第四章功率谱估计 第四章为率谱估计 41引宣 42经典谱估让 43现代谱估计中的参数建模 44AR模型谱估计的性质 45AR谱估计的方法 4.6最大熵谱估计与最大似然谱估让 47特征分解法谱估让 BACK
第四章 功 率 谱 估 计 第四章 功 率 谱 估 计 4.1 引言 4.2 经典谱估计 4.3 现代谱估计中的参数建模 4.4 AR模型谱估计的性质 4.5 AR谱估计的方法 4.6 最大熵谱估计与最大似然谱估计 4.7 特征分解法谱估计
第四章功率谱估计 41引言 我们知道,对信号和系统进行分析研究、处理有两类方法:一类 是在时域进行,前面我们学习的维纳一卡尔曼滤波和自适应滤波 都属于这种方法;本章则是在频率域进行研究的另一类方法。 这两类方法都是信号处理的重要方法。对确定性信号傅里叶变 换是在频率域分析研究的理论基础,但对于随机信号,其傅里 叶变换并不存在,因此转向研究它的功率谱。按照 Weiner- Khintchine定理,信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里 叶变换关系,公式如下 (e0)=∑n(m)e-m (41.1)
第四章 功 率 谱 估 计 4.1 引 言 我们知道,对信号和系统进行分析研究、处理有两类方法：一类 是在时域进行，前面我们学习的维纳—卡尔曼滤波和自适应滤波 都属于这种方法；本章则是在频率域进行研究的另一类方法。 这两类方法都是信号处理的重要方法。对确定性信号傅里叶变 换是在频率域分析研究的理论基础，但对于随机信号，其傅里 叶变换并不存在，因此转向研究它的功率谱。按照WeinerKhintchine定理，信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里 叶变换关系， 公式如下 j m m xx j Pxx r m − =− (e ) = ( )e (4.1.1)
第四章功率谱估计 r,(m)= JO1 (4.1.2) 2兀 r,(m)=Elx(n)x(n+mI (41.3) (4.1.1)式被称做功率谱的定义,对于平稳随机信号,服 从各态历经定理,集合平均可以用时间平均代替,由(4.1.1) 式还可以推出功率谱的另一个定义,推导如下: 将(4.1.3)式中的集合平均用时间平均代替,得到 rr(m)=lim N→∞2N+1 ∑x(n)x(n+m)(4.4) n=-N
第四章 功 率 谱 估 计 r m P d j j n xx xx (e )e 2π 1 ( ) − = ( ) [ ( ) ( )] * rxx m = E x n x n + m (4.1.2) (4.1.3) （4.1.1）式被称做功率谱的定义，对于平稳随机信号，服 从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替，由（4.1.1） 式还可以推出功率谱的另一个定义，推导如下： 将（4.1.3）式中的集合平均用时间平均代替， 得到 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) lim * x n x n m N r m N n N N xx + + = =− → (4.1.4)
第四章功率谱估计 将(414)式代入(41.1)式,得到 N→∞2N+1 ∑x(n)x(n+m)em ∑ x(n)e Jon x(n+ m)e jo(n+m) N→>∞2N+ 令l=n+m,则 P(e0) X(ne N→2N+1 ∑x()m 一00 x(n)e Joo 2N+1 (4.1.5)
第四章 功 率 谱 估 计 将（4.1.4）式代入(4.1.1)式, 得到 + + = + + = =− − + =− → − =− → =− m j n j n m N n N N j n m N m j xx x n x n m N x n x n m N P * ( ) * ( )e ( )e 2 1 1 lim ( ) ( )e 2 1 1 (e ) lim 令l=n+m, 则 2 * j ( )e 2 1 1 lim ( ) ( )e 2 1 1 (e ) lim jωω N n N N j l l N n N j n N xx x n N x n e x l N P =− → − =− =− − → + = + = (4.1.5)
第四章功率谱估计 上式中x(m)是观测数据,P3(e)是随机变量,必须对Px(e) 取统计平均值,得到 (eJo )=lim E N→2N+1 ∑xXm)em (4.1.6) 上式被认为是功率谱的另一定义 (4.1.1)式表明功率谱是无限多个自相关函数的函数,但 观测数据只有有限个,只能得到有限个自相关函数。按照 (4.1.6)式求功率谱,也需要无限个观测数据。因此根据有限 个样本数据,分析计算随机序列的真正功率谱,是求功率谱的 中心问题,毫无疑问,这是一个功率谱的估计问题。在第一章 已介绍了统计估计的一般估计准则,主要有偏移、估计量方差 和估计量的均方误差(有效性),这里不再重复,下面直接用 它们分析估计质量
第四章 功 率 谱 估 计 上式中x(n)是观测数据，Pxx(ejω)是随机变量，必须对Pxx(ejω) 取统计平均值， 得到 + = =− − → 2 jω ( ) 2 1 1 (e ) lim N n N j n N xx x n e N P E (4.1.6) 上式被认为是功率谱的另一定义。 （4.1.1）式表明功率谱是无限多个自相关函数的函数，但 观测数据只有有限个,只能得到有限个自相关函数。按照 （4.1.6）式求功率谱,也需要无限个观测数据。因此根据有限 个样本数据，分析计算随机序列的真正功率谱，是求功率谱的 中心问题，毫无疑问，这是一个功率谱的估计问题。在第一章 已介绍了统计估计的一般估计准则，主要有偏移、估计量方差 和估计量的均方误差（有效性），这里不再重复，下面直接用 它们分析估计质量
第四章功率谱估计 现代谱估计以信号模型为基础,图4.1.1表示的是x(m的 信号模型,输入白噪声κη)均值为0,方差为σ2y,x(n)的功率 谱由下式计算: P(el0)=a2|H(e°)2 (4.1.7) 如果由观测数据能够估计出信号模型的参数,信号的功率谱可 以按照(4.1.7)式计算出来,这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类,例如 AR模型、MA模型等等,针对不同的情况,合适地选择模型, 功率谱估计质量比较经典谱估计的估计质量有很大的提高。遗 憾的是,尚无仼何理论能指导我们选择一个合适的模型,我们 只能根据功率谱的一些先验知识,或者说一些重要的谱特性, 选择模型
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ2 w，x(n)的功率 谱由下式计算： j 2 j 2 (e ) | (e )| Pxx = w H （4.1.7） 如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA 模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型， 功率谱估计质量比较经典谱估计的估计质量有很大的提高。遗 憾的是，尚无任何理论能指导我们选择一个合适的模型，我们 只能根据功率谱的一些先验知识，或者说一些重要的谱特性， 选择模型
第四章功率谱估计 (n) x(n H(=) 图41.1平稳随机序列的信号模型
第四章 功 率 谱 估 计 H(z) w(n) x(n) 图4.1.1 平稳随机序列的信号模型
第四章功率谱估计 42经典谱估计 42.1BT法 BT法是先估计自相关函数,然后按照(41.1)式进行傅里叶变 换得到功率谱。设对随机信号x(m),只观测到一段样本数据, n=0,1,2,…,N-1。关于如何根据这一段样本数据估计自相关函 数,第一章已经作了详细介绍,结果是共有两种估计方法,即有 偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估 计的误差相对较小,这种估计是一种渐近一致估计,将该估计 公式重写如下: N-|m-1 (m)=7∑x(m)x(n+m)(421)
第四章 功 率 谱 估 计 4.2 经 典 谱 估 计 4.2.1 BT法 BT法是先估计自相关函数, 然后按照(4.1.1)式进行傅里叶变 换得到功率谱。设对随机信号x(n)，只观测到一段样本数据， n=0, 1, 2, …, N-1。 关于如何根据这一段样本数据估计自相关函 数, 第一章已经作了详细介绍，结果是共有两种估计方法， 即有 偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估 计的误差相对较小，这种估计是一种渐近一致估计， 将该估计 公式重写如下： − − = = + | | 1 0 * ( ) ( ) 1 ˆ ( ) N m n xx x n x n m N r m （4.2.1）
第四章功率谱估计 对上式进行傅里叶变换,得到BT法的功率估计值为 BT (e0)=∑n(m) (4.2.2) h=-0 为了减少谱估计的方差,经常用窗函数w(m)对自相关函数 进行加权,此时谱估计公式为 p(e)=∑1(mle0(423) m=-(M-1) 式中 W(m)v(m)(M1)≤m≤(M) 0 其它 ,M≤N (42.4)
第四章 功 率 谱 估 计 对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率估计值为 =− = m jωω xx j P r m - BT (e ) ˆ ( )e ˆ (4.2.2) 为了减少谱估计的方差，经常用窗函数w(m)对自相关函数 进行加权， 此时谱估计公式为 jωω xx m M j P r m - ( 1) BT (e ) ˆ ( )e ˆ =− − = （4.2.3） 式中 = 0 ( ) ( ) w m w m -(M-1)≤m≤(M-1) 其它 , M≤N （4.2.4）
第四章功率谱估计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的,这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则,即它的傅里叶变换必须是非负的,例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FT计算(4.2.3)式,设FFT的变换域为(0L-1), 必须将求和域(-M1,M-1)移到(0L-1),功率谱的计算公式 如下 BT(e ∑ S,(m)e m=0 Pn(k)=FFS(m)]k=0,1,2,…,L1
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)， 必须将求和域(-M+1, M-1)移到（0~L-1），功率谱的计算公式 如下： ( ) ( ) ˆ (e ) ( )e ˆ BT 1 0 jω -j BT P k FFT S m P S m xx L m ωm xx = = − = k=0, 1, 2, …, L-1