗函数随n移动,从而得 到信号频谱随时间n变化的规律。此时的傅里叶变换是一个二维 域(no)的函数。窗函数沿时间轴移动情况如图521所示
第五章 时 频 分 析 5.2 短时傅里叶变换 5.2.1 短时傅里叶变换的定义及其物理解释 1. 短时傅里叶变换的定义 短时傅里叶变换的定义有两种形式, 下面分别叙述。 (1) 定义一: m m X n x m w n m -j STFT ( , ) ( ) ( )e (5.2.1) 式中w(n)是一个窗函数，其作用是取出x(n)在n时刻附近的一小 段信号进行傅里叶变换，当n变化时，窗函数随n移动，从而得 到信号频谱随时间n变化的规律。此时的傅里叶变换是一个二维 域(n,ω)的函数。窗函数沿时间轴移动情况如图 5.2.1 所示
第五章时频分析 o(n-m x(m 图521窗函数的移动
第五章 时 频 分 析 图 5.2.1 窗函数的移动 (n－m) x(m) n m
第五章时频分析 令n'=n-m将n'代入定义一中,再将n用m代替,可得到第 二种定义形式 (2)定义二: STFTX(n, o)=>w(m)x(n-m)e: jo( m-m w(m)x(n-me n=-0
第五章 时 频 分 析 令 n′=n-m 将n′代入定义一中, 再将 n′用m代替, 可得到第 二种定义形式。 (2) 定义二： jωω m jωω n jω n-m X w m x n m n w m x n m e ( ) ( )e STFT ( , ) ( ) ( )e - - ( )
第五章时频分析 2.短时傅里叶变换的物理解释蕌 对以上STFT的定义形式,从傅里叶变换和线性滤波两个角 度,可以有两种不同的物理解释。蕌 (1)由傅里叶变换角度解释。按照(52.1)式,STFT可以看作 n是参变量,x(m)w(n-m)对m的傅里叶变换,因此它是(n,O) 的函数。因为STFT是x(m)n(m-m)的傅里叶变换,可以用x(m)和 1(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示。设: X(e)=ftir(ml,w(e)=ftlw(m) W(e)=ftlw(m) eow(e)=ftlw(n-m)
第五章 时 频 分 析 2. 短时傅里叶变换的物理解释 对以上STFT的定义形式，从傅里叶变换和线性滤波两个角 度，可以有两种不同的物理解释。 (1) 由傅里叶变换角度解释。按照(5.2.1)式，STFT可以看作 n是参变量，x(m)w(n-m)对m的傅里叶变换，因此它是（n,ω） 的函数。因为STFT是x(m)w(n-m)的傅里叶变换，可以用x(m)和 w(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示。 设： (e ) FT[ ( )], (e ) FT[ ( )] jω jω X x m W w m (e ) FT[ ( )],e (e ) FT[ ( )] -jω j -jω W w m W w n m ωn
第五章时频分析 那么 STFT,(n,@) w(e eox(eo)de 2丌 如果再将θ改换成-,得到 STFT(n, 0)=wei)(eire)evado 2 (523) 上式是STFT定义的一种频域表示形式。这里如果x(n)是时变信号, 式中用了它的傅里叶变换,是不合适的,但可以理解为信号在时 间窗外变为0以后,取信号的傅里叶变换;或者说是时间窗内的 信号傅里叶变换的平滑形式
第五章 时 频 分 析 那么 (e )e (e )d 2 1 STFT ( , ) j j j( - ) n W X n xx 如果再将θ改换成-θ， 得到 (e ) (e )e d 2 1 STFT ( , ) j j( ) -j n xx n W X (5.2.3) 上式是STFT定义的一种频域表示形式。这里如果x(n)是时变信号， 式中用了它的傅里叶变换，是不合适的，但可以理解为信号在时 间窗外变为 0 以后，取信号的傅里叶变换;或者说是时间窗内的 信号傅里叶变换的平滑形式
第五章时频分析 (2)由线性滤波角度解释。将定义一重写如下: STFT(n,@)=>x(m)e omw(n-m) 上式表明,短时傅里叶变换可以看成x(n)ejom与(n)的线性卷积, 如将w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应,短时傅里叶变 换则可用图52,2表示。图522表明,首先将信号x(n)调制到o, 然后通过低通滤波器w(n),其输出就是短时傅里叶变换。实质 上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处,作为短时傅里叶变 换。为使其频率分辨率高,希望w(n)是一个低通窄带滤波器, 带外衰减愈大愈好
第五章 时 频 分 析 （2） 由线性滤波角度解释。将定义一重写如下： m m STFTX (n, ) x(m)e w(n m) -j 上式表明, 短时傅里叶变换可以看成x(n)e -jωn与w(n)的线性卷积， 如将w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应， 短时傅里叶变 换则可用图5.2.2表示。图 5.2.2 表明, 首先将信号x(n)调制到-ω， 然后通过低通滤波器w(n)， 其输出就是短时傅里叶变换。 实质 上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处， 作为短时傅里叶变 换。 为使其频率分辨率高， 希望w(n)是一个低通窄带滤波器， 带外衰减愈大愈好
第五章时频分析 利用定乂二可以得到线性滤波的另一种物理解释,将定义 二重写如下 STFTx(n, o)= jon >w(me x(n-m) 公式中求和号部分可看成(n)eion与x(m)的线性卷积,因此上式 可以写成 STFTx(n, o)=e Jon >w(m)e omx(n-m) 式中(n)是低通滤波器,w(n)em航是以a为中心的带通滤波器 按照上式,STFT就是信号首先通过带通滤波器,选出以a为中 心的频谱,再乘以exp(jωm),将选出的频谱搬移到零频处。 短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释,则可用图52.3表 小
第五章 时 频 分 析 利用定义二可以得到线性滤波的另一种物理解释， 将定义 二重写如下: STFT ( , ) e ( )e ( ) -j j n w m x n m ωm m ωn X 公式中求和号部分可看成w(n)e jωn与x(n)的线性卷积，因此上式 可以写成 STFT ( , ) e ( )e ( ) -j j n w m x n m ωm m ωn X 式中w(n)是低通滤波器，w(n)e jωn就是以ω为中心的带通滤波器。 按照上式，STFT就是信号首先通过带通滤波器，选出以ω为中 心的频谱，再乘以exp(-jωn)，将选出的频谱搬移到零频处。 短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释，则可用图 5.2.3 表 示
