第六章小波分析的基本原理及其应用 第六章小波分析的基本原理及其应用 6.1弓 62连续小波变换 63离散小波变换 64小波分析的应用 BACK
第六章 小波分析的基本原理及其应用 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.1 引言 6.2 连续小波变换 6.3 离散小波变换 6.4 小波分析的应用
第六章小波分析的基本原理及其应用 61引言 小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来 的一套新理论、新方法,至今才仅有十余年的历史。与传统 的傅里叶( Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比,小波变换是 个时间和尺度上的局域变换,因而能有效地从信号中提取 信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 分析( Multiscale analysis),从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。因此小波变换被誉为“数学显微镜
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.1 引 言 小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来 的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。 与传统 的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是 一个时间和尺度上的局域变换， 因而能有效地从信号中提取 信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”
第六章小波分析的基本原理及其应用 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J Morlet在1974年首先提出的,并且通过物理的直观和信号处 理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代, A. Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备,而且 J.0. Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基; 1986年,著名数学家Y. Meyer偶然构造出一个真正的小波基, 并与S.Mall吐t合作建立了构造小波基与多尺度分析。之后, 小波分析才蓬勃发展起来,其中,比利时女数学家 I. Daubechies撰写的《小波十讲》( Ten Lectures on Wavelets对 小波的普及起了重要的推动作用
第六章 小波分析的基本原理及其应用 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后， 小 波 分 析 才 蓬 勃 发 展 起 来 ， 其 中 ， 比 利 时 女 数 学 家 I.Daubechies撰写的《小波十讲》(Ten Lectures on Wavelets)对 小波的普及起了重要的推动作用
第六章小波分析的基本原理及其应用 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在 起的。在许多学科领域,如:信号分析、图像处理、量子 力学、军事电子对抗与武器的智能化,计算机分类与识别 数据压缩、医学成像与诊断,地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的 分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面,都已获得 了广泛的应用。其具体的应用实例包括:数学方面的数值分析 构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等,信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等,图像处 理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等,医学成像方 面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提髙分辨率,等 等
第六章 小波分析的基本原理及其应用 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在 一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、 量子 力学、 军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、 数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的 分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得 了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、 构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处 理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方 面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率， 等 等
第六章小波分析的基本原理及其应用 现如今,信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部 分。众所周知,信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、精确的重构或恢复 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前, 对于平稳的时不变信号,处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的,小波 分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具
第六章 小波分析的基本原理及其应用 现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部 分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、 精确的重构或恢复。 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前， 对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波 分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具
第六章小波分析的基本原理及其应用 62连续小波变换 6.2.1从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知,短时傅里叶变换通过 引入一个滑动的窗函数w(t),然后对窗函数内的信号与窗函数 的乘积进行傅里叶变换,再让窗函数沿时间轴移动,就可得 到信号频谱随时间变化的规律。 这样,信号x()对于给定的窗口函数()的短时傅里叶变换: STFT(, 2)=x(tw(t-te idr (62.2) 给出了信号x()的时间和频率的二维分布
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2 连续小波变换 6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过 引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数 的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。 这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换: STFT ( , ) ( ) ( )e d * -jΩτ x t Ω = x w −t + − （6.2.2） 给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布
第六章小波分析的基本原理及其应用 对于(622)式定义的短时傅里叶变换,如果取高斯 ( Gauss)E数作为窗函数,即 a>0(623) 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯( Gabor)变换: +oo GT2(t2g2)=(x()eo)ga(-1)dz(624
第六章 小波分析的基本原理及其应用 对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯 (Gauss)函数作为窗函数，即 4 2 2 1 ( ) ( ) t w t g t e − = = α>0 （6.2.3） 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换: GT ( , ) ( ( )e ) ( )d j t Ω x g t Ω x = − + − − （6.2.4）
第六章小波分析的基本原理及其应用 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换,由于使用了一个可 移动的时间窗函数,使其具有了一定的时间分辨率。但是,它 们还存在一些自身的问题,其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理,我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量,最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间,我们可以准确地 确定某一个时间点,但是频率则是另外的一个概念,它指的是 在一个时间段内,某一个量的变化次数,这从频率的定义中就 可以看得到
第六章 小波分析的基本原理及其应用 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到
n2 二2 200 40 150 30 200 106N 30 20 10 TIME 10 FREQUENCY TIME REQUENCY =0.01 =0.001 500 10000 1000 50 0.0001 30 (a)(b) 20 <250200150100500 10 TIME FREQUENCY 5001000 图621不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里啡变换结果
第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果 (d ) (a) (b) (c) a＝ 0.01 a＝ 0.001 a＝ 0.0001 0 500 1000 1 0.5 0 0 500 1000 1 0.5 0 0 500 1000 1 0.5 0 ga g (t) a (t) ga (t) (a) (b) (c) AMPLITUDE 10 5 0 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 FREQUENCY TIME AMPLITUDE 150 50 0 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 100 FREQUENCY TIME AMPLITUDE 100 50 0 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 150 FREQUENCY TIME t t t
第六章小波分析的基本原理及其应用 622连续小波变换 1.连续小波变换的定义 设x()是平方可积函数,记作x()∈D(R),v(是基小波 或“母小波函数”,则 t-T W;(a,)=7=x()y dt= (6.2.5) 称之为x(1)的连续小波变换。显然,该变换与两个参数a和τ有 关,其中a>0被称为尺度因子,而τ则反映小波函数在变换中 的位移
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换 1. 连续小波变换的定义 设x(t)是平方可积函数，记作 ，ψ(t)是基小波 或“母小波函数” ，则 ( ) ( ) 2 x t L R = − = ( ) d ( ), ( ) 1 ( , ) * t x t t a t x t a WTx a a (6.2.5) 称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有 关，其中a>0 被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中 的位移
